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易错易混04 导数及其应用
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01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02 易错归纳 查漏补缺避陷阱 4
易错归纳01 对导数的定义理解不到位（★★★） 4
易错归纳02 混淆复合函数的求导法则（★★★） 6
易错归纳03 忽略切点的位置（★★★★★） 9
易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域（★★★★） 13
易错归纳05 极值（点）问题忘记检验（★★★★★） 16
易错归纳06 单调函数与导函数间的关系（★★★★） 20
易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题（★★★★★） 23
易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题（★★★★★） 29
03 实战检测 易错通关验成效 38
一、导数的概念和几何性质
1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
二、导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【常用结论】
①在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
②过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
三、单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
3、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
四、函数的极值
1、函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
五、函数的最值
1、函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
易错归纳01 对导数的定义理解不到位
【易错陷阱·避错攻略】
（1），要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； （2）的代数意义表示函数在处的瞬时变化率； （3）的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．-6e D．
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则求出，再利用导数的定义即可求出.
【详解】由题意得，
则
.
故选：B
2．如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】根据增长快慢进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当射线匀速旋转时，
射线扫过的圆内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段慢，
即图象上切线的斜率先逐渐增大后又逐渐减小，故选项D符合.
故选:D
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
【答案】
【分析】根据极限的运算法则，以及导数的定义，即可求解.
【详解】由 ，
因为，所以.
故答案为：.
4．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ℃/min.
【答案】
【分析】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为.
【详解】，，，
即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min.
故答案为：.
易错归纳02 混淆复合函数的求导法则
【易错陷阱·避错攻略】
（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B．1 C．6 D．12
【答案】D
【分析】求导计算即可.
【详解】因为，
所以在处的瞬时变化率为12.
故选：D
2．一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可.
【详解】由求导得，
依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为：
.
故选：A.
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基础函数导数的公式计算即可.
【详解】，，，.
故选：D
4．已知满足，则在处的导数为 .
【答案】
【分析】根据导数的运算法则，结合复合函数求导法则、赋值法进行求解即可.
【详解】，所以有
故答案为：
5．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】由基本初等函数的导数公式结合导数的依次运算可得.
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）．
（5）．
易错归纳03 忽略切点的位置
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 3、求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可求得结果.
【详解】因为，则，所以切线斜率为，
故所求切线方程为，该直线交轴于点，交轴于点，
因此，切线与两坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A.
2．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求导得，设切点为，根据，求出切点坐标，再代入原函数即可.
【详解】设，，
设切点为，根据切线斜率为1，则，
解得，则，则切点坐标为，则，解得.
故选：C.
3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可.
【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为，
由导数的几何意义得，
故切线方程为，将代入方程，
得到，解得，则，故C正确.
故选：C.
4．（2025·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设切点，求导得到斜率表达式，得到方程，解出切点即可得到距离.
【详解】依题意，设，由，
则，
则，
化简得，解得，故，
故．
故选：B．
5．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入建立方程，求出方程有两个不等实根的参数范围即可.
【详解】设切点为，由，求导得，
则切线方程为：，而切线过点，
于是，又，则，
依题意，方程有且仅有两个不等实根，则，
解得或，所以符合题意.
故选：D
6．（24-25高三上·陕西·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则 .
【答案】
【分析】先求出函数的导数，再利用导数的几何意义和切点列出方程组即可求解.
【详解】，.
∵函数的图象在点处的切线方程为，
，解得.
，.
∵点在切线上，，解得.
.
故答案为：.
7．（24-25高三上·福建漳州·月考）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 .
【答案】
【分析】首先求曲线在处的切线，再设曲线上的切点，结合导数的几何意义，列式求解.
【详解】设，，则，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，切点为，，
所以，得，，.
故答案为：
8．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
【答案】
【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，由导数的几何意义结合题意求出切点坐标，再由点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
则作出和图像如图：
则曲线上任意一点M到直线的最小距离，
即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，即切点为，
所以切点到直线的距离为.
故答案为：.
9．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ．
【答案】
【分析】设该公切线在的切点为，借助导数的几何意义可得切线，再与曲线切于，计算即可得解.
【详解】设直线与曲线的切点为，
由，得切线方程为，又，
所以，将点代入，有，
解得（负值舍去），所以切线方程为，
设切线与曲线的切点为，
又，所以，，，
消去、，得，
令，，
当且仅当时，等号成立，
即函数在上单调递增，又，
所以方程的实数解为，
故有，解得.
故答案为：.
易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域
【易错陷阱·避错攻略】
（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间； （2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
【答案】B
【分析】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，.
所以对函数求导得：.
令，则，解得.
又，所以.
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
2．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意先求出，再对函数进行求导求其单调增区间.
【详解】因为， ，
因为在处取得极大值，
所以，解得，
故，定义域为，
，
当时，，单调递增
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的单调增区间为.
故选：B.
3．函数的递增区间是 ；递减区间 ．
【答案】
【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，根据导函数得正负即可求出增、减区间.
【详解】函数的定义域为，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以函数的递增区间是；递减区间．
故答案为：；
4．函数的严格递减区间是 .
【答案】.
【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令，则且，即的严格递减区间为.
故答案为： .
5．已知函数，则的单调减区间为 ．
【答案】
【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解.
【详解】的定义域为,
，
令，则或，
故的单调减区间为，
故答案为：
6．函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】求得，根据得到函数的单调增区间.
【详解】，，
当时，，，，所以，单调递减；
当时，，，，所以，单调递增；
所以在的单调递增区间为，
故答案为：
易错归纳05 极值（点）问题忘记检验
【易错陷阱·避错攻略】
（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．已知函数 在 时有极值 ，则 ．
【答案】
【分析】对函数进行求导，根据函数在时有极值0，可以得到，代入求解，并进行检验，即可求出结果.
【详解】，有极值前提 ．
或 ．
当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去.
同理，当时，经验证，满足条件.
则.
故答案为：11.
2．若函数在处有极小值，则等于 ．
【答案】108
【分析】由，求得并检验，求得的解析式，运算得解.
【详解】，
因为在处有极小值，所以，
即，解得或，
若，则，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值，不合题意，
若，则，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极小值，合题意，
所以，则.
故答案为：108.
3．已知是函数的极值点，则 ．
【答案】
【分析】根据极值点代入导函数值为0计算求出参数，再代入检验，最后计算求函数值.
【详解】因为是函数的极值点，所以．
因为，
所以，
所以，解得，
所以．
，解，得或为极值点，满足题意．
所以．
故答案为：.
4．已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】根据导函数在极值点处函数值为0，计算求参，再代入检验求值.
【详解】由题意得，则，得或．
当时，令，
得或，单调递减，单调递增，
所以在处取得极小值，不符合题意；
当时，令，得或，
单调递增，单调递减，
在处取得极大值，符合题意．
故答案为：.
5．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可.
【详解】因为，所以，
由题知，则，
令可得或.
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极小值，不合乎题意；
若，即当，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，无极值点；
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ．
【答案】1或2
【分析】对函数求导，结合求参数值，注意验证处是否取得极小值即可.
【详解】由题设，则，
所以或，
当，则，，
若，则，此时，即在上单调递减，
若，令，则，
对于且，则，故时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立，
对于且，则，
所以在上单调递增，则，故在上恒成立，
综上，在上恒成立，即，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，
此时在处取极小值，满足；
当，则，
同上分析，易知在上单调递减，
若，令，则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，
此时在处取极小值，满足；
综上，或.
故答案为：或
易错归纳06 单调函数与导函数间的关系
【易错陷阱·避错攻略】
1、可导函数f(x)在某区间上单调 （1）可以转化为在给定区间上恒成立； （2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解 2、可导函数f(x)在某区间上不单调 （1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）； （2）可以通过求函数值域的方法解决. （3）可以利用根的分布方法解决. 3、可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题. 4、已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点： （1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
即的取值范围为.
故选：C
2．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立．
设，，，
所以，函数在是单调递减，
，．．
故的最大值为.
故选：A．
3．已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【分析】求出函数的导数，利用导数不小于0建立不等式并分离参数求出最大值即可.
【详解】函数是增函数，由，得，
由，求导得，
由函数在上单调递增，得，，
而，则，
所以实数的最小值为.
故选：B
4．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性求出导函数列不等式计算求出参数.
【详解】当函数在上单调，或恒成立，
所以或恒成立，
所以或，因为函数在上不单调，所以.
故选：D.
5．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质，求得函数在上不单调时，求得的取值范围，再由导数求得函数在上不单调时，求得的取值范围，进而得到答案.
【详解】由函数的对称轴为，
若在上不单调，则满足，解得；
又由函数，可得，
若在上不单调，则满足，解得，
所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，
可得，所以实数的取值范围为.
故选：D.
6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可.
【详解】由，得，
若在区间上存在单调递减区间，
则在区间上有解，
可得在区间上有解，
又因为在区间上单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围是.
故选：D．
易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
1．函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】设，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的值.
【详解】设，其中，则，令可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点.
故选：D.
2．若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案.
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.
3．设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．{或} B．
C．{或 D．
【答案】C
【分析】利用导数分析函数单调性，在同一平面直角坐标系中画出的图象，结合已知即可求解.
【详解】当时，，求导得，
，，
所有在单调递增，在单调递减，
且当从0的右边趋于0时，趋于，当时，趋于0，
当时，在单调递减，
当时，，且，
在同一平面直角坐标系中画出的图象，如图所示，
由图可知，若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是{或.
故选：C.
4．若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用导数求得函数的单调区间和极值，画出函数的图象，结合图象，得到实数的取值范围.
【详解】当时，，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，；当时，，
函数的图象，如图所示，
要使得函数与的图象有4个交点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
5．对任意的实数，关于的方程均有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数得，令，则，令然后利用导函数求最值，结合图象即得.
【详解】由，得，令，则，
令，则，
，则；，则，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，，结合图象可得，实数的取值范围是.
故选：A.
6．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设，，则，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，当x趋近于时，趋近于0，，
直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则
，解得，
故选：D．
7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】函数的零点等价两个函数的交点，利用导数求出的单调性并作图象，求与的切点，根据图象即可求出符合题意的的取值范围.
【详解】因为函数有两个零点，则有两个根，即与两个函数有两个交点.
，，则函数在上单调递减，在上单调递增.当；时，，则图象如图
设与的切点为，
则，，得或.
当或时，与有两个公共点；
故答案为：或.
易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题
1．已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得.
【详解】因为，即，即在上恒成立，
设，则，易知时，，
所以恒成立，即，
令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
2．（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）函数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题意，要求的最大值，只需考虑的情况即可，
令，求导得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故所求为.
故选：B.
3．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为时，恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】由对恒成立，
即对恒成立，
当时，不等式为恒成立，
当时，即为恒成立，
设，，则，
设，，
则，
所以函数在上单调递减，则，
即，所以函数在上单调递减，
而时，，且时，，
则时，，
所以时，，则.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
4．已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的不等式，结合同构思想变形，再构造函数，利用导数确定单调性，将问题转化为不等式有解求解.
【详解】依题意，，则，
令函数，求导得，函数在上单调递增，
当时，不等式，
则，依题意，不等式在上有解，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上递减，在上递增，则，，
所以实数的取值范围是.
故选：B
5．函数的最小值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由不等式，当且仅当时等号成立，结合指数、对数运算可得可得解.
【详解】证明：令，所以，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
即，即，当且仅当时等号成立.
，
由（当且仅当时等号成立），
（令，则在上单调递增，
又因为，，
所以在上有唯一解.）
所以的最小值为1.
故选：.
6．（2024·陕西·一模）已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，求出导数后可设，再求新函数的导数，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】设，
故，设，
则，
令，则，
故在上为减函数，故，
当时，，故，
故在上为减函数，故，
所以，故在上为减函数，
故即.
若，则，，
故存在，使得，且，，
所以，，故在为增函数，故.
所以，，故在为增函数，故.
这与题设矛盾.
综上，.
故选：C
7．若不等式有解，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果.
【详解】由不等式有解，可得，
令，
则，
令，解得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
且，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：.
8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解.
【详解】因为对任意的，总存在，使得，
所以，，
令，得或（舍去）.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故；
，则，因为，
所以在上恒成立，
则在上单调递减，，
所以，故.
故答案为：
9．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】构造函数并求出最小值，建立不等式并用表示，再构造函数并求出最大值即可.
【详解】令，求导得，而，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
依题意，，设，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，解得，所以的最大值为.
故答案为：
10．若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过构造同构函数，求导得到其在上单调递增，则原不等式可转化为，进而，再分离参数求，设，对其求导得到其最大值，从而得到的取值范围.
【详解】设函数， 根据求导公式可得：，
时，，，所以，在上单调递增，
，且在上单调递增，
在有解，即在有解，
设，则，
令， ，
所以，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则在处取得极大值，也是最大值，，
，由于是正数，所以的取值范围是.
故答案为：.
11．（24-25高三下·山东青岛·月考）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再线合函数的单调性转化为恒成立，利用参变分离，构造函数即可求解.
【详解】因为对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，即恒成立，
因为，所以，
设，则，又，所以，
所以在上单调递增，
由，可得，所以对恒成立，
令，，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，所以，
所以的最小值为.
12．当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为 ．
【答案】0
【分析】不等式恒成立转化为恒成立，构造函数证明恒成立范围即可.
【详解】设，，
则，
设，
则，
当时，，故，
而，
故当时，，故在为增函数，
故，故在为增函数，
所以即恒成立.
当时，，
故存在，使得任意，总有，
故在为减函数，故任意，总有，
所以任意，总有，
故在为减函数，故，这与题设矛盾，
故最小整数为0．
故答案为：0．
【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可以通构建新函数并结合导数的符号来确定新函数的最值，必要时需二次求导并结合局部保号性来处理.
13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.
【详解】设，
易知，
则当时，，即此时两函数均单调递增，
当时，，即此时两函数均单调递减，
故，
对于不等式，
由上可知，故，
又单调递增，故.
所以实数a的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于，构造函数判定其单调性与最值分参计算即可.
1．（24-25高三下·江苏苏州·月考）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据题意，化简得到，结合导数的定义，转化为的值，即可求解.
【详解】因为，
则.
故选：C.
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项.
【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.
故选：C.
3．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果.
【详解】令则直线的斜率为
则.
故选：B.
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意在上成立，分离参数后，在上恒成立，根据题意求的最小值，求解即可.
【详解】由题意在上成立，因为时，，
则在上恒成立．
因为函数在上单调递减，所以当时，取得最小值，
所以，即实数的取值范围是．
故选：B.
5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.
【详解】由，
当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线；
当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为：，该切线过点，
于是有
或（舍去），
综上所述：过点可作曲线的切线条数为，
故选：B
6．已知函数.若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】参变分离得到，，构造函数，，求导，得到函数单调性，求出，得到a的取值范围.
【详解】由题意得，，即，，
令，，则，
令，，则恒成立，
故在上单调递减，其中，
故当时，，，
当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
所以，实数a的取值范围时.
故选：B
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导得.由函数在上存在单调递增区间可知在上有解，分离参数后可得在上有解，故.设，，求导研究其在上的单调性求出函数最大值即可求解.
【详解】∵，∴.
∵函数在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上有解，∴在上有解，即在上有解，∴.
设，.则，
令得；令得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
又，，∴，∴，
即实数的取值范围为.
故选：D.
8．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解.
【详解】函数，其定义域为，
对求导得，
令，可得.
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因为函数在区间上不单调，所以，
所以的取值范围是，
故选：A.
9．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围.
【详解】由已知有两个解，
即有两个解，
设，
则直线与函数有两个公共点，
又，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且当时，，，
作出函数图象如图所示，
所以当直线与函数有两个公共点，
则，
故选：A.
10．（2024·陕西安康·一模）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故选：A.
11．设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果.
【详解】当时，，则．
由得，所以在上单调递减；
由得，所以在上单调递增．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，取得极小值，．
又当时，所以函数的大致图象，
如图．

由图可知，当或时，函数的图象与直线有两个交点，
所以实数的取值范围是，
故选：C．
12．（2025·湖北·三模）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题.
【详解】因为，所以，
令，则恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故a的最大值为2.
故选：B.
13．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为对恒成立，构造函数，进而通过导数方法求出函数的最小值，即可得到答案.
【详解】不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，，
则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即.
故选：D.
14．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知函数有两个零点，则实数a的最小整数值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】将问题转化为与有两个不同交点的问题，令，可求得单调递增且存在，使得；设，利用导数可求得单调性，结合复合函数单调性的判断方法可知的单调性，由此可作出的大致图象，采用数形结合的方式可确定的范围，由此可得结果.
【详解】由题意知：定义域为，
有两个零点，有两个不等实根，
当时，恒成立，不合题意，，
有两个解，即与有两个不同交点，
令，则，在上单调递增，
且存在，使得，
设，则定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
又当时，，
由复合函数单调性可知：在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
时，，，
由此可得的图象如下图所示，
由图象可知：若与有两个不同交点，则，
即实数的取值范围为，
所以实数a的最小整数值是.
故选： D.
15．（23-24高三上·河北·期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.
【详解】由，则，，
当时，，恒成立，
即任意，对恒成立；
当时，，
即，其中，
构造函数，则.
，因为，所以，单调递增；
则有，则，
构造函数，
则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则， 即当时，，
故要使恒成立，则，即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等.
16．（23-24高三下·湖北襄阳·月考）函数的单调增区间是 .
【答案】，
【分析】根据函数导数求解函数的单调增区间；
【详解】函数的定义域为
因为，
令，则，
所以的单调增区间为，.
故答案为：，.
17．函数的单调递增区间为 ．
【答案】，
【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.
【详解】因为函数，则．
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以当时，，
则当时，．
所以的单调递增区间为，，
故答案为：，.
18．已知函数在处取得极大值，则 .
【答案】/
【分析】根据极值与极值点的定义可得解.
【详解】由，
得，
则，
解得或，
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极小值，不成立；
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极大值，成立；
综上所述，
故答案为：.
19．已知曲线在处的切线方程为，则 ．
【答案】2
【分析】根据切线方程可得切线的斜率，结合导函数求出导数值可得，再求得切点坐标，代入直线方程可得，由此可得解.
【详解】易得直线的斜率为，可得曲线在处的切线斜率为，
由易得，所以，则，
所以，将代入，可得，故切点为，
代入切线方程有，所以，故．
故答案为：2.
20．若曲线的切线为，则 ．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，进而对照系数即可.
【详解】设切点为，由，得，
则由题意得
所以，．
所以．
所以．
故答案为：1.
21．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ．
【答案】/
【分析】首先不等式参变分离为在能成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可求解.
【详解】在能成立，即在能成立，
即，，
令，则，令有，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，即实数的最大值为.
故答案为：
22．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
【答案】
【分析】由导数法得过的切线方程为，由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根，令，由导数法讨论单调性与极值，由数形结合得出范围即可.
【详解】，则过的切线为，即.
由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根.
令，，由得或.
当或，，单调递增；当，，单调递减；
故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为.
要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是.
故答案为：.
23．已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可.
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以
即任意，使，
令
当时，即时，，
所以，
当时，即时，成立，
当时，即时，，
所以，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
24．（24-25高三上·四川成都·月考）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意，设切点，利用相切性质得到关于的关系式，将切线条数问题转化为关于的方程解的个数问题求解，再分离参数转化为函数的图象与直线的交点个数问题，构造函数研究函数的单调性与最值，数形结合求的范围即可.
【详解】设切点为，，
故切线方程为，
将代入切线方程得，
，
过点作曲线的切线有且仅有两条,
则关于的方程有两解，
可转化为直线与函数的图象有两个交点.
令，则
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故的单调减区间，增区间是.
当时，，当时，，
且，
当与有且仅有两个交点时，，
故答案为：.
25．正实数，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，，故将化为，利用导数求的最大值即可.
【详解】因为，所以，即，
设，则，且，
所以在上，单调递增.
因为，为正实数，，即，
所以等价于，即，，
所以.
设,则.
令，则，
所以在上单调递减，所以.
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，即的最大值为.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛：本题求解关键是将变形为，利用同构构造函数，结合的单调性知.中小学教育资源及组卷应用平台
易错易混04 导数及其应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01 错点扫描 易错建模夯基石 1
02 易错归纳 查漏补缺避陷阱 4
易错归纳01 对导数的定义理解不到位（★★★） 4
易错归纳02 混淆复合函数的求导法则（★★★） 5
易错归纳03 忽略切点的位置（★★★★★） 6
易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域（★★★★） 8
易错归纳05 极值（点）问题忘记检验（★★★★★） 8
易错归纳06 单调函数与导函数间的关系（★★★★） 9
易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题（★★★★★） 10
易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题（★★★★★） 11
03 实战检测 易错通关验成效 13
一、导数的概念和几何性质
1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
二、导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【常用结论】
①在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
②过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
三、单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
3、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；
（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；
（5）导数图像定区间；
四、函数的极值
1、函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．
求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
五、函数的最值
1、函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
易错归纳01 对导数的定义理解不到位
【易错陷阱·避错攻略】
（1），要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； （2）的代数意义表示函数在处的瞬时变化率； （3）的几何意义表示曲线在处切线的斜率．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．-6e D．
2．如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
4．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为 ℃/min.
易错归纳02 混淆复合函数的求导法则
【易错陷阱·避错攻略】
（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
1．函数在处的瞬时变化率为（ ）
A． B．1 C．6 D．12
2．一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知满足，则在处的导数为 .
5．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
易错归纳03 忽略切点的位置
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 3、求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上．
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·陕西·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则 .
7．（24-25高三上·福建漳州·月考）若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 .
8．（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
9．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）若过点的直线是曲线和曲线的公切线，则 ．
易错归纳04 利用导数求函数单调区间忽略定义域
【易错陷阱·避错攻略】
（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间； （2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．
2．函数在处取得极大值，则的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的递增区间是 ；递减区间 ．
4．函数的严格递减区间是 .
5．已知函数，则的单调减区间为 ．
6．函数的单调递增区间为 .
易错归纳05 极值（点）问题忘记检验
【易错陷阱·避错攻略】
（1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．已知函数 在 时有极值 ，则 ．
2．若函数在处有极小值，则等于 ．
3．已知是函数的极值点，则 ．
4．已知函数在处取得极大值，则实数的值为 ．
5．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
6．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数在处取得极小值，则a的值为 ．
易错归纳06 单调函数与导函数间的关系
【易错陷阱·避错攻略】
1、可导函数f(x)在某区间上单调 （1）可以转化为在给定区间上恒成立； （2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解 2、可导函数f(x)在某区间上不单调 （1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）； （2）可以通过求函数值域的方法解决. （3）可以利用根的分布方法解决. 3、可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题. 4、已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点： （1）熟悉基本函数的单调性。 （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来.
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
4．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错归纳07 导数中利用数形结合解决零点问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解．
1．函数的图象与直线恰有两个公共点，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设函数.若方程恰好有一个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．{或} B．
C．{或 D．
4．若函数的图象与的图象恰好有四个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．对任意的实数，关于的方程均有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
易错归纳08 导数中求参数（式子）的最值（范围）问题
1．已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）函数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的最小值为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
6．（2024·陕西·一模）已知函数，对于，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若不等式有解，则实数的取值范围为 .
8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是 .
9．已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ．
10．若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是 .
11．（24-25高三下·山东青岛·月考）已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
12．当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为 ．
13．（23-24高三上·安徽合肥·期末）关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ．
1．（24-25高三下·江苏苏州·月考）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
2．（24-25高三上·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．已知函数.若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·陕西安康·一模）若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·湖北·三模）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
13．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知函数有两个零点，则实数a的最小整数值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
15．（23-24高三上·河北·期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（23-24高三下·湖北襄阳·月考）函数的单调增区间是 .
17．函数的单调递增区间为 ．
18．已知函数在处取得极大值，则 .
19．已知曲线在处的切线方程为，则 ．
20．若曲线的切线为，则 ．
21．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为 ．
22．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
23．已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是 .
24．（24-25高三上·四川成都·月考）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ．
25．正实数，满足，则的最大值为 ．

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