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专题03 解三角形及其应用
题型1 解单个三角形
在处理单个三角形时，多注意以下几点 1 正弦定理能处理的三角形：(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边； 2余弦定理能处理的三角形：（1）已知三边，可求三个角；（2）已知两边和一角，求第三边和其他两个角； 3 涉及到面积，利用公式，题干或求解中涉及到哪个角就用对应公式； 4 遇到含角含边的等式，要不化为都是角的等式要不化为都是边的等式； 5 三角形中，. 【注意】掌握好正弦定理公式的变形在化角或化边的应用。
1（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ）
A． B． C． D．
2（2025高三·全国·专题练习）已知的三边满足，则（ ）
A． B． C． D．
3（多选）（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为、、.若，，则（ ）
A．时，只存在一个 B．时，的面积为
C．时，是锐角三角形 D．时，外接圆周长为
4（2025·全国·二模）的内角的对边分别为
(1)求A；
(2)若的面积为，求的周长.
题型2 解多个三角形
1 解多个三角形，涉及到同个角，可在多个三角形里同时用余弦定理； 2 解多个三角形，多留意邻补角互补，可在两个角所在的三角形里再用余弦定理； 3 解多个三角形，多留意公共边，可在两个三角形用正余弦定理； 4解多个三角形，常利用方程思想求解角或边. 【注意】要明确解题思路，用好方程思想，避免过度分析。
1（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
3（2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
题型3 三角形中的角平分线、中线、垂线问题
1 三角形中遇到角平分线，就利用两个角相等，分别在两个三角形里用余弦定理得到相关的方程； 2三角形中遇到中线，就利用两条线段相等，分别在两个三角形里用余弦定理得到相关的方程； 3三角形中遇到垂线，可用到勾股定理。
1（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ）
A． B． C． D．1
2（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
3（2025·福建·模拟预测）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
4（2025·湖南邵阳·模拟预测）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（ ）
A． B． C． D．
5（2025·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A． B．3 C． D．
6（（2025·广东·模拟预测））已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
题型4 外接圆、内切圆问题
1外心，即三角形三边的中垂线的交点；内心，即三角三个内角的角平分线的交点； 2 正弦定理中 ，其中是三角形外接圆半径； 3 若内切圆的半径为，则 。
1（2025·海南海口·一模）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
2（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，且的外接圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．2 D．
4（2025高三·全国·专题练习）在中，若，，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
题型5 实际问题中的长度测量
1 在实际问题中，提取相关有效信息排除无关信息，建立联系条件和求解之间的数学模型； 2 求长度，在化简的数学模型中，要明确与之相关的三角形，分析好其中的定量和变量，再求解。
1（24-25高三·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
2（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．和 B．和 C．和 D．三者
3（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
4（23-24高三·辽宁·期末）如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：
(1)的长度
(2)隧道的长度．
题型6 实际问题中的角度测量
1 实际问题中的角度问题，要理解好各种角度的含义； 2 在实际问题中，提取相关有效信息排除无关信息，建立联系条件和求解之间的数学模型； 3 求角度，在化简的数学模型中，要明确与之相关的三角形，分析好其中的定量和变量，再求解。 【注意】若图象是立体图形，要多画个图，把立体平面化处理，注意各边是否共面。
1（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
2（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ）
A． B． C． D．
3（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ）

A． B． C． D．
4（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．点在点的北偏西方向上
5（24-25高三上·江苏徐州·期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
题型 7角或三角函数值的最值范围
1 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； 2 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；角度的最值往往变量是角； 3 在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 4 求角度的范围，要注意已知条件中是否涉及到三角形的类型，比如锐角三角形之类的。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（24-25高三·全国·课后作业）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
2（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一下·浙江·期中）已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A． B． C． D．
5（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ．
6（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 .
题型 8边或周长的最值问题
求边的最值，可用几何法或代数法 1 代数法 （1） 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； （2） 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；边的最值，变量可以是角也可以是边； （3）在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 2 几何法 通过观察图形，了解图形的变化规律，根据对应几何模型得到最值。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为 ．
4（2025·湖北武汉·三模）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
5（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足．
(1)求的大小；
(2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值．
题型 9面积的最值问题
求三角形面积的最值，可用几何法或代数法 1 代数法 （1） 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； （2） 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；面积的最值，变量可以是角也可以是边； （3）在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 2 几何法 通过观察图形，了解图形的变化规律，根据对应几何模型得到最值。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（2025·广东佛山·三模）在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地是直角三角形，且 ， ，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
4（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
题型 10 证明三角形中的恒等式或不等式
1 熟练掌握三角恒等变换的公式和技巧是关键； 2 多利用基本不等式或函数的知识点求解。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（多选）（2023·山西阳泉·三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2（多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则是等腰直角三角形
C．若是锐角三角形，则
D．若为非直角三角形，则
3（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若成等比数列.
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围.
4（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.
(1)若，，求C；
(2)求证：；
(3)求的最小值.
题型 11 与三角函数性质的结合应用
1 熟练掌握三角函数的性质是关键.
1（2025·新疆乌鲁木齐·三模）函数的部分图象如图所示，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
2（24-25高三下·江苏南京·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C．3 D．
3（24-25高二下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
5（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 解三角形及其应用
题型1 解单个三角形
在处理单个三角形时，多注意以下几点 1 正弦定理能处理的三角形：(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边； 2余弦定理能处理的三角形：（1）已知三边，可求三个角；（2）已知两边和一角，求第三边和其他两个角； 3 涉及到面积，利用公式，题干或求解中涉及到哪个角就用对应公式； 4 遇到含角含边的等式，要不化为都是角的等式要不化为都是边的等式； 5 三角形中，. 【注意】掌握好正弦定理公式的变形在化角或化边的应用。
1（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果.
【详解】在中，由及正弦定理，
得，
则，
而，，则，所以.
故选：B
2（2025高三·全国·专题练习）已知的三边满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知等式两边同乘以，化简可得，求出，进而得到.
【详解】因为，所以，
即，所以，
从而，整理得，
所以，，
故选：B．
3（多选）（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为、、.若，，则（ ）
A．时，只存在一个 B．时，的面积为
C．时，是锐角三角形 D．时，外接圆周长为
【答案】BC
【分析】对于A，由正弦定理即可判断；对于B，由余弦定理得，再结合三角形面积公式即可求解；对于C，由正弦定理得，也是锐角，进一步有，结合诱导公式、两角和的余弦公式即可判断；对于D，由正弦定理即可判断.
【详解】对于A，由正弦定理有，即，解得，此时不存在；
对于B，由余弦定理有，即，
即，解得，此时的面积为，故B正确；
对于C，由正弦定理有，即，解得，
因为，所以也是锐角，所以，
所以，
所以也是锐角，所以是锐角三角形，故C正确；
对于D，由正弦定理有，外接圆周长为，故D错误.
故选：BC.
4（2025·全国·二模）的内角的对边分别为
(1)求A；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果.
【详解】（1）由得，
因为 ，
所以，即，
因为，所以，所以，
所以，因为，所以；
（2）因为三角形的面积为，所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，故，
所以三角形的周长为.
题型2 解多个三角形
1 解多个三角形，涉及到同个角，可在多个三角形里同时用余弦定理； 2 解多个三角形，多留意邻补角互补，可在两个角所在的三角形里再用余弦定理； 3 解多个三角形，多留意公共边，可在两个三角形用正余弦定理； 4解多个三角形，常利用方程思想求解角或边. 【注意】要明确解题思路，用好方程思想，避免过度分析。
1（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案.
【详解】设，则，，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，即.
故选：A.
2（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得是等边三角形，设，利用正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得的值.
【详解】由知，
所以为正三角形，
∵，
设，则
由正弦定理：，即，则
在中，
即，则，即．
故选：A.
3（2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，利用边角关系结合正弦定理建立方程即可求出的正切值.
【详解】
由已知，设，则，，
，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，
所以，
即，
即，
所以.
故选：A.
4（2025·山东潍坊·二模）在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，则，，
设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知：
，解得
所以，，，
在中，显然有，所以，
设，由余弦定理可知：，
即解得
因此椭圆的焦距为，
所以椭圆的离心率为：.
故选：C.
5（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，在中，再利用余弦定理，即可求得；
（2）如图，延长，使，则为等腰三角形，进而可得，则，则，结合平面向量基本定理，可得，联立即可求解.
【详解】（1）如图，在中，，，，
根据余弦定理，得，
又在中，，，，
根据余弦定理，得，
解得；
（2）如图，延长，使，则为等腰三角形，，
，
又，所以，所以，
所以，则，即，
所以，则，
又，，
所以，
，
所以，
所以，即，解得或（舍）.
题型3 三角形中的角平分线、中线、垂线问题
1 三角形中遇到角平分线，就利用两个角相等，分别在两个三角形里用余弦定理得到相关的方程； 2三角形中遇到中线，就利用两条线段相等，分别在两个三角形里用余弦定理得到相关的方程； 3三角形中遇到垂线，可用到勾股定理。
1（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可.
【详解】令，则，
由题设，有，，
所以，则，
所以，可得（负值舍）.
故选：B
2（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度.
【详解】在中，根据余弦定理，
已知，，，设，则有：
解得或（边长不能为负舍去），所以.
因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得.
又因为，所以.
在中，再根据余弦定理，
将，，代入可得：
所以.的长度为
故选：D.
3（2025·福建·模拟预测）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，利用正弦定理边化角求得，再利用，可得到，利用余弦定理求得答案.
【详解】因为，
由正弦定理得，则，
所以，
因为，所以
且，所以．
由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
在中，.
故选：C.
4（2025·湖南邵阳·模拟预测）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量可建立起的关系式，再结合面积即可求得，再利用面积相等即可求角平分线的长.
【详解】为边上的中线，，
即，即，
即，.
因为，，
，
，
为平分线，，故，
又，所以，
即，解得，
故选：D
5（2025·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出.
【详解】由题意得，，结合正弦定理得，
因，则，则，
若，则，与上式矛盾，故，则，
因，则，
因为AC边上的中线，则，
则
，
则.
故选：C
6（（2025·广东·模拟预测））已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得，进而可求；法二：利用余弦定理角化边可得，利用余弦定理求得，进而可求；
（2）(ⅰ) 法一：由正弦定理可得，，利用三角恒等变换可求得周长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得周长的取值范围；(ⅱ)由余弦定理可得，利用，结合余弦定理可得，进而可求面．
【详解】（1）法一：由正弦定理得．
从而，即，
又中，∴，
又，所以．
法二：由余弦定理得，
化简得，
则，
又，所以．
（2）(ⅰ)法一：由正弦定理得，
则，，∵，∴．
的周长为
．
又∵，∴，故，
∴周长的取值范围是．
法二：由余弦定理得，
所以．
∵，∴，
∴(当且仅当时取得等号)．
又∵，
∴周长的取值范围是．
(ⅱ)在中，由余弦定理得，即．
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得．
∵，∴，∴．
所以，．
题型4 外接圆、内切圆问题
1外心，即三角形三边的中垂线的交点；内心，即三角三个内角的角平分线的交点； 2 正弦定理中 ，其中是三角形外接圆半径； 3 若内切圆的半径为，则 。
1（2025·海南海口·一模）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
，
又在中，，，
，，
的外接圆直径为，
.
故选：B.
2（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，且的外接圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将根据公式，以及两角和的正弦公式，化简条件等式，再结合正弦定理，即可求解.
【详解】由条件等式可知，，
根据正弦定理，，是三角形外接圆半径，
又，即，
则，由题意可知，，即，
所以，且角为锐角，所以.
故选：C
3（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】结合图形，先利用正弦定理、余弦定理及边之间的关系得出：，，梯形的高为，进而得出；再根据梯形等面积公式即可求解.
【详解】如图：

若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形.
设梯形的外接圆半径为，
则由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理可得：
，且，
解得，
则梯形的高为：；；
.
设梯形的内切圆半径为，
根据等面积法，有，解得.
故选：B.
4（2025高三·全国·专题练习）在中，若，，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据内心的定义，结合三角形性质与余弦定理可得，进而可得解.
【详解】因为，，则，
设内切圆与边，分别切于点，，
由题意可知：内切圆与边切于点，
则，，，
可得，
设，则，
由三角形性质可知：，解得，
由余弦定理可得，
因为，则，
可得，
可知角为锐角，
则，
故选：C.
5（24-25高三上·湖南·期中）中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出，然后利用面积公式计算出 ，再利用余弦定理和基本不等式计算出，最后计算出的最大值.
【详解】设的内切圆半径为，由题意可得，
由余弦定理可得 ，
而，故 ，
由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立，
而 ，则，其中，
故，
令 ，故.
故选：B
6（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长，
（2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围.
【详解】（1），，由余弦定理得，，
，解得，或（舍去）
，
的周长为.
（2）由余弦定理得，，整理得，，
，
，即，
由正弦定理得，，，
，，
，
令，，，
函数在上单调递增，，即的取值范围是.
题型5 实际问题中的长度测量
1 在实际问题中，提取相关有效信息排除无关信息，建立联系条件和求解之间的数学模型； 2 求长度，在化简的数学模型中，要明确与之相关的三角形，分析好其中的定量和变量，再求解。
1（24-25高三·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先在中求出，然后在中利用正弦定理求出，最后在中利用锐角三角函数的定义可求得结果.
【详解】由题意得，，
在中，，，则，
在中，，
则，
由正弦定理得，，得，
在中，，则，
所以.
故选：C
2（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，计划沿直线开通隧道，设的长度分别为.为了测出隧道的长度，还需直接测出（ ）的值.
A．和 B．和 C．和 D．三者
【答案】D
【分析】在中用已知条件和正弦定理表示的长，再在中用正弦定理表示的长最后即可表示的长，即可知道为了测出隧道的长度，还需直接测出哪些值.
【详解】在中，
由正弦定理有：，所以，
在中，
由正弦定理有：，
所以，
因为，
所以为了测出隧道的长度，还需直接测出三者的值.
故选：D
3（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ）

A．1小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．0.2小时
【答案】B
【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果.
【详解】由题意，在中，，，，所以，
由正弦定理可得，，
则；
又在中，，，
由余弦定理可得，
，所以，
因此救援船到达点需要的时间为小时.
故选：B.
4（23-24高三·辽宁·期末）如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线开通穿山隧道，请根据表格中的数据，计算：
(1)的长度
(2)隧道的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，从而可求出，然后在中利用正弦定理可求出；
（2）在中利用正弦定理求出，从而可求出.
【详解】（1）因为，为锐角，所以，
所以
，
在中，，
所以由正弦定理得，
所以；
（2）因为，
在中，，
所以由正弦定理得，
则，
所以，
所以隧道的长度为.
题型6 实际问题中的角度测量
1 实际问题中的角度问题，要理解好各种角度的含义； 2 在实际问题中，提取相关有效信息排除无关信息，建立联系条件和求解之间的数学模型； 3 求角度，在化简的数学模型中，要明确与之相关的三角形，分析好其中的定量和变量，再求解。 【注意】若图象是立体图形，要多画个图，把立体平面化处理，注意各边是否共面。
1（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（ ）
A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求.
【详解】如图，
由题意，在中，，，，
则为正三角形，则，
在中，因为，，
由余弦定理得，
所以，故，
此时灯塔C位于渔船的北偏东方向.
故选：D.
2（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得，
而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度.
【详解】由题意可知，所以，
在中，由正弦定理可得，
因为处测得塔尖的仰角为，即，
则在中，龙洲塔高度为.
故选：C.
3（20-21高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理可得：，解得：，
在中，由正弦定理可得，解得：，
即，所以；
故选：C
4（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．点在点的北偏西方向上
【答案】AC
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对于，先求出，，，再根据，，即可判断；
对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于，在中，由正弦定理，即可判断；
对于，过点作于点，易知，即可判断．
【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，
所以，，，
又，，，，
在，中，，，所以，故A正确；
对于，的面积为，故B错误；
对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确；
对于，过点作于点，易知，所以，故D错误，
故选：．
5（24-25高三上·江苏徐州·期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【答案】(1)两船相距海里.
(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得
所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）
故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
题型 7角或三角函数值的最值范围
1 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； 2 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；角度的最值往往变量是角； 3 在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 4 求角度的范围，要注意已知条件中是否涉及到三角形的类型，比如锐角三角形之类的。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（24-25高三·全国·课后作业）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过作，交于，连结，设，分析可知， ，可得，结合二次函数最值分析求解.
【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，

则，设，则，
在中，，，所以，
则，可得 ，
所以，
当，即时，取得最大值为.
故选：D.
2（2025·河南许昌·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以.又因为，
所以，
所以，即.所以，
，
显然必为正，否则和都为负，就两个钝角，
所以 ，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值是，
故选：C.
3（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理得，结合三角形面积公式得，由余弦定理结合基本不等式可得，进一步可得，进而求出范围得解.
【详解】因为边上的高为，
所以，即，
，当且仅当取等号，
，即，即，
，则，
，故角的最大值为.
故选：B.
4（24-25高一下·浙江·期中）已知点为外接圆的圆心，角所对的边分别为，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为，运用向量的线性运算和向量的数量积运算律表示，求得，再由余弦定理和余弦函数的性质可求得答案.
【详解】如下图所示：设的中点为，
，
因为，所以，由知，角为锐角，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
因为在上是减函数，
所以此时，角取得最大值，此时恰有，
此时三角形是直角三角形，所以.
故选：A.

5（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和已知条件得，进而利用正弦定理边角互化得，由余弦的和差角公式可得，即可代入化简求解.
【详解】由余弦定理得，
由正弦定理，得，
因为，
又，所以，
所以，即，
化简得,解得．
又,故
所以的取值范围是．
故答案为：
6（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
又因为，可得，所以，则或.
当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以，
由，则，可得，
所以
，
所以当时，的最大值为.
故答案为：.
题型 8边或周长的最值问题
求边的最值，可用几何法或代数法 1 代数法 （1） 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； （2） 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；边的最值，变量可以是角也可以是边； （3）在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 2 几何法 通过观察图形，了解图形的变化规律，根据对应几何模型得到最值。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立解得，，
所以，
为锐角三角形，有，，得，
则有，可得，所以.
故选：C
2（24-25高一下·湖北黄石·期末）记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围.
【详解】由，可得，所以，
即，
因为，可得，所以或，
当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去；
当时，可得且，
由正弦定理得，
则
，
又由，可得，所以，
即的取值范围.
故选：B.
3（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】设，在中，由余弦定理可得，可得，在中，利用余弦定理可求的最大值.
【详解】设，因为，所以
在中，由余弦定理得：，
所以，进而由均值不等式可得，
在中，由余弦定理可得，
，
当时取等，故的最大值为．
故答案为：.
4（2025·湖北武汉·三模）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围.
【详解】在锐角中，由，有，
法一：有余弦定理知，，所以，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
所以的取值范围为.
法二：由正弦定理知，，
又，从而，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
5（2025·海南·模拟预测）在中，角所对应的边分别为且满足．
(1)求的大小；
(2)角的平分线与边相交于点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可；
（2）根据得出，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由得，
由正弦定理得，
因为，所以，
即，
即，
因为，所以，
若，则矛盾，故，所以，
而，所以．
（2）因角的平分线为，则，
因，且，则，
∴，∴，
则，
当且仅当，即时取等号．
所以的最小值为．
题型 9面积的最值问题
求三角形面积的最值，可用几何法或代数法 1 代数法 （1） 求三角形最值中，确定哪些量是不变的哪些量是变的，先把不变的量求出来； （2） 构建函数，根据正余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用某个确定的量的解析式表示；面积的最值，变量可以是角也可以是边； （3）在求最值时，可用基本不等式或函数最值的方法求解。 2 几何法 通过观察图形，了解图形的变化规律，根据对应几何模型得到最值。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（2025·广东佛山·三模）在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】思路一：由正弦定理、三角形面积公式可得面积关于的函数即可求解；思路二：由角平分线性质、等面积法以及基本不等式得，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】解法1：设，则
在中，由正弦定理，故；
在中，由正弦定理，故；
，当，即时，面积最小值．
解法2：由角平分线性质可知，，所以有
，
化简得：，即，当且仅当时，等号成立．
故而．
故选：D.
2（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知某三角形场地是直角三角形，且 ， ，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
【答案】/
【分析】首先设，在中，根据正弦定理表示，以及在中表示，再根据，结合三角函数的运算公式，以及性质，即可求解的最小值，同时求面积的最小值.
【详解】设，则，
由正弦定理得，且，
由知： ，则，
则的面积最小值为.
故答案为：
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
【答案】//
【分析】设，利用得出，即可求出，进而求一元二次函数的最值即可.
【详解】设，则，
在中利用余弦定理得，，
在中利用余弦定理得，，
因，
则，
则，
因等腰底边上的高为，
则，
故当，即，时，取最大值.
故答案为：
4（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求得,再利用向量的几何意义可得向量，用正弦定理可得，结合角的范围继而求解；
（2）用三角形面积公式结合条件求得,，面积作差转化为函数求最值即可.
【详解】（1）因为，
可化为，
由余弦定理知，，
又,所以，
由,
因为为锐角外接圆圆心，
所以
由余弦定理得，
，
所以，
由正弦定理得，，
则
，
由,解得，
所以，
则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，
则,
且,即,
因为,
所以,
,
所以
,
所以当即时，
和面积之差的最大值
题型 10 证明三角形中的恒等式或不等式
1 熟练掌握三角恒等变换的公式和技巧是关键； 2 多利用基本不等式或函数的知识点求解。 【注意】要注意函数中变量的取值范围；注意题中的一些隐含条件，比如，，三角三边的关系等等。
1（多选）（2023·山西阳泉·三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由，得到或，推出，判断AB；由得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为中，，所以或，
当时，，由于无意义，A错误；
当时，，
此时，故，B正确；
因为，所以，由大角对大边，得，C正确；
因为，所以，
即，
令，，
则，所以单调递减，
又，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
2（多选）（23-24高二上·福建福州·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则是等腰直角三角形
C．若是锐角三角形，则
D．若为非直角三角形，则
【答案】CD
【分析】A由正弦定理有，代入目标式即可判断；B正弦边角关系及三角恒等变换得，结合三角形内角性质即可判断；C由题设且都为锐角即可判断；D利用商数关系、和差角正余弦公式化简判断是否与右侧相等.
【详解】A：由，则，错；
B：，而，
所以或，即是等腰三角形或直角三角形，错；
C：由锐角三角形知：，故，对；
D：
，对.
故选：CD
3（2024·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为.
(1)证明：；
(2)若成等比数列.
（i）设，求q的取值范围；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)(i)；(ii)
【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的平方关系证明即可；
（2）（i）利用三角形三边关系建立不等式组解不等式即可；（ii）利用第一问及第二问第一小问的结论，结合正余弦定理、对勾函数的单调性计算即可.
【详解】（1）易知，所以，
则对于，即左侧等式成立，
又，两侧同时除以，
所以，即右侧等式成立，证毕；
（2）（i）由题意，设公比为，知，
根据三角形三边关系知：，
解之得
（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
即的取值范围为.
4（24-25高二下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.
(1)若，，求C；
(2)求证：；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案；
（2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明；
（3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案.
【详解】（1）由，
，联立得
则，因为，，
所以，即；
（2）
，
当且仅当时等号成立；
因为，所以
此时，当且仅当是等边三角形时等号成立
则，即.
（3）因为
所以.
当且仅当是等边三角形时等号成立.
题型 11 与三角函数性质的结合应用
1 熟练掌握三角函数的性质是关键.
1（2025·新疆乌鲁木齐·三模）函数的部分图象如图所示，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求.
【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心，
设，则，又，，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得，解得，
在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
所以函数的最小正周期为，
所以，所以.
故选：C.
2（24-25高三下·江苏南京·期中）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理，结合三角形内的隐含条件及三角恒等变换得出 ，从而利用均值不等式求最小值.
【详解】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得
，
因为A＝2B，所以，
所以 ，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
3（24-25高二下·黑龙江双鸭山·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.
【详解】由以及正弦定理得，所以
即，又B为钝角，所以，故
于是
，因为，所以
由此，即的取值范围是
故选：A
4（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
可得，
可得，
所以，可得，
又因为，可得，
所以，因为，所以.
（2）解：因为，可得且，
由正弦定理得，可得，
则，
在锐角三角形中，可得 ，可得，可得，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为.
5（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.

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