资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 排列、组合
目录
01 常考题型过关练
题型01 排列数与组合数的计数
题型02 直接法
题型03 间接法
题型04捆绑法与插空法
题型05 分组与分配问题
题型06 定序问题
题型07 相同元素分配问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 排列数与组合数的计数
1．（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
2．若，则 .
3．已知，则 ．
4．求值、解方程或解不等式
(1)求值：
(2)求值：；
(3)解方程：
(4)解方程：已知（），求
(5)解关于的不等式
5．（1）计算：已知，则求的值．
（2）计算：；
（3）解方程：；
6．计算下列各式.
(1)；
(2).
7．（1）计算：；
（2）计算：.
（3）已知：，求n.
02 直接法
1．2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
2．为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（ ）
A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种
3．小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（ ）
A．18种 B．27种 C．36种 D．54种
4．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种．
5．身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有 种不同的排法.
6．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？
(3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
03 间接法
1．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A．70 B．66 C．62 D．58
2．如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种.
A．528 B．524 C．520 D．516
3．有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
4．甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A．128 B．144 C．160 D．210
5．北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ）
A．12种 B．13种 C．19种 D．21种
6．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．48种
7．2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为 ．
04 捆绑法与插空法
1．小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
2．甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种
3．甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
4．现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（ ）
A． B． C． D．
5．来自3个班的6名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班1人，到达山顶之后6人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有（ ）
A．150种 B．120种 C．84种 D．72种
6．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序.
05 分组与分配问题
1．现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）．
A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种
2．包含甲在内的5名在校大学生计划参加学校运动会的志愿者服务，有跳高、跳远、铅球、篮球四个项目可以选择，每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募这5名志愿者中的一名.若甲不能参加跳高，跳远这两个项目的服务，则不同的招募方式共有（ ）
A．180种 B．150种 C．120种 D．90种
3．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区，每个社区至少去一人，则不同的安排方法有（ ）种．
A．90 B．60 C．150 D．140
4．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种．
5．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ．
6．来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为 .
7．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案.
8．（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答）
（2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答）
（3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答）
06 定序问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．28种
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A． B． C． D．
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
07 相同元素分配问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．28种
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A． B． C． D．
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·安徽六安·模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ）
A．72 B．88 C．100 D．144
2．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216 B．264 C．312 D．528
3．（2025·甘肃白银·三模）花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（ ）
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
4．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种.
5．（2025·四川眉山·模拟预测）将7个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求：
①每个盒子至少放1个球；
②编号为1的盒子中小球数量为偶数；
③若编号为2的盒子放奇数个球，则其中必须有一个小球编号（编号为1至7）是其放入小球总数的倍数（例如放入3个球时，其中至少有一个球编号是3的倍数）.
满足条件的放法共有 种.
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 排列、组合
目录
01 常考题型过关练
题型01 排列数与组合数的计数
题型02 直接法
题型03 间接法
题型04捆绑法与插空法
题型05 分组与分配问题
题型06 定序问题
题型07 相同元素分配问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 排列数与组合数的计数
1．（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】AB
【详解】对于选项A，显然 ，故 正确；
对于选项B，因为 ，所以 或 ，
计算可得 (舍去) 或 ，故 正确；
对于选项C，由 ，计算可得 ，
所以 (舍) 或 或 ，故 不正确；
对于选项D， ，故 D 不正确.
故选：AB.
2．若，则 .
【答案】3
【详解】由题设，且，，
则，
所以，则，
所以，可得（非整数解舍）.
故答案为：3
3．已知，则 ．
【答案】或
【详解】由题意可得或，解得或.
故答案为：或.
4．求值、解方程或解不等式
(1)求值：
(2)求值：；
(3)解方程：
(4)解方程：已知（），求
(5)解关于的不等式
【答案】(1)1
(2)165
(3)
(4)或
(5)
【详解】（1）；
（2）因为，
所以；
（3）由，得，
化简得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解是；
（4），则或
解得：或，经检验均符合，
故或；
（5）由，可得，
所以，整理得，
解得，
又因为，所以.
5．（1）计算：已知，则求的值．
（2）计算：；
（3）解方程：；
【答案】（1） ；（2）；（3） ．
【详解】（1）由，得，解得．
所以．
（2）.
（3）由得：，整理可得，
由题意，，故解得.
6．计算下列各式.
(1)；
(2).
【答案】(1)600
(2)13
【详解】（1）；
（2）.
7．（1）计算：；
（2）计算：.
（3）已知：，求n.
【答案】（1）0；
（2）252；
（3）
【分析】（1）利用排列数性质化简计算可求值；
（2）利用组合数的性质可求值；
（3）利用组合数公式与排列数公式计算可求解.
【详解】（1）；
（2）。
；
（3）由已知可得，所以，
所以，所以，解得或，
经检验知不符合题意，故舍去; 符合题意，
故.
02 直接法
1．2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种 B．32种 C．48种 D．64种
【答案】B
【详解】先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上，有种排法，
再从两侧各选1个位置，把不相邻的两位1班同学安排其中，有种排法，
最后把不相邻的两位2班同学安排到余下的2个位置上，有种排法.
所以，共有种.
故选：B
2．为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（ ）
A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种
【答案】C
【详解】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工，则有种，
再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染，则有种，
所以共有种.
故选：C
3．小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（ ）
A．18种 B．27种 C．36种 D．54种
【答案】C
【详解】爸爸和妈妈选一人在驾驶座有2种，小华在后排3个座位选一个座位有3种，余下人作全排种.
所以不同乘坐方式有种.
故选：C.
4．某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种．
【答案】2016
【详解】先将4名高三学生全排列，
若高一、高二学生不相邻，站法有，
若高一学生与高二学生相邻，站法有，
共有种站法．
故答案为：2016
5．身高不相等的5人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有 种不同的排法.
【答案】6
【详解】把问题看成是由1，2，3，4，5这五个数字排成一个五位数，要求最大的数字排在中间，按大小向两侧递减，则排成的五位数有12543，13542，14532，23541，24531与34521这6个数．
故答案为：6
6．一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生．
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？
(2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？
(3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？
【答案】(1)20；
(2)360；
(3)216.
【详解】（1）由题意，从6人中选出3人参加一项活动，共有种选法.
（2）从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有种选法.
（3）由题意，先从中3名男生和3名女生中选出男生2人，女生2人，有种选法；
再将4人安排参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有种方法，
所以，总共有种选法.
03 间接法
1．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ）
A．70 B．66 C．62 D．58
【答案】D
【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面），
所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.
故选：D
2．如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种.
A．528 B．524 C．520 D．516
【答案】D
【详解】从个点中取个点共有种情况，
①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形，
所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况，
②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况，
所以能够成三角形的取法共有种情况.
故选：D.
3．有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
【答案】B
【详解】把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有，
甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.故选：B．
4．甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A．128 B．144 C．160 D．210
【答案】B
【分析】根据捆绑法、间接法求解即可.
【详解】先甲、乙相邻，有种不同排法，
其中丁站两端的站法有种，
故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种，
故选：B
5．北京的小王和深圳的小李是好朋友，两人恰好都计划于2025年国庆节的7天假期中，到上海连续游玩三日，他们约定至少有一天同时出现在上海，则他们不同的出游安排方案共有（ ）
A．12种 B．13种 C．19种 D．21种
【答案】C
【详解】记出行日期为，
则两人的出行日期为，各有种方法，
所以两人出行的总的方案数有种，
其中，两人没有同一天的为：
小王，小李；
小王，小李；
小王，小李；
小王，小李；
共种，则至少有一天同时出现在上海的有种.
故选：C
6．将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．48种
【答案】B
【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法，
若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法，
所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种.
故选:B.
7．2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为 ．
【答案】111
【详解】设取出的号码为不同的数，，，，且，
若不存在连续编号，则，从中抽取四个共有种，
所以符合条件的取法种数为.
故答案为：
04 捆绑法与插空法
1．小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b中组成无重复的五位字符的密码，要求a与b相邻，则可以设置不同的密码的个数为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】D
【详解】将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3进行全排列，再将“a”和“b”交换顺序，
所以不同的放置方式种数为.
故选：D.
2．甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种
【答案】D
【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法，
丙、丁共有排列有种方法，
所以总的不同的安排方法有种.
故选：D.
3．甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
【答案】D
【详解】甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排参加文艺汇演，
若甲和乙相邻，则有种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4名同学选2人在两端有种排法，
所以不同的排列方式有种排法.
故选：D.
4．现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将名男同学和名女同学站成一排合影，
若名女同学不相邻，先将名男同学排序，
再将名女同学插入名男同学形成的个空位中的个，
所以，不同的排法种数为种.
故选：D.
5．来自3个班的6名同学一起参与登山活动，其中一班有3人，二班有2人，三班1人，到达山顶之后6人排成一排合影留念，则同班同学不相邻的站法总共有（ ）
A．150种 B．120种 C．84种 D．72种
【答案】B
【详解】不妨设一班3人为，二班2人为，三班1人为，则不能相邻，不能相邻.
以下分两类，先排的相对位置：
若之间没有，则打包可知这三人共有种相对位置，再让来进行插空，
因为不能相邻，所以他们之间必然会有且只有一个一班同学，所以总共有种；
若之间有，则这三人共有种相对位置，再让来进行插空，总共有种，
综上，总共有种.
故选：B
6．某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序.
【答案】1440
【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法；
再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法，
根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序.
故答案为：.
05 分组与分配问题
1．现安排6名大学生到4所学校去实习，要求每名大学生去且只能去一所学校实习，每所学校都有大学生去实习，则不同的安排方法共有（ ）．
A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种
【答案】C
【详解】为满足题意，将6名大学生分为3，1，1，1或2，2，1，1四组，
所以不同的安排方法共有种.
故选：C．
2．包含甲在内的5名在校大学生计划参加学校运动会的志愿者服务，有跳高、跳远、铅球、篮球四个项目可以选择，每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募这5名志愿者中的一名.若甲不能参加跳高，跳远这两个项目的服务，则不同的招募方式共有（ ）
A．180种 B．150种 C．120种 D．90种
【答案】C
【详解】满足条件的招募方式可分为两类：
第一类：甲单独参加某个项目，
先安排甲，由于甲不能参加跳高，跳远两个项目，故甲的安排方法有2种，
再将余下4人，安排到余下的三个项目，
由于每个学生只能选择一个项目，每个项目至少招募一名学生，
故满足条件的招募方式有种，
所以甲单独参加某个项目的招募方式有种；
第二类：甲和其他一人一起参加某个项目，
先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下3人，有种方法，
所以甲不单独参加某个项目的报名方法有种，
所以满足条件的不同的招募方式共有种方法.
故选：C.
3．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区，每个社区至少去一人，则不同的安排方法有（ ）种．
A．90 B．60 C．150 D．140
【答案】C
【详解】5名同学按和分组分别有种和种分法，
再将这三组分到三个不同社区有种，
所以不同的安排方法共有（种）.
故选：C.
4．已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有 种．
【答案】
【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，
所以有一所学校必然有2名师范生实习.
若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
综上，不同的安排方法有种.
故答案为：.
5．将个不同的球分给个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为 ．
【答案】
【详解】先给不同的个球分成三组，不同的分组方式如下：
第一种情况，一组个、一组个、一组个，此为不平均分组，遵循先分组再分配原则，
分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种；
第二种情况，一组个、一组个、一组个，此为部分平均分组，遵循先分组再分配原则，
分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种；
第三种情况，一组个、一组个、一组个．此为平均分组，遵循先分组再分配原则，
分配给不同的个盒子，则不同的分配方法种数为种.
综上所述，不同的分配方法种数为种.
故答案为：.
6．来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为 .
【答案】88
【详解】当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有种选择，再将其他4个景点分给B，C，有种选择，共有种选择；
当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去2个景点时，有种选择，再将其他3个景点分给B，C，有种选择，共有种选择；
当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有种选择，再将其他2个景点分给B，C，有种选择，共有种选择；
当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时，只需将其他3个景点分给B，C，有种选择；
当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有种选择，只需将其他2个景点分给B，C，有种选择，共有种选择.
故共有88种不同的打卡方案.
故答案为：.
7．甲、乙、丙等8名同学将作为志愿者参加三个养老院的志愿服务工作，每个养老院至少安排2名志愿者，每名志愿者只能去一个养老院，且甲、乙、丙三人必须在同一养老院进行志愿服务，则有 种不同的分配方案.
【答案】150
【详解】依题意，人数的分配有和两种，
若是，则有种，
若是，则有种，则共有150种不同的分配方案.
故答案为：150.
8．（1）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？(均须以数字作答）
（2）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？（均须以数字作答）
（3）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？（均须以数字作答）
【答案】（1）15；（2）90；（3）1560
【详解】（1）无序部分均匀分组问题：共有（种）分法；
（2）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）；
（3）第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种；
第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种；
由加法原理，知共有480+1080=1560种不同分法
06 定序问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．28种
【答案】A
【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列.
因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种.
故选：A.
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】六个数的全排列共有个，
因为出现次，出现次，
所以不同的密码有个.
故选：C.
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种，
然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种，
由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为.
故选：C.
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，，，，，
所以，将、、、、的函数值排成一列，
则组成不同的五位数的个数为个.
故选：B.
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
【答案】D
【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，
然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为.
故选：D.
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
07 相同元素分配问题
1．某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．28种
【答案】A
【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列.
因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种.
故选：A.
2．自然对数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中位数字设置一个位数的密码，则不同的密码有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】六个数的全排列共有个，
因为出现次，出现次，
所以不同的密码有个.
故选：C.
3．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种，
然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种，
由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为.
故选：C.
4．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如：，，现将、、、、的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，，，，，
所以，将、、、、的函数值排成一列，
则组成不同的五位数的个数为个.
故选：B.
5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫 商 角 徵 羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128 B．64 C．48 D．24
【答案】D
【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，
然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为.
故选：D.
6．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
1．（2025·安徽六安·模拟预测）中国空间站主体由天和核心舱、问天实验室、梦天实验舱构成．某次实验需要位宇航员同时在三个舱中开展，每个人只能去一个舱，每个舱至少安排名宇航员，其中甲宇航员只能去问天实验室和梦天实验舱中的一个，则不同的安排方法有（ ）
A．72 B．88 C．100 D．144
【答案】C
【详解】第一步，安排甲种；
第二步，安排剩下四人；①人分三组种；②人分两组种；
综上：种.
故选：C.
2．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216 B．264 C．312 D．528
【答案】D
【详解】按照1－7的序号对座位进行编号，左侧编号1－4，右侧编号5－7，
若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为，共3种排法，
小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排法，剩下的4人有种排法，
因此小明和小刚坐在左侧时共有种排法；
若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为，共2种排法，小明和小刚可互换位置，
小强只有一种排法，剩下的4人有种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有种排法，
所以不同的排法共有种情况.
故选：D
3．（2025·甘肃白银·三模）花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（ ）
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
【答案】A
【详解】若张师傅轮休，则王师傅一定也轮休，李师傅则在岗，则另外在岗3人有种方法，
若张师傅在岗，则王师傅也在岗，则另外在岗2人有种方法，
轮休的4人在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，有种方法，
所以不同的轮休方案有.
故选：A
4．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种.
【答案】2
【详解】假设一个正四面体四个顶点为、、、，则作底面顶点时，通过旋转，除底面外三个面的朝向有三种，如图所示：
同理，，作底面顶点时也分别有3种，一共有12种，
即一个正四面体可以通过旋转得到12种朝向.
因为四种颜色的排列数有种，
所以一共有种不同的上色模式.
故答案为：2
5．（2025·四川眉山·模拟预测）将7个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求：
①每个盒子至少放1个球；
②编号为1的盒子中小球数量为偶数；
③若编号为2的盒子放奇数个球，则其中必须有一个小球编号（编号为1至7）是其放入小球总数的倍数（例如放入3个球时，其中至少有一个球编号是3的倍数）.
满足条件的放法共有 种.
【答案】780
【详解】由题意，1号盒只能放2个或放4个．
（1）1号盒放2个，2号盒放2个，3号盒放3个：对应放法数为；
（2）1号盒放2个，2号盒放4个，3号盒放1个：对应放法数为；
（3）1号盒放2个，2号盒放1个，3号盒放4个：对应放法数为；
（4）1号盒放2个，2号盒放3个，3号盒放2个：
此时2号盒需至少有一个球的编号是3的倍数（即3或6）．
情形一：1号盒不放编号3和6的球：对应放法数为；
情形二：1号盒放编号3或6的球其中之一：对应放法数为；
（5）1号盒放4个，2号盒放1个，3号盒放2个：对应放法数为；
（6）1号盒放4个，2号盒放2个，3号盒放1个：对应放法数为．
综上，满足条件的放法共有．
故答案为：780．
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种．
【答案】288
【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112

展开更多......

收起↑