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专题05 均值不等式培优归类
题型1 公式基础
重要基础不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5）
1．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三·安徽合肥·模拟）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
题型2 取等条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值为4
C．“且”是“”的充分不必要条件
D．不等式与有相同的成立条件
2．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三·全国·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
4．（24-25高三·上海·模拟）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2023·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（ ）
（1）；
（2）上式当且仅当即时，等号成立；
（3）所以当时，取得最小值
A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错
题型3 基本型：凑配对勾型
对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
1．（2025高三浙江阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．（2025高三·湖南郴州·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．
4．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
5．（22-23高三全国·阶段练习）函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
题型4 重要基础：分离常数型构造
分离常数型构造法： ，可以考虑直接分离常数构造对勾型，或者分母换元构造对勾。
1．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）若则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（23-24高按·安徽芜湖·模拟）已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（ ）
A． B．12 C．9 D．
5．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值6 D．最小值8
题型5 “1”的代换：基础模型
“1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。
1．（24-25高三·贵州贵阳·阶段练习）若随机变量，且，其中m，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三·黑龙江哈尔滨模拟）在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（24-25高三重庆九龙坡·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．6
4．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C． D．27
5．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
题型6 “1”的代换：单变量隐“和”构造型
单变量隐“和”构造型： 形如
1．（23-24高三·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．25 B．6 C．10 D．5
4．（24-25高一上·浙江丽水·期中）设，则的最小值为（ ）
A．81 B．27 C．9 D．3
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
题型7 “1”的代换：“积、和”混合同除型
“积、和”混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
2．（24-25高三·广东广州·模拟）已知，且，求的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．（22-23高三·新疆·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川成都·模拟）已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．17
5．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
题型8 “1”的代换：“积、和”混合解不等式型
“积、和”混合解不等式型原理： 1.原理：如 有“和”有“积”，则结合所求的是和（或积），则对积（或和）用均值，达到“消去”积（或和）的目的，然后再解关于积（或和）的一元二次不等式。 2.易错： 对于求和型，需要满足条件等式中的和的系数比与所求的系数比相等。如：满足，求。若，求型，则失败。需要用反解代入等其它方法
1．（24-25高三·湖南长沙·模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．（24-25高三·云南昭通·模拟）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
5．（24-25高三·山东滨州·模拟）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B．25 C．5 D．1
题型9 构造分母型：单分母基础型
形如pa+b=t，求型，则可以凑配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（19-20高二上·天津·期中）已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．9
4.（2024·安徽·模拟预测）已知，若正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
5.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
题型10 构造分母型：双分母基础型
形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1.．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
2.（24-25高三·浙江金华·阶段练习）已知且，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3.（24-25高三·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
4.（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25高三·福建三明·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型11 构造分母型：三角函数型
三角函数型构造： 利用定值结构构造求解。 利用三角函数两角和与差等恒等公式求解
1.（20-21高一上·山西临汾·期末）若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（20-21高三陕西安康·阶段练习）已知 角满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．18
3.（2023·河南开封·模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
4.（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．
5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）设，则的最小值为 .
题型12 构造分母型：待定系数（凑配）型
型如
1．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4、（22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
题型13 构造分母：分离再构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
1.（21-22高三上·辽宁·阶段练习）若实数（），则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2.（2022·安徽·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24高三·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5.（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．4
题型14 因式分解型
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
1.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
3.（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
4.（24-25高三·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 .
5.（24-25高一上·河南·期末）设，，且，则的最大值为 ．
题型15 齐次同除换元型
一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 基本规律 一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
1.（23-24高三·上海浦东新·模拟）已知实数，则的最大值为 ．
2.（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）已知中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
3.（2021高三·浙江杭州·阶段练习）若，则的取值范围是 ．
4.（22-23高三·浙江·模拟）已知a，b，，记，则T最大值为 .
5.（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知为正实数，则的取值范围是 .
题型16 反解代入消元型
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.
1.（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为 .
2.（2020·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
3.（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）设，，且，则的最小值为 .
4.（2023·全国·高三专题练习）若均为非负实数，且，则的最小值为 .
5.（2022秋·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为 .
题型17 换元型
换元型： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元，
1.（22-23高三·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2.（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4.（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.（24-25高三·河南新乡·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
题型18 两次均值型
一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。两次均值，逐次消去，取等条件一致才能成立
1.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
2.（2021·全国·高三专题练习）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022秋·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
题型19 万能“K”型
设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
1.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为 ．
2.（24-25高三·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
3.（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知正数满足：，则的最小值是 ．
4.（22-23高三·浙江丽水·阶段练习）若正数满足，且，则
A．为定值，但的值不定 B．不为定值，但是定值
C．，均为定值 D．，的值均不确定
题型20 无条件：“裂项”型
1.（24-25高三·上海·阶段练习）设是正实数，则的最大值为 .
2（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 .
3.（22-23高三·湖北武汉模拟）是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
题型21 三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 .
2.（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是 ．
3.（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 .
4.（24-25高三·天津西青·阶段练习）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为
题型22 压轴小题综合应用
1．（2025·湖南郴州·三模）（多选）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025年全国阶段练习）（多选）设且，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃陇南·一模）（多选）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知，，，则以下正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．最小值为3 D．最大值为2
5．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）设正实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
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专题05 均值不等式培优归类
题型1 公式基础
重要基础不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5）
1．（2025·辽宁鞍山·二模）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解.
【详解】根据已知条件有，，所以，
因为、是函数的图象上两个不同的点，
所以，所以，即，
因为为上的增函数，
所以，
所以
故选：B
2．（24-25高三·安徽合肥·模拟）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合对数的单调性，基本不等式的公式，即可求解.
【详解】，
又，则，
因为，则，故，
综上所述，.
故选：D.
3．（24-25高三·湖南长沙·开学考试）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等式判断的大小，进而判断函数值的大小.
【详解】因为，所以定义域为，且，
易知为减函数，为增函数，所以为减函数.
，
又，所以，则.
故选：A
4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列和等比数列的性质和基本不等式即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
因为数列为等比数列，所以，
而，
所以，故A正确，C错误；
因为，而，可同为正数也可同为负数，
当时，，当时，，
所以，大小关系不确定，故B，D错误.
故选A.
5．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.
【详解】因为，
，
又，，所以，
，
且，所以，
所以.
故选：A.
题型2 取等条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（24-25高二下·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是2
B．函数的最小值为4
C．“且”是“”的充分不必要条件
D．不等式与有相同的成立条件
【答案】C
【分析】对于A，由反例，根据不等式性质，可得其正误；对于B，由余弦函数的性质，根据基本不等式，可得其正误；对于C，由基本不等式，根据充分不必要条件，可得其正误；对于D，由重要不等式与基本不等式，可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，由，则，，
当且仅当时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误；
对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，当时，成立，当时，成立，故错误.
故选：C.
2．（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】AD通过分析符号可完成判断；
B由基本不等式可判断选项正误；
C由做差法可判断选项正误.
【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负，
当为负数时，，则A错误；
对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确
对于C，，故C错误；
对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误；
故选：B
3．（24-25高三·全国·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
【答案】B
【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断.
【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误；
对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误；
对于D，取，，D错误.
故选：B
4．（24-25高三·上海·模拟）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误；
因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误；
因为，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确.
故选：D
5．（2023·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（ ）
（1）；
（2）上式当且仅当即时，等号成立；
（3）所以当时，取得最小值
A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错
【答案】D
【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解.
【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则，
求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错，
故选：D.
题型3 基本型：凑配对勾型
对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
1．（2025高三浙江阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因，则，
则，等号成立时.
故的最小值是.
故选：C
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数正数满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据函数的导数判断函数单调性，再利用函数单调性解不等式得出的取值范围，最后通过对式子变形，利用基本不等式求最值.
【详解】当时，恒成立，当时，恒成立，则在上单调递增，在上单调递增．
又因为，当时，，对时，0也成立，所以在上单调递增．
已知正数满足，则，解得或（负值舍去），所以，，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．
故选：C.
3．（2025高三·湖南郴州·阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．
【答案】D
【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，所以，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D
4．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，解得.
故选：B
5．（22-23高三全国·阶段练习）函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故选：.
题型4 重要基础：分离常数型构造
分离常数型构造法： ，可以考虑直接分离常数构造对勾型，或者分母换元构造对勾。
1．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）若则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将变形为，设，根据基本不等式即可求解．
【详解】，
因为，所以，设，
则，当且仅当时等号成立，
此时，解得，
故选：A．
2．（24-25高三·云南昭通·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，，函数，
当且仅当，即时取等号，
所以所求最小值为2.
故选：A
3．（23-24高按·安徽芜湖·模拟）已知，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先变形已知，再利用基本不等式求最值.
【详解】，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（ ）
A． B．12 C．9 D．
【答案】A
【分析】解法一,化简，利用“”将转化为可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式求最小值即可，要注意等号能否取到.解法二,求，利用导数研究函数的单调性、最值即可.
【详解】解法一：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
解法二：由题意知，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为.
故选：A.
5．（24-25高三·云南昆明·阶段练习）已知，则函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值6 D．最小值8
【答案】B
【分析】先把化成，再结合基本不等式求和的最大值，过程中要注意的取值范围.
【详解】因为.
因为，所以，.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，则函数有最大值.
故选：B
题型5 “1”的代换：基础模型
“1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。
1．（24-25高三·贵州贵阳·阶段练习）若随机变量，且，其中m，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正态分布性质得出，再应用基本不等式计算求解最小值即可.
【详解】由随机变量，且，得，
则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，
故选:C
2．（24-25高三·黑龙江哈尔滨模拟）在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．
【详解】由题意，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：B.
3．（24-25高三重庆九龙坡·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，且，即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B
4．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C． D．27
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，得
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：C
5．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
【详解】因为
所以.其中均正数.
当且仅当，即时取等号.
故选：C
题型6 “1”的代换：单变量隐“和”构造型
单变量隐“和”构造型： 形如
1．（23-24高三·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】C
【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则，
故，
当且仅当，则时取等号，
综上，目标式的最小值为3.
故选：B
3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．25 B．6 C．10 D．5
【答案】D
【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值.
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为5．
故选：D
4．（24-25高一上·浙江丽水·期中）设，则的最小值为（ ）
A．81 B．27 C．9 D．3
【答案】B
【分析】根据基本不等式的乘“1”法，即可求解.
【详解】由于，故，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为，
故选：B
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当即取等号，
故最小值为25，
故选：B
题型7 “1”的代换：“积、和”混合同除型
“积、和”混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。
1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
2．（24-25高三·广东广州·模拟）已知，且，求的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】构造，结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为，且，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立；
因此，的最小值为.
故选：B
3．（22-23高三·新疆·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解.
【详解】因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以由恒成立，得，所以.
故选：D.
4．（24-25高三上·四川成都·模拟）已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．17
【答案】B
【分析】方法一：由，利用基本不等式结合“”的妙用即可求解；
方法二：由，则，再结合基本不等式即可求解.
【详解】方法一：，
则，
当且仅当，即，时取等号.
方法二：，
则
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B.
5．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】B
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值.
【详解】由，得，
则，
当且仅当时，等号成立.
故选：B
题型8 “1”的代换：“积、和”混合解不等式型
“积、和”混合解不等式型原理： 1.原理：如 有“和”有“积”，则结合所求的是和（或积），则对积（或和）用均值，达到“消去”积（或和）的目的，然后再解关于积（或和）的一元二次不等式。 2.易错： 对于求和型，需要满足条件等式中的和的系数比与所求的系数比相等。如：满足，求。若，求型，则失败。需要用反解代入等其它方法
1．（24-25高三·湖南长沙·模拟）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解.
【详解】原式变形可得，由得，
所以，
当且仅当即时取等号；所以.故选：C
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知，当时等号成立，
即，
令，则
解得或舍
即，
当且仅当时，等号成立．
故选：C.
3．（24-25高三·云南昭通·模拟）若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得.
【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，
因，故，故当时，取得最小值为2.
故选：B.
4．（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
【答案】C
【分析】由，代入,求解一元二次不等式即可；
【详解】，当且仅当时取等号，
即，
即，因为，
所以，
所以的最小值为20，
故选：C
5．（24-25高三·山东滨州·模拟）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B．25 C．5 D．1
【答案】B
【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
【详解】因为，，且，
即，
且，当且仅当时等号成立，
可得，解得或（舍去），
所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
故选：B
题型9 构造分母型：单分母基础型
形如pa+b=t，求型，则可以凑配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
三个等号可同时成立，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
2.（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，，且，则，
所以
，
当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
3.（19-20高二上·天津·期中）已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】先运用对数的运算性质化简已知式为，结合所求式的结构，将其化成，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得.
【详解】由可得: ,
即,则
则
,
当且仅当时,等号成立.
由解得：，
即当时，的最小值是.
故选：B.
4.（2024·安徽·模拟预测）已知，若正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最值即可.
【详解】由题意得，故是定义在上的奇函数，
由为增函数知是增函数，
因为，所以，即，
所以.
故选：A
5.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知非负实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得，利用“”乘以构建基本不等式，再根据不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，则，
所以，
根据不等式性质可知，
当且仅当时等号成立，即满足条件，
所以，
所以的最小值为.
故选：B
题型10 构造分母型：双分母基础型
形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1.．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由已知条件构造出所求代数式分母有关的等式，由基本不等式的巧用“1”求得最小值.
【详解】由，得，
设，，则，
，
当且仅当，即，，时取等号.
故选：C.
2.（24-25高三·浙江金华·阶段练习）已知且，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据，求出，利用基本不等式求出的范围，求出的范围，判断选项.
【详解】若，则，
故
，
当且仅当，即取等号，
由恒成立，即，
则，故或.
故选：B.
3.（24-25高三·河南漯河·阶段练习）已知实数，，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】实数，，满足，故，
即，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为1.
故选：C
4.（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值.
【详解】因为，，则，，由题意可知，则，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
5.（24-25高三·福建三明·阶段练习）设正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则，，代入所求式子，利用基本不等式中1的妙用求最小值．
【详解】∵正数满足，
∴，且，则，，
设，，则，，，，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值为．
故选：B．
题型11 构造分母型：三角函数型
三角函数型构造： 利用定值结构构造求解。 利用三角函数两角和与差等恒等公式求解
1.（20-21高一上·山西临汾·期末）若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：A.
2.（20-21高三陕西安康·阶段练习）已知 角满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．18
【答案】C
【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】，
，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，等号成立．
的最小值为8．
故选：C
3.（2023·河南开封·模拟预测）已知锐角满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】，，
、均为锐角，则，，
，
当且仅当时，即当时，故，时等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C
4.（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】C
【分析】运用乘1法，可得，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】由三角函数的性质知
当且仅当，即，即，时，等号成立.
故选：C
5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）设，则的最小值为 .
【答案】25
【分析】利用二倍角公式及三角函数的有界性放缩，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得，当且仅当时，，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以所求最小值为25.
故答案为：25
题型12 构造分母型：待定系数（凑配）型
型如
1．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合基本不等式求得的最小值.
【详解】，
，当且仅，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
2.（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】方程有两个不等的实数根，
，
，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
4、（22-23高二下·浙江温州·期中）点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，所以，
又点在线段上（不含端点），所以，且，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
5.（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
题型13 构造分母：分离再构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
1.（21-22高三上·辽宁·阶段练习）若实数（），则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据题意化简得到，且，进而得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，且，
所以，且，
所以，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以的最小值为，
故选：A．
2.（2022·安徽·模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解
【详解】
因为，，所以，
又
所以
当且仅当即，时，取等号
所以
故选：A
3.（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是．
故选：A.
4.（23-24高三·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先根据题意得到，从而得到，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．
【详解】由，，，则，则，
所以
．
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：A．
5.（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．4
【答案】B
【分析】由变形可得，利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，同理，
又，
因为，，，
由基本不等式就可得，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
题型14 因式分解型
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
1.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由，
得，
又，，即，，
则，
即，解得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，
故选：C.
2.（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可．
【详解】由，得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是5．
故选：D
3.（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A
【分析】由条件可得，，变形代数式，利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，
又，
因为，，
由基本不等式就可得，
当且仅当，时等号成立，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
4.（24-25高三·河北石家庄·阶段练习）已知，且，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】先由题意得且，接着将代入整理得，再根据基本不等式中常数“1”的妙用方法即可计算求解.
【详解】因为，且，
所以且，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
5.（24-25高一上·河南·期末）设，，且，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据，得到，从而，再分，， ，，，求解.
【详解】解：因为，所以，
所以．
当，时，，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立；
当，时，此时．不成立；
当时，，此时；
当，时，，，不成立；
当，时，，，不成立；
综上，的最大值为，
故答案为：
题型15 齐次同除换元型
一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 基本规律 一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
1.（23-24高三·上海浦东新·模拟）已知实数，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当，，即时，等号成立.
故答案为：
2.（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）已知中有且仅有一个元素，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据已知求出，化简，再换元利用基本不等式求解.
【详解】由于有且仅有一个元素，
所以. 所以.
所以,
设，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
3.（2021高三·浙江杭州·阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由基本不等式可得，可得，可得，即有，化简所求式子，运用对勾函数的单调性，可得所求范围．
【详解】解：，，，
可得，当且仅当时取等号；
可得，
，
可得，
即有，
则
，
可令，
由在，递减，可得
，
则的取值范围是，
故答案为：．
4.（22-23高三·浙江·模拟）已知a，b，，记，则T最大值为 .
【答案】
【解析】将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母 ，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.
【详解】，
而，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，.
当且仅当，即时取等号，所以T最大值为故答案为：
5.（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知为正实数，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】先将分式的分子分母同除以，然后采用换元的方法令，根据基本不等式的变形求解出原式的最小值，再根据分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范围.
【详解】因为，令，因为，所以，
所以原式，又因为，所以，
所以，所以原式，
取等号时，即，又因为时，，
综上可知原式的取值范围是，故答案为：.
题型16 反解代入消元型
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.
1.（2022·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由题意，，故，结合均值不等式，即得解
【详解】∵，且满足，
∴，
=，
当且仅当时，的最小值为.
故答案为：
2.（2020·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可
【详解】由得，
又，为正实数，所以，得，
则，
，
当且仅当,即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
3.（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）设，，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由得到，再将化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
4.（2023·全国·高三专题练习）若均为非负实数，且，则的最小值为 .
【答案】1
【解析】由条件可得，然后将变形为，运用基本不等式即可求出.
【详解】因为，且均为非负实数
所以
所以
当且仅当即时取得最小值
所以的最小值为1，此时
故答案为：1
5.（2022秋·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由得出，进而可得出，然后利用基本不等式可求出所求代数式的最小值.
【详解】，，，，且，且.
，当且仅当，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
题型17 换元型
换元型： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元，
1.（22-23高三·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：设，，，则，，，
且，，，
∴，，，
∴，
令
，
∴.
当且仅当，即，即时等号成立.
（如，即时等号成立）.
∴的最小值为；
故选：B．
2.（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．
故选：B
3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
4.（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
5.（24-25高三·河南新乡·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】把已知等式分解为，再令，解出，然后利用基本不等式求解；
【详解】因为，所以，
令，则且，
所以.当且仅当时等号成立.
故选：C.
题型18 两次均值型
一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。两次均值，逐次消去，取等条件一致才能成立
1.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因，则，
当且仅当且，即时取“=”，
所以当时，取最小值.
故选：B
2.（2021·全国·高三专题练习）已知，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值排除错误选项，由此得出正确答案.另可用基本不等式证明A选项正确.
【详解】当时，，，所以CD选项错误.
当时，，，所以B选项错误.
，
即当且仅当或时等号成立.
则，，解得.
故选：A
3.（2022秋·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
题型19 万能“K”型
设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
1.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由条件结合基本不等式证明，解不等式可得结论.
【详解】由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即，
所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”，
所以的最小值为．
故选：D.
2.（24-25高三·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】化简可得，结合解不等式可得，解不等式可得结论.
【详解】因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
解得或（舍去），
所以的最小值为.
故答案为：.
3.（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知正数满足：，则的最小值是 ．
【答案】2.
【解析】将等式两边同时乘以，然后利用基本求解出，同时分析取的条件是否满足.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，取等号时，
所以，所以，
当时，符合条件，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式的综合应用，对于转化和计算的能力要求较高，难度较难.利用基本不等式求解最值时，注意分析取等号时对应的条件是否满足.4.
4.（22-23高三·浙江丽水·阶段练习）若正数满足，且，则
A．为定值，但的值不定 B．不为定值，但是定值
C．，均为定值 D．，的值均不确定
【答案】C
【分析】由于x，y都是正数，可以根据不等式性质得到，又，那么，再由，可知，能解出x和y的值．
【详解】由题得，因为
，则有且，故有，解方程组，得，x，y均为定值，故选C．
【点睛】本题主要考查不等式性质的理解和应用，属于典型考题．
题型20 无条件：“裂项”型
1.（24-25高三·上海·阶段练习）设是正实数，则的最大值为 .
【答案】
【分析】依题意变形为，再结合基本不等式，令，即可求解.
【详解】，
，，
当，得，
则，得，
得或（舍），
所以
所以的最大值为.
故答案为：
2（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 .
【答案】
【分析】将变为，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x，y，z均为正实数，
所以
，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
3.（22-23高三·湖北武汉模拟）是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，
不妨设均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A
4.（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】
将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】
，
所以，
当且仅当时取到等号，
故答案为：
题型21 三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件得到，再通过转化和构造，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
则，
又，所以，
当且仅当，即时取等号，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故答案为：.
2.（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】讨论与的大小关系，在每种情况中分别用基本不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】按和分类：记，
当时，，，
当且仅当，，时，等号成立；
当时，，，
当且仅当，，时，等号成立．
综上所述，的最小值是．故答案为：.
3.（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 .
【答案】 ； /
【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可.
【详解】因为，，所以，
所以
，当且仅当，即时取得最小值；
易知
，
当且仅当第一个不等号可取等号，当且仅当第二个不等号可取等号.
故答案为：；.
4.（24-25高三·天津西青·阶段练习）设正实数，，，满足 ，则当取得最大值时， 的最大值为
【答案】/
【分析】将化为，利用基本不等式可求出时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案.
【详解】由题意知正实数，，，满足，
即，则，则，
当且仅当，即时取等号，故，即最大值为，
此时，故，
当，即时，取最大值，故答案为：
题型22 压轴小题综合应用
1．（2025·湖南郴州·三模）（多选）设正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A：设，整理可得得，结合运算求解；对于BD：利用基本不等式分析判断；对于C：先证，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为正实数满足，
设，则，
因为，
即，整理可得得，
将其看为关于的一元二次方程，则，解得，
即，故A正确；
对于选项D：因为，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确；
对于选项B：因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为
，
因为，则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
即，可得，
即，当且仅当时，等号成立
所以，故C正确；
故选：ACD.
2．（2025年全国阶段练习）（多选）设且，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用重要不等式求解出，进而得到一定成立判断A，利用完全平方公式结合给定条件得到，再进行换元并得到新元的范围，将原不等式转化为，判断两边同正后再对两边同时平方，移项后转化为证明，再对左侧因式分解并结合二次函数性质，判断不等式不成立来求解B，利用已证结论结合基本不等式判断C，利用基本不等式结合指数函数性质判断D即可.
【详解】对于A，因为，且由重要不等式得，
当且仅当时取等，所以，
解得，因为，所以，
故，此时一定成立，故A正确，
对于B，由完全平方公式得，
因为，所以，因为，所以，
故，则，
欲证，则证，
即证即可，令，
则证，故证即可，
而，，故证即可，
则证，即证即可，
令，故证即可，
对于，其开口向上，且，
由二次函数性质得恒成立，而，则，
综上可得，即不成立，故B错误，
对于C，由已证结论得，，
而，当且仅当时取等，
此时解得，得到，即，故C正确，
对于D，由基本不等式得，
当且仅当时取等，由指数函数性质得在上单调递增，
而，故，则，
即成立，则成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用完全平方公式和给定条件及换元法对目标式合理转化，然后判断左右同正，之后再进行合理变形，转化为三次函数的证明问题，再对三次函数因式分解，结合二次函数性质得到所要求的不等关系即可．
3．（2024·甘肃陇南·一模）（多选）已知，关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】举特殊值可判断A；令，结合题意得，利用三角代换判断B；将转化为，令，继而转化为，再结合换元，利用函数的单调性，可求得的范围，即可判断C，D.
【详解】对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为，
不妨取，则，即，
其解集为，即满足题意，故A错误；
对于B，即，
令，由于不等式的解集为，
故需满足，且，
令，则，
由于，则，即得，
又，故，B正确；
对于C，D，，，
故，
令，，则，
则，
令，则
，
由于函数在上单调递增，
故，
则，即，
即，，C，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强，难度较大，解答的难点在于C，D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将等价转化，再结合函数的单调性进行判断.
4．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知，，，则以下正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．最小值为3 D．最大值为2
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质及基本不等式即可求解.
【详解】A：，，
不能得到，A错误；
B：，故B正确；
C：，，
即，仅当，时取等．故C正确；
D：取，解得：，故D错误．
故选：BC
5．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）设正实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】选项A：利用的关系，进行换元，得到新的等式，再利用方程有解得出的范围，验证等号成立的条件；选项B：利用不等式链（时等号成立）化简即可；选项C：将用表示，利用选项A得出的关系，消元，建立函数，利用函数的单调性，求出最值，验证即可；选项D: 令，将其代入，解出的值，代入验证，不满足不等式，得出D错误.
【详解】选项A：设，，则，又因为，得，整理得，将其看为关于的一元二次方程，这该一元二次方程必有解，所以有，解得，即，故选项A正确；
选项B：因为，得，又因为，得，得（时等号成立），化简可得，又因为，得（时等号成立），化简得（时等号成立），又因为，所以时，，故B正确；
选项C：，由选项A得，由解得：或（舍去），由选项B可知，即，所以，设，显然单调递减，所以得，得，即时等号成立，故C正确；
选项D：令，因为，得，解得，所以，得，故D错误.
故选：ABC
结束

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