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专题03 集合培优归类
题型1 判断集合元素个数
集合的元素个数，和其他知识结合的较多，属于中等偏难的题型，解决此类题型，要从集合的基本概念、基本性质以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三种形式： 1.数集；2.点集（有序数对）；3.抽象型（韦恩图型） 集合中元素个数： 1.点集多是图像交点，与函数图象或者圆锥曲线图象等有关。 2.数集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指数对数等不等式的解集。
1．（2024-2025年陕西名校教育联盟）已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三下·上海·开学考试）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题.
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.
则上述命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025高三·四川八省联盟适应性模拟卷）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．（24-25高三上·上海杨浦·期中）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）集合且，集合且，用表示集合X中的元素个数，则（ ）
A．100 B．200 C．260 D．300
题型2 集合元素个数最值型
集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。
1．（23-24高一上·上海浦东）已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·湖南长沙一中模拟）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知集合，记集合的元素个数为.当时， （用数字表示）；当（且）时， .（用含有的式子表示）.
题型3 异构同集型
以集合定义为核心的“异构同集”型，也就是集合“相同”的概念应用。立足于集合的基本性质，需要从以下几方面来综合考虑、比较与计算： （1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ． （3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（ ）
A． B．是的真子集
C． D．
2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ．
题型4 异构同集型最值与求参（难点） 5空
异构同集型最值与求参，涉及到集合定义与集合关系的研究。 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关）
1．（24-25高三上·上海·期末）对于函数 ，定义.
（1）且，则实数a的取值范围是 ；
（2），且且，则实数a的取值范围是 .
2．（24-25高三·上海·阶段练习）已知，若，则的最小值为 .
3．（24-25高三·上海虹口·模拟）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 .
4．（24-25高一上·上海·期中）已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ．
5．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合，.若，则的值 .
题型5 子集型最值与求参 5单
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束”
1．（24-25高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ）
A．128个 B．127个 C．256个 D．255个
2．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型6 交集型最值与求参 5单
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A； ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. ．
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知集合，现将中的元素从小到大依次排列，则第20个元素为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高一上·四川眉山·阶段练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，，若只含一个元素，则（ ）
A． B． C． D．
题型7 并集型最值与求参
并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B A B；
1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（ ）
A．66 B．67 C．68 D．69
5．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型8 全集与补集型最值与求参
全集与补集运算的性质：
1．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型9 韦恩图应用
韦恩图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（24-25高三·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题
3．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型10 交并补集综合型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．
2．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
3．（23-24高三上·浙江金华·阶段练习）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，则在的条件下，恰有1个元素的概率为 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
5．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 .
题型11 集合新定义型综合
解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
2．（2015高三·全国·练习）已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则；
③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小非负整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.
（1）已知，则的深度为 .
（2）中深度为的数组个数为 .
4．（2025高三·全国·专题练习）我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 集合培优归类
题型1 判断集合元素个数
集合的元素个数，和其他知识结合的较多，属于中等偏难的题型，解决此类题型，要从集合的基本概念、基本性质以及集合元素的不同形式的表述入手，主要是三种形式： 1.数集；2.点集（有序数对）；3.抽象型（韦恩图型） 集合中元素个数： 1.点集多是图像交点，与函数图象或者圆锥曲线图象等有关。 2.数集，多涉及到一元二次方程根、一元二次不等式以及分式不等式指数对数等不等式的解集。
1．（2024-2025年陕西名校教育联盟）已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题知，进而得，故一方面，结合得，进而得，另一方面，根据得，进而得，即可得，进而得答案.
【详解】解：令，解得，即数列的不动点为，
其生成函数为，
所以，作出函数与函数的图像如图：
故，由蛛网图：，,即，
又，
一方面，由得，，
，
，且当，，.
另一方面，（法一）由得，，，
且当，，，必须大于等于
.所以集合的元素个数是2，故选：B.
另一方面，（法二）由，得，
又
.又当，，必须大于等于.
.
所以集合的元素个数是2，故选：B.
【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题解题的关键在于根据蛛网图模型得，进而得，再分别说明，即可.
2．（24-25高三下·上海·开学考试）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合出下列四个命题.
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.
则上述命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，，均为等差数列，，，不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，
中至多一个元素，①正确；
对于②，令，，满足，均为等比数列，
但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，②错误；
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，
且有两个偶数解时，否则，
，单调性相反，方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，方程至多有两个奇数解，
且有两个奇数解时，否则，
，单调性相反，
方程至多一个奇数解，，不可能同时成立，
若，，
则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
故不可能有4个不同的正数解，即M中最多有3个元素，
如，此时，③正确；
对于④，为单调递增，为递减数列，
，不为常数列且各项均不相同，
前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，④正确，
则上述命题中正确的个数为3个，即①③④.
故选：C
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
3．（2025高三·四川八省联盟适应性模拟卷）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【详解】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
4．（24-25高三上·上海杨浦·期中）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为.
【详解】根据题意可知，当时，，此时；
又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大，
所以当时，集合中有1011个元素；
当时，易知
又易知，所以可得
，
即时的取值与时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数，
当时，易知
，
可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合的元素个数为个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果.
5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）集合且，集合且，用表示集合X中的元素个数，则（ ）
A．100 B．200 C．260 D．300
【答案】B
【分析】分、、、讨论的取值可能种数，结合组合数的计算即可得，分、、、讨论的取值可能种数即可得的取值可能种数，从而可得，即可得解.
【详解】根据题意，对于：
当时，都可以选出0，1，2，3中任意取一个，则取法为；
当时，都可以选出0，1，2中任意取一个，则取法为；
当时，都可以选出0，1中任意取一个，则取法为；
当时，均取0，则取法为，
此时；对于：
当时，可取1，2，3，4之一，有种取法；
当时，可取2，3，4之一，有种取法；
当时，可取3，4之一，有种取法；
当时，只能取4，有种；
∴的取值只有种，同理可知也只有10种，
于是；故.故选：B．
题型2 集合元素个数最值型
集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。
1．（23-24高一上·上海浦东）已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，解得，从中去掉形如的数，此时中有个元素，注意中还可含以下个特殊元素：、、、、、、，故中元素最多时，中共有个元素，由此可得出结论.
【详解】令，解得，所以，集合是集合的一个非空子集.
再由，先从中去掉形如的数，由，可得，，此时，中有个元素.
由于集合中已经去掉了、、、、、、这个数，而它们对应的形如的数分别为、、、、、、，并且、、、、、、对应的形如的数都在集合中.
故集合中还可有以下个特殊元素：、、、、、、，
故集合中元素最多时，集合中共有个元素，对应的集合也有个元素，
因此，中共有个元素.
故选B.
【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
2．（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解.
【详解】设，
则，即，
所以,
若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以,即，
因为，
且满足，
所以包含了的个元素外，
还包含个属于而不属于的元素，
当时，则,
如，符合题意.
当时，则,
如，符合题意.
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.
3．（24-25高三·湖南长沙一中模拟）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则n的最大值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】C
【分析】要想n的值大，则特征值要尽可能的小，，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，不妨令是只有1个元素的非空真子集，则，是含有两个元素的非空真子集，则时能保证n的值最大，同理可得：，以此类推，利用等差数列求和公式列出方程，求出n的最大值.
【详解】由题意，要想n的值大，则特征值要尽可能的小，可令，，，，，则，解得：或（舍去）.
故选：C
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
【答案】
【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．
【详解】第一问：因为，所以，
所以，
第二问：因为，
易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得．
故答案为：；
5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知集合，记集合的元素个数为.当时， （用数字表示）；当（且）时， .（用含有的式子表示）.
【答案】 4
【分析】，列举出和相应的，得到答案；分，，……，，依次得到每种情况下的的个数，相加，结合组合数的性质得到答案.
【详解】因为，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故，
当时，此时，此时只有种情况，
当时，此时可在中按照大小顺序选择三个数，
且由于单调递增，故不同的选法求出的不同，故有种情况，
当时，此时可在中按照大小顺序选择三个数，
且由于单调递增，故不同的选法求出的不同，故有种情况，
……，
时，此时可在中按照大小顺序选择三个数，
此时有种情况，
综上，
.
故答案为：4，
【点睛】结论点睛：组合数的一些重要性质，，，，，
题型3 异构同集型
以集合定义为核心的“异构同集”型，也就是集合“相同”的概念应用。立足于集合的基本性质，需要从以下几方面来综合考虑、比较与计算： （1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 ． （3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知集合，．则（ ）
A． B．是的真子集
C． D．
【答案】C
【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可；
【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以，
从中任取一个元素，，所以,
所以，
故选：C
2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】，
,
，
故
故选：B.
3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
4．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论.
【详解】任取，则，，
所以，所以，
任取，则，，
所以，所以，
所以，
任取，则，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
故选：C.
5．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ．
【答案】0
【分析】由题意可得和2是方程的两根，利用根与系数的关系求得，可求的值.
【详解】由得，，因为或，
所以，所以和2是方程的两根，
所以，解得，所以．
故答案为：.
题型4 异构同集型最值与求参（难点） 5空
异构同集型最值与求参，涉及到集合定义与集合关系的研究。 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关）
1．（24-25高三上·上海·期末）对于函数 ，定义.
（1）且，则实数a的取值范围是 ；
（2），且且，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据方程，与的特点分析两集合的关系，探究3个预备结论，再针对两不同函数进行具体求解.（1）集合的研究转化为二次方程的解按判别式分类讨论可得；集合则转化为四次方程求解，需要进行因式分解降次处理，再转化为二次方程的解的情况分类讨论，要注意重根可能性的分析；（2）重点在转化为方程的根的情况分析，作差变形构造函数利用导函数分类讨论函数零点个数即可.
【详解】对于连续函数，下面证明预备结论：
预备结论1：.
证明：若，则；
若，设，则，
则，即，故；
综上所述，，得证.
预备结论2：若，则.
证明：若，则方程无解，
若，则；
若，则；
综上所述，方程无解，即，得证.
预备结论3：若是增函数，则.
证明：一方面，由预备结论1可知，；
另一方面，若，则由，得；
若，设，则，
假设，由是增函数，
若，则，这与矛盾；
若，则，这与矛盾；
故假设错误，即，故，即，
综上所述，得证.
（1）对于函数，令，
得方程，判别式.
当，即时，方程无实根，
即，由预备结论可知，满足题意；
当，即或时，方程有两相等的实根，
即为单元素集合，设，
则，其中，
所以，
则
，由，则，
所以，满足题意；
当，即，或时，方程有两不相等的实根，
设为，不妨设.
则，
则，即，
则
令，，或，或；
令，则方程化为，
即，判别式，
当，即时，方程无实根，
即方程无实根，
所以，满足题意，
故当或时，；
当，即或时，
方程有两相等实根；
当时，此时，则，
此时恰好也是方程的根，即的根；
当时，此时，则，
此时恰好也是方程的根，即的根；
故当，或时，，满足题意；
当，即或时，，
方程，即有两不等实根，
设，
则，
故都不是方程的根，
即不是的根，
故方程有个不相等的实数根，，不满足题意；
综上所述，若，则，
故实数a的取值范围是.
（2）对于函数 ，令，
当时，
是增函数，由预备结论3可知，，不满足题意；
当时，
令，则，
在同一坐标系中分别作出函数与函数的图象，
结合图象可知，方程有且仅有一个根，集合为单元素集；
令，则，即，
当时，，故此时方程无解，故.
令，，记，则，
则，，
则，令，
则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故.
①若，即时，，
则，在是增函数，，，
所以在内有唯一零点，故原方程有唯一解，故为单元素集，
由预备结论1可知，，则，不满足题意；
②若，即时，，
又，，
令，则，
当时，，在上单调递增；
则，所以，
故在内有唯一零点，不妨设为；
且在内有唯一零点，不妨设，则有.
故当时，，即，在单调递增；
当时，，即，在单调递减；
当时，，即，在单调递增；
又，由（由单调性可证），
所以，又因为在上单调递减，
所以，又，
所以在内有唯一零点.
又因为，又，
且（由的单调性可证），
所以，所以，又，
故在和内各有一个零点，即在内有个零点，
即原方程有个解，故集合中有3个元素，
又由预备结论1，，则.
故要使，则.
故实数a的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】结论点睛：关于不动点与稳定点有如下定义与性质：
定义：对于定义域为的函数，若，使得，则称为函数的不动点；若，使得，则称为函数的稳定点.
常用性质：（1）不动点一定是稳定点，而稳定点不一定是不动点；
（2）若函数不存在不动点，则必不存在稳定点；
（3）若函数单调递增，则方程与同解，即不动点与稳定点完全一致.
2．（24-25高三·上海·阶段练习）已知，若，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，分析得，进而得到，从而利用“1”的代换与基本不等式即可得解.
【详解】因为，
则方程与有相同的解，不妨设为，
则，故，即，整理得，
因为，
所以
，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得方程与有相同的解，从而得到，由此得解.
3．（24-25高三·上海虹口·模拟）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可.
【详解】由，可得，
即，
由，可得在上恒成立，
即，解得，
又集合A是非空集合，所以在上有解，
则，解得或，
综合可得：．
故答案为：
4．（24-25高一上·上海·期中）已知，记集合，．若，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意设方程的两个根分别为、，，得到参数之间的关系，有两个集合相等得出，，消去参数即求解.
【详解】因为，所以，
设方程的两个根分别为、，
且，，，
所以，
由，得，
即，
因为，所以，且，
因为，解得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以化为
，化为，
，化为，
即，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：
5．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知非空集合，.若，则的值 .
【答案】
【分析】根据可得是的两个不相等的实数根，
即可利用韦达定理求解.
【详解】由为非空集合可知，故，由于，故即，
是的两个不相等的实数根，
故且，解得或（舍去），故，故答案为：
题型5 子集型最值与求参 5单
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束”
1．（24-25高三·辽宁辽阳·模拟）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（ ）
A．128个 B．127个 C．256个 D．255个
【答案】D
【分析】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，先得出集合的子集个数，类比可得不同全子集族、不同子集族个数.
【详解】我们定义全子集族为：子集族内的集合加上空集本身，
一般地，设集合中有个元素，则它有个子集，
我们对所有子集按元素个数分类为：，
则集合不同的全子集族个数为个，
从而集合不同的子集族个数为个，
若集合B中有3个元素，
从而B的不同子集族有个.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义的理解，由此即可顺利得解.
2．（2025·江西萍乡·三模）已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项.
【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素，
故且，则，
解得且.
故选：C.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为，
，所以，所以.
故选：C.
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围.
【详解】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.
故选：A.
5．（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）若集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再分类讨论求出集合，利用求出的取值范围即可得到结果．
【详解】依题意，或，
当时，显然不成立，即，满足，因此；
当时，，由，得，解得；
当时，，由，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
题型6 交集型最值与求参 5单
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A； ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. ．
1．（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，解得，
所以，
因为，，
所以当时，恒成立，即恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
故选：B
2．（24-25高三下·广西·开学考试）已知集合，现将中的元素从小到大依次排列，则第20个元素为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件观察归纳可得，由此可得答案.
【详解】数列中的项为：，经检验，
数列中的都是数列中的项，
观察归纳可得，
所以中元素从小到大依次排列的第20个元素为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件观察规律，由此求得集合.
3．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的值域为，的值域为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，函数可看成点到点和点的距离之和，函数可看成过点和点的直线斜率，而点为上的点，分别求出值域即可.
【详解】由题意，
，
上式可看成点到点和点的距离之和，
点关于轴的对称点为，则，
所以函数的值域为，，可看成过点和点的直线斜率，
由于，所以点为上的点，如图，
当直线过时，，
当直线与曲线相切时，设直线，
则，得，所以的值域，
所以.故选：D
【点睛】关键点点睛：函数可看成点到点和点的距离之和，函数可看成过点和点的直线斜率，而点为上的点，分别求出值域即可.
4．（20-21高一上·四川眉山·阶段练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，，若只含一个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由两集合中，点的属性即可判断.
【详解】集合表示直线上及上侧所有点，
集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点，
又与相切，
所以若只含一个元素，则，
故选：C．
题型7 并集型最值与求参
并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B A B；
1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可．
【详解】，，
与的元素不同，则元素个数为4，
若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾，
若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个，
这5个元素适当排列，得到，，，，
例如，，，
取，，，，符合题意，
则中元素个数的最小值是，
故选：B．
【点睛】方法点睛：
由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解.
【详解】因为，，
所以，，故选：C
3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求它们的交集.
【详解】，，
则，，故.故选:D.
4．（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（ ）
A．66 B．67 C．68 D．69
【答案】B
【分析】首先观察本题中A集合中只考虑整数，故首先考虑A集合中所含最小正整数1，其次考虑第二个整数2．则第三个整数应为4，以此类推得到后续整数满足规律．同理当A集合中所含第一个整数1，第二个整数3，发现后续整数为所有正奇数．从而发现规律．
【详解】考虑到最后与取交集，则集合A中只考虑整数．
①假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为2，则以此类推后续整数为,
故观察规律发现从第三个数开始满足，；
②假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为3，则后续整数为
故观察规律发现从第一个数字开始满足，；则最大整数可能值既满足又满足，
令，
则可发现我们需要寻找的最大整数为，
其中即是2的倍数，又是3的倍数，
故为6的倍数，
由此可得最大整数，，代入选项发现B选项满足题意．
故选：B．
5．（2023·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
题型8 全集与补集型最值与求参
全集与补集运算的性质：
1．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，、不同在集合或中，、不同在集合或中，而、无限制，列举出满足条件的集合，即可得解.
【详解】因为，，
由题意可知，若，则，若，则，
若，则，若，则，、没有限制，
综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、
、、、、、、、、
、、，共个，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解.
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.
【详解】A：若，则，所以，
与矛盾，故A错误；
B：若，则，所以，
与矛盾，故B错误；
C：若，则，
由，得，所以，
与矛盾，故C错误；
D：若，则，
由，得，
所以，故D正确.
故选：D
3．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，所以或，
所以或，所以，
当时，，解得，满足；
当时，要使，则，解得，
综上，，即的取值范围是.
故选：D
.
4．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围.
【详解】因为，所以或，
所以，
所以，
因为，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：.
5．（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.
【详解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故选：A.
题型9 韦恩图应用
韦恩图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
1．（24-25高三·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】如图，由于，
故两个阴影部分均为，
于是，
（1）若，则，，
而，
成立；
（2）反之，若，
则由于，，
，
，
，
故选：A

【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.
2．（24-25高三上·上海·阶段练习）定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题
C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题
【答案】B
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断.
【详解】对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，，故命题乙不正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断.
3．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，
则，，，．

不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，
则，，，．
由三个集合的容斥关系公式得，
解得，故接受调查的小学生共有人．
故选：A.
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解.
【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合，
同样指图（2）中阴影部分构成的集合，
，
故选：A.
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集，
因为，所以，当时，则，

又因为为的真子集，A错；
对于B选项，若，则，B错；

对于C选项，因为，
所以，，C错；
对于D选项，因为，所以，，D对.
故选：D.
题型10 交并补集综合型
1．（2025高三·全国·专题练习）已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ．
【答案】3
【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可.
【详解】由题意作出韦恩图如图，因为，
所以全集中不属于交集的元素有个，
剩余的元素属于集合或，但不能同时属于两者，
每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为，
所以，解得．
故答案为：3
2．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
【答案】 /
【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即或又，故.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.
3．（23-24高三上·浙江金华·阶段练习）从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，则在的条件下，恰有1个元素的概率为 .
【答案】
【分析】按照要求分类讨论并结合组合数公式、条件概率公式计算即可.
【详解】由题意若恰有1个元素，则分以下四种情形进行讨论：
情形一：若中有一个元素，则中至少有三个元素，此时满足的情况有种，
而满足恰有1个元素的有种；
情形二：若中有两个元素，则中至少有两个元素，此时满足的情况有种，
而满足恰有1个元素的有种；
情形三：若中有三个元素，则中至少有一个元素，此时满足的情况有种，
而满足恰有1个元素的有种；
情形四：若中有四个元素，则中至少有一个元素，且注意到集合不同，
此时满足的情况有种，
而满足恰有1个元素的有种；
故由条件概率公式可得：恰有1个元素的概率为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】要使函数有意义，则解得，所以集合．因为，所以，所以或，所以或．因为，所以①当时，，即，满足题意；②当时，解得．综上所述，实数的取值范围是．
5．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出，由建立不等式即可得解.
【详解】由或，可得，
因为，，
所以且，
解得，
故答案为：
题型11 集合新定义型综合
解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
1．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为 .
【答案】
【分析】设为的奇子集，中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，分析得的奇子集与偶子集个数相等；计算奇子集元素之和时，含元素的和是，即可求得奇子集的元素之和.
【详解】设为的奇子集，则若，令，
若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，
则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，
显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，
每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，
故的奇子集与偶子集个数相等；
对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，
在时，这个子集中有一半为奇子集，
在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，
于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，
奇子集容量之和是.
故答案为：.
2．（2015高三·全国·练习）已知有限集（）．如果A中的元素（）满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合是“复活集”； ②若，且是“复活集”，则；
③若，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．
其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【分析】对于①，根据得到①正确；对于②，可举出反例；对于③，不妨设，得到，当时，，故，则，即，无解；对于④，时，不存在复活集，当时，推出满足要求，当时，得到，推出，矛盾，从而得到结论.
【详解】对于①，，
故满足，为复活集，①正确；
对于②，由①可知，为复活集，且，
不妨设，则为方程的两个根，
由得，或，故②错误；
对于③，不妨设，
由得，
当时，，故，则，即，无解，
若，则不可能是“复活集”，③正确；
对于④，由③知，时，不存在复活集，
不妨设，由③得，
当时，，故只能，
由得，解得，
故时，有且只有1个复活集，即，
当时，，
又，故，
事实上，在上恒成立，
故时，不存在复活集，
则“复活集”A有且只有一个，且，④正确.
故答案为：①③④
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
3．（2023·安徽合肥·模拟预测）设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小非负整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.
（1）已知，则的深度为 .
（2）中深度为的数组个数为 .
【答案】 4
【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.
【详解】空1：因，
则，，
，.
故答案为：
空2：易知中仅有一组，
中深度的数组仅1组，
中深度的数组仅2组，
中深度的数组仅4组，
中深度的数组仅组，
所以中深度为的数组仅有组.
【点睛】关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质.
4．（2025高三·全国·专题练习）我们把一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，变换满足，则中的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再求出中零向量个数即可得解.
【详解】对任意，且，
则，令，得，
则，得，又，则，
令，得，解得，且，即且，
又，因此，
于是变换将中的元素变换为零向量的，
所以中的元素个数为4.
故选：C
5．（2021·北京东城·一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是 .
【答案】①②④
【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.
【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确；
对于③，取，，，，但，故③错误；
对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P，
设，在中任取一个，此时可证得，否则若，由于也具有性质P，则，与矛盾，故，
由于A具有性质P，也具有性质P，
所以，
而，这与矛盾，
故当且A具有性质P时，则不具有性质P，
同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.

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