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专题02 指对幂函数及函数的应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】指数幂与对数运算 【知能解读02】幂函数与二次函数 【知能解读03】指数函数及其性质 【知能解读04】对数函数及其性质 【知能解读05】函数零点与二分法 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】二次函数在闭区间上的最值问题 【重难点突破02】指数型复合函数的单调性与值域问题 【重难点突破03】对数型复合函数的单调性与值域问题 【重难点突破04】嵌套函数的零点问题 【重难点突破05】函数零点的求和问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽略对指数与对数底数的讨论致错 【易混易错02】求复合函数单调性时忽略定义域致错 【易混易错03】对零点存在定理理解不准确致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】指数幂与对数式运算 【方法技巧02】幂函数的图象与性质 【方法技巧03】指数函数的图象与性质应用 【方法技巧04】对数函数的图象与性质应用 【方法技巧05】指对幂比较大小的常用方法 【方法技巧06】函数零点个数的判断方法 【方法技巧07】已知零点个数求参数范围的方法
01 指数幂与对数运算
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（，且）：；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式．
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)；
①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)．
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad.
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【解析】由题，
整理得或，又，
所以，故
02 幂函数与二次函数
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
3、二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
【答案】A
【解析】由题意可得.故选：A
03 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
图象
图像特征 在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【真题实战】（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.故选:D.
04 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝logax与的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，
以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．
05 函数零点与二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点．
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则．
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．
【真题实战】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B
01 二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)已知在上单调递增，求的取值范围；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为．
（2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，
当时，函数在上单调递增，所以的最小值为；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
当时，函数在上单调递减，所以的最小值为，
综上可得，在上的最小值为
【典例2】（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)已知函数在区间上的最小值为－4，求.
【答案】(1)或；(2)
【解析】（1）当时，，
所以，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）开口向上，对称轴，
当即时，最小值为，解得，
又，所以舍去；
当即时，最小值为，解得，
又，所以舍去；
当即时，最小值为，解得，
综上，.
02 指数型复合函数的单调性与值域问题
1、指数型复合函数的单调性问题
（1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、指数型复合函数的值域问题
（1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
【典例1】（24-25高三上·四川广安·月考）函数的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在定义域上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
【典例2】（24-25高三上·陕西西安·模拟考试）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)1；(2)
【解析】（1）若，则，
令，
故原式化为，
若时，可知在上单调递增，
可知在上单调递增，可知；
若时，可知在上单调递减，
可知在上单调递减，可知；
综上所述：，
可知当时，取到最小值为1.
（2）因为，
设，
由题意得即恒成立，即恒成立，
且，则，解得，
所以实数的取值范围为.
03 对数型复合函数的单调性与值域问题
1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、对数型复合函数的值域问题的求解策略
（1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域．
（2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数在上单调递增，
可得在上单调递增，
且在上恒成立，故需满足，解得.故选：B.
【典例2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）设函数且．
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)若，求函数的最大值．
【答案】(1)，定义域为；(2)2
【解析】（1）由，解得．
所以，
由得，所以函数的定义域为．
（2）若，
由（1）知，函数的定义域为，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内为增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
04 嵌套函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法：
①确定内层函数和外层函数；
②确定外层函数的零点；
③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为．
【典例1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意，令，解得或，
作出的图象，如图，

由图可知，直线与图象有3个交点，
直线与图象有4个交点，
所以原方程有7个解，
即函数有7个零点.故选：C
【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，且当时，，
所以的大致图象如题所示，
令，则方程化为，
结合图象可知当时，有4个不同的实根，
所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根，
令，则，解得，
即实数的取值范围为，故选：A
05 函数零点的求和问题
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题．
（2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为．
②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为．
【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【解析】函数的零点即为的解，
即与图象交点横坐标，
因为，故为图象的对称轴，
而也是的对称轴，
又的最小正周期为，
在平面直角坐标系中画出的图象（如图所示）：
因，，，
故与图象在的右侧有且仅有个不同的交点，
故与图象所有不同交点的横坐标和为.故选：D.
【典例2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，的零点的集合
与方程在区间上的解集相等，
又方程可化为，
所以函数，的零点的集合
与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，
因为函数为定义域为的偶函数，
所以，函数的图象关于轴对称，
因为，
取可得，，
所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
又当时，，
作出函数，的区间上的图象如下：
观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，
将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，
则，，，，
所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.
01 忽略对指数与对数底数的讨论致错
辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0【典例1】（24-25高三上·内蒙古·月考）函数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，故A、B、C错误；
当时，若，则，
且在上单调递增，D选项不符合；
当时，在上单调递减，
若，则，D选项符合；
故函数，且的图象可能是D.故选：D.
【典例2】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递减，
则对任意的恒成立，可得且；
且开口向下，对称轴，
当时，则对称轴，可知在内单调递减，
且在定义域内单调递减，所以在上单调递增，不合题意；
当时，因为在定义域内单调递增，
可知在内单调递减，则，解得；
综上所述：的取值范围是.故选：C.
02 求复合函数单调性时忽略定义域致错
辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错．
【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.故选：A.
【典例2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，因为，解得．
所以函数的定义域为，且，．
因为函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减,故选：A
03 对零点存在定理理解不准确致错
辨析：函数零点存在定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力．
【典例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数．
且，则．
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是．故选：C.
【典例2】（24-25高三上·江苏盐城·月考）函数的零点在区间内，则正整数 .
【答案】
【解析】因为定义域为，
又与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，所以在上存在唯一零点，所以.
01 指数幂与对数式运算
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
3、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解．
【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
【答案】15
【解析】因为，则．
【典例2】（25-26高三上·河北衡水·月考）（1）若，求的值；
（2）计算：.
【答案】（1）3；（2）7
【解析】（1），
.
（2）原式
.
02 幂函数的图象与性质
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
【典例1】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（ ）条件．
A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要
【答案】D
【解析】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当为幂函数可得，解得或，
故必要性不满足，
所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.故选：D
【典例2】（24-25高三上·山东济南·月考）幂函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】幂函数的定义域为，故D选项错误；
因为,所以为偶函数，故A,C选项错误；故选：B.
03 指数函数的图象与性质应用
与指数函数有关的图象问题的求解策略
1、数形结合：指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解；
2、变换作图：对于有关指数型函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．
【注意】在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化．
【典例1】（24-25高三上·山东·月考）如图所示，若，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D；
对于，当时，，所以的图象过点，
因为，故B错误，C正确.故选：C.
【典例2】（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若的奇函数，则，即恒成立，
所以，则，在上单调递增，
所以在上是减函数，充分性成立；
若在上是减函数，在上单调递增，
所以，故，此时不一定有，必要性不成立；
所以p是q的充分不必要条件.故选：A
04 对数函数的图象与性质应用
对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【典例1】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可知，，
故，故函数与函数的单调性相同，故选：B.
【典例2】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，化简可得，解得.故选：A
05 指对幂比较大小的常用方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【典例1】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】是增函数，，
在是增函数，，故，
在是增函数，，
即，故选：D.
【典例2】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；
又，且，
∴，∴，
∴.故选：C
06 函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
【典例1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
【答案】2
【解析】因为为奇函数，
所以，
联立解得：，经验证符合题意，
所以，，
令，
当时，得：，解得：，
当时，得：，解得：，
所以函数的零点个数为2.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】当时， ，故是的一个周期，
又时，，则，
作出函数和的函数图象，
因， ，
结合图象可知，和的函数图象交点个数为.故选：B
07 已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】当时，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数的图象与直线，
由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个实数解.故选：C.
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ．
【答案】4
【解析】由函数满足，则，所以的周期为，
由，，
可得函数的图象如下：

方程的解，即为的交点横坐标，
当时，，此时与无交点，
当时，，此时与无交点，
由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为.中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 指对幂函数及函数的应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】指数幂与对数运算 【知能解读02】幂函数与二次函数 【知能解读03】指数函数及其性质 【知能解读04】对数函数及其性质 【知能解读05】函数零点与二分法 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】二次函数在闭区间上的最值问题 【重难点突破02】指数型复合函数的单调性与值域问题 【重难点突破03】对数型复合函数的单调性与值域问题 【重难点突破04】嵌套函数的零点问题 【重难点突破05】函数零点的求和问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽略对指数与对数底数的讨论致错 【易混易错02】求复合函数单调性时忽略定义域致错 【易混易错03】对零点存在定理理解不准确致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】指数幂与对数式运算 【方法技巧02】幂函数的图象与性质 【方法技巧03】指数函数的图象与性质应用 【方法技巧04】对数函数的图象与性质应用 【方法技巧05】指对幂比较大小的常用方法 【方法技巧06】函数零点个数的判断方法 【方法技巧07】已知零点个数求参数范围的方法
01 指数幂与对数运算
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（，且）：；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式．
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)；
①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1)．
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad.
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
02 幂函数与二次函数
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
3、二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ）
A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3
03 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
图象
图像特征 在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【真题实战】（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
04 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝logax与的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
05 函数零点与二分法
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点．
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则．
3、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．
【真题实战】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
01 二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
【典例1】（2025高三下·全国·专题练习）已知函数．
(1)已知在上单调递增，求的取值范围；
(2)求在上的最小值．
【典例2】（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)已知函数在区间上的最小值为－4，求.
02 指数型复合函数的单调性与值域问题
1、指数型复合函数的单调性问题
（1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、指数型复合函数的值域问题
（1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
【典例1】（24-25高三上·四川广安·月考）函数的单调递增区间是 .
【典例2】（24-25高三上·陕西西安·模拟考试）已知函数且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
03 对数型复合函数的单调性与值域问题
1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、对数型复合函数的值域问题的求解策略
（1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域．
（2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）设函数且．
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)若，求函数的最大值．
04 嵌套函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法：
①确定内层函数和外层函数；
②确定外层函数的零点；
③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为．
【典例1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
05 函数零点的求和问题
利用函数零点位置的对称性求和
（1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题．
（2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为．
②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为．
【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【典例2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
01 忽略对指数与对数底数的讨论致错
辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0【典例1】（24-25高三上·内蒙古·月考）函数，且的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高三上·江苏南通·月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
02 求复合函数单调性时忽略定义域致错
辨析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错．
【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
03 对零点存在定理理解不准确致错
辨析：函数零点存在定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力．
【典例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·江苏盐城·月考）函数的零点在区间内，则正整数 .
01 指数幂与对数式运算
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
3、对数运算中的几个运算技巧
（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；
（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；
（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解．
【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
【典例2】（25-26高三上·河北衡水·月考）（1）若，求的值；
（2）计算：.
02 幂函数的图象与性质
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
【典例1】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（ ）条件．
A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要
【典例2】（24-25高三上·山东济南·月考）幂函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
03 指数函数的图象与性质应用
与指数函数有关的图象问题的求解策略
1、数形结合：指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解；
2、变换作图：对于有关指数型函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．
【注意】在指数函数图象变换时，注意特殊点（如定点）、特殊线（如渐近线）的变化．
【典例1】（24-25高三上·山东·月考）如图所示，若，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
04 对数函数的图象与性质应用
对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【典例1】（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
05 指对幂比较大小的常用方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【典例1】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
06 函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
【典例1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
07 已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【典例1】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ．

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