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第01讲 平面向量的线性运算及坐标表示
目录
01 常考题型过关练
题型01 平面向量的概念与表示
题型02 向量的几何表示
题型03 相等向量与共线向量
题型04向量的加减运算
题型05 向量的数乘运算
题型06 向量的数量积
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量的概念与表示
1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
3.设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
02 向量的几何表示
6.下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
7．（多选）圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最大值为6 B．
C．恒成立 D．满足的点C仅有一个
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：
(1)；
(2)；
(3)．
03 相等向量与共线向量
9.以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若则
C．若是共线的单位向量.同
D．若，则不是共线向量
10.已知平面向量，，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11.给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
04 向量的加减运算
12.（ ）
A． B． C． D．
13.在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
14.（ ）
A． B． C． D．
15.化简：
(1)
(2)
05 向量的数乘运算
16．已知向量不共线，向量，则（ ）
A． B． C． D．12
17．在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）．
A．8 B．16 C．18 D．25
18．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（ ）
A． B． C．2 D．
19．（ ）
A． B． C． D．
20．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ．
06 向量的数量积
21．在中，，则（ ）
A．9 B．18 C． D．
22．已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
23．设，是不共线的两个向量.
(1)若，求实数的值；
(2)已知向量，满足，，，求.
24．如图，在中，，是的中点，设，．
(1)试用、表示和；
(2)若，且，求．
25．已知向量，，．
(1)若，所成角为钝角，求的取值范围；
(2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
26．已知向量，满足，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若在方向上的投影向量为，求的最小值.
1．已知是夹角为的两个单位向量，且，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2.如图所示，设，，线段与交于点，且，则（ ）

A． B．2 C． D．3
3.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
4．（多选）点O，H分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是（ ）．
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
5．（多选）如图，由两平行线上的点A，B，C，D，O，，，所构成的三个平行四边形，，全等，其中为锐角.则下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．
C． D．
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 平面向量的线性运算及坐标表示
目录
01 常考题型过关练
题型01 平面向量的概念与表示
题型02 向量的几何表示
题型03 相等向量与共线向量
题型04向量的加减运算
题型05 向量的数乘运算
题型06 向量的数量积
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量的概念与表示
1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；
速度、力、加速度、位移是向量；
所以向量共有个.
故选：A
2.下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
【答案】C
【分析】根据向量的概念即可判断.
【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误；
对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误；
对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确；
对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误.
故选：C.
3.设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】ABD
【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可知C正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误.
故选：ABD.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的长度都为0
D．两个单位向量的长度相等
【答案】ACD
【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果.
【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确；
两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误；
零向量的模都是0，故C正确；
单位向量的长度都是1，故D正确；
故选：ACD
02 向量的几何表示
6.下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
7．（多选）圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最大值为6 B．
C．恒成立 D．满足的点C仅有一个
【答案】AB
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B；根据极化恒等式可判断C；令，得到可判断D.
【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
对于A，，
∵，∴，∴，
∴的最大值为6，故A正确；
对于B，
∴
∵，∴，∴，故B正确；
对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；
对于D，当时，即，解得，
∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．
故选：AB．
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
03 相等向量与共线向量
9.以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若则
C．若是共线的单位向量.同
D．若，则不是共线向量
【答案】A
【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断.
【详解】对于A，若，则，故正确；
对于B，若，则不一定成立，故B错误；
对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误；
对于D，若，则是共线向量，故D错误.
故选：A.
10.已知平面向量，，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或，
所以“或”是“”的充分不必要条件.
故选：A
11.给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断.
【详解】对于①，若，则，故①错误；
对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误；
对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误；
对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误；
故选：D.
04 向量的加减运算
12.（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算可得答案.
【详解】.
故选：B.
13.在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：B.
14.（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量加法和减法运算公式化简求值.
【详解】.
故选：D.
15.化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据向量的运算律计算求解即可.
【详解】（1）根据向量加法运算律得；
（2）根据向量加法运算律得；
05 向量的数乘运算
16．已知向量不共线，向量，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】由向量共线定理的定义列方程求解即可.
【详解】由题意，设，则，
则，解得.
故选：B.
17．在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）．
A．8 B．16 C．18 D．25
【答案】D
【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解.
【详解】由是的中点得，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是25.
故选：D
18．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值.
【详解】由题意知，即，解得，
故选：B.
19．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果.
【详解】由平面向量的线性运算可得.
故选：C.
20．已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ．
【答案】3
【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可．
【详解】由已知得，，
若，，三点共线，则，即，
所以，解得，
故答案为：3．
06 向量的数量积
21．在中，，则（ ）
A．9 B．18 C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系确定三角形的形状，然后根据向量数量积的定义求其值即可.
【详解】因为中，，
所以，所以，且.
所以.
故选：D．

22．已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果.
【详解】由，可得，
所以，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
23．设，是不共线的两个向量.
(1)若，求实数的值；
(2)已知向量，满足，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可;
（2）由垂直可得数量积为0，进而可得，再由向量的模的计算公式求解即可.
【详解】（1）是两个不共线的向量，，
，
，
，解得.
（2），
，即，
.
24．如图，在中，，是的中点，设，．
(1)试用、表示和；
(2)若，且，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的基本定理可得出、关于、的表达式；
（2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）由是的中点，所以，
又，即，
所以，，
故，
．
（2）因为，，所以，
所以．
25．已知向量，，．
(1)若，所成角为钝角，求的取值范围；
(2)若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，所成角为钝角，则且夹角不能为即可求解；
（2）根据可求，再利用投影向量的计算公式求解即可.
【详解】（1），所成角为钝角，，
又时，，此时，所成角为，
所以的取值范围为.
（2），，
，，
所以在上的投影向量为.
26．已知向量，满足，，与的夹角为.
(1)求；
(2)若在方向上的投影向量为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积定义运算即可；
（2）求出投影向量，根据数量积的运算法则化简后利用二次函数求最值即可.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
所以.
（2）在方向上的投影向量为.
所以，
当时，的最小值为.
1．已知是夹角为的两个单位向量，且，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理可求得，再利用数量积运算律计算即可.
【详解】由A，B，C三点共线，得，
故，解得，
又易知，
则．
故选：B．
2.如图所示，设，，线段与交于点，且，则（ ）

A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算可得，再根据，，三点共线的向量的性质求解.
【详解】由题意知，又，，三点共线，
故，所以.
故选：D.
3.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．O有可能是的重心
C．若O为的外心，则
D．若O为的内心，则为直角三角形
【答案】ACD
【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D.
【详解】对于A，由奔驰定理得，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若O是的重心，，因为，
所以，即O，B，C共线，故B错误；
对于C，当O为的外心时，，
所以，即，故C正确；
对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
4．（多选）点O，H分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是（ ）．
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据向量的运算以及基本定理的推理，确定的位置可判断；根据条件可得，结合数量积的运算可判断；建立坐标系，将用三角函数表示出来，根据三角函数的性质可判断；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式求解可判断.
【详解】对于：由可知，点共线，
由可知，点在的平分线上，
所以为的角平分线，所以与不一定相等，故错误；
对于：若，则为的中点，
又为的外心，所以，
所以，故错误；
对于：因为，所以，
如图，建立平面直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
得，
所以，
，，
所以，故错误；
对于：因为，所以，
即，则，
同理可得，
所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，
即，则，
所以.
因为，所以，故正确.
故选：.
5．（多选）如图，由两平行线上的点A，B，C，D，O，，，所构成的三个平行四边形，，全等，其中为锐角.则下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据平面向量基本定理，平面向量加法的几何方法，和三点共线的判定方法，分别判断各选项正误.
【详解】
由图可知，，所以，因为三点共线，所以，所以A正确；
因为四边形和四边形是平行四边形，所以在方向上的射影，只有四边形为矩形时才相等，即为矩形时成立，所以B错误；
由图可知，，所以，所以C错误；
由图可知，，，，，
所以，，
即，所以D正确.
故选：AD.
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.

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