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专题01 一元函数的导数及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】导数的概念 【知能解读02】导数的运算 【知能解读03】导数与函数的单调性 【知能解读04】导数与函数的极值、最值 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】过定点的多切线问题 【重难点突破02】含参函数的单调性讨论 【重难点突破03】单变量不等式恒成立问题 【重难点突破04】双变量不等式恒成立问题 【重难点突破05】导数与函数的零点问题 【重难点突破06】函数的隐零点问题 【重难点突破07】极值点偏移问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】复合函数求导“漏层”或“错层”致错 【易混易错02】误解“导数为0”与“有极值”的关系致错 【易混易错03】误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错 【易混易错04】对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】导数定义在极限中的计算 【方法技巧02】曲线“在”某点处的切线问题 【方法技巧03】曲线“过”某点的切线问题 【方法技巧04】两曲线的公切线问题 【方法技巧05】已知函数单调性求参数 【方法技巧06】导数构造法解函数不等式 【方法技巧07】利用导数求函数的极值或极值点 【方法技巧08】已知函数的极值求参数 【方法技巧09】利用导数研究函数的最值
01 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
【真题实战】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
02 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作．
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
规律：从内到外层层求导，乘法连接．
【真题实战】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
03 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对 x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
04 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个．
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
01 过定点的多切线问题
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解．
【典例1】（24-25高三下·云南普洱·三模）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ．
【典例2】（24-25高三下·河南焦作·月考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（ ）
A． B．0 C．e D．2e
02 含参函数的单调性讨论
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论．
【典例1】（25-26高三上·河北衡水·月考）设函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【典例2】（24-25高三下·陕西西安·月考）设，函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
03 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·天津·月考）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
04 双变量不等式恒成立问题
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
【典例1】（24-25高三上·河北唐山·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
05 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
06 函数的隐零点问题
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决．
2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
【典例1】（24-25高三下·安徽安庆·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 .
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求；
(2)若，求的最大值．
07 极值点偏移问题
极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式．
【典例1】（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围，并证明.
【典例2】（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错
辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写．
【典例1】（24-25高三下·山东泰安·月考）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【典例2】（24-25高三上·山西·模拟测试）已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
02 误解“导数为0”与“有极值”的关系致错
辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号．
【典例1】（24-25高三下·四川达州·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．有三个零点 D．有三个极值点
【典例2】（24-25高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得最大值，在处取得最小值
B．的极大值点为，极小值点为
C．在区间上单调递增，在区间上单调递减
D．的增区间为和，减区间为
03误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错
辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【典例1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
04 对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错
辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负．
【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
01 导数定义在极限中的计算
瞬时变化率的变形形式
【典例1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
【典例2】（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．0 B． C．a D．
02 曲线“在”某点处的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【典例1】（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【典例2】（24-25高三下·海南·月考）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为
03 曲线“过”某点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【典例1】（25-26高三上·辽宁·月考）函数过原点的切线方程为 ．
【典例2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
04 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【典例1】（24-25高三上·四川绵阳·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
【典例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
05 已知函数单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【典例1】（2025·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【典例2】（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
06 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【典例1】（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三下·广东梅州·月考）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为 ．
07 利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【典例1】（24-25高三下·河南·模拟预测）函数的极值点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【典例2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间与极值.
08 已知函数的极值求参数
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围．
【典例1】（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
09 利用导数研究函数的最值
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点．
【典例1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的值域．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 一元函数的导数及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】导数的概念 【知能解读02】导数的运算 【知能解读03】导数与函数的单调性 【知能解读04】导数与函数的极值、最值 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】过定点的多切线问题 【重难点突破02】含参函数的单调性讨论 【重难点突破03】单变量不等式恒成立问题 【重难点突破04】双变量不等式恒成立问题 【重难点突破05】导数与函数的零点问题 【重难点突破06】函数的隐零点问题 【重难点突破07】极值点偏移问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】复合函数求导“漏层”或“错层”致错 【易混易错02】误解“导数为0”与“有极值”的关系致错 【易混易错03】误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错 【易混易错04】对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】导数定义在极限中的计算 【方法技巧02】曲线“在”某点处的切线问题 【方法技巧03】曲线“过”某点的切线问题 【方法技巧04】两曲线的公切线问题 【方法技巧05】已知函数单调性求参数 【方法技巧06】导数构造法解函数不等式 【方法技巧07】利用导数求函数的极值或极值点 【方法技巧08】已知函数的极值求参数 【方法技巧09】利用导数研究函数的最值
01 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
【真题实战】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s
【答案】B
【解析】，
则质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选：B
02 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式表
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作．
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
规律：从内到外层层求导，乘法连接．
【真题实战】（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(a为常数) B．
C． D．
【答案】B
【解析】A：因为a为常数，所以，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误.故选：B
03 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对 x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
04 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个．
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
【真题实战】（2025·湖北黄冈·三模）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域，
，
当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
因此的极小值为，极大值为，
又易知，所以函数在上的值域为，
结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为
所以的最小值为，故选：B
01 过定点的多切线问题
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解．
【典例1】（24-25高三下·云南普洱·三模）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设点为曲线上的一点，则，
又由，所以，即切线的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，可得，即，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，取得极小值，当时，取得极大值，
又因为，
当时，恒成立，且时，，
作出函数的图象，如图所示，
当时，函数的图象与直线在上有3个交点，
即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为.
【典例2】（24-25高三下·河南焦作·月考）过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（ ）
A． B．0 C．e D．2e
【答案】D
【解析】因为，所以，
设切点为，则切线斜率，
整理得，设，
问题转化为直线与的图象有2个交点，因为，
令，解得或，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，，且时，时，，
所以或，故选：D.
02 含参函数的单调性讨论
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论．
【典例1】（25-26高三上·河北衡水·月考）设函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）因为，则，解得，故，
所以，所以，
此时，曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，则，
当时，则，
即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间；
当时，由可得，由可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
【典例2】（24-25高三下·陕西西安·月考）设，函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，
则，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由，，
则
，
令，得或，
当时，，令，得；
令，得或，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，，
则函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，，令，得；
令，或，
所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，，令，得或；
令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，
则函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，，令，得或；
令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，
单调递减区间为；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为单调递减区间为.
03 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，即，
令，则恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故a的取值范围为.故选：C.
【典例2】（24-25高三上·天津·月考）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】可变形为，
，注意，
令，则，所以在上单调递增，
不等式可化为，所以，
所以，
因为，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，故选：A .
04 双变量不等式恒成立问题
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
【典例1】（24-25高三上·河北唐山·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，因为，，所以，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.故选：D.
【典例2】（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，，当时，，，所以；
当时，，，所以，
等号仅当时成立，所以.
所以对，即，即.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，因此.
05 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】,
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，所以当时，，无零点；
而，，且函数在上单调递增，
故有一个零点.故选：B
【典例2】（2025·湖南益阳·三模）若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为.
当时，令，在只有一个零点，不合题意；
当时，，
当时，，则在单调递增，，
所以在只有一个零点，不合题意；
当时，令，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又时，，
若有两个零点，则，
设，令，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，
所以，故选：C．
06 函数的隐零点问题
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决．
2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
【典例1】（24-25高三下·安徽安庆·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由可得，即在上恒成立.
设，则，
设，显然在上单调递增，
因，
故存在，使得，则，即.
当时，，则在上递增；
当时，，则在上递减.
故当时，，故有，
即得，故正数a的取值范围是.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)；(2)4．
【解析】（1）的定义域为，则．
，则．
所以曲线在点处的切线方程为．
依题意，将点代入切线方程，解得．
（2）当时，，且，
所以，
设，易知在上单调递减，
且，
故存在，使得，即，所以，即，
当时，故在上单调递增，
当时，故在上单调递减，
所以，
故的最大值为4．
07 极值点偏移问题
极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式．
【典例1】（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围，并证明.
【答案】(1)答案见解析；(2)，证明见解析
【解析】（1）因为，所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，得，
因为在上，，在上，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）有两个零点，不妨设，
由（1）得，且，解得，即a的取值范围是.
由，，可得，即，
所以.
要证，需证，令，即证.
设，则，即在上单调递减，
所以，即得.
【典例2】（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
（2）（i）由，得，
设，
由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错
辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写．
【典例1】（24-25高三下·山东泰安·月考）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
所以，所以；
因为，所以，即，
又，所以，所以，
所以．故选：D
【典例2】（24-25高三上·山西·模拟测试）已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
【答案】D
【解析】由可得：，又因为..，
所以，即的对称中心为；
由可得：，
即（常数），
令，则，所以，即的对称轴为；
所以，，故，，
所以，的周期.
因为，所以；
因为，令代入，所以；
根据对称性可知：，，，，
所以.故选：D
02 误解“导数为0”与“有极值”的关系致错
辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号．
【典例1】（24-25高三下·四川达州·模拟预测）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ）

A． B．
C．有三个零点 D．有三个极值点
【答案】A
【解析】根据导函数图像知道：
正 0 非正 0 正
增 极大值 减 极小值 增
对于A，，单调递减，则，则A正确；
对于B，自变量在不同区间，都比小，但不能比较它们大小，则B错误；
对于C，不能确定零点个数，则C错误；
对于D，函数有两个极值点，则D错误.故选：A．
【典例2】（24-25高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得最大值，在处取得最小值
B．的极大值点为，极小值点为
C．在区间上单调递增，在区间上单调递减
D．的增区间为和，减区间为
【答案】C
【解析】由图可知，当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，D错误；
所以的极大值点为，极小值点为，B错误；
又，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，C正确；
所以，所以在处取不到最小值，A错误.故选：C
03误解“导数符号”与“函数单调性”关系致错
辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【典例1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：
令，则在上单调递减，
且在上恒成立，
所以解得.
法二：，则，
则在区间上恒成立，
则或，解之得.故选：A.
【典例2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意有在上恒成立，
又，所以，即，
所以只需在上恒成立即可，
即在上恒成立，即，
又在上单调递减，所以.
04 对导数正负与函数图象升降关系理解不准确致错
辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负．
【典例1】（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立，
排除A、D两个选项，
对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意；
选项C不符合题意；故选：B.
【典例2】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【答案】B
【解析】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，
，
当时，，故，在上单调递减，
当时，，故，在上单调递增，
ACD错误，B正确，故选：B
01 导数定义在极限中的计算
瞬时变化率的变形形式
【典例1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
则.故选：C.
【典例2】（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A．0 B． C．a D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
02 曲线“在”某点处的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【典例1】（25-26高三上·广东江门·月考）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由可得，∴.
∵.
所以曲线在处的切线方程为，即.
【典例2】（24-25高三下·海南·月考）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为
【答案】
【解析】根据导数的几何意义，，
当时，，所以切线的斜率是2，
切线与直线垂直，
所以直线的斜率，解得：
03 曲线“过”某点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【典例1】（25-26高三上·辽宁·月考）函数过原点的切线方程为 ．
【答案】或
【解析】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，
由于切线过原点，则，整理得，即，
解得，
当时，切线斜率为，此时切线方程为；
当时，切线斜率为，此时切线方程为.
【典例2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为 ．
【答案】或
【解析】因为，
当点P为切点时，则切线的斜率为，
所以所求切线方程为，即；
当P点不为切点时，设切点坐标为，
切线的斜率为，
则切线方程为，
因为切线过点，且，
所以，
整理，得，解得或1（舍去），
则，
所以切点坐标为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
所以所求切线的方程为或或．
04 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
【典例1】（24-25高三上·四川绵阳·月考）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】求导：导数；导数.
设切点写切线方程：
设与切点，切线方程.
设与切点，切线方程.
列方程组求解：由公切线性质得.
由得，代入另一式解得，.
求直线方程：把代入，得.
【典例2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
所以曲线在点的切线方程为：.
因为，设曲线与该切线的切点为.
所以，所以，即.
又，所以.
05 已知函数单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【典例1】（2025·福建泉州·二模）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】对于，则，
因为在区间上单调递增，
所以在恒成立，
显然，所以在恒成立，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，则或（舍去），
所以实数的取值范围为.
【典例2】（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，可得，
所以在上不单调，所以在上有解，
即在有解，即存在，使得，
又因为在上单调递减，所以，
所以实数的取值范围是.
06 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【典例1】（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，则，所以，
则在区间上单调递减，
又，由，得到，
所以，解得，故选：D.
【典例2】（24-25高三下·广东梅州·月考）设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令，由，
得，函数是偶函数，
当时，，则，函数在上单调递增，
由，得，
整理得，即，因此，即，解得，
所以实数t的取值范围为.
07 利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【典例1】（24-25高三下·河南·模拟预测）函数的极值点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】，
由，即，解得：．
由，得，
由，得，
函数在处取得极大值，故选：A．
【典例2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间与极值.
【答案】(1)，；(2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.
【解析】（1）由可得：
，，
则.
由直线方程可得：直线斜率为：.
因为函数的图象在点处的切线方程为，
所以，解得：.
故，.
（2）由（1）可得，.
令，得；
令，得；
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数有极小值.
故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.
08 已知函数的极值求参数
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围．
【典例1】（2025·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，
则，
令，解得或，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，解得，
当时，在，上满足，单调递增，
在上满足，单调递减，
所以在处取得极大值，，不符合题意，
当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，.故选：D.
【典例2】（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，令得或，
当时，，在R上单调递增，无极值；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，解得；
当即时，
时，，单调递增，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
得在处取得极小值，即，不满足题意；
综上，实数.故选：C.
09 利用导数研究函数的最值
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点．
【典例1】（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，
当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，在时取得极大值，也即最大值.故选：B
【典例2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的值域．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由函数，可得，
可得，且，
所以切线的斜率为，切点为，
则所求切线方程为．
（2）由（1）得，当时，可得．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增．
而，
所以函数的值域为．

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