资源简介

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第02讲 两条直线的位置关系
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 两条直线的位置关系 4
知识点2 直线的交点与方程组解的关系 5
知识点3 距离公式 5
知识点4 对称问题 6
题型破译 7
题型1 直线的交点及其应用 7
题型2 两条直线平行及其应用 9
【方法技巧】斜率相等，截距不相等
【易错分析】易忽视掉两直线重合的情况
题型3 两条直线垂直及其应用 12
题型4 点到直线间的距离公式的应用 14
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 16
题型6 与距离有关的最值问题 18
【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化
题型7 点、直线的对称问题 20
04真题溯源·考向感知 24
05课本典例·高考素材 27
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，12题，5分 甲卷理科，第12题，5分 北京卷第3题，4分 新课标I卷，第6题，5分 新课标II卷，第15题，5分
考情分析：高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．
复习目标： 1.两条直线的位置关系 2.直线的交点与方程组解的关系 3.距离公式 4.对称问题
知识点1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
自主检测判断下列各组直线的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)平行
(2)垂直
(3)相交但不垂直.
【分析】（1）根据斜率相等，纵截距不相等即可判定为平行；
（2）利用两直线斜率之积等于即可判断垂直；
（3）利用斜率的关系即可判定为相交但不垂直.
【详解】（1）因为
且两直线的纵截距,
所以两直线平行.
（2）因为
所以两直线垂直.
（3）因为
所以两直线既不平行，也不垂直.
即两直线的位置关系为相交但不垂直.
知识点2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
自主检测直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求直线交点坐标
【分析】解二元一次方程组即得交点坐标.
【详解】解方程组，得，
所以所求交点坐标为.
故选：B
知识点3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
自主检测已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】就是到原点距离，
到原点距离的最小值为
则的最小值为2，
故选：B.
知识点4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
自主检测已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
题型1 直线的交点及其应用
例1-1过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解.
【详解】联立，得交点坐标为，
因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，
所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即.
故选：A.
例1-2已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程.
【详解】联立直线、的方程，，解得，
故直线、的交点坐标为，
因为直线与直线平行，设直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程可得，解得.
因此，直线的方程为.
故选：B.
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【变式训练1-1】已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；
（2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可.
【详解】（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
【变式训练1-2】已知菱形中，，，边所在直线过点，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；
（2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可.
【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以
因为为菱形，所以，所以，
又，所以，整理得.
（2）因为，，所以.
因为为菱形，所以，所以
因为，，所以中点坐标为，
所以
联立方程组，
解得，所以.
题型2 两条直线平行及其应用
例2-1“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解.
【详解】若直线，则，解得：.
所以“”是“直线的充分必要条件.
故选：C
例2-2（多选）已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ）
A．的最小值为
B．原点到的距离的最大值为
C．的充要条件为
D．的充要条件为或
【答案】BCD
【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解.
【详解】对于B，：可化为，
令，得，则过定点，
当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大，
最大距离为，故B正确；
对于C，的充要条件为，即，故C正确；
对于D，的充要条件为且，即或，故D正确.
对于A，因为直线：，：不一定平行，
当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误；
故选：BCD.
方法技巧
三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
易错分析
分析两条直线是否平行，需注意两个关键要点：一是不可遗漏斜率不存在（两条直线均垂直于 x 轴）的特殊情况，二是必须排除两条直线重合的情况。
【变式训练2-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案.
【详解】直线与直线平行，
则，解得，
直线，即，
与的距离为.
故选：B
【变式训练2-2·变考法】已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程.
【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为，
由直线经过点，得，解得，
所以直线的方程为.
故答案为：
【变式训练2-3·变载体】已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ．
【答案】1
【分析】根据题意画出图形，求出点与的坐标，即可求出的长，进而求出等边三角形的高，由和的面积相等，得到点与点到直线的距离相等，利用平行线距离列出直线方程，把点P代入CP直线方程求解即可．
【详解】如图所示：

因为直线与轴，轴分别交于点，，
所以，，所以.
又和的面积相等，
所以，所以可设直线的方程为.
依题意，得点到直线的距离为，即，所以或（舍），
所以直线的方程为.又点在直线上，
所以，即.
故答案为：1
题型3 两条直线垂直及其应用
例3-1以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程.
【详解】因为
则，
所以线段AB的中垂线的斜率为，
又线段的中点为，即，
所以线段中垂线方程为：，即.
故选：C．
例3-2设直线，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线，，
此时，则，所以，故充分性成立；
当时，，解得或，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：C.
方法技巧
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况
【变式训练3-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点．
B．截距相等的直线都可以用方程表示
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】AD
【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D.
【详解】对于A，由直线方程有 ，故必过点，故A正确；
对于B，当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为，如，
所以不能用方程表示，故B错误；
对于C，直线的斜率为，则倾斜角为，故C错误；
对于D，由直线和的斜率分别为，则有，故相互垂直，
将代入方程，则成立，故D正确．
故选：AD.
【变式训练3-2】已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线的斜率，再结合两直线垂直时，斜率存在的情况下斜率之积为，求高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线方程；
（2）先根据中点坐标公式求点的坐标，再利用点斜式求直线方程.
【详解】（1）因为直线的斜率，所以所在直线的斜率，
则所求直线方程为，即
所以边上的高所在直线的方程为．
（2）因为线段的中点，
所以边上的中线所在直线的斜率，
则所求直线方程为，即
所以边上的中线所在直线的方程为．
题型4 点到直线间的距离公式的应用
例4-1已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离
【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可.
【详解】易知直线的斜率为，又过点，
所以其方程为，即，
可得点到直线l的距离为.
故选：C
例4-2若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4 B． C．4或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、已知点到直线距离求参数
【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解.
【详解】若，在直线的同侧，则，解得；
若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，
则，解得．
故选：C
方法技巧
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
【变式训练4-1】点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离
【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值.
【详解】法一：点到直线的距离为，
，
令，当时，，
当时，，由对勾函数的性质可知，
所以，所以，
所以.
法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即.
故选：C.
【变式训练4-2·变载体】已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆，
令，即点分别在、上，如图，
显然，，即有，
，取线段中点，连接，则，
因此点在以原点为圆心，为半径的圆上，
而，
即表示点到直线的距离和的倍，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点，
于是，，
，原点到直线的距离，
显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，
所以.
故答案为：
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
例5-1（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线即直线，与直线平行，则，
故所求即为平行直线与之间的距离，
即所求为.
故选：B.
例5-2已知实数满足， ， 则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，是直线上的点，
是直线上的点，则两直线平行，
的最小值是平行直线之间的距离的平方，
可得最小值为.
故选：D
方法技巧
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式训练5-1】若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
【答案】B
【分析】两直线与平行的判定方法，但要验证是否重合.
【详解】因为直线：与直线：平行，
所以，解得，
当时，：，：，两直线平行，
当时，：，：，两直线重合，
所以.
故选：B.
【变式训练5-2】设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；
（2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值.
【详解】（1）由，则，化简得，可得或，
当时，不成立，
当时，，，
此时之间的距离为.
（2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则，
与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为，
当时，有最大.
题型6 与距离有关的最值问题
例6-1点到直线的最大距离是（ ）
A． B．2 C． D．不存在
【答案】D
【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线即，
令，解得，
即直线过定点，设为B，
当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，
即为，
此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，
即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，
故选：D
例6-2（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解.
【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，
则，所以，
因为，设函数在点处的切线与直线平行，
则，解得，则点，
所以的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为2，
故选：
方法技巧
数学结合，利用距离的几何意义进行转化
【变式训练6-1】已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可；
【详解】如图，设关于直线对称的点为，则
解得，则，
所以.
故选：D.

【变式训练6-2】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（ ）
A．的最小值为12 B．的最小值为6
C．的最小值为 D．的最大值为2
【答案】AC
【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案.
【详解】令是关于的对称点，则，
所以，即，为与的交点，
如下图，则，
当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12；
由图知（直线与直线的交点离点更近），即，
当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为.
故选：AC
题型7 点、直线的对称问题
例7-1下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．直线关于点的对称直线的方程为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线围成图形的面积问题、求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题
【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D.
【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误；
对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误；
对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为，
则，解得，而点不在直线上，C错误；
对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上，
于是，即，因此所求的直线方程为，D正确.
故选：D
例7-2已知在直线上，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果.
【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上，
所以的最小值即为原点到直线的距离，.
所以的最小值为3.
故答案为：.
方法技巧
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【变式训练7-1】在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，
和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，
由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，
即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积.
【详解】

建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为，
则三角形的重心为，即，
设,其中，则点P关于直线BC的对称点，
满足，解得，即，
易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线，
直线的斜率为，故直线的方程为，
由于直线过三角形的重心，代入得，
化简得或（舍去），故,,,直线的方程为,
联立,解得,即点Q的坐标为,
则三角形的面积，
故选：A
【变式训练7-2】设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称
【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程.
【详解】由解得，
所以直线与的交点为，
点在直线上，
点关于直线的对称点在反射光线上，
所以反射光线所在直线方程为，
整理得
故答案为：

【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
2．（山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
4．（全国·高考真题）和夹角的平分线所在直线的方程为，如果的方程是()，那么的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合已知条件，利用反函数性质即可求解.
【详解】由题意可知，直线与直线表示直线的一次函数互为反函数，
则将的方程交换与的位置即可得到的方程，
因为的方程是：，
所以直线的方程为：，即.
故选：A.
5．（全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长．
【答案】
【分析】根据条件可求出的坐标，然后根据两点间的距离公式可得答案.
【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，所以设，
因为线段AB的中点M的坐标是，所以，即，
所以，.
2.分别求点到下列直线的距离：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用点到直线距离公式分别计算.
【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得
（2）因为直线即平行于y轴，所以.
3.已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值．
【答案】或
【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可.
【详解】因为两条平行直线与间的距离为3，
所以，解得或.
4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)；
(2)．
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案；
（2）联立直线得到方程组，解出即可.
【详解】（1）将与的方程分别化为斜截式可知．
因此与的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
（2）解方程组，
可得．
因此与相交，而且交点的坐标为
5.某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方
【答案】供水站应建在处
【分析】根据两点间的距离以及点关于直线的对称性建立方程组求解即可.
【详解】如图，作点关于直线l的对称点，连接交l于，

若（异于）在直线l上，则，
因此供水站建在处，才能使得所用管道最省．
设，则的中点在l上，且，
即，
解得，即，又因为，
则直线的方程为：，则化简为，
所以直线的方程为．
解方程组，得．
所以点P的坐标为．
故供水站P应建在处．
6.求函数的最大值．
【答案】
【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案.
【详解】表示、的距离，
表示、的距离，所以，
因为，
所以.
7.已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，求．
【答案】4
【分析】先得到直线经过定点，且在圆上，不妨设为，由垂径定理得到圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式得到直线的斜率为，倾斜角为，作出辅助线，由三角函数值求出答案.
【详解】变形为，
令，解得，
故直线经过定点，
由于，故在圆上，不妨设为，
的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
由垂径定理可得，解得，
由点到直线距离公式可知，，解得，
直线，斜率为，倾斜角为，
过点作平行于于点，则，且，
因为过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
所以.中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 两条直线的位置关系
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 两条直线的位置关系 4
知识点2 直线的交点与方程组解的关系 4
知识点3 距离公式 5
知识点4 对称问题 5
题型破译 5
题型1 直线的交点及其应用 5
题型2 两条直线平行及其应用 6
【方法技巧】斜率相等，截距不相等
【易错分析】易忽视掉两直线重合的情况
题型3 两条直线垂直及其应用 7
题型4 点到直线间的距离公式的应用 8
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用 8
题型6 与距离有关的最值问题 9
【方法技巧】数学结合，利用距离的几何意义进行转化
题型7 点、直线的对称问题 9
04真题溯源·考向感知 10
05课本典例·高考素材 11
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直． （2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． （3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，12题，5分 甲卷理科，第12题，5分 北京卷第3题，4分 新课标I卷，第6题，5分 新课标II卷，第15题，5分
考情分析：高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．
复习目标： 1.两条直线的位置关系 2.直线的交点与方程组解的关系 3.距离公式 4.对称问题
知识点1 两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2
垂直 v1⊥v2
相交 v1与v2不共线
自主检测判断下列各组直线的位置关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
知识点2 直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组
直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
自主检测直线和的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ .
自主检测已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点4 对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′ .
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
自主检测已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型1 直线的交点及其应用
例1-1过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例1-2已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
【变式训练1-1】已知直线．
(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；
(2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
【变式训练1-2】已知菱形中，，，边所在直线过点，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)点的坐标．
题型2 两条直线平行及其应用
例2-1“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例2-2（多选）已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ）
A．的最小值为
B．原点到的距离的最大值为
C．的充要条件为
D．的充要条件为或
方法技巧
三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
易错分析
分析两条直线是否平行，需注意两个关键要点：一是不可遗漏斜率不存在（两条直线均垂直于 x 轴）的特殊情况，二是必须排除两条直线重合的情况。
【变式训练2-1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练2-2·变考法】已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则 ．
题型3 两条直线垂直及其应用
例3-1以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例3-2设直线，，则是的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
方法技巧
两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况
【变式训练3-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点．
B．截距相等的直线都可以用方程表示
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【变式训练3-2】已知的顶点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
题型4 点到直线间的距离公式的应用
例4-1已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
例4-2若点，到直线的距离相等，则（ ）
A．4 B． C．4或 D．或
方法技巧
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
【变式训练4-1】点到直线（为任意实数）距离的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练4-2·变载体】已知实数，满足，，，则的最小值是 ．
题型5 两条平行直线间的距离公式的应用
例5-1（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知实数满足， ， 则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
方法技巧
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式训练5-1】若两条不同的直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
【变式训练5-2】设直线与.
(1)若，求、之间的距离；
(2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值.
题型6 与距离有关的最值问题
例6-1点到直线的最大距离是（ ）
A． B．2 C． D．不存在
例6-2（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
方法技巧
数学结合，利用距离的几何意义进行转化
【变式训练6-1】已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式训练6-2】（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（ ）
A．的最小值为12 B．的最小值为6
C．的最小值为 D．的最大值为2
题型7 点、直线的对称问题
例7-1下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．直线关于点的对称直线的方程为
例7-2已知在直线上，则的最小值为 ．
方法技巧
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
【变式训练7-1】在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ）

A． B． C． D．
【变式训练7-2】设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是
【变式训练7-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（全国·高考真题）和夹角的平分线所在直线的方程为，如果的方程是()，那么的方程是( )
A． B．
C． D．
5．（全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
1.已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，求线段AB的长．
2.分别求点到下列直线的距离：
(1)；
(2)．
3.已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值．
4.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)；
(2)．
5.某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方
6.求函数的最大值．
7.已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，求．

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