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第02讲 三角恒等变换
目录
01 常考题型过关练
题型01 和、差、倍角公式的直接应用
题型02 和、差、倍角公式的逆用及变形
题型03 正余弦的对偶式
题型04辅助角公式的基本应用
题型05 给角求值
题型06 利用拼凑角思想给值求值
题型07 利用拼凑角思想给值求角
题型08 非特殊角的辅助角的应用
题型09 积化和差、和差化积公式
题型10 万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用
题型12 三角恒等变换的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 和、差、倍角公式的直接应用
1．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【详解】．
故选：D．
2．（ 2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
【答案】
【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线．
由题意可知，，，．
故．
所以点的横坐标为．
故答案为：
3．已知，则 ．
【答案】
【详解】，
，
故答案为：．
4．设的化简结果为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，所以．
02 和、差、倍角公式的的逆用及变形
5．在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在中，，
因此是钝角，是锐角，没有条件判断都是锐角，则不能确定为锐角三角形；
反之，为锐角三角形，则是锐角，是钝角，成立，
所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件.
故选：B
6．（多选）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，易知，即A正确；
对于B，显然，可得B错误；
对于C，易知，所以C正确；
对于D，易知，
整理可得，即，即D正确.
故选：ACD
7．（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】ACD
【详解】，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故，故D正确.
故选：ACD.
8．（ 2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
因为正弦函数在上单调递增，所以，即.
故选：D.
03 正余弦的对偶式
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由有，，即，
由有，，即②，
①+②得，，
即，则，解得.
故选：B.
10．在中，，，则 .
【答案】9
【详解】由题设
，
所以，即.
故答案为：9
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得，（1）
，（2）
（1）+（2）得，（3）
（2）-（1）得，（4）
（3）÷（4）得9.
故选：D
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，，，
将两式分别平方相加，得，
，故选项AB错误；
，，，
又，，，故选项D正确，C错误．
故选：D
04 辅助角公式的基本应用
13．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】当即时，
，
因为，所以，
所以，；
当即时，
，
因为，所以，
所以，；
综上所述，.
故选：B.
14．（ 2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
，，
故选：C．
15．已知，则 ．
【答案】/
【详解】因为
，故.
故答案为：.
16．设函数，，若是奇函数，则 ．
【答案】/
【详解】函数，
由是奇函数，得，则，
所以.
故答案为：.
17．已知函数，则其最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
当时，即当时，
，即，
此时，；
当时，即当时，
，则，
此时，，
所以，函数的值域为，即，，
因此，函数最大值与最小值之差为.
故选：C.
05 给角求值
18．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】依题意可得，，，
所以
.
故选：B
19． ．
【答案】
【解析】由正切的和角公式得若，则，再根据此结论求解即可得答案.
【详解】解：∵ ，，
∴，
∴ ．
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正切的和角公式化简求值，解题的关键在于从题中发现若，则，是中档题.
20．化简并求值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
06 利用拼凑角思想给值求值
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，即，
所以，
故选：D
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，
则，所以.
故选：A
23．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，又因为，
所以，
所以
，则，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以
，所以，故C正确.
故选：C.
24．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于，则，
而，故，
由，可得，
则
，
故，
故选：D
25．已知，，其中，，则 .
【答案】
【详解】因为，，得，
所以，
所以，
所以，所以，
因为，，得，
所以，
所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
07 利用拼凑角思想给值求角
26．已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，为锐角，，，
所以，，
所以，
则
，
所以，
故选：A．
27．已知，，，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【详解】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.
故选：C
28．已知为锐角，且，则角等于 .
【答案】/
【详解】，
．
又因为是锐角，所以．
故答案为：．
29．若实数，满足方程组，则的一个值是 .
【答案】（满足或的值均可）
【详解】解：实数，满足方程组，
则，
由于，
所以，则；
所以，整理得，
所以或，
即得或.
故可以取时，．
故答案为：（满足或的值均可）
30．已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且、，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
，则.
所以.
所以.
（2）由（1）知：.
，
，.
则.
，
.
又、，，，
，..
又
.
，
.
08 非特殊角的辅助角的应用
31．已知对于恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，其中，，
.
故选：B.
32．已知则 .
【答案】/
【详解】由辅助角公式得
，
令，
则由同角三角函数的基本关系得.
故答案为：.
33．已知函数在时取得最大值，则 .
【答案】
【详解】，其中，
当时，即时，函数取得最大值，
即，
则
.
故答案为：
34．已知角，的终边不重合，且，则 .
【答案】
【详解】由题知，则，
即，其中，.
因为角，的终边不重合，所以，，
则，，
所以.
故答案为：.
35．已知函数，若，，则 ；若，，，则 ．
【答案】 / /
【详解】（1）由，得，
即，即0，
因为，所以，所以，即，
所以.
（2）若，则，
即，其中，，，
所以或，，
则或，，
因，，故，，
所以．
故答案为：；.
09 积化和差、和差化积公式
36．在中，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由和差化积公式：
，又注意到，
则.
故选：A
37．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】因为
，
又因为，且，,
所以，故，
又由于，所以，
由于，
故选：A．
38．，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．以上都不对
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
10 万能公式
39．（ 2023·湖北·二模）已知，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【详解】由，
所以，则，
所以，则，故，
由.
故选：C
40．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 .
【答案】/
【详解】因为角的终边关于直线对称，
由已知得，即，
所以，
所以．
故答案为：.
41．已知，则 ．
【答案】
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
42．已知为锐角且，则的值是 ．
【答案】/-0.6
【详解】由，
得，
解得，或.
因为为锐角，故.
故答案为: .
11 三角恒等变换的综合应用
43．（ 2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意有，
所以，
故选：D.
44．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，
由于为锐角，所以，故，
故，
又所以，
故选：D
45．已知中，内角是关于x的方程的两个根，其中，则 .
【答案】/
【详解】因为，所以方程可化为：，
所以，，
则，整理可得，
又根据
，
又因为，所以，
所以在中，
.
故答案为：.
46．已知，，，
(1)求和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，可得，即，
所以，又，所以，所以，
所以.
（2）因为，所以，又，
所以，所以，
又，所以，，
所以，
又，又，所以，所以，
所以.
47．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①； ②．根据以上研究结论，研究以下问题．
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)当时，尝试用表示；
(3)求值：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）若选①，证明如下：
.
若选②，证明如下：
.
（2）当时，
.
（3）由题，，因为，则，
所以由公式②及正弦的二倍角公式得，
又因为，所以，所以，
整理得解得或，
又，所以.
12 三角恒等变换的实际应用
48．如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，
显然，
，
（其中，
，
，
综上的长度的取值范围是.
故答案为：
49．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R.
（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；
（2）试求街道RQ长度的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为千米.
【详解】连接AP，过R作，垂足为D.
（1）当P为弧BC的中点时，，
在△APQ中，，，故，
在△ARD中，，，所以，则，
所以，
在直角三角形PRQ中，△PQR的面积.
（2）设，则，
又，则，所以，
在直角三角形PRQ中，
，其中
因为，所以，又，
所以当时，有最小值为，即.
综上，街道RQ长度的最小值为千米.
50．如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．
（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
【答案】（1）（千米）；（2）（万元）.
【解析】（1）根据P位于弧的中点，则P位于的角平分线上，然后分别在正中求解.
（2）设，，然后分别在表示 ，，在中由余弦定理表，再由求解.
【详解】（1）由P位于弧的中点，在P位于的角平分线上，
则，
，
由，且，
∴为等边三角形，则，
三条街道的总长（千米） ；
（2）设，，
则，
，
，
，
由余弦定理可知：
，
，
则|，
设三条街道每年能产生的经济总效益W，
，
，
，
，
，，
当时，W取最大值，最大值为（万元）．
【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
1．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
，
由于在上单调递增，所以，
即，
故选：D
2．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，，
即，
即，则，
又
，
当且仅当时，等号成立，
因为，，所以，，
由于在上单调递增，在上恒为负，
所以的最小值为.
胡选：C
3．若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若，则，
所以，
所以，即，
所以，
若，则，
若使得取得最大值，由于与同号，
故需，此时，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D
4．已知的两个内角都是关于x的方程的解，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以方程可化为：，
又根据题意由韦达定理有，，
则，整理可得，
又根据
，
又因为，所以，
所以在中，
，
则.
故选：B.
5．已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
由于，均为锐角，故，
同除得，
故，
即，故，
当且仅当时取到等号，
因此，
故选：B
6．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】由知，故，
于是，由，知.
存在使等价于关于的方程在有解，
由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是.
故答案为：
7．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）记，若，则实数 .
【答案】/
【详解】先证明，
因为
，
所以成立，
因为，
所以，
即，
解得，
故答案为：.
1．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
【答案】/
【详解】已知，则.
故答案为：
2．（2021·全国乙卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
6．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 三角恒等变换
目录
01 常考题型过关练
题型01 和、差、倍角公式的直接应用
题型02 和、差、倍角公式的逆用及变形
题型03 正余弦的对偶式
题型04辅助角公式的基本应用
题型05 给角求值
题型06 利用拼凑角思想给值求值
题型07 利用拼凑角思想给值求角
题型08 非特殊角的辅助角的应用
题型09 积化和差、和差化积公式
题型】 万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用
题型12 三角恒等变换的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 和、差、倍角公式的直接应用
1．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（ 2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
3．已知，则 ．
4．设的化简结果为 ．
02 和、差、倍角公式的的逆用及变形
5．在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（多选）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
8．（ 2025·湖南长沙·三模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
03 正余弦的对偶式
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
】．在中，，，则 .
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
04 辅助角公式的基本应用
13．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
14．（ 2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，则 ．
16．设函数，，若是奇函数，则 ．
17．已知函数，则其最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
05 给角求值
18．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
19． ．
20．化简并求值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
06 利用拼凑角思想给值求值
21．已知，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
24．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知，，其中，，则 .
07 利用拼凑角思想给值求角
26．已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．已知，，，，则（ ）
A．或 B．
C． D．
28．已知为锐角，且，则角等于 .
29．若实数，满足方程组，则的一个值是 .
30．已知．
(1)若，求的值．
(2)若，且、，求的值．
08 非特殊角的辅助角的应用
31．已知对于恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
32．已知则 .
33．已知函数在时取得最大值，则 .
34．已知角，的终边不重合，且，则 .
35．已知函数，若，，则 ；若，，，则 ．
09 积化和差、和差化积公式
36．在中，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
37．已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
38．，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．以上都不对
】 万能公式
39．（ 2023·湖北·二模）已知，则（ ）
A． B．－1 C． D．
40．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 .
41．已知，则 ．
42．已知为锐角且，则的值是 ．
11 三角恒等变换的综合应用
43．（ 2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
44．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
45．已知中，内角是关于x的方程的两个根，其中，则 .
46．已知，，，
(1)求和的值；
(2)求的值．
47．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①； ②．根据以上研究结论，研究以下问题．
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)当时，尝试用表示；
(3)求值：．
12 三角恒等变换的实际应用
48．如图，四边形中，，，，，则的长度的取值范围是 ．
49．如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为，点P在弧BC上.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直(垂足Q在AB上)，街道PR与AB平行，交AC于点R.
（1）如果P为弧BC的中点，求三条商业街道围成的△PQR的面积；
（2）试求街道RQ长度的最小值.
50．如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．
（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
1．设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知的两个内角都是关于x的方程的解，其中，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 .
7．（ 2025·江苏苏州·模拟预测）记，若，则实数 .
1．（2023·上海·高考真题）已知，则= .
2．（2021·全国乙卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．

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