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专题06 抽象函数大全培优归类
题型1 抽象函数基础：单调性型证明
解答抽象函数问题，用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法. 赋值主要从以下方面考虑： ① 令等特殊值求抽象函数的函数值； ② 令或，且，判定抽象函数的单调性； ③ 令，判定抽象函数的奇偶性； ④ 换为，确定抽象函数的周期； ⑤ 用或换x为等来解答有关抽象函数的其它一些问题.
1．（24-25云南昭通·模拟）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
【答案】C
【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD.
【详解】对于A，令，则，
又因为，所以，
令，则，解得，故A错误；
对于B，令，则，又，
解得，故B错误；
对于C，令，则有，
又因为，所以，
所以函数为单调递增函数，故C正确；
对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高三·河北保定·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（ ）
A． B．为减函数
C．为奇函数 D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D.
【详解】令，则，得，
对于A，令，则，故A错误；
对于B，若，则，此时，
所以，
即时，，所以为上的增函数，故B错误；
对于C，令，则，所以，
不满足，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，因为为上的增函数，且，
所以当时，；当时，，
不等式的解集为，故D正确.
故选：D
3．（24-25高三安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，对、，满足，
又当时，，令，且，则，则，
所以，所以在上单调递减，因为，所以，，
则不等式可化为，
所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B.
4．（24-25高三·湖北武汉·模拟）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解.
【详解】因为对任意的，都有，，且，
所以，且，
设任意，则，则，
又，所以，
若，则当时，，则，矛盾，
所以，所以，所以函数是单调递减函数，
所以不等式等价于，所以，
故即，解得.
所以不等式的解集是.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数.
题型2 抽象函数基础：奇偶性型
抽象函数奇偶性证明，严格遵守奇偶性定义，构造f（x）与f（-x）的关系。
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
【答案】C
【分析】赋值法依次求出的值，以及关系式，进而推得，求出函数的周期.进而结合的值，可得出当i为偶数时，；当i为奇数时，根据二项式定理展开式得出除以4的余数为1，即可得出对应值，求和即可得出答案.
【详解】令时，因为，
所以.
令，
则，所以.
令，则，
所以，则，所以4为的一个周期.
又，
所以由周期性可知，即．
当i为偶数时，为偶数，所以；
当i为奇数时，设，
则
，
故被4除的余数为1，所以，
所以．
故选：C．
【点睛】方法点睛：求解与抽象函数有关的值时，常采用赋值法，代入计算.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可.
【详解】令，则，所以；
令，则，
所以的图象关于直线对称；
令，则，
因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数，
所以，所以，
所以是周期为8的周期函数，令，则，
解得，又为奇函数，所以，
所以.
故选：A.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C． D．
【答案】D
【分析】用代替，可得，可判断C；用替换，结合偶函数的性质可得A正确；用替换，结合偶函数的性质可得B正确；由函数的周期性可得D错误.
【详解】因为，用代替，可得，
令，得，即，
令，得，所以，C正确；
用替换，可得，所以，
所以函数为偶函数，A正确；
用替换，可得，
所以，所以，
所以，即．
所以，
故是以12为周期的周期函数，B正确；
，
所以；
，，，
所以，D错误.
故选：D.
4．（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案.
【详解】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以4为周期的周期函数，
则.
故选：D.
题型3 抽象函数基础：周期型
在赋值判断基础上，可以借助类比“正余弦函数周期”方式来判断抽象函数的周期。
1．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，且为奇函数，再结合已知的偶函数求得8为的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数的定义域为，且有，
令，得，解得；
令，得，则，
而，即不恒为0，因此，函数为奇函数，
由为偶函数，得，则，
于是，，8为的一个周期，
由，得，即
，因此，所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题设赋值可得，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，
所以，可转化为，
即，即.
因为满足且，有，
所以在区间上单调递增，
即，解得，
即不等式的解集为.
故选：C.
3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，，，，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又由为奇函数，可得，令，则，得，
又由可得的图象关于点成中心对称，则；
又由可得，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，则，
故
故选：B.
4．（24-25高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用赋值可得到递推关系，再证明周期性，即可求解.
【详解】将用替换，由对任意实数，都有，
可得，
由，所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，
所以，所以．
故选：D
题型4 抽象模型：直线型
线性抽象函数，过原点型： --过原点直线型f（x）=kx
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
2．（23-24高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集.
【详解】令，所以，所以，
令，所以，
所以且的定义域为关于原点对称，
所以是奇函数；
又因为且在上单调，所以在上单调递增；
又因为，所以，
所以不等式等价于，
又因为在上单调递增，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难.
3．（22-23高三·重庆沙坪坝阶段练习）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是( )
①
②是上的奇函数
③在上的最大值是
④不等式的解集为
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】因为函数对任意实数恒有,当时,,,先证明其奇偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案..
【详解】奇偶性证明: 令 令
即又 故是定义域为的奇函数单调性证明:
任取且,则; 令
时, 时,
又 为奇函数 在上是减函数;
对于①,因为,故①正确;
对于②,因为是定义域为的奇函数,故②正确;
对于③,,可得令,可得,,,
在上是减函数 在上的最大值是,故③正确；
对于④, 不等式 即
则 在上是减函数
,解得:或,故④错误.故选:C．
【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
4．（22-23高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】B
【分析】根据题设条件令，求出，再令，，得出，即可得出的值.
【详解】由题意令，则有，故得
令，，则有
又∴∴
故选:B
【点睛】本题主要考查了抽象函数求函数值，属于基础题.
题型5 抽象模型：上下平移型
线性抽象函数上下平移型，不过原点直线型型：
1．（24-25高三·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④
【答案】A
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；
【详解】因为，故令，可得，
即，解得，故①正确；
令，，可得，又，
即，解得，再令，可得，
即，故②正确；
令，可得，即
因为，则，可得，所以，
令，不妨设，可得，即，
因为，则，则，可得，即，
所以为上增函数，故③错误；
令，可得，即，整理得，
所以为奇函数，故④正确；
故选：A．
2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，分析出函数是柯西函数方程，所以，代入求出，根据代入计算即可.
【详解】令，可得，可得，
令，则，对任意的、，
总有，则，这是柯西函数方程.
由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数，
形式为，，因此.
因为，所以将代入，得到，即，
因此函数，又因为，
所以，即，
因此，不等式的解集为.
故选：D.
3．（2024高三下·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
【答案】B
【分析】利用赋值法可得以及，即可构造函数，判断奇偶性，即可根据奇偶性的性质可得为奇函数以及最值.
【详解】，．有，
取，则，故，
取，则，故，
令，则,故为奇函数，
，设，
，故为奇函数，故为奇函数，
故，
则，
故
故函数在上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取，从而,
因为，所以，所以，则在R上单调递增．
不等式等价于不等式，
即．因为在R上单调递增，
所以，解得．故选：A.
题型6 抽象模型：一元二次型
一元二次函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型
1．（24-25高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果.
【详解】根据题意令，则，可得，
再令，则，可得.
故选：C
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解.
【详解】解法一：由题意取，可得
即知则.
解法二：令，则
，
所以，
即，所以，则.
解法三：由可构造满足条件的函数，
可以快速得到.故选：C.
3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论．
【详解】令，得；
令，，得；
令，得.
将以上三式相加得，即.
故选：A．
4．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用递推式判断在上的符号及单调性，并得到，即可判断的个数.
【详解】令且均属于，则，又，
所以，
所以当，
，
所以，满足仅有，即仅有1个.
故选：A
题型7 抽象模型: 一元三次型
一元三次模型
1．（21-22高三上·黑龙江牡丹江·模拟）已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令可得，利用累加法可求时的解析式，利用参变分离及基本不等式可求实数的取值范围.
【详解】令可得，
化简可得，故
，
，
累加可得，，
不等式等价于 ，
因为，故在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故选A.
【点睛】本题考查函数解析式的求法以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题，注意利用参变分离可把恒成立问题转化为函数的最值问题.
2．（2024·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】令求出.令可判断①；令，得，再求出、可判断③；利用累加法求出可判断②；利用导数可判断④.
【详解】对于①，令，得，所以.
令，得，所以为奇函数，故①正确；
对于③，令，得，
所以，，故③错误.
对于②，因为，
所以， ，
，，，以上各式相加得
，所以，故②正确.
对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出的解析式.
3．（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．在上单调递增 D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义计算判断AB；利用单调性定义推理判断C；利用复合函数求导，赋值计算，结合函数的周期计算判断D.
【详解】对于A，取，得，解得，
取，则，即，又，
因此为奇函数，A错误；
对于B，，
解得，因此，B正确；
对于C，，则，，
，函数在上单调递增，C正确；
对于D，取，则，求导得，
于是，解得，由，
求导得，则，，
又函数的周期为4，，
所以，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：探讨抽象函数的性质，关键是适当地赋值，结合已知确定函数的奇偶性、单调性及相关函数值.
4．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.
【详解】解：在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
题型8 抽象模型: 正切函数型
分式正切函数两角和公式型
1．（多选）（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）下列指定的函数中，一定有的有（ ）
A．指定的函数是奇函数；
B．指定的函数满足：，都有；
C．指定的函数满足：，都有且当时，；
D．设，指定的函数满足：都有.
【答案】BD
【解析】由在处可能没有意义可判断A；令可判断B；令可判断C；直接可计算，即可判断D.
【详解】对于A，函数在处可能没有意义，所以A错；
对于B，令中得，所以B对；
对于C，令，因为有，∴，，所以C错；
对于D，由，所以D对.
故选：BD.
【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题.
2．（多选）（22-23高三上·福建宁德·期末）已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称
【答案】ABC
【分析】利用赋值法能够确定选项ABD，利用函数的单调性可判断C.
【详解】由题知，令，，则有，当时，解得；
令，且在定义域内，则，则，即，
是奇函数，A正确；
由题知，=
，所以周期为，故B正确；
由，而，所以D选项错误；
关于C，对于任意，且，
有，
因为，，所以，
所以也即，所以在上单调递增；
且在时，；任取，且，
则，，
且，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，所以在上是增函数，故C正确.
故选：ABC
3．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令中，即可得出答案；
对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A选项：令，得，故A正确.
B选项：令，则，因此，
又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误.
C选项：令，则，
所以，因此，
所以为周期函数，且周期为4，故C正确.
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
4.（2007·山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答
【详解】对于A，因，则满足，A不是；
对于C，因，则满足，C不是；
对于D，因，则满足，D不是；
对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是.
故选：B
题型9抽象模型: 余弦与双曲余弦型
余弦与双曲余弦模型
1．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
【答案】D
【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断；
对于B，由，不妨令，即可判断；
对于C，令，通过换元即可判断；
对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断.
【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A正确；
对于B，由A可知，不妨令，
有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以偶函数，即为偶函数，故B正确；
对于C，令，有，
令，由，得，
所以当时，有，即当时，，故C正确；
对于D，若，令，有，
所以关于中心对称，
又为偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，，
所以，
所以，
所以，故D错误.
故选：D.
2.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C．有零点 D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可.
【详解】A：在中，
令，得，
因为，所以，所以本选项不正确；
B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确；
C：在中，
令，得
，或，
显然函数没有零点，故本选项不正确，
D：在中，
令，
得，所以本选项正确，
故选：D
3.函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A． B．-1
C．0 D．1
【答案】D
【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解.
【详解】将用替换，用替换，
由对任意实数，都有，
可得，由，
所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，利用函数的周期性定义求出函数的周期，解决抽象函数的问题一般应用赋值法，此题属于中档题.
4.设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，即可求解，
令，，即可求出，
令，，可得结论，
令，，.
【详解】由题意，令，可得，，，故A正确，
令，，可得，，故B正确
令，，可得，，
；，
，故C正确，
令，，可得，，故D错误，
故选D．
题型10 抽象模型: 正弦与双曲正弦型
正弦与双曲正弦型：
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可.
【详解】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.
故选：C
2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】对于A，令，得，令，整理得到判定；对于B，先证明是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断.
【详解】对于A，
令，则，得，
令，得，
由整理可得，
由题干可知不恒为0，故，
即，故是奇函数，不是偶函数，A错误；
对于B，设，则，
则，
且，
故，则，
又，是奇函数，故是增函数，
由是增函数可得不是周期函数，故B错误；
对于C，时，，，
，，C错误；
对于D，时，，
，，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.
3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
【答案】B
【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD.
【详解】令，则，解得，故A正确；
令，则，即，
因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确；
令，则，因为不恒为0，且，
所以只能，从而，周期为4，
显然，故B错误D正确.
故选：B
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．当时，
D．当时，
【答案】D
【分析】对于A,令，得，令， 将变换为，得到判定；对于B，先证明 是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断.
【详解】对于A,令，则，得，令，得，由整理可得.
将变换为，则，故，故，故是奇函数，故A错误.
对于B，,设，则，
且
，故，则.
又是奇函数，故是增函数，可得不是周期函数，故B错误.
对于C，时，故C错误；
对于D，时，.故D正确.
故选：D.
题型11 抽象模型：对数反比例型
对数反比例型：
1．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，得，令，得，得为奇函数. 令，得，得函数在上单调递减，利用单调性将不等式化为，结合函数的定义域和可求出结果.
【详解】在中，令，得，得，
在中，令，得，即，
所以为奇函数，令，则，所以，
因为，所以，，所以，因为，所以，所以，，
所以，因为当时，恒成立，所以恒成立，
所以，即，所以函数在上单调递减，
由及函数的定义域可知，，
又由已知，可得，可得，由得，
因为函数在上单调递减，所以，所以，
因为，，所以，
所以，
所以，结合，可得.故选：D
2．（22-23高三·浙江·模拟）定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在已知等式中取，可求得，x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，通过做差则三个数的大小即可比较．
【详解】取，则，
所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，
当-10,所以P>R,Q>R,
由，得：=
所以所以所以．
故选D．
【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，属于中档题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
3．（多选）（2023·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据已知应用单调性分情况可以判断A选项，应用单调性结合反证法可以判断D选项，赋值法可以求出B选项，根据对称性可以判断C选项.
【详解】令，则，
∴为奇函数，把y用代替，得到，
设，，∴．
又∵当时，，∴，
∴在上单调递减．
∵，，
当时，，则当时，则，，
当时，则，．
综上，，∴A错误．
令，得，∴，
令，得，∴，∴B正确．
由，得，得，
又∵，为奇函数，∴，
则，则的图像关于点对称，∴C正确．
，
假设，可得，即，
当时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．
故选：BC.
【点睛】方法点睛：抽象函数已知奇偶性结合单调性定义得出单调性，结合对称性可以确定对称中心进而可以解题.
4．（多选）（20-21高三湖南·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．为单调递减函数 D．为单调递增函数
【答案】ABC
【解析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由判断其符号即可.
【详解】令得，即得，A正确；
在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确；
令，，且，所以，又且，，所以，即，所以，所以是单调减函数，C正确，D错误．
故选：ABC．
题型12 抽象模型：反比例型
反比例模型：
1.（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.
【详解】，，
令，得，又，，
，
再令，，，
.
故选：B
2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在定义域内单调递减
【答案】AC
【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D.
【详解】令，则，解得，故A正确；
因为，即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
故，故B错误；
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，则，
令代换，则，
由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确；
因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，
但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误.
故选：AC
3.（24-25高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论.
【详解】因为，取可得，
又，可得，
因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得，
故选：D.
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专题06 抽象函数大全培优归类
题型1 抽象函数基础：单调性型证明
解答抽象函数问题，用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法. 赋值主要从以下方面考虑： ① 令等特殊值求抽象函数的函数值； ② 令或，且，判定抽象函数的单调性； ③ 令，判定抽象函数的奇偶性； ④ 换为，确定抽象函数的周期； ⑤ 用或换x为等来解答有关抽象函数的其它一些问题.
1．（24-25云南昭通·模拟）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A． B． C．为增函数 D．为奇函数
2．（24-25高三·河北保定·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（ ）
A． B．为减函数
C．为奇函数 D．不等式的解集为
3．（24-25高三安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三·湖北武汉·模拟）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
题型2 抽象函数基础：奇偶性型
抽象函数奇偶性证明，严格遵守奇偶性定义，构造f（x）与f（-x）的关系。
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025 B．2024 C．1013 D．1012
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A． B．0 C． D．1
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数且周期为12
C． D．
4．（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则
A． B．0 C．1 D．2
题型3 抽象函数基础：周期型
在赋值判断基础上，可以借助类比“正余弦函数周期”方式来判断抽象函数的周期。
1．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
4．（24-25高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（ ）
A． B． C．0 D．1
题型4 抽象模型：直线型
线性抽象函数，过原点型： --过原点直线型f（x）=kx
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
2．（23-24高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·重庆沙坪坝阶段练习）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是( )
①
②是上的奇函数
③在上的最大值是
④不等式的解集为
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
4．（22-23高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
题型5 抽象模型：上下平移型
线性抽象函数上下平移型，不过原点直线型型：
1．（24-25高三·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④
2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
3．（2024高三下·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．6 D．12
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型6 抽象模型：一元二次型
一元二次函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型
1．（24-25高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．14 D．16
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25 B．125 C．625 D．15625
3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型7 抽象模型: 一元三次型
一元三次函数型
1．（21-22高三上·黑龙江牡丹江·模拟）已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④
3．（多选）（24-25高三上·陕西安康·开学考试）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．在上单调递增 D．
4．（多选）（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
题型8 抽象模型: 正切函数型
分式正切函数两角和公式型
1．（多选）（20-21高三上·广东汕头·阶段练习）下列指定的函数中，一定有的有（ ）
A．指定的函数是奇函数；
B．指定的函数满足：，都有；
C．指定的函数满足：，都有且当时，；
D．设，指定的函数满足：都有.
2．（多选）（22-23高三上·福建宁德·期末）已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称
3．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．
4.（2007·山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
题型9抽象模型: 余弦与双曲余弦型
余弦与双曲余弦模型
1．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
2.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C．有零点 D．
3.函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ）
A． B．-1
C．0 D．1
4.设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是
A． B．
C． D．
题型10 抽象模型: 正弦与双曲正弦型
正弦与双曲正弦型：
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数
2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．当时， D．当时，
3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．
4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．当时，
D．当时，
题型11 抽象模型：对数反比例型
对数反比例型：
1．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三·浙江·模拟）定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　
A． B． C． D．
3．（多选）（2023·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
4．（多选）（20-21高三湖南·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．为单调递减函数 D．为单调递增函数
题型12 抽象模型：反比例型
反比例模型：
1.（24-25高三·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．在定义域内单调递减
3.（24-25高三·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
结束

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