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专题02 复数及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系. 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分. 【知能解读01】复数的概念 【知能解读02】复数的四则运算 【知能解读03】复数的三角表示式 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分. 【重难点突破01】对复数概念的理解 【重难点突破02】利用复数相等求解 【重难点突破03】利用复数的几何意义解题 【重难点突破04】复数模的求解 【重难点突破05】复数的四则运算 【重难点突破06】in(n∈R)的周期性及其应用 【重难点突破07】关于共轭复数的几个常用结论 【重难点突破08】|Z-Z0|(z，z0∈C)的几何意义 【重难点突破09】n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展) 04 辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础. 【易混001】虚部概念混淆 【易混002】复数的分类及辨析 【易混003】复数的坐标表示 【易混004】判断复数对应的点所在的象限 【易混005】已知复数的类型求参数 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】复数加减法的代数运算 【方法技巧02】复数代数形式的乘法运算 【方法技巧03】复数的乘方 【方法技巧04】复数的除法运算 【方法技巧05】复数范围内方程的根 【方法技巧06】根据相等条件求参数 【方法技巧07】在各象限内点对应复数的特征 【方法技巧08】根据复数的坐标写出对应的复数 【方法技巧09】与复数模相关的轨迹(图形)问题
01 复数的概念
1.复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数，规定：，即是方程的根.
2.复数的相关概念
（1）复数的相关概念
形如（）的数叫做复数，复数通常用字母表示，即（）.其中叫做实部，叫做虚部，叫做虚数单位，（）叫复数的代数形式.
全体复数构成的集合叫做复数集.
【真题演练】（2025·河北保定·一模）的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
（2）复数的分类
复数（）
3.两个复数相等
与（）相等当且仅当且.
特别地，时，.
【真题演练1】（2025·河北邢台·三模）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【真题演练2】（2025·福建福州·模拟预测）已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则 ．
4.复数的几何意义
（1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
（2）复数与复平面内点的关系：每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应，反之，复平面内的每一个点有唯一的一个复数和它对应，因此复数（）与复平面内的点是一一对应的关系.
（3）复数与向量的关系：复平面内的点与以原点为起点、为终点的向量一一对应，所以复数（）与复平面内的向量是一一对应的关系.
5.复数的模
（1）概念：复数（）对应的向量为，则的模叫做复数的模或绝对值，记作或，即.如果，那么是实数，它的模就等于（即的绝对值）.
（2）几何意义：即点与原点的距离.一般地，即为复平面内点与之间的距离.
【真题演练1】（2025·广西南宁·模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【真题演练2】（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
6.共轭复数
（1）定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果（），那么.
（2）几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
（3）共轭复数的性质：
①实数的共轭复数是它本身，即.
②.
③.
④.
【真题演练1】（2025·浙江宁波·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题演练2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【真题演练3】（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（ ）
A．-4 B．2
C．3 D．-4或2
02 复数的四则运算
1.复数的加法
（1）加法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的和
.
（2）加法的运算律：对任意，有
交换律：；
结合律：.
（3）复数加法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），以，为邻边画平行四边形，则其对角线$OZ$所表示的向量就是复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
2.复数的减法
（1）减法法则：设，（），则.
（2）复数减法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），则与向量（等于）对应，因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
（3）两点间的距离公式：设，（）在复平面内对应的点分别为，，则
.
3.复数的乘法
（1）乘法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的积
.
（2）复数乘法的运算律：对于任意，有
交换律：；
结合律：；
分配律：.
【真题演练】（2025·湖南·三模）若复数满足，则的实部为（ ）
A． B． C．1 D．2
4.复数的除法
复数除法的运算法则：（，）.在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母“实数化”.
【真题演练】（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.在复数范围内实系数一元二次方程的根
在复数范围内，实系数一元二次方程（）的求根公式为：
（1）当时，方程有两个实根；
（2）当时，方程有两个虚根，且这两个虚数根互为共轭复数.
【真题演练】（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
03 复数的三角表示式
1.复数的三角表示式
复数的三角表示式
一般地，任何一个复数（）都可以表示成的形式，其中，是复数的模，，，；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.
辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.
三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
特殊复数的辐角
1. 复数的辐角是，，复数的辐角是任意的.
2.，，，.
2.复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数乘法运算的三角表示
已知复数，的三角形式为，，
则，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
.
复数乘法的几何意义
如图，复数，对应的向量分别为，，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.
3.复数除法运算的三角表示及其几何意义
复数除法运算的三角表示
设，，且，
则，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
复数除法的几何意义
如图，复数，对应的向量分别为，，把绕点按顺时针方向旋转角（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
复数三角形式的乘除法公式记忆口诀
积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
【真题演练1】（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
【真题演练2】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C． D．
01 对复数概念的理解
处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为（）的形式，进而确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.
【典例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【典例3】（2025·河北·模拟预测）已知，为z的共轭复数，则下列条件可判定的是（ ）
A． B． C． D．
02 利用复数相等求解
利用复数相等的充要条件求参数的步骤：
1) 分别确定复数的实部与虚部；
2) 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程（组）求解；
3) 写出结果.
【典例1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
03 利用复数的几何意义解题
当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：
1．先对给定复数进行化简，利用复数的运算法则（如除法运算中分母实数化），将其化为（的标准形式.
2．再根据复数与复平面内坐标的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，进而求解参数的值.
【典例1】（2025·山东日照·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【典例2】（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例3】（2025·河南·模拟预测）已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
04 复数模的求解
1. 求解复数模的问题的常用方法
根据复数模的计算公式（）可把复数模的问题转化为实数问题解决.
根据复数模的几何意义，即复数（）的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.
2. 重要结论
复数在复平面内对应的点为，表示大于的常数，则（）表示点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部.
【典例1】（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值
【典例3】（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ．
05 复数的四则运算
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位的看成一类同类项，不含的看成另一类同类项，分别合并即可.
1. 复数常见运算小结论
；
；
；；
；
2. 常用公式
；
；
（其中）；
3. .
4．常见结论：
在复平面内，对应的点分别为 ，对应的点为 为坐标原点（点 不共线）.
1）四边形 为平行四边形；
2）若，则四边形为矩形；
3）若，则四边形为菱形；
4）若且，则四边形为正方形．
【典例1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．32
【典例2】（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·吉林长春·二模）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
06 in(n∈R)的周期性及其应用
虚数单位的幂的周期性：
-，，，（）.其中，（）.
【典例1】（2025·山东德州·三模）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【典例2】（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ）
A．0 B． C． D．
【典例3】（2025·河北石家庄·一模）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
07 关于共轭复数的几个常用结论
1. 若（），则.利用此结论，可以在复数集中将分解为.
2.；对于非零复数，是纯虚数.
3. 若（），则，.
4.，.
5.（）.
6..
7..
8..
【典例1】（2025·广东·一模）记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例4】（2025·福建·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
08 丨Z-Z0丨(z，z0∈C)的几何意义
一、设复数，（）在复平面内对应的点分别是，，则，复数，则.故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
二、（）的几何意义的应用：
-（）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数对应的点为圆心，为半径的圆.
-（）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数对应的点为端点的线段的垂直平分线.
三、复数模的性质
设都是复数，是大于1的正整数.
1.；
2.；
3.（可推广到个复数），（）；
4.；
5.，等号成立的条件：
- 当时，所对应的向量同向；
- 当时，所对应的向量反向.
6.，等号成立的条件：
- 当时，所对应的向量反向；
- 当时，所对应的向量同向.
7..
【典例1】（2025·广东·一模）已知（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【典例2】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
09 n个复数乘法的三角表示（棣莫弗定理）（拓展）
两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到（，且）个复数相乘的情况，即
.
特别地，当时，，这个结论叫做棣莫弗定理.
【典例1】已知为虚数单位，根据棣莫弗定理，可判断下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
01：虚部概念混淆
1．对虚部概念理解不清：
易错点：误将虚部认为是含的部分，比如把的虚部当成，而实际上虚部是（实数）。
纠正：牢记虚部的定义，对于复数的代数形式，虚部是，是一个实数，不包含
2．复数运算错误：
易错点：在对复数方程进行变形求解时，运算出错。比如在求解求时，需要将的系数化为 1 ，即，此时若分母实数化操作错误，会得到错误的形式，进而导致虚部判断错误。
纠正：熟练掌握复数的除法运算法则，分母实数化时，给分子分母同时乘以分母的共轭复数。对于，分子分母同乘，得到，这样就能正确得到的标准形式，进而准确判断虚部.
【典例1】（2025·广东广州·一模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【典例2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
【典例3】（2025·浙江温州·三模）已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
02：复数的分类及辨析
1.对于复数，当时，为实数；当时，为虚数；当且时，为纯虚数。
2.复数的模，共轭复数。
3.欧拉公式，可用于将指数形式的复数转化为三角形式分析.
【典例1】（2025·辽宁·二模）使复数为纯虚数的最小自然数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）欧拉公式建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（ ）
命题1： 命题2：
命题3：的共轭复数为 命题4：为实数
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知复数（，为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）
A．若，，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则
D．若且，则在复平面内对应的点位于第四象限
03：复数的坐标表示
1．复数化简与对称点
易错：化简时，分母实数化算错；或忘＂关于实轴对称，虚部变相反数＂。
避坑：分母实数化分子分母同乘分母共轭（如）；对称点直接＂实部不变，虚部取反＂。
2．模的几何意义
易错：误判图形（实际是椭圆，长轴4、焦距2）；分析或时漏情况。
避坑：记＂是椭圆（和为定值）＂；时虚部为时虚部为 0 （分实、纯虚数讨论）.
【典例1】（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·河南郑州·二模）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
04：判断复数对应的点所在的象限
在复平面内，复数与点——对应，根据（实部，对应横坐标）和（虚部，对应纵坐标）的正负可判断点所在象限：
第一象限：且
第二象限：且
第三象限：且
第四象限：且
【典例1】（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【典例3】（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
05：已知复数的类型求参数
对于复数，有以下分类：
实数：
虚数：
纯虚数：且
已知复数类型求参数时，需根据上述定义，结合复数运算（如乘法、除法等），列出关于参数的方程（组）求解，同时要注意对参数取值的检验，避免出现增根.
【典例1】（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例2】（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ）
A．或 B． C． D．
【典例3】（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
一：复数加减法的代数运算
对于复数，其共轭复数。
复数的加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即。在涉及与的运算问题中，通常设，将其代入等式，利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）列方程求解.
【典例1】（2025·安徽·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．2
【典例2】（2025·广西·三模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
二：复数代数形式的乘法运算
复数代数形式的乘法运算，遵循多项式乘法法则，即对于复数，，再根据，整理为的形式，实部为，虚部为。
【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·安徽·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
三：复数的乘方
复数乘方运算可通过两种方式解决：
1．代数形式直接展开：利用多项式乘法法则反复运算（适用于低次幂），结合的周期性，，周期为 4）化简。
2．三角形式 + 棣莫弗定理：若复数为三角形式，则
，适用于高次幂运算。
【典例1】（2025·山东济南·三模）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·湖北·二模）复数是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例3】（2025·山西临汾·二模）（ ）
A． B． C． D．
四：复数的除法运算
对于复数除法，设，运算步骤：
1．分子分母同乘分母的共轭复数：分母的共轭复数为，即
2．化简分母：利用平方差公式（实数），即分母=分母实部的平方+分母虚部的平方
3．展开分子：按多项式乘法展开，再用化简，最后合并实部和虚部。
注意：
若分母为纯虚数如, 可直接乘化简(因：
若分母为，乘其共轭后分母为 2 ，可简化计算：
【典例1】（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【典例2】（2025·河北·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
五：复数范围内方程的根
1．判别式法（实系数一元二次方程）
当时，先计算判别式。
时：方程有两个实根，根据求根公式求解。
时：方程有两个共轭虚根，同样使用求根公式
2．配方法与公式法（复系数一元二次方程）
对于复系数一元二次方程，判别式法不再适用，可采用配方法或直接使用公式
（这里是对复数开方，要考虑复数的多值性）。
3．韦达定理的应用
无论方程的根是实数还是复数，韦达定理始终成立，即若是方程的两根，则
【典例1】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．
【典例2】（多选）（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
六：根据相等条件求参数
1．复数运算化简：
对含复数的表达式（如、幂运算、方程根），先通过复数运算法则（除法分母实数化、周期性）化简，转化为形式。
2．应用＂复数相等＂条件：
若两个复数，则实部相等且虚部相等，据此列方程求解参数。
3．结合共轭复数／方程根性质：
实系数方程虚根成对（共轭虚根）；
共轭复数与实部相同、虚部相反。
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【典例2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【典例3】（2025·湖南长沙·二模）若，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
七：在各象限内点对应复数的特征
1．共轭复数的象限特征
共轭复数与的实部相同、虚部相反，因此象限关于实轴对称：
若在第一象限，则在第四象限；
若在第二象限，则在第三象限。
2．复数运算后的象限判断
若涉及复数加减乘除后的象限，需先计算结果的实部和虚部，再按上述步骤分析。
【典例1】（2025·福建厦门·一模）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】（多选）（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【典例3】（多选）（2025·湖南·二模）若，均为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，
D．若，在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是
八：根据复数的坐标写出对应的复数
在复平面中，复数与坐标——对应，已知坐标写复数的关键是明确实部（横坐标）、虚部（纵坐标）与复数的关系，直接构建形式，以下是具体解题技巧：
复平面内，点唯一对应复数，其中：
是实部，对应点的横坐标；
是虚部，对应点的纵坐标；
是虚数单位。
【典例1】（2025·黑龙江大庆·三模）在复平面内，点对应的复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C．1+i D．
【典例3】（2025·广西·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
九：与复数模相关的轨迹（图形）问题
1.对于，表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆。
对于，表示复平面内以为圆心，为半径的圆。
对于，表示复平面内以对应的点为焦点，长轴长为$2 a$的椭圆（当时，轨迹是线段；当时，无轨迹）。
2．转化问题：将复数模的等式转化为几何图形（圆、椭圆等），利用图形的性质（如圆心、半径、焦点、长轴短轴等）求解距离的取值范围、最值、离心率等。
【典例1】（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
【典例3】（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 .中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 复数及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系. 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分. 【知能解读01】复数的概念 【知能解读02】复数的四则运算 【知能解读03】复数的三角表示式 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分. 【重难点突破01】对复数概念的理解 【重难点突破02】利用复数相等求解 【重难点突破03】利用复数的几何意义解题 【重难点突破04】复数模的求解 【重难点突破05】复数的四则运算 【重难点突破06】in(n∈R)的周期性及其应用 【重难点突破07】关于共轭复数的几个常用结论 【重难点突破08】|Z-Z0|(z，z0∈C)的几何意义 【重难点突破09】n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展) 04 辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础. 【易混001】虚部概念混淆 【易混002】复数的分类及辨析 【易混003】复数的坐标表示 【易混004】判断复数对应的点所在的象限 【易混005】已知复数的类型求参数 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】复数加减法的代数运算 【方法技巧02】复数代数形式的乘法运算 【方法技巧03】复数的乘方 【方法技巧04】复数的除法运算 【方法技巧05】复数范围内方程的根 【方法技巧06】根据相等条件求参数 【方法技巧07】在各象限内点对应复数的特征 【方法技巧08】根据复数的坐标写出对应的复数 【方法技巧09】与复数模相关的轨迹(图形)问题
01 复数的概念
1.复数的引入
为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数，规定：，即是方程的根.
2.复数的相关概念
（1）复数的相关概念
形如（）的数叫做复数，复数通常用字母表示，即（）.其中叫做实部，叫做虚部，叫做虚数单位，（）叫复数的代数形式.
全体复数构成的集合叫做复数集.
【真题演练】（2025·河北保定·一模）的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】利用复数的周期性规律，将复数化为的形式，则复数的虚部可求.
【详解】因为，所以，
其虚部为.
故选：A.
（2）复数的分类
复数（）
3.两个复数相等
与（）相等当且仅当且.
特别地，时，.
【真题演练1】（2025·河北邢台·三模）若，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等的概念可得.
【详解】由题意得，，解得，所以.
故选：C
【真题演练2】（2025·福建福州·模拟预测）已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则 ．
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数是纯虚数，可得，解得．
故答案为：.
4.复数的几何意义
（1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
（2）复数与复平面内点的关系：每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应，反之，复平面内的每一个点有唯一的一个复数和它对应，因此复数（）与复平面内的点是一一对应的关系.
（3）复数与向量的关系：复平面内的点与以原点为起点、为终点的向量一一对应，所以复数（）与复平面内的向量是一一对应的关系.
5.复数的模
（1）概念：复数（）对应的向量为，则的模叫做复数的模或绝对值，记作或，即.如果，那么是实数，它的模就等于（即的绝对值）.
（2）几何意义：即点与原点的距离.一般地，即为复平面内点与之间的距离.
【真题演练1】（2025·广西南宁·模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模
【分析】首先根据复数的坐标写出复数的表达式，然后求复数的模即可.
【详解】因为复数对应的点为，所以.
.
故选：D.
【真题演练2】（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模.
【详解】由题意可得，，则，
所以，得．
故选：D
6.共轭复数
（1）定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果（），那么.
（2）几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
（3）共轭复数的性质：
①实数的共轭复数是它本身，即.
②.
③.
④.
【真题演练1】（2025·浙江宁波·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先根据复数的乘法求复数，再根据共轭复数的概念求.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
【真题演练2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求复数的模
【分析】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可.
【详解】由题可知：，所以.
故选：D
【真题演练3】（2025·河南鹤壁·二模）已知复数，，则实数a的值为（ ）
A．-4 B．2
C．3 D．-4或2
【答案】D
【知识点】由复数模求参数
【分析】利用复数的运算即可求得结果.
【详解】，或.
故选：D.
02 复数的四则运算
1.复数的加法
（1）加法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的和
.
（2）加法的运算律：对任意，有
交换律：；
结合律：.
（3）复数加法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），以，为邻边画平行四边形，则其对角线$OZ$所表示的向量就是复数对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
2.复数的减法
（1）减法法则：设，（），则.
（2）复数减法的几何意义：设，分别与复数，（）对应，且，不共线（如图），则与向量（等于）对应，因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
（3）两点间的距离公式：设，（）在复平面内对应的点分别为，，则
.
3.复数的乘法
（1）乘法法则：设，（）是任意两个复数，那么它们的积
.
（2）复数乘法的运算律：对于任意，有
交换律：；
结合律：；
分配律：.
【真题演练】（2025·湖南·三模）若复数满足，则的实部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征
【分析】首先根据已知条件求出复数，然后根据复数的概念识别该复数的实部.
【详解】由已知条件知：.
所以.
所以该复数的实部为-1.
故选：A.
4.复数的除法
复数除法的运算法则：（，）.在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母“实数化”.
【真题演练】（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
【详解】由题意可得，
所以在复平面对应点，在第一象限，
故选：A
5.在复数范围内实系数一元二次方程的根
在复数范围内，实系数一元二次方程（）的求根公式为：
（1）当时，方程有两个实根；
（2）当时，方程有两个虚根，且这两个虚数根互为共轭复数.
【真题演练】（2025·山东青岛·三模）若是关于的实系数方程的一个复数根，则，的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根
【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值.
【详解】已知是实系数方程的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为.
对于方程，由韦达定理可得两根之和，其中，，则，即，解得.
由韦达定理可知两根之积，则.
可得：，即.
的值为，的值为.
故选：A.
03 复数的三角表示式
1.复数的三角表示式
复数的三角表示式
一般地，任何一个复数（）都可以表示成的形式，其中，是复数的模，，，；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.
辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.
三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
特殊复数的辐角
1. 复数的辐角是，，复数的辐角是任意的.
2.，，，.
2.复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数乘法运算的三角表示
已知复数，的三角形式为，，
则，即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
.
复数乘法的几何意义
如图，复数，对应的向量分别为，，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.
3.复数除法运算的三角表示及其几何意义
复数除法运算的三角表示
设，，且，
则，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
复数除法的几何意义
如图，复数，对应的向量分别为，，把绕点按顺时针方向旋转角（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.
复数三角形式的乘除法公式记忆口诀
积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
【真题演练1】（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义
【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小可判断D.
【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；
对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
设，
则，
因为，可得，故B正确；
对于C，
，取，显然，但，故C错误；
对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小，故D错误.
故选：AB.
【真题演练2】（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数乘、除运算的三角表示
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数，
根据复数的运算法则，可得.
故选：C.
01 对复数概念的理解
处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为（）的形式，进而确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.
【典例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，B；求出，，即可判断C，D．
【详解】解：因为虚数不能比较大小，故A，B错误；
因为，，
所以，故C正确，D错误.
故选：C.
【典例2】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误；
对于B中，若，那么，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；
对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.
故选：D.
【典例3】（2025·河北·模拟预测）已知，为z的共轭复数，则下列条件可判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】设，代入选项中的各条件，判断是否成立.
【详解】已知，设，则，
对于A，若，即，得，即，
所以，有，正确；
对于B，若，则有，显然，得，有，正确；
对于C，若，即，有，得，
其中当时，，错误；
对于D，若，有，两个复数能比较大小，则，，
有，正确.
故选：ABD.
02 利用复数相等求解
利用复数相等的充要条件求参数的步骤：
1) 分别确定复数的实部与虚部；
2) 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程（组）求解；
3) 写出结果.
【典例1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等
【分析】根据复数相等求参数的值.
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
故选:B.
【典例2】（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】设，则，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，所以，
所以，解得，所以.
故选：A.
【典例3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数，若集合，则的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数的方程组求解，得到集合的元素；方法二：直接利用求根公式解方程得到集合的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根的个数.最后根式集合的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案.
【详解】方法一：由，复数，
，即，
，解得，
所以，
所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个；
方法二：，所以由求根公式得，
所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个；
方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根，
所以含有两个元素，所以A的子集有个.
故选：C.
03 利用复数的几何意义解题
当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：
1．先对给定复数进行化简，利用复数的运算法则（如除法运算中分母实数化），将其化为（的标准形式.
2．再根据复数与复平面内坐标的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，进而求解参数的值.
【典例1】（2025·山东日照·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数a=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
所以.
故选：D.
【典例2】（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，则复数在复平面内对应的点为，
又复数对应的点坐标为，所以.
故选：D
【典例3】（2025·河南·模拟预测）已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C．的最小值为
D．为定值
【答案】ABC
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数运算化简可求得，根据纯虚数定义可知A正确；根据复数对应点坐标可构造不等式求得B正确；由复数模长运算和求得C正确；由共轭复数定义和复数乘法运算可求得D错误.
【详解】；
对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，
即，所以，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，不是定值，D错误.
故选：ABC.
04 复数模的求解
1. 求解复数模的问题的常用方法
根据复数模的计算公式（）可把复数模的问题转化为实数问题解决.
根据复数模的几何意义，即复数（）的模就是复数在复平面内对应的点到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.
2. 重要结论
复数在复平面内对应的点为，表示大于的常数，则（）表示点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部.
【典例1】（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数
【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案.
【详解】由，则，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【典例2】（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值
【答案】C
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、由复数模求参数
【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解.
【详解】设，由，
则，所以，
解得，所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，无最大值．
故选：C
【典例3】（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ．
【答案】4
【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数
【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验.
【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且，
所以，又，所以，
当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意；
当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意；
所以.
故答案为：
05 复数的四则运算
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位的看成一类同类项，不含的看成另一类同类项，分别合并即可.
1. 复数常见运算小结论
；
；
；；
；
2. 常用公式
；
；
（其中）；
3. .
4．常见结论：
在复平面内，对应的点分别为 ，对应的点为 为坐标原点（点 不共线）.
1）四边形 为平行四边形；
2）若，则四边形为矩形；
3）若，则四边形为菱形；
4）若且，则四边形为正方形．
【典例1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】设，根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数相等的充要条件求出、的值，最后计算模即可.
【详解】设，则，所以，
又，所以，解得，所以，
则，则.
故选：A.
【典例2】（2025·山东济南·一模）设复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.
【详解】.
故选：A.
【典例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
【典例4】（2025·吉林长春·二模）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得，，
∴.
故选：B.
06 in(n∈R)的周期性及其应用
虚数单位的幂的周期性：
-，，，（）.其中，（）.
【典例1】（2025·山东德州·三模）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】利用复数的除法运算求得，然后利用共轭复数的概念及乘方运算求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C
【典例2】（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、虚数单位i及其性质、复数的除法运算
【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求.
【详解】，
因为复数为纯虚数，故，
故，故，
故选：B.
【典例3】（2025·河北石家庄·一模）已知为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若，则的充要条件是
B．若复数满足，则
C．
D．若复数满足，则的最大值为6
【答案】ACD
【知识点】虚数单位i及其性质、复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算
【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.
【详解】对于A，因，则等价于，
等价于，即，故A正确；
对于B，由可得，
当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；
对于C，因对于， ，
则，
于是，故C正确；
对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而可看成点到该圆上点的距离，
易得的最大值即，故D正确.
故选：ACD.
07 关于共轭复数的几个常用结论
1. 若（），则.利用此结论，可以在复数集中将分解为.
2.；对于非零复数，是纯虚数.
3. 若（），则，.
4.，.
5.（）.
6..
7..
8..
【典例1】（2025·广东·一模）记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】先求出共轭复数，再根据复数除法及乘法运算即可.
【详解】因为，所以，
则.
故选：D.
【典例2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案.
【详解】设，则，
即，解得，
所以.
故选：D.
【典例3】（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果.
【详解】由，得到，
所以，其对应点为，位于第三象限.
故选：C.
【典例4】（2025·福建·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解.
【详解】因为,
所以,
则.
故答案为：C.
08 丨Z-Z0丨(z，z0∈C)的几何意义
一、设复数，（）在复平面内对应的点分别是，，则，复数，则.故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.
二、（）的几何意义的应用：
-（）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数对应的点为圆心，为半径的圆.
-（）表示复数在复平面内对应的点组成的集合是以复数对应的点为端点的线段的垂直平分线.
三、复数模的性质
设都是复数，是大于1的正整数.
1.；
2.；
3.（可推广到个复数），（）；
4.；
5.，等号成立的条件：
- 当时，所对应的向量同向；
- 当时，所对应的向量反向.
6.，等号成立的条件：
- 当时，所对应的向量反向；
- 当时，所对应的向量同向.
7..
【典例1】（2025·广东·一模）已知（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】利用复数除法求出，进而求出其模.
【详解】依题意，，所以.
故选：A
【典例2】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据给定条件，求出复数，进而求出模.
【详解】由复数对应的向量，则，
所以.
故选：A
【典例3】（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，则，
A选项，，所以A选项正确.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，，，
所以C选项正确.
D选项，设，则，
则，所以D选项错误.
故选：ABC
09 n个复数乘法的三角表示（棣莫弗定理）（拓展）
两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到（，且）个复数相乘的情况，即
.
特别地，当时，，这个结论叫做棣莫弗定理.
【典例1】已知为虚数单位，根据棣莫弗定理，可判断下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【解析】对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，则，错误.故选A.
答案 A
01：虚部概念混淆
1．对虚部概念理解不清：
易错点：误将虚部认为是含的部分，比如把的虚部当成，而实际上虚部是（实数）。
纠正：牢记虚部的定义，对于复数的代数形式，虚部是，是一个实数，不包含
2．复数运算错误：
易错点：在对复数方程进行变形求解时，运算出错。比如在求解求时，需要将的系数化为 1 ，即，此时若分母实数化操作错误，会得到错误的形式，进而导致虚部判断错误。
纠正：熟练掌握复数的除法运算法则，分母实数化时，给分子分母同时乘以分母的共轭复数。对于，分子分母同乘，得到，这样就能正确得到的标准形式，进而准确判断虚部.
【典例1】（2025·广东广州·一模）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案.
【详解】因为，所以，所以的虚部为1.
故选：B
【典例2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部.
【详解】由，可得，所以，所以，
所以的虚部为.
故选：A.
【典例3】（2025·浙江温州·三模）已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解.
【详解】由，
可得：，故的虚部为1．
故选：C
02：复数的分类及辨析
1.对于复数，当时，为实数；当时，为虚数；当且时，为纯虚数。
2.复数的模，共轭复数。
3.欧拉公式，可用于将指数形式的复数转化为三角形式分析.
【典例1】（2025·辽宁·二模）使复数为纯虚数的最小自然数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析
【分析】化简、，结合复数的概念可得出结论.
【详解】因为，，
因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.
故选：C.
【典例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）欧拉公式建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（ ）
命题1： 命题2：
命题3：的共轭复数为 命题4：为实数
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析
【分析】利用欧拉公式，分别代入计算并根据复数的相关概念可得命题2和命题3正确，可得结论.
【详解】易知，因此命题1错误；
，即可得，所以命题2正确，
又，所以的共轭复数为，即命题3正确；
显然，为纯虚数，即命题4错误；
因此正确的个数为2个.
故选：B
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知复数（，为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）
A．若，，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则
D．若且，则在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的分类及辨析、判断复数对应的点所在的象限
【分析】对于A，若为纯虚数即可判断；对于B，求复数的模即可计算；对于C，若，则，根据共轭复数定义即可判断；对于D，复数在复平面内对应的点即可判断.
【详解】当时，为纯虚数，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，所以，则，故C正确；
复数在复平面内对应的点，若且，
所以在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误.
故选：ABC.
03：复数的坐标表示
1．复数化简与对称点
易错：化简时，分母实数化算错；或忘＂关于实轴对称，虚部变相反数＂。
避坑：分母实数化分子分母同乘分母共轭（如）；对称点直接＂实部不变，虚部取反＂。
2．模的几何意义
易错：误判图形（实际是椭圆，长轴4、焦距2）；分析或时漏情况。
避坑：记＂是椭圆（和为定值）＂；时虚部为时虚部为 0 （分实、纯虚数讨论）.
【典例1】（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算
【分析】先计算复数，得到复数对应的点，由对称性即可得复数对应的点，进而得复数.
【详解】，所以复数对应的点为，
因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数对应的点为，
所以，
故选：D.
【典例2】（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、复数的坐标表示、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可.
【详解】，
，，，
故选：C．
【典例3】（2025·河南郑州·二模）已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、复数的坐标表示、求复数的模、利用椭圆定义求方程
【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设，则复数在复平面内对应点，设，
则，同理，
∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径，
∴短半轴，∴点的轨迹方程为：，
A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项正确；
C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确；
D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误.
故选：ABC.
04：判断复数对应的点所在的象限
在复平面内，复数与点——对应，根据（实部，对应横坐标）和（虚部，对应纵坐标）的正负可判断点所在象限：
第一象限：且
第二象限：且
第三象限：且
第四象限：且
【典例1】（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选：B
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，则，
所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
【典例3】（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.
【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限.
故选：B.
05：已知复数的类型求参数
对于复数，有以下分类：
实数：
虚数：
纯虚数：且
已知复数类型求参数时，需根据上述定义，结合复数运算（如乘法、除法等），列出关于参数的方程（组）求解，同时要注意对参数取值的检验，避免出现增根.
【典例1】（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B.
【典例2】（2025·浙江·二模）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出的值.
【详解】因为复数（）是纯虚数，
所以，
由，得或，
由，得，
所以.
故选：D.
【典例3】（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、由复数模求参数
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
一：复数加减法的代数运算
对于复数，其共轭复数。
复数的加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即。在涉及与的运算问题中，通常设，将其代入等式，利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）列方程求解.
【典例1】（2025·安徽·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可.
【详解】因，，则，
则，.
故选：D.
【典例2】（2025·广西·三模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算
【分析】设复数，根据定义得到其共轭复数，再根据复数相等的充要条件列方程求解.
【详解】设复数，则其共轭复数，
所以，
则，解得.所以.
故选：C.
二：复数代数形式的乘法运算
复数代数形式的乘法运算，遵循多项式乘法法则，即对于复数，，再根据，整理为的形式，实部为，虚部为。
【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得，则.
故选：D.
【典例2】（2025·安徽·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】设，则，即可求出，即可求解．
【详解】设，
则，
则．
故选：D.
三：复数的乘方
复数乘方运算可通过两种方式解决：
1．代数形式直接展开：利用多项式乘法法则反复运算（适用于低次幂），结合的周期性，，周期为 4）化简。
2．三角形式 + 棣莫弗定理：若复数为三角形式，则
，适用于高次幂运算。
【典例1】（2025·山东济南·三模）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数的除法运算
【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果.
【详解】因为，故.
故选：B.
【典例2】（2025·湖北·二模）复数是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】复数的乘方、判断命题的充分不必要条件、复数的除法运算
【分析】先判断当时，是否等于，以确定充分性是否成立；再判断当时，是否一定等于，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型.
【详解】当时，
再计算：
，
所以当时，成立，充分性成立.
由，则：，
即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件，
故选：A.
【典例3】（2025·山西临汾·二模）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解.
【详解】，
故选：B
四：复数的除法运算
对于复数除法，设，运算步骤：
1．分子分母同乘分母的共轭复数：分母的共轭复数为，即
2．化简分母：利用平方差公式（实数），即分母=分母实部的平方+分母虚部的平方
3．展开分子：按多项式乘法展开，再用化简，最后合并实部和虚部。
注意：
若分母为纯虚数如, 可直接乘化简(因：
若分母为，乘其共轭后分母为 2 ，可简化计算：
【典例1】（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求.
【详解】由题意得，
所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
【典例2】（2025·河北·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数.
【详解】因为，所以.
故选：D.
五：复数范围内方程的根
1．判别式法（实系数一元二次方程）
当时，先计算判别式。
时：方程有两个实根，根据求根公式求解。
时：方程有两个共轭虚根，同样使用求根公式
2．配方法与公式法（复系数一元二次方程）
对于复系数一元二次方程，判别式法不再适用，可采用配方法或直接使用公式
（这里是对复数开方，要考虑复数的多值性）。
3．韦达定理的应用
无论方程的根是实数还是复数，韦达定理始终成立，即若是方程的两根，则
【典例1】（2025·山东济宁·二模）已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
【分析】将代入化简整理有，即解出，最后求复数的模即可.
【详解】将代入有：，
化简整理有，即，解得，
所以，
故选：D.
【典例2】（多选）（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可.
【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
【典例3】（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根，
所以，即，所以.
故选：B.
六：根据相等条件求参数
1．复数运算化简：
对含复数的表达式（如、幂运算、方程根），先通过复数运算法则（除法分母实数化、周期性）化简，转化为形式。
2．应用＂复数相等＂条件：
若两个复数，则实部相等且虚部相等，据此列方程求解参数。
3．结合共轭复数／方程根性质：
实系数方程虚根成对（共轭虚根）；
共轭复数与实部相同、虚部相反。
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、根据相等条件求参数、复数的除法运算
【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案；
法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案.
【详解】法一：因为，
所以，
所以，解得，故；
法二：，故，
因为是的根，故是方程的另一个根，
由韦达定理得，，
故，所以.
故选：D
【典例2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数
【分析】将虚数根代入可得，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可.
【详解】将代入中可得，解得，
故，故，
因此另一个虚数根为，故其虚部为1，
故选：A
【典例3】（2025·湖南长沙·二模）若，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方
【分析】根据复数的运算法则，结合复数相等的条件求出，再根据共轭复数的定义求出，最后确定的虚部.
【详解】设，则由已知得，
∴．∴ 解得，∴，∴，∴的虚部为．
故选：A．
七：在各象限内点对应复数的特征
1．共轭复数的象限特征
共轭复数与的实部相同、虚部相反，因此象限关于实轴对称：
若在第一象限，则在第四象限；
若在第二象限，则在第三象限。
2．复数运算后的象限判断
若涉及复数加减乘除后的象限，需先计算结果的实部和虚部，再按上述步骤分析。
【典例1】（2025·福建厦门·一模）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项.
【详解】，所以对应的点为，位于第二象限，
故选：B．
【典例2】（多选）（2025·广东·模拟预测）已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的实部为3
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算、求复数的模、根据除法运算结果求复数特征
【分析】先根据复数除法法则化简，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意义判断C,D.
【详解】由于，
则的实部为的虚部为2，不是，所以A正确，B错误；
由于在复平面内对应的点在第四象限，所以CD都正确，
故选：ACD.
【典例3】（多选）（2025·湖南·二模）若，均为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，
D．若，在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是
【答案】AC
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】设，，求出复数的模判断A；利用特值法判断B；利用复数的运算以及复数的分类判断C；化简复数后求出对应点坐标判断D.
【详解】，，则，
，，故A正确
设，，则，而，故B错误
设，，则，则，故C正确
因为，因此，所对应点为
该点在第一象限，说明，即，故D错误.
故选：AC.
八：根据复数的坐标写出对应的复数
在复平面中，复数与坐标——对应，已知坐标写复数的关键是明确实部（横坐标）、虚部（纵坐标）与复数的关系，直接构建形式，以下是具体解题技巧：
复平面内，点唯一对应复数，其中：
是实部，对应点的横坐标；
是虚部，对应点的纵坐标；
是虚数单位。
【典例1】（2025·黑龙江大庆·三模）在复平面内，点对应的复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数除法及模的运算求解.
【详解】点对应的复数，
则，
所以.
故选：D
【典例2】（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C．1+i D．
【答案】C
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数的除法求解.
【详解】由复数在复平面内对应的点为，得，
所以.
故选：C
【典例3】（2025·广西·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】结合复数的几何意义，以及复数的四则运算法则，即可求解．
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为，
则，
故
故选：
九：与复数模相关的轨迹（图形）问题
1.对于，表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆。
对于，表示复平面内以为圆心，为半径的圆。
对于，表示复平面内以对应的点为焦点，长轴长为$2 a$的椭圆（当时，轨迹是线段；当时，无轨迹）。
2．转化问题：将复数模的等式转化为几何图形（圆、椭圆等），利用图形的性质（如圆心、半径、焦点、长轴短轴等）求解距离的取值范围、最值、离心率等。
【典例1】（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围.
【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，
由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.
故选：D
【典例2】（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
表示点到原点的距离，所以的最小值为.
故答案为：
【典例3】（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.
【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
所以，
所以离心率为.
故答案为：

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