资源简介

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第01讲 直线的方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 直线的倾斜角与斜率 4
知识点2 直线的点斜式方程 5
知识点3 直线的斜截式方程 5
知识点4 直线的两点式方程 5
知识点5 直线的截距式方程 6
知识点6 直线的一般式方程 6
题型破译 7
题型1 直线的倾斜角与斜率 7
【方法技巧】倾斜角与斜率的函数关系
题型2 直线的点斜式方程 7
【方法技巧】注意斜率不存在的情况
题型3 直线的斜截式方程 8
题型4 直线的两点式方程 8
题型5 直线的截距式方程 9
题型6 直线的一般方程 10
题型7 动直线过定点问题 11
题型8 直线方程的综合应用 11
04真题溯源·考向感知 12
05课本典例·高考素材 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围. （2）要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第7题，5分 天津卷，第12题，5分 甲卷理科，12题，5分 北京卷，3题，4分 新课标II卷，15题，5分
考情分析： 近几年以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题，分值5分；属于易得分题型。
复习目标： 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题。 3.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围； 4.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 5.会用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握直线的一般式方程； 6.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；7.会进行直线方程的五种形式之间的转化。
知识点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为 .
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 .
3．直线的方向向量
我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为.
当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则.
自主检测设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 直线的点斜式方程
我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
自主检测直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 直线的斜截式方程
1．直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距．
2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
自主检测直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
自主检测已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ．
知识点5 直线的截距式方程
我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 .
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
自主检测直线在轴的截距为（ ）
A． B． C． D．3
知识点6 直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
自主检测直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题型1 直线的倾斜角与斜率
例1-1已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例1-2直线与的夹角大小为 ．
方法技巧
1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
【变式训练1-2】已知点，，则直线的斜率为
A． B． C． D．
题型2 直线的点斜式方程
例2-1直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2-2已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【变式训练2-1】若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2·变考法】若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3·变载体】过点且倾斜角为的直线方程是 ．
题型3 直线的斜截式方程
例3-1直线在轴上的截距为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例3-2倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ．
方法技巧
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
【变式训练3-1】直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.
题型4 直线的两点式方程
例4-1已知，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
例4-2经过点的直线的两点式方程为（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；
若满足即可考虑用两点式求方程．
(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
【变式训练4-1】若直线过，则此直线的斜率是（ ）
A． B．1 C． D．不存在
【变式训练4-2·变载体】已知的三个顶点分别为、、．
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的两点式方程．
题型5 直线的截距式方程
例5-1直线的纵截距为（ ）
A． B． C．2 D．3
例5-2（多选）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
方法技巧 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|
【变式训练5-1】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式训练5-2】已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式训练5-3】过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 .
题型6 直线的一般方程
例6-1经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
例6-2已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
【变式训练6-1】（多选）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．直线l与圆恒相交
C．直线l被圆截得的最短线段长为
D．圆C与圆M：有2条公共切线
【变式训练6-2】已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值．
题型7 动直线过定点问题
例7-1（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线在轴上的截距为，则
C．若直线与直线垂直，则
D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
例7-2已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
【变式训练7-1】已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【变式训练7-2】已知直线：.
(1)若直线垂直于直线：，求的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.
题型8 直线方程的综合应用
例8-1已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例8-2已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ．
【变式训练8-1】若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ．
【变式训练8-2·变考法】我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是
【变式训练8-3】如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列．
(1)求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
1.如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.已知的顶点坐标为，，.
(1)求边上的高的长.
(2)求的面积.
3.已知直线（其中A，B不全为0）．
(1)写出直线l的一个法向量的坐标．
(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？
(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：

6.已知的三个顶点为，，，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．
7.已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 直线的方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 直线的倾斜角与斜率 3
知识点2 直线的点斜式方程 5
知识点3 直线的斜截式方程 6
知识点4 直线的两点式方程 6
知识点5 直线的截距式方程 7
知识点6 直线的一般式方程 7
题型破译 8
题型1 直线的倾斜角与斜率 8
【方法技巧】倾斜角与斜率的函数关系
题型2 直线的点斜式方程 9
【方法技巧】注意斜率不存在的情况
题型3 直线的斜截式方程 11
题型4 直线的两点式方程 12
题型5 直线的截距式方程 14
题型6 直线的一般方程 16
题型7 动直线过定点问题 18
题型8 直线方程的综合应用 21
04真题溯源·考向感知 25
05课本典例·高考素材 30
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围. （2）要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第7题，5分 天津卷，第12题，5分 甲卷理科，12题，5分 北京卷，3题，4分 新课标II卷，15题，5分
考情分析： 近几年以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题，分值5分；属于易得分题型。
复习目标： 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题。 3.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围； 4.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 5.会用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握直线的一般式方程； 6.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；7.会进行直线方程的五种形式之间的转化。
知识点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为.
当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则.
自主检测设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据直线方程的特点，分和两种情况讨论，再分别计算出倾斜角的取值范围，最后取并集即可.
【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角；
当时，直线的斜率为，
因为，
所以，即，
又因为，
所以结合正切函数的图象可得：.
综上可得：直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
知识点2 直线的点斜式方程
我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
自主检测直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，
故选：A．
知识点3 直线的斜截式方程
1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
自主检测直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化直线方程为斜截式，再求出斜率.
【详解】直线，即，所以该直线的斜率为：．
故选：D
知识点4 直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
自主检测已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率.
【详解】因为直线经过点、两点，所以，
设直线的倾斜角为，所以，故，
故直线的斜率为.
故答案为：.
知识点5 直线的截距式方程
我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
自主检测直线在轴的截距为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】直接令计算即可求解.
【详解】令，得，所以直线在轴的截距为.
故选：A
知识点6 直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
自主检测直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由题意有直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则，又因为,所以，
故选：C.
题型1 直线的倾斜角与斜率
例1-1已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程.
【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率，
又因直线过点，
故直线的方程为．
故选：C
例1-2直线与的夹角大小为 ．
【答案】/
【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角.
【详解】直线化为斜截式为，
故直线的斜率是，
直线的倾斜角满足，
结合，可得，
直线倾斜角为
所以直线与的夹角大小为.
故答案为：
方法技巧
1．定义：一条直线的倾斜角α的 正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
2．过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
【变式训练1-1】在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．90 D．不存在
【答案】D
【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况.
【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在.
故选：D
【变式训练1-2】已知点，，则直线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把点的坐标代入直线斜率公式即可.
【详解】解：，
故选：B
题型2 直线的点斜式方程
例2-1直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，
故选：A．
例2-2已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解.
【详解】因为y轴的倾斜角为，
所以直线l的倾斜角为，直线斜率，
所以直线l的方程为，
故选：D
方法技巧
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
【变式训练2-1】若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，
所以直线方程为，化简可得.
故选：A
【变式训练2-2·变考法】若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到.
【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为，
由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得，
故选：C．
【变式训练2-3·变载体】过点且倾斜角为的直线方程是 ．
【答案】
【分析】由已知可得直线斜率不存在，直接可得解.
【详解】由已知直线倾斜角为，
所以直线斜率不存在，
则直线方程为，
故答案为：.
题型3 直线的斜截式方程
例3-1直线在轴上的截距为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据截距的定义，令即可求解.
【详解】令，则有，所以直线在轴上的截距为，
故选：A.
例3-2倾斜角为，在轴上截距为的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．
【详解】因为，
所以所求直线的斜率为，
又直线在轴上的截距为，
由直线方程的斜截式得：，
化为一般式得：．
故答案为：．
方法技巧
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．
【变式训练3-1】直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系计算可得结果.
【详解】易知直线的斜率为，
设其倾斜角为，且，满足，可得.
故选：B
【变式训练3-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可.
（2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可.
【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为.
（2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率.
所以该直线的斜截式方程为.
题型4 直线的两点式方程
例4-1已知，，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由斜率公式求解即可.
【详解】直线AB的斜率为.
故选：B
例4-2经过点的直线的两点式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解
【详解】因为直线经过点，
所以由方程的两点式可得直线方程为，即．
故选：A
方法技巧 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；
若满足即可考虑用两点式求方程．
(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
【变式训练4-1】若直线过，则此直线的斜率是（ ）
A． B．1 C． D．不存在
【答案】A
【分析】因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可.
【详解】因为直线过点，所以直线斜率.
故选：A
【变式训练4-2·变载体】已知的三个顶点分别为、、．
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的两点式方程．
【答案】(1)的方程为，的方程为
(2)
【分析】（1）求出直线、的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，进而可求得的两点式方程.
【详解】（1）解：，所以，直线的方程为，即，
，所以，直线的方程为，即.
（2）解：线段的中点为，
所以边上的中线所在直线的两点式方程为．
题型5 直线的截距式方程
例5-1直线的纵截距为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据截距式方程判断即可.
【详解】直线即，所以纵截距为-2.
故选：A.
例5-2（多选）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
【答案】CD
【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错；
对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错；
对于C选项，因为，，则直线的方程可化为，
故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对；
对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时，
则该直线的两点式方程为，可化为，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
综上所述，过、两点的直线方程为，D对.
故选：CD.
方法技巧 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a,0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a|·|b|
【变式训练5-1】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】当直线过原点时直线方程为，满足题意，当直线不过坐标原点时，设直线的截距式，代入点坐标可得解.
【详解】当直线过原点时，直线方程为，即，在两坐标轴上的截距均为，满足题意；
当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数，
设直线方程为，
代入点，得，
解得，
则直线方程为，即，
综上所述直线方程为或，
故选：C.
【变式训练5-2】已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据曲线在某点上的切线方程的性质即可求解.
【详解】依题意，，则，而
因此曲线在点处的切线方程为，
令，解得，即；令，解得，即，
所以.
故选：A.
【变式训练5-3】过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 .
【答案】或
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可.
【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0，
此时直线的斜率为：；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
则，即，
则直线的方程为，斜率为.
故答案为：或.
题型6 直线的一般方程
例6-1经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果.
【详解】由题意可知的斜率为，
所以与其垂直的直线斜率为，
由点斜式可知该直线方程为，
故选：D
例6-2已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可.
【详解】当时，可知直线为，故倾斜角，
当时，由直线方程可知斜率，
所以，即倾斜角，
综上可知：，
故选：C.
方法技巧
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
【变式训练6-1】（多选）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ）
A．直线l过定点（0，1）
B．直线l与圆恒相交
C．直线l被圆截得的最短线段长为
D．圆C与圆M：有2条公共切线
【答案】BD
【分析】依据方程恒成立，直线与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断，直线与圆相交弦长求解办法对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，，故直线l定点，故A错误；
对于B，C：，圆心C为，
因为，所以位于圆内，所以直线l与圆恒相交，故B正确；
对于C，定点与圆心的距离为，
直线l被圆截得的最短线段长为，故C错误；
对于D，圆C与圆M圆心的距离为
，
所以两圆相交，有两条公共切线，故D正确．
故选：BD．
【变式训练6-2】已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值．
【答案】
【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参.
【详解】由题意得
解得或，
所以．
题型7 动直线过定点问题
例7-1（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线在轴上的截距为，则
C．若直线与直线垂直，则
D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
【答案】AB
【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D.
【详解】直线，令即，得，
所以直线恒过定点，故A正确；
若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得，
解得，故B正确；
若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确；
设直线的倾斜角为，则，
又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确；
故选：AB
例7-2已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案.
【详解】依题意，圆，圆心，半径为，
直线过定点，，故点在圆内，
当直线过圆心时，弦长最大，为直径，
当直线与垂直时，弦长最小，
此时的最小值为，故的取值范围为．
故答案为：．
【变式训练7-1】已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值.
【详解】直线过定点，圆，
易知
设到距离为，
，
当时，.
故选:B．
【变式训练7-2】已知直线：.
(1)若直线垂直于直线：，求的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；
(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.
(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
解得，
故的值为；
（2）因为，
所以，
所以，
解得，
所以直线恒过定点；
（3）因为，
所以直线，
设点关于直线的对称点的坐标为，
所以的中点坐标为，
所以，
解得，
所以点关于直线的对称点的坐标为.
题型8 直线方程的综合应用
例8-1已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解.
【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为.
当时，，此时直线垂直于轴，.
当时，直线的斜率，
则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时；
则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时；
综上可得：的取值范围是.
故选：B.
例8-2已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值.
【详解】可变形为，由可得，则恒过定点，
同理可得恒过定点，且有，则，
此时的轨迹是以为直径的圆：.
因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为.
故答案为：2.
【变式训练8-1】若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围.
【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分，
直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线，
观察图象知，且，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
【变式训练8-2·变考法】我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是
【答案】
【分析】由题知图形为正方形，再往内外膨胀1个单位可得到图形，再计算面积即可.
【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形，
则图形为正方形，边长为，
点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下：
则其面积.
故答案为：.
【变式训练8-3】如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列．
(1)求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，，，，
(2)
(3)
【分析】（1） 求直线交点坐标可得，，的值，根据在直线上，可求与的关系式；
（2）变形递推关系，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得答案；
（3）由，可得，利用分组求和、错位相减求和，即可得到答案.
【详解】（1）由直线，令，可得，即，所以，
又由，令，可得，即，
可得，所以，，所以，所以
显然，，所以
因为在直线上，故，即；
（2）由（1）知：，所以，
，即
即数列是首项为，公比为的等比数列，故
所以的通项公式
（3）因为，所以，
设，
则，
两式相减，得

所以
又由，
故
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.
【详解】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
3．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.
【详解】设曲线上一点为，则，则，
，方程为：，即，
根据点到直线的距离公式，到的距离为：，
设，
由于，显然关于单调递减，，无最小值，
即中，边上的高有最大值，无最小值，
又一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
5．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

7．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
【详解】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
1.如果，，那么直线不通过（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，且，所以均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，y轴截距，
所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．
故选：B.
2.已知的顶点坐标为，，.
(1)求边上的高的长.
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解；
（2）求出的长，用面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即.
故点到直线的距离即为边上的高的长，

所以.
（2）因为 ，
所以的面积为：.
3.已知直线（其中A，B不全为0）．
(1)写出直线l的一个法向量的坐标．
(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？
(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？
【答案】(1)；
(2)，不全为零；
(3)；
(4).
【分析】（1）根据直线的方向向量，即可求得法向量.
（2）根据点满足直线方程，即可求得结果.
（3）根据直线斜率为零，即可求得结果.
（4）由直线的横纵截距都存在且不为0，即可求得结果.
【详解】（1）因为直线的一个方向向量为，
显然向量满足，即向量与向量垂直，
所以该直线的一个法向量可以为.
（2）若直线经过原点，即满足直线方程，即，
所以，不全为零.
（3）若直线与轴平行或重合，则其斜率为零，显然，
所以.
（4）若直线与轴和轴都相交且不经过原点，则直线的横纵截距都存在且不为0，则，
所以.
4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：

【答案】见解析
【分析】根据图形写出截距式方程，即可可得一般式方程.
【详解】设直线的截距式方程为，
由（1）可知，所以，
由（2）可知，所以，
由（3）可知，所以
由（4）可知，所以
5.已知一直线经过点，斜率为2，求这条直线的方程．
【答案】
【分析】根据直线方程的形式得点斜式方程再转化为直线的一般式方程即可.
【详解】已知一直线经过点，斜率为2，
则由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，
即．
6.已知的三个顶点为，，，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程．
【答案】；
【分析】由中点坐标公式求出中点坐标，由两点间距离公式可求中线长，两点式求直线的方程即可.
【详解】设点M的坐标为，
因为点M是线段BC的中点， ，，
则，．
所以点M的坐标为．
又，由两点间距离公式，
得．
因此，BC边上的中线AM的长为．
由两点式，得中线AM所在直线的方程为，
即．

7.已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程．
【答案】．
【分析】利用两直线的交点坐标的求解方法求出交点坐标，再利用两点式方程求解.
【详解】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为，
从而由题意知直线l经过点．
又直线l经过原点，所以直线l的方程为，即．

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