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专题03 解三角形及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】余弦定理 【知能解读02】正弦定理 【知能解读03】三角形的面积公式 【知能解读04】测量距离问题 【知能解读05】测量高度问题 【知能解读06】解三角形的实际应用 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】正弦定理边角互化的应用 【重难点突破02】三角形面积公式及其应用 【重难点突破03】余弦定理边角互化的应用 【重难点突破04】正、余弦定理判定三角形形状 【重难点突破05】证明三角形中的恒等式或不等式 【重难点突破06】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【重难点突破07】正余弦定理与三角函数性质的结合应用 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】正弦定理判定三角形解的个数忽略大角对大边 【易混易错02】求三角形面积的最值或范围时条件转换不清 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】余弦定理解三角形 【方法技巧02】正弦定理求外接圆半径 【方法技巧03】几何图形中的计算 【方法技巧04】距离测量 【方法技巧05】高度测量
01 余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
推论与变形 推论： 变形：
1．余弦定理与勾股定理的关系在 中，有 ，若 ，则 ．因此勾股定理是余弦定理的特例。
2．由余弦定理知，在 中，若 为锐角，则 ，从而 ，即 ；若 为钝角，则 ，从而 ，即 ；若 为直角，则 ，从而 ，可作为判断三角形形状的方法．
【真题实战】（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求.
02 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
常见变形
1.正弦定理中,各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学中的对称美
2.正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广,正弦定理对任意三角形都成立,它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
【真题实战】（2025·江苏南京·一模）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
03 三角形的面积公式
在 中，设A, B, C的对边分别为a, b, c, a, b, c 边上的高分别为 ，则
（1） ；
（2） ．
三角形面积公式的其他形式
1．在 中，A, B, C的对边分别为a, b, c, r为 的内切圆半径， 为 的外接圆半径， 周长的一半），则
1） （海伦公式）；
2） ；
3） ．
2．数量积形式的三角形面积公式：
在 中，设 ，
且
3．坐标形式的三角形面积公式：
在 中，设 ， ，则
【真题实战1】（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为．求的周长．
【真题实战2】（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
04 测量距离问题
问题 图形 可测元素 解法
测量不相通的两点 间的距离( 均可到达)
测量可视的两点间的距离(点不可到达)
测量两个不可到达的点 间的距离 （1）在 中，用正弦定理求A C； （2）在 中，用正弦定理求B C； （3）在 中，用余弦定理求A B
解决求距离(长度)问题的思路
1.求距离(长度)时,应设法将已知量与未知量集中在一个三角形中,用正弦定理或余弦定理求解.
2.若实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,则常需连续使用正弦定理或余弦定理求解,涉及两个或多个三角形,需按一定顺序逐步在几个三角形中求解.
05 测量高度问题
问题 图形 可测元素 解法
测量的高度(底部点可到达)
测量 的高度(底部点不可到达) （1）在 中，用正弦定理求A D； （2）
（1）在 中，用正弦定理求B C； （2）
测量高度问题的解题技法
测量高度问题一般涉及方向角、仰角、俯角等,在画图时,要注意运用空间想象能力.解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算
【真题实战】（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ）
A．268米 B．265米 C．266米 D．267米
06 解三角形的实际应用
名称 意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角
方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
01 正弦定理边角互化的应用
正弦定理边角互化的应用解题技巧
1．熟定理，明转化：牢记（为外接圆半径），边化角就用等替换；角化边则反之，根据式子特征选方向。
2．借定理，化式子：边化角后，用把角凑成可化简形式，再结合三角公式（和差、倍角等）简化，像，利用变。
3．练题型，勤总结：做边角互化专项题，从基础求角、边，到综合（锐角三角形取值、角平分线），错题归类找原因（定理用错、公式不熟），归纳＂何时化、咋处理＂，快速吃透技巧。
【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【典例2】（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
【典例3】（2025·浙江温州·三模）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
02 三角形面积公式及其应用
核心公式：.
解题时，若公式中边或角未知（如已知两边但缺夹角，或知角缺边），用正弦定理（为外接圆半径）实现边角转化，或用余弦定理（等）求未知边／角，补充公式所需条件。
【典例1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
【典例2】（2025·湖北·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求边上的高.
【典例3】（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
03 余弦定理边角互化的应用
余弦定理边角互化解题，核心是利用等余弦定理表达式，将角的余弦转化为边的关系，或把边的平方和形式转化为角的余弦。遇到含边和角余弦的等式，先替换余弦为边，化简后结合正弦定理（）进一步边角转化，求出角；再根据角与边的新关系，用定理求边，解决面积等问题，通过＂边化角、角化边＂实现条件整合。
【典例1】（2025·河南驻马店·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求的值．
【典例2】（2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，若，且，求的面积.
【典例3】（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
【典例4】（24-25高三上·重庆·阶段练习）记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
(1)求证：；
(2)若，求的面积.
04 正、余弦定理判定三角形形状
用正、余弦定理判定三角形形状，先观察条件，若有边的关系，用余弦定理等将角化为边；若有角的关系，用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换化简，得出边或角的等量关系 （如、，或等），进而判定形状，像等腰、直角、等边三角形等。
【典例1】（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
【典例2】（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
【典例3】（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形.
05 证明三角形中的恒等式或不等式
证明三角形中的恒等式或不等式，对于含边、角的式子，利用正、余弦定理实现边角转化，将角化为边（如用等代换）或边化为角（如用代换）。对于不等式，可通过放缩法、构造函数（利用函数单调性），结合变量范围（如）分析最值；证明角的倍数关系，可通过正弦定理化边为角，结合三角恒等式（如二倍角公式）推导，逐步化简式子，达成证明或求最值目的。
【典例1】（2024·河南·三模）已知，且，则的最小值为 .
【典例2】（2025·北京东城·一模）在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且．
(1)求；
(2)若，求证：．
06 求三角形中的边长或周长的最值或范围
求三角形边长或周长的最值／范围，先借正、余弦定理边角互化，将条件转化为边或角的关系。若求面积，结合已知边与角公式计算；求边的比值范围，利用定理化角为边（或反之），结合角的范围（如钝角、锐角限制），用三角恒等变换、函数单调性（如正弦函数在区间内的取值）推导，确定边长、周长的最值或范围。
【典例1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
【典例2】（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【典例3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围.
07 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用需融合正、余弦定理与三角函数性质。先利用正、余弦定理进行边角转化，把边化为角或角化为边，简化条件。再结合三角函数的单调性、值域等性质，处理外接圆半径、周长、面积的取值范围问题。比如求范围时，将边用角表示，依据锐角三角形等角的限制，确定角的区间，进而推导所求量的范围，实现定理与函数性质的综合应用。
【典例1】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求的外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【典例3】（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
01 正弦定理判定三角形解的个数忽略大角对大边
正弦定理判定三角形解的个数
利用正弦定理判定三角形解的个数，关键是分析已知边、角关系，结合＂大边对大角＂及三角函数值的有界性（）.
在中，已知边、及角（对A,b对），用正弦定理得，再根据的值及边的大小关系判断解的个数：
（1）若：无解；
（2）若：，1解；
（3）若：
①当（即）：因已知（锐角／钝角），为锐角，1解；
②当（即）：可能为锐角或钝角也满足），2解；
③当解（需结合是否合理）。
【典例1】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【典例2】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【典例3】（2025·安徽·模拟预测）设的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若存在两个这样的，求x的取值范围．
02 求三角形面积的最值或范围时条件转换不清
解题技巧
1．条件转化：遇到边的平方关系（如），利用余弦定理转化，结合基本不等式求最值；含边与角混合式（如），用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换（和角公式等）求角。
2．面积公式选择：三角形面积（为a, b夹角），根据已知条件选合适边角表示，结合变量范围或最值条件，用函数思想（如二次函数、三角函数值域）求面积最值。
【典例1】（24-25高三下·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 .
【典例2】（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
【典例3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．
(1)求A；
(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．
方法1 余弦定理解三角形
解题技巧总结：
1.公式应用：已知三边（如例1），利用算角，代入数值得余弦值，再对应角度（
2.图形处理：遇复杂图（如例2），抓对顶角、等边等条件，用余弦定理表边，结合条件列方程（如借推）。
3.范围验证：算完余弦值，看内对应角，避免钝角、锐角误判（如余弦负则角为钝，正为锐），保证结果合理。
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．
(1)证明：为中点；
(2)若，求的长．
【典例3】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
方法2 正弦定理求外接圆半径
正弦定理求外接圆半径及相关几何计算解题技巧总结
这类问题涉及三角形外接圆半径及圆锥等几何形体与外接球结合的计算，核心依托正弦定理、几何图形性质（如圆锥轴截面、三角形边角关系），技巧如下：
1．正弦定理基础：三角形中，（为外接圆半径），可通过＂边化角＂＂角化边＂，关联已知条件与。
2．条件整合与转化：
遇三角恒等式（如例题1＂），利用三角恒等变换（和角公式、倍角公式 ）结合三角形内角和化简，找到边、角与面积的联系。
－遇几何形体（如例题2圆锥与外接球），先分析轴截面、外接球的几何特征（如圆锥轴截面为正三角形时，母线、底面半径、高的关系），再结合外接球半径公式（或几何关系）列方程。
【典例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【典例2】（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．外接圆的面积为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
【典例4】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
方法3 几何图形中的计算
核心要点：
1．定理灵活切换：根据已知条件结构（边、角数量及关系），灵活选正弦、余弦定理，优先将＂角＂转化为＂边＂ （或反之），简化计算。
2．线段比例与向量：遇线段比例（如例题2＂），用向量分解或线段和差，将目标量（如）转化为已知比例的边，结合函数思想（二次函数、均值不等式）求最值。
3．综合问题分步解：边、角、面积综合题（如例题3），先抓核心条件（如），分步求角的余弦、边的长度，再代入局部三角形（如含的三角形）求目标量，每一步依托定理，环环相扣。
【典例1】（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
【典例3】（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，是上的点，且，求的长．
【典例4】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
方法4 距离测量
距离测量问题解题技巧
距离测量问题常依托三角形（一般三角形、直角三角形），运用正弦定理、余弦定理求解，核心思路是：
1．定三角形与已知量：识别观测点、目标点构成的三角形，梳理已知角（如仰角、方位角、内角）和边（观测点间距等）。
2．选定理列方程：
①已知两角及一边（或可求角），用正弦定理）；
②已知两边及夹角（或可求夹角），用余弦定理（等）。
3．分步推导：若直接关联目标边的三角形条件不足，先在其他三角形（如拆分的小三角形）中求过渡边／角，再代入目标三角形计算。
【典例1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．10
【典例2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【典例3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
方法5 高度测量
高度测量问题解题方法总结
1．核心原理：利用三角函数（仰角、俯角）结合几何图形（直角三角形、矩形等），将高度与水平距离关联，通过观测点位置关系列方程求解。
2．通用步骤：
构建直角三角形：利用建筑高度与水平面的垂直关系，形成以高度为直角边、水平距离为另一直角边的直角三角形。
设未知量：设建筑高度（或高度差）为，用三角函数（正切为主，距离。
关联观测点：依据观测点位置关系（共线、向量、中点等），将水平距离转化为线段关系，列方程解。
3．常用技巧
①向量关系可转化为线段长度（如推出）。
②多观测点共线时，用中点、线段和差列水平距离等式（如借中点得）。
③矩形结构利用＂对边相等＂传递水平距离（如矩形对边对应观测点水平间距）。
4．关键提醒：区分＂总高度＂与＂高度差＂，确保三角函数中＂对边＂＂邻边＂对应准确。
【典例1】（24-25高三下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【典例2】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，）
A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42
【典例3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度；
(2)求的值.中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 解三角形及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】余弦定理 【知能解读02】正弦定理 【知能解读03】三角形的面积公式 【知能解读04】测量距离问题 【知能解读05】测量高度问题 【知能解读06】解三角形的实际应用 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】正弦定理边角互化的应用 【重难点突破02】三角形面积公式及其应用 【重难点突破03】余弦定理边角互化的应用 【重难点突破04】正、余弦定理判定三角形形状 【重难点突破05】证明三角形中的恒等式或不等式 【重难点突破06】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【重难点突破07】正余弦定理与三角函数性质的结合应用 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】正弦定理判定三角形解的个数忽略大角对大边 【易混易错02】求三角形面积的最值或范围时条件转换不清 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】余弦定理解三角形 【方法技巧02】正弦定理求外接圆半径 【方法技巧03】几何图形中的计算 【方法技巧04】距离测量 【方法技巧05】高度测量
01 余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言
推论与变形 推论： 变形：
1．余弦定理与勾股定理的关系在 中，有 ，若 ，则 ．因此勾股定理是余弦定理的特例。
2．由余弦定理知，在 中，若 为锐角，则 ，从而 ，即 ；若 为钝角，则 ，从而 ，即 ；若 为直角，则 ，从而 ，可作为判断三角形形状的方法．
【真题实战】（2025·湖南岳阳·二模）记的内角的对边分别为，已知向量，，且.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求.
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解，
（2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解.
【详解】（1）由题意知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即，
又，所以.
（2）因为的面积为，解得，
所以，
由余弦定理得，所以.
02 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言
常见变形
1.正弦定理中,各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学中的对称美
2.正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广,正弦定理对任意三角形都成立,它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化.
【真题实战】（2025·江苏南京·一模）在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】正弦定理边角互化的应用
【分析】用射影定理即可化简求值.
【详解】如图所示，过点A作于点D，

则，
同理可证，
因为，所以，
整理得，因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
故选：D
03 三角形的面积公式
在 中，设A, B, C的对边分别为a, b, c, a, b, c 边上的高分别为 ，则
（1） ；
（2） ．
三角形面积公式的其他形式
1．在 中，A, B, C的对边分别为a, b, c, r为 的内切圆半径， 为 的外接圆半径， 周长的一半），则
1） （海伦公式）；
2） ；
3） ．
2．数量积形式的三角形面积公式：
在 中，设 ，
且
3．坐标形式的三角形面积公式：
在 中，设 ， ，则
【真题实战1】（2025·陕西安康·二模）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为．求的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可；
(2)根据面积公式结合余弦定理求解即可.
【详解】（1）由可得，
解得或（舍），故.
又为内角，故.
（2），则，解得.
由余弦定理可得，
解得.
故的周长为.
【真题实战2】（2025·北京昌平·二模）在中，为锐角，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；
（2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）由及正弦定理，
得．
因为在中，，所以．
因为，所以．
因为为锐角，所以．
（2）由，且，解得．
由余弦定理，得，解得或（舍）．
所以的面积．
04 测量距离问题
问题 图形 可测元素 解法
测量不相通的两点 间的距离( 均可到达)
测量可视的两点间的距离(点不可到达)
测量两个不可到达的点 间的距离 （1）在 中，用正弦定理求A C； （2）在 中，用正弦定理求B C； （3）在 中，用余弦定理求A B
解决求距离(长度)问题的思路
1.求距离(长度)时,应设法将已知量与未知量集中在一个三角形中,用正弦定理或余弦定理求解.
2.若实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,则常需连续使用正弦定理或余弦定理求解,涉及两个或多个三角形,需按一定顺序逐步在几个三角形中求解.
05 测量高度问题
问题 图形 可测元素 解法
测量的高度(底部点可到达)
测量 的高度(底部点不可到达) （1）在 中，用正弦定理求A D； （2）
（1）在 中，用正弦定理求B C； （2）
测量高度问题的解题技法
测量高度问题一般涉及方向角、仰角、俯角等,在画图时,要注意运用空间想象能力.解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题,避免复杂的运算
【真题实战】（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ）
A．268米 B．265米 C．266米 D．267米
【答案】C
【知识点】高度测量问题
【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.
【详解】
如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．
根据题意易得，．
在中，由正弦定理得，
在中，,则，
在中，,则，
所以米．
故选：C.
06 解三角形的实际应用
名称 意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角
方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
01 正弦定理边角互化的应用
正弦定理边角互化的应用解题技巧
1．熟定理，明转化：牢记（为外接圆半径），边化角就用等替换；角化边则反之，根据式子特征选方向。
2．借定理，化式子：边化角后，用把角凑成可化简形式，再结合三角公式（和差、倍角等）简化，像，利用变。
3．练题型，勤总结：做边角互化专项题，从基础求角、边，到综合（锐角三角形取值、角平分线），错题归类找原因（定理用错、公式不熟），归纳＂何时化、咋处理＂，快速吃透技巧。
【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
【典例2】（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由得,
又因为，
所以,
又因为，
所以,
又因为,
所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,
所以,
故答案为：.
【典例3】（2025·浙江温州·三模）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解；
（2）应用余弦定理得出，，即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，所以．
（2）在中，，解得，
在中，，所以，
所以周长．
02 三角形面积公式及其应用
核心公式：.
解题时，若公式中边或角未知（如已知两边但缺夹角，或知角缺边），用正弦定理（为外接圆半径）实现边角转化，或用余弦定理（等）求未知边／角，补充公式所需条件。
【典例1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在中，，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
【答案】C
【分析】先根据余弦定理求出边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.
【详解】设，根据余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，则为直角三角形，
则.
故选：C.
【典例2】（2025·湖北·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求边上的高.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角.
（2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高.
【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以，
所以，
整理，得，即，
又，所以，
所以，故.
（2）由的面积为，得，所以.
由余弦定理，得，
所以，
设边上的高，
由，解得.
【典例3】（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
03 余弦定理边角互化的应用
余弦定理边角互化解题，核心是利用等余弦定理表达式，将角的余弦转化为边的关系，或把边的平方和形式转化为角的余弦。遇到含边和角余弦的等式，先替换余弦为边，化简后结合正弦定理（）进一步边角转化，求出角；再根据角与边的新关系，用定理求边，解决面积等问题，通过＂边化角、角化边＂实现条件整合。
【典例1】（2025·河南驻马店·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理，正弦定理边角互化可得，即可求解；
（2）由已知条件结合辅助角公式可得，即可求得角C，再由正弦定理结合已知条件，求得a与c的值，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以.
（2）由，得，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
，
所以.
【典例2】（2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一，先根据正弦定理把边化角，再根据三角形中，利用和角正弦公式展开，化简得到，再结合角的范围即可求出角；方法二，根据余弦定理把角化边，再次利用余弦定理即可求出的值，再结合角的范围，即可求出角；
（2）方法一，在，中，根据正弦定理分别列出关系式，整理可得，在中，由余弦定理得到，再由三角形的面积公式求解即可；方法二，过作，垂足为，得到，通过和相似，得到，后同方法一；方法三，分别利用底高和，得到与的面积比，从而得到，后同方法一.
【详解】（1）方法一：因为，
所以由正弦定理可得，，
又因为，
所以，
由于，所以，
所以，因为，所以；
方法二：因为，
所以由余弦定理可得，
整理可得，
所以，
因为，所以；
（2）方法一：由（1）及题设知，，，.
在中，由正弦定理得，.
在中，由正弦定理得，.
两式相除可得，即，
在中，由余弦定理可得，即
所以的面积；
方法二：如图所示，过作，垂足为.
在中，，所以.
由于，所以，
所以，即，
得，后同方法一；
方法三：由（1）及题设知，，.
因为两个三角形的高相同，所以与的面积之比等于，
又因为与的面积之比还等于，
所以，，后同方法一.
【典例3】（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求证：；
(2)已知，当角取最大值时，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论.
（2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积.
【详解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
由得，，
由正弦定理及余弦定理得，，
∴.
（2）由余弦定理得，，
当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形.
由得，.
∴的面积为.
【典例4】（24-25高三上·重庆·阶段练习）记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
(1)求证：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合余弦定理化简可得，进而结合正弦定理求证即可；
（2）由余弦定理得，结合平面向量的运算可得，联立求解可得，进而结合平方关系及三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：由，得
即，
因为，
由正弦定理得，，
则，即.
（2）在中，由余弦定理得，①
因为为的中点，所以，
则，
即，
即，②
联立①②，得，解得，
所以，
所以的面积为.

04 正、余弦定理判定三角形形状
用正、余弦定理判定三角形形状，先观察条件，若有边的关系，用余弦定理等将角化为边；若有角的关系，用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换化简，得出边或角的等量关系 （如、，或等），进而判定形状，像等腰、直角、等边三角形等。
【典例1】（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【分析】根据，，利用余弦定理得到，再结合判断.
【详解】由余弦定理可得，
则.
因为，所以，所以是等腰三角形.
故选：A
【典例2】（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论；
（2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长.
【详解】（1）证明：在中，，，
由余弦定理得，即①.
又，
即，故②.
由①②得，即，
故.
所以为等边三角形.
（2）在中，由，
得，
又直线为的平分线，
则，
所以，即③，
又由余弦定理可得，即.④，
由③④可知，
解得或（舍），
所以的周长为.
【典例3】（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将题干条件变形，利用余弦定理得，结合角的范围即可求解.
（2）利用面积比例求得，再由余弦定理化简得，从而，即可证明.
【详解】（1）因为，所以.
由余弦定理，得，
又因为，所以.
（2）因为是的平分线，所以，
设的边上的高为，则由，
得，即，
由余弦定理，得，
所以，从而，故为直角三角形.
05 证明三角形中的恒等式或不等式
证明三角形中的恒等式或不等式，对于含边、角的式子，利用正、余弦定理实现边角转化，将角化为边（如用等代换）或边化为角（如用代换）。对于不等式，可通过放缩法、构造函数（利用函数单调性），结合变量范围（如）分析最值；证明角的倍数关系，可通过正弦定理化边为角，结合三角恒等式（如二倍角公式）推导，逐步化简式子，达成证明或求最值目的。
【典例1】（2024·河南·三模）已知，且，则的最小值为 .
【答案】1
【分析】在等边三角形中，令，利用三角形的面积，即可求解.
【详解】，注意到，
如图：设等边三角形的边长为1，分别为上的点，设，且，
故,
即，
故，即，所以，
故答案为：1
【典例2】（2025·北京东城·一模）在中.
(1)求的值及的面积；
(2)求证：.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积；
（2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证.
【详解】（1）在中,所以是锐角，.
由，可得，而，
所以，
可得，则，
故；
（2）由（1）易知，则，
由（1）及余弦定理有，
所以，又，则.
【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且．
(1)求；
(2)若，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角；
（2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证.
【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得，
故，因为，所以；
（2）因为，所以，
由正弦定理得，易知，所以，
因为，所以，
所以，故.
06 求三角形中的边长或周长的最值或范围
求三角形边长或周长的最值／范围，先借正、余弦定理边角互化，将条件转化为边或角的关系。若求面积，结合已知边与角公式计算；求边的比值范围，利用定理化角为边（或反之），结合角的范围（如钝角、锐角限制），用三角恒等变换、函数单调性（如正弦函数在区间内的取值）推导，确定边长、周长的最值或范围。
【典例1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得面积；
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合角B的范围运算求解.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因，，则，
且，故．
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，可得，且，
代入化简得：．
因为钝角，故由，可得，
则，，即，
故的取值范围是
【典例2】（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可.
（2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可.
【详解】（1）在锐角中，因为，
所以由正弦定理得，故，
得到，化为，
故得，化简得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以，且设周长为，
所以

，
因为在锐角中，所以，
所以，解得，
综上可得，所以，
故，则，
得到，即，
故周长的取值范围为.
【典例3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算；
（2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可.
【详解】（1）由正弦定理得：，
即，
，
，
，又；
（2）由正弦定理得：,
,
，
在锐角中：，解得：，
，
,，
则.
07 正余弦定理与三角函数性质的结合应用
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用需融合正、余弦定理与三角函数性质。先利用正、余弦定理进行边角转化，把边化为角或角化为边，简化条件。再结合三角函数的单调性、值域等性质，处理外接圆半径、周长、面积的取值范围问题。比如求范围时，将边用角表示，依据锐角三角形等角的限制，确定角的区间，进而推导所求量的范围，实现定理与函数性质的综合应用。
【典例1】（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，.
(1)求的外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解.
【详解】（1）由可得，
故，由于，故
由余弦定理得
由于，所以，
，根据解得，
所以的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得 ，
所以，则，
所以，则.
所以周长的取值范围为.
【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，由据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得的值，即可求解；
（2）由（1）和正弦定理，得到，化简得到，根据为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，即，
根据正弦定理得，
因为，
所以，
即
又因为，所以，可得，所以，
因为，所以.
（2）解：在中，由正弦定理，可得，
所以，
，
因为为锐角三角形，可得，解得，
所以，所以，
所以，即面积的取值范围为.
【典例3】（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
可得，
可得，
所以，可得，
又因为，可得，
所以，因为，所以.
（2）解：因为，可得且，
由正弦定理得，可得，
则，
在锐角三角形中，可得 ，可得，可得，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为.
01 正弦定理判定三角形解的个数忽略大角对大边
正弦定理判定三角形解的个数
利用正弦定理判定三角形解的个数，关键是分析已知边、角关系，结合＂大边对大角＂及三角函数值的有界性（）.
在中，已知边、及角（对A,b对），用正弦定理得，再根据的值及边的大小关系判断解的个数：
（1）若：无解；
（2）若：，1解；
（3）若：
①当（即）：因已知（锐角／钝角），为锐角，1解；
②当（即）：可能为锐角或钝角也满足），2解；
③当解（需结合是否合理）。
【典例1】（2025·四川达州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可.
【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误；
对于选项B：因为，可知，
所以满足条件的有2个，故B错误；
对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确；
对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边，
所以不存在，故D错误；
故选：C.
【典例2】（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可.
【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误；
B：，，，为锐角，，则无解，故B错误；
C：，，，为钝角且，则无解，故C错误；
D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确.
故选：D
【典例3】（2025·安徽·模拟预测）设的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若存在两个这样的，求x的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）应用正弦定理可得，进而得，根据三角形面积公式可得结果；
（2）法一：由正弦定理得，问题转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，结合图象可得结果；法二：由余弦定理得有两个不相等的正实数根，利用判别式、根与系数关系列不等式可得结果.
【详解】（1）由正弦定理得，，即，解得，
因为，所以，故，
所以的面积．
（2）法一：由正弦定理得，，即，得，
由得，
所以在内有两解，即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，
作出在上的图象，由图可知，，解得，
综上，x的取值范围为.
法二：由余弦定理得，，即，
整理得，
由题意得，该方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
综上，x的取值范围为.
02 求三角形面积的最值或范围时条件转换不清
解题技巧
1．条件转化：遇到边的平方关系（如），利用余弦定理转化，结合基本不等式求最值；含边与角混合式（如），用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换（和角公式等）求角。
2．面积公式选择：三角形面积（为a, b夹角），根据已知条件选合适边角表示，结合变量范围或最值条件，用函数思想（如二次函数、三角函数值域）求面积最值。
【典例1】（24-25高三下·河北保定·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】 利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式得到，最后借助辅助角公式求出最大值.
【详解】 由余弦定理知，所以，
即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以.
设的面积为S，所以，
令，可得，
当且仅当时，上式等号成立，
即有，解得或（舍去），
则，所以，
故面积的最大值为.
故答案为：.
【点睛】 关键点点睛：利用基本不等式得到面积，通过取倒数从而设，借助于辅助角公式求出的最小值，即可得到的最大值.
【典例2】（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
（2）如图，由题意及第（1）问知，，
且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，
故的面积的最小值为.

【典例3】（24-25高三下·重庆·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．
(1)求A；
(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解，
（2）由面积公式可得外接圆半径，即可根据正弦理求解，由余弦定理以及基本不等式即可求解的最大值，由面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以，
（2）设的外接圆半径为，所以所以，
由正弦定理得，
故
又即，
，当且仅当时取等号，
故面积的最大值为.
方法1 余弦定理解三角形
解题技巧总结：
1.公式应用：已知三边（如例1），利用算角，代入数值得余弦值，再对应角度（
2.图形处理：遇复杂图（如例2），抓对顶角、等边等条件，用余弦定理表边，结合条件列方程（如借推）。
3.范围验证：算完余弦值，看内对应角，避免钝角、锐角误判（如余弦负则角为钝，正为锐），保证结果合理。
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理直接计算求解即可.
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
【典例2】（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．
(1)证明：为中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得.
（2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长.
【详解】（1）设，，则，.
在中，由余弦定理得：
在中，由余弦定理得：.
由，所以.
化简得：.
故为中点.
（2）如图：
过点做，交与.
则.
由（）.
所以，又，所以.
所以.
所以，又，.
所以.
由
所以.
又，所以，所以.
所以.
即.
在中，根据正弦定理，可得：.
【典例3】（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
方法2 正弦定理求外接圆半径
正弦定理求外接圆半径及相关几何计算解题技巧总结
这类问题涉及三角形外接圆半径及圆锥等几何形体与外接球结合的计算，核心依托正弦定理、几何图形性质（如圆锥轴截面、三角形边角关系），技巧如下：
1．正弦定理基础：三角形中，（为外接圆半径），可通过＂边化角＂＂角化边＂，关联已知条件与。
2．条件整合与转化：
遇三角恒等式（如例题1＂），利用三角恒等变换（和角公式、倍角公式 ）结合三角形内角和化简，找到边、角与面积的联系。
－遇几何形体（如例题2圆锥与外接球），先分析轴截面、外接球的几何特征（如圆锥轴截面为正三角形时，母线、底面半径、高的关系），再结合外接球半径公式（或几何关系）列方程。
【典例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果.
【详解】
即
即
又，故，
所以
所以
，
因为
又因为，
，
所以，
所以，解得.
故选：A.
【典例2】（2025·江苏宿迁·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径为，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，
由正弦定理可得，则，
易知该圆锥的高为，故该圆锥的体积为.
故选：A.
【典例3】（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．外接圆的面积为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解.
【详解】对于选项A：因为，
由余弦定理可得，
整理可得，则，
且，所以，故A错误；
对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径，
所以外接圆的面积为，故B正确；
对于选项C：由可得，
且，即，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于选项D：由可得，即，
且，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为，故D正确；
故选：BCD.
【典例4】（2025·安徽·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解；
（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解．
【详解】（1）由正弦定理及，得，
，
，
．
（2）设的外接圆半径为，
由及正弦定理，
得，
．
由余弦定理得，，
，当且仅当时取等号，，
周长的最大值为9．
方法3 几何图形中的计算
核心要点：
1．定理灵活切换：根据已知条件结构（边、角数量及关系），灵活选正弦、余弦定理，优先将＂角＂转化为＂边＂ （或反之），简化计算。
2．线段比例与向量：遇线段比例（如例题2＂），用向量分解或线段和差，将目标量（如）转化为已知比例的边，结合函数思想（二次函数、均值不等式）求最值。
3．综合问题分步解：边、角、面积综合题（如例题3），先抓核心条件（如），分步求角的余弦、边的长度，再代入局部三角形（如含的三角形）求目标量，每一步依托定理，环环相扣。
【典例1】（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值.
【详解】在中，由余弦定理得：，
又因为，所以，
在中，由正弦定理得：，即，解得.
故选：D
【典例2】（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解.
【详解】设，则，
在中，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当时，有最小值，此时取最小值，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题.
【典例3】（2025·山东潍坊·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，是上的点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长.
【详解】（1）因为，所以，，即，
因为，则，即，故，
由余弦定理可得.
（2）因为，则，
因为，可得，
因为，，故，，，
是上的点，且，则，，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
故.
【典例4】（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）在中，利用正弦定理求出的大小，进而可求得的大小，然后中，利用正弦定理可求出的长，进而可得出的长，然后利用角平分线定理可求得的值.
【详解】（1）由，
故，
所以，所以，
由余弦定理，
因为，所以．
（2）在中，由正弦定理得，解得．
又因为，所以或．

当时，．因为，所以；
当时，．因为，所以，
由，则不符合题意，舍去，
所以，则．
且，
在中，由正弦定理，得，
解得．
又因为为的平分线，所以．
方法4 距离测量
距离测量问题解题技巧
距离测量问题常依托三角形（一般三角形、直角三角形），运用正弦定理、余弦定理求解，核心思路是：
1．定三角形与已知量：识别观测点、目标点构成的三角形，梳理已知角（如仰角、方位角、内角）和边（观测点间距等）。
2．选定理列方程：
①已知两角及一边（或可求角），用正弦定理）；
②已知两边及夹角（或可求夹角），用余弦定理（等）。
3．分步推导：若直接关联目标边的三角形条件不足，先在其他三角形（如拆分的小三角形）中求过渡边／角，再代入目标三角形计算。
【典例1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离.
【详解】由题设，，则，而，
所以，则，
由，，则，而，
又，
所以，则，
由
.
故选：C
【典例2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD.
【详解】在中，由正弦定理得，
即，得，
在中，，是等边三角形，，
在中，，由余弦定理，
，
所以．
故选：C.
【典例3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
【答案】/
【分析】根据已知数据应用余弦定理计算求解即可.
【详解】由题意可知，，，
在中，由余弦定理可得，
，解得（舍）或.
故答案为：.
方法5 高度测量
高度测量问题解题方法总结
1．核心原理：利用三角函数（仰角、俯角）结合几何图形（直角三角形、矩形等），将高度与水平距离关联，通过观测点位置关系列方程求解。
2．通用步骤：
构建直角三角形：利用建筑高度与水平面的垂直关系，形成以高度为直角边、水平距离为另一直角边的直角三角形。
设未知量：设建筑高度（或高度差）为，用三角函数（正切为主，距离。
关联观测点：依据观测点位置关系（共线、向量、中点等），将水平距离转化为线段关系，列方程解。
3．常用技巧
①向量关系可转化为线段长度（如推出）。
②多观测点共线时，用中点、线段和差列水平距离等式（如借中点得）。
③矩形结构利用＂对边相等＂传递水平距离（如矩形对边对应观测点水平间距）。
4．关键提醒：区分＂总高度＂与＂高度差＂，确保三角函数中＂对边＂＂邻边＂对应准确。
【典例1】（24-25高三下·四川乐山·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可.
【详解】设，则可得，
由，可得B是AC的中点，所以，
而，则，
，中，由余弦定理可得：，
解得：，所以该建筑的高度米.
故选：B.
【典例2】（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（ ）（单位：米，）
A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42
【答案】B
【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可.
【详解】由题意，在中，，
由正弦定理可知.
在中，易知，
于是.
故选：B.
【典例3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方5m处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点.
(1)求建造中的建筑物已经到达的高度；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据条件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；
（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.
【详解】（1）如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，
所以，又，是的中点，
在中，由余弦定理得到，
在中，由余弦定理得到，
又，所以，
整理得到，解得，所以.
（2）在中，由正弦定理知①，
在中，由正弦定理知②，
由（1）知，
由②①得到.

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