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专题03 函数图象与零点问题
题型1 函数图象的画法及图象变换
作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
1．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位，
可以得到函数，其图象关于原点对称，
即图象关于原点对称，函数为奇函数.故选：B
2．（24-25高三上·四川成都·月考）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D；
对于C，当时，，不满足图2，故C错误；
将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图，
最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2.故选:A.
3．（2025高三下·全国·专题练习）分别作出下列函数的图象：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析
【解析】（1）函数的定义域为，且，其图象如图所示．
（2）将函数的图象向左平移一个单位，再将轴下方的部分沿轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图:
（3），只需作出时函数和的图象，
合起来即得函数的图象．如图:
（4），故函数图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，
如图所示:
4．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析
【解析】（1）先作出的图象，保留图象中的部分，
再作出的图象中部分关于y轴的对称部分，即得的图象，
如图所示：
（2）将函数的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图所示：
（3）令，定义域为，，
所以为偶函数.
，
当时，，对称轴为，开口向上，
先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象，
如图所示：
题型2 由复杂函数解析式选择图象
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．
5．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，由余弦函数性质可知，
又，且函数在上单调递增，得.
所以当时，，BD错误.
又时，，得，A错误.故选：C.
6．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当时，，所以，排除B.
故选：A.
7．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，可得的定义域为，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；
，排除C项；
当时，，排除A项.故选：D.
8．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的定义域为R，
则，
所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；
又因为，故排除B选项.故选：A．
题型3 根据函数图象选择解析式
（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
9．（25-26高三上·云南·月考）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；
对A，，而对于C，，故排除C.故选：A
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，
又，排除A，当时，，排除D.故选：C．
11．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：，当时， ，故排除A；
对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B；
对于D，当时，，，
所以在上单调递增，故排除D；
对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确.故选：C．
12．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数，
对于B，的定义域为，且，奇函数；
对于D，的定义域为，，奇函数；
因此排除选项B，D这两个奇函数；
由图象知，若取一个很小的正数，比如，
对于A：，函数值为正数，因此排除A.
对于C: 的定义域为，
，，综上只有C符合，故选：C.
题型4 根据实际问题作函数图象
根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）．
13．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知在梯形中，；
当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为；
当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为；
当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即；
所以可得；
根据函数类型对比图象可得A正确.故选：A
14．（24-25高三上·山东·联考）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.故选：A．
15．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆和直角三角形的两边相切，射线从处开始，绕点逆时针匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当直线转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦最长时，
的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，
图象中这里的切线较陡，曲线就较陡.
故前半部分曲线开始由平缓变陡；
后半部分弦又渐渐变短，曲线由陡变缓，4个图中只有D具有上述特点.故选：D.
16．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，
结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
题型5 函数零点所在区间的判断
确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，
所以，即，解得．故选：D.
18．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数.
因为，，
所以函数的零点所在的区间为.故选：C.
19．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为与均在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
，，
，
又，
函数的零点所在区间是．故选：B．
20．（24-25高三上·江苏盐城·月考）函数的零点在区间内，则正整数 .
【答案】
【解析】因为定义域为，
又与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，所以在上存在唯一零点，所以.
故答案为：
题型6 函数零点个数的判定
零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
21．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，
由，得或，即或或，.
所以函数在区间的零点是 4个.故选:D
22．（24-25高三下·河北·月考）函数与的图象在上的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题意作出与的图象：
结合图象可以得到在上两图象有5个交点，故选：D.
23．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】是定义在上的函数，且有，
当时，，
则时，，则
时，
时，
时，
画出函数与函数的图象，
由图象可知方程的根的个数为3.故选：C.
24．（24-25高三上·湖南·月考）设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对，都有，
所以是的一条对称轴，
所以，又，
所以.所以，
在平面直角坐标系中画出与的图象，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，
所以如图所示，可知的图象与直线的交点个数为3，故C正确.故选：C.
题型7 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
25．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数恰有3个零点，
即函数与的图象有3个交点，
，
当时，，当时，，
函数的图象如下，
结合图象可得.
故选：A.
26．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象：
因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点，
根据图象可知：，即实数的取值范围是．
故选：C．
27．（24-25高三下·湖南·月考）已知有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
研究，当时，易知函数单调递增；
当时，，
当时，，
则，
当时，，当时，，
此时在单调递增，在单调递减；
当时，得到最大值，
画出草图：
由图像可知，要使得有4个零点，
则必有两个零点，一个零点在内，一个零点在内，
由二次函数零点分布可得：，解得：，
所以实数的取值范围为，故选：C
28．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，函数至少有3个不同的零点，
等价于直线与函数的图象至少有3个交点，
直线过原点，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
当直线与曲线相切时，直线与函数的图象有3个交点，
由，求导得，设切点坐标为，则切线方程为，
而切线过原点，则，解得，此时切线的斜率，
当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象最多有2个交点，不符合题意；
当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意，
所以实数的取值范围是.故选：D
题型8 求函数零点的和及范围
利用函数零点位置的对称性求和 （1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题； （2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为； ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为．
29．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 .
【答案】30
【解析】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称，
又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到，
所以的图象关于点对称.
又的图象也关于点对称，
所以与的图象的交点关于点对称，
所以，
故.
30．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）若直线与函数的图象恰有三个交点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【答案】B
【解析】由题意知直线过定点，
函数满足
，
所以函数的图象的对称中心为，
不妨设关于对称，则，
所以．故选：B
31．（24-25高三上·海南海口·月考）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】由，得函数的图象关于点对称，
由，得，则函数的图象关于直线对称，
且有，则，于是是以4为周期的周期函数，
又当时，，即函数在上单调递增，
又，根据对称性可知，函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
由，得，
则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标，
而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示.
观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点，
由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点，
因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为，
所以方程所有根之和为13．故选：D.
32．（2025·陕西西安·一模）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数和函数的图象可知，
假设两个函数的图象共有4个交点，
且横坐标分别为，
由，得，则有，
所以，所以．
由于二次函数图象的对称轴为直线，
则点两点关于直线对称，所以．则．
令，解得或，所以，
所以．故选：A
题型9 二次函数的零点分布问题
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手： （1）开口方向；（2）对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；（3）判别式，决定函数与轴的交点个数；（4）区间端点值．
33．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，
由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，
得且或且，
则或，解得或，
所以实数的取值范围是.故选：C
34．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．或.
C． D．或.
【答案】D
【解析】由函数，
若，可得，令，即，解得，符合题意；
若，令，即，可得，
当时，即，解得，此时，解得，符合题意；
当时，即且，则满足，
解得且，
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
若，可得，令，即，
解得或，其中，符合题意；
综上可得，实数的取值范围为或.故选：D.
35．（24-25高三上·山西太原·月考）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题，所以是的一个零点，
因为函数在区间恰有两个零点，
所以函数在区间恰有一个非0的零点，
当，即时有一个零点，
将代入整理得即，解得，
故时有一个零点为，符合；
当，即时，
由根的分布情况得，
即，解得，符合.
所以实数a的取值范围是.故选：A.
36．（24-25高三上·湖南常德·月考）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，
当时，由，可得，可得，合乎题意；
因为函数有个零点，则函数在上有2个零点，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
题型10 复合函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为．
37．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】令，则，所以，
解得，解得或，
当时，，求导得，
令，则，解得，
若时，，若，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
当时，在上单调递增，且，
所以有3个解，有2个解，
所以的零点个数为5个.故选：D.
38．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】由得，解得或，
画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．
（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，）
故选：D.
39．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出图像，
令，则方程有6个不同的实数根
等价于有2个不同的实数解，且，
则，解得，故选：.
40．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，则，
情形一：当时，，解得或，
因为，故不可能有，
从而只能是有唯一的解，
这就要求，
当时，，解得，
当时，，解得，这与矛盾，
此时满足题意的的取值范围是；
情形二：当时，，解得，
这就要求，
由于，故只能是，解得，
这就要求，
此时满足题意的的取值范围是；
综上所述，满足题意的的取值范围是.中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 函数图象与零点问题
题型1 函数图象的画法及图象变换
作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
1．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·四川成都·月考）若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2025高三下·全国·专题练习）分别作出下列函数的图象：
(1)； (2)； (3)； (4)．
4．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
(1)； (2)； (3)．
题型2 由复杂函数解析式选择图象
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； 4、判断单调性：可取特殊值判断单调性．
5．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型3 根据函数图象选择解析式
（1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
9．（25-26高三上·云南·月考）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型4 根据实际问题作函数图象
根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）．
13．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
14．（24-25高三上·山东·联考）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆和直角三角形的两边相切，射线从处开始，绕点逆时针匀速旋转（到处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
16．（24-25高三上·北京·月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 函数零点所在区间的判断
确定的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断．
17．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·月考）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25高三上·江苏盐城·月考）函数的零点在区间内，则正整数 .
题型6 函数零点个数的判定
零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
21．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（24-25高三下·河北·月考）函数与的图象在上的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（24-25高三上·湖南·月考）设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型7 根据函数零点个数求参数
已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
25．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25高三下·湖南·月考）已知有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数，若至少有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型8 求函数零点的和及范围
利用函数零点位置的对称性求和 （1）将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题； （2）①如果两个函数图象都关于直线对称，那么这两个函数图象的交点也关于直线对称，则对应的两零点之和为； ②如果两个函数图象都关于点对称，那么这两个函数图象的交点也关于点对称，则对应的两零点之和为．
29．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 .
30．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）若直线与函数的图象恰有三个交点，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
31．（24-25高三上·海南海口·月考）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
32．（2025·陕西西安·一模）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型9 二次函数的零点分布问题
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手： （1）开口方向；（2）对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；（3）判别式，决定函数与轴的交点个数；（4）区间端点值．
33．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·四川巴中·一模）若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（ ）
A． B．或.
C． D．或.
35．（24-25高三上·山西太原·月考）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（24-25高三上·湖南常德·月考）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
题型10 复合函数的零点问题
处理复合函数的零点问题的方法： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、…、，则函数的零点个数为．
37．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
38．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
39．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
40．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 .

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