资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 排列、组合
目录
012
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 排列与组合的概念 4
知识点2 排列数与组合数 4
知识点3 排列数、组合数的公式及性质 5
题型破译 5
题型1 排列数与组合数的计数 5
题型2 直接法 6
题型3 间接法 8
题型4 捆绑法与插空法 9
题型5 分组与分配问题 10
题型6 定序问题 12
题型7 相同元素分配问题 14
04真题溯源·考向感知 15
05课本典例·高考素材 16
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）排列与组合的概念 （2）排列数、组合数的公式及性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年上海卷第9题，5分 2024年上海卷第10题，5分 2023年甲卷（理）第9题，5分 2023年乙卷（理）第7题，5分 2023年全国Ⅰ卷第13题，5分
考情分析：从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5分．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
复习目标： （1）理解排列、组合的概念． （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． （3）能利用排列组合解决简单的实际问题．
知识点1 排列与组合的概念
名称 定义
排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
自主检测从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（ ）．
A．360 B． C．24 D．
【答案】A
【详解】根据题意，从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列，
共有种.
故选：A.
知识点2 排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
自主检测下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，因为，所以，错误；
对于B，因为，所以，错误；
对于C，因为，
所以，错误；
对于D，因为，所以，正确.
故选：D
知识点3 排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
自主检测若，则（ ）
A．5 B．6或5 C．7 D．7或8
【答案】B
【详解】∵，
∴由组合数的性质可得或，则或5.
故选：B.
题型1 排列数与组合数的计数
例1-1（ ）
A．0 B．56 C．1 D．42
【答案】A
【详解】由题意得，
故选：A.
例1-2（多选）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A选项，由组合数性质得，A正确；
B选项，由组合数计算公式得，B正确；
C选项，不妨设，则，
显然，C错误；
D选项，，D正确.
故选：ABD
【变式训练1-1】若，则的值为 ．
【答案】34
【详解】因为，所以或（舍去），解得，
所以
．
故答案为：．
【变式训练1-2】若，则正整数的值为 .
【答案】5或7
【详解】由组合数的性质，可得，
则，可得或，
解得或.
故答案为：5或7.
【变式训练1-3】若，则 .
【答案】8
【详解】由组合数的性质，得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：8
题型2 直接法
例2-1甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ）
A．24种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】B
【详解】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法，
其次选一人在乙丙中间有种排法，
然后乙丙中间排序有种排法，
最后另一人选在排头排尾有种排法，
共种排法.
故选：B.
例2-2用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．
【答案】30
【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数，
若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数，
因此一共有个符合条件的偶数，
故答案为：30
【变式训练2-1】在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．6种 D．12种
【答案】A
【详解】①A小区安排一人，有种，
②A小区安排两人，有种，
所以共24种．
故选：A
【变式训练2-2】五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种．
A．24 B．72 C．36 D．42
【答案】B
【详解】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有种方法，并形成4个空，
再把C，D安排到形成的4个空中，有种方法，
所以共有种排法.
故选：B
【变式训练2-3】从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有 种．（用数字作答）
【答案】18
【详解】若甲同学不被选中，则共有种；
若甲同学被选中，则共有种；
所以安排方案共有18种．
故答案为：18.
题型3 间接法
例3-1某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144 B．240 C．336 D．456
【答案】C
【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为；
第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为；
所以不同放置方式种数为.
故选：C.
例3-2从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ．
【答案】20
【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8,
先任选3个数，有种取法，
其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；
三个数中只有两个数连续，
比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种，
同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种，
比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种，
同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种，
所以此时共有种，
综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，
共有种选法．
故答案为：20．
【变式训练3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【答案】C
【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，
此时共有种排列方式；
然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，
在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，
此时共有种排列方式；
故符合题意的不同排列方式共有（种），
故选：C
【变式训练3-2】某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（ ）
A．90种 B．140种 C．196种 D．256种
【答案】B
【详解】依题意，从10名大学生中任取4名有种方法，甲乙都未取到的有种方法，
所以甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为.
故选：B
【变式训练3-3】某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3节不同的文化课、2节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有 种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有 种排法．
【答案】 48 564
【详解】若上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，
则有种排法；
若上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，则有：
1.若上午第一节为艺术课，则有种排法；
2.若上午第一节不为艺术课，则有种排法；
综上所述：共有种排法；
故答案为：48；564.
题型4 捆绑法与插空法
例4-1将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，
所以共有种不同的停放方法.
故选：B.
例4-2两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种 B．796种 C．816种 D．834种
【答案】C
【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法，
再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法，即此时排法有种，
而甲站最左边的排法有种，
故符合条件的排法共有种，
故选：C．
【变式训练4-1】6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ）
A．240 B．480 C．960 D．1920
【答案】B
【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法，
故选：B
【变式训练4-2】据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为 种.(用数字作答)
【答案】
【详解】先从剩下3个音符中选一个插入“徵”和“羽”之间，有种情况.
再将这3个音符作为整体与剩下2个音符排成1列，有种情况.
故答案为：
【变式训练4-3】某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字作答）
【答案】
【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有种不同的排法，
从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有种不同的排法，
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
故答案为：.
题型5 分组与分配问题
例5-1为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】C
【详解】若数独只有1人报名，从乙和丙中选1人，有种情况，
若选修几何画板只有1人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有种情况，
最后将剩余3人分为两组，再分配给另外两门课程，此时不同的选择情况种数为种；
若选修几何画板有2人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选2人，有种情况，
剩余2人选修剩余2门课程，此时不同的选择情况种数为种；
根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，数独只有1人报名的选择情况种数为：
种；
若数独有2人报名（乙和丙），有1种情况，
若选修几何画板只有1人，从剩余3人中除甲以外的2人中任选1人，有种情况，
剩余2人报名剩余2门课程，此时不同的选择方法种数为种，
根据分步乘法计数原理，数独有2人报名的选择情况种数为：种.
综上，根据分步加法计数原理，甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为种.
故选：C.
例5-2六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 .
【答案】1560
【详解】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法；
若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法.
故共有1560种不同的分配方法.
故答案为：1560.
【变式训练5-1】某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】D
【详解】先分组，再分配，
分组有2种情况：
①一个医院1人，一个医院3人，此时有种，
②两个医院各2人，此时有种，
将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况，
故不同的分配方案有种，
故选：D
【变式训练5-2】将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ）
A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种
【答案】B
【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式，
1，1，1，3的分组包含种情况，
1，1，2，2的分组包含种情况，
这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法.
故选：B
【变式训练5-3】近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ．
【答案】540
【详解】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法；
若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法，
故不同的安排方法种数是．
故答案为：540.
【变式训练5-4】《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种.
【答案】150
【详解】5种算法按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为：，
再安排给3人，总方法数为，
故答案为：150.
题型6 定序问题
例6-1现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
【答案】B
【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果，
再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，
因此根据计数原理可知共有种结果.
故选：B
例6-2重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10 B．20 C．60 D．30
【答案】D
【详解】6人全排有中排序方法，
所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法.
故选：D
【变式训练6-1】2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480 B．600 C．720 D．840
【答案】C
【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种，
当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种，
所以不同的7位数有个.
故选：C.
【变式训练6-2】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．42 B．30 C．21 D．15
【答案】A
【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种，
所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为.
故选：A
【变式训练6-3】某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）
A．150 B．300 C．900 D．450
【答案】D
【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果，
然后与前排4人排列，有种排法，
因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排，
所以共有种调整方法.
故选：D.
题型7 相同元素分配问题
例7-120个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120 B．240 C．300 D．360
【答案】A
【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球，
将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，
共有（种）方法．
故选：A
例7-2方程的正整数解的不同组数为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意，问题可看作求12个小球分成3组，且每组至少有一个小球的分法数，
根据隔板法，共有种.
故答案为：
【变式训练7-1】现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ）
A．504种 B．126种 C．84种 D．56种
【答案】D
【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种.
故选：D
【变式训练7-2】已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解.
A．171 B．190 C．342 D．380
【答案】A
【详解】因为x，y，z均为正整数，
所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法.
利用隔板法可得：不同的分法有种.
故选：A
【变式训练7-3】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105种 B．455种 C．120种 D．560种
【答案】A
【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，
这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，
则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．
因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种．
故选：A.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
1．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）

A．120 B．180 C．221 D．300
【答案】B
【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法，
Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法，
Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法，
综上共有种不同的着色方法.
故选：B.
2．填空题.
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是 ；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 .
【答案】 10 60
【详解】（1）5人中确定3人去参观，由组合的定义知，共有种.
（2）从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，由排列定义知，共有种.
（3） 每一个工人都有3种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种.
（4）从集合A的m个元素取1个元素，有m种，从集合B的n个元素取1个元素，有n种，根据分步计数原理，可知两个集合中各取1个元素，一共有种．
故答案为：10；60；；
3．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
【答案】（1）（2）
【详解】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上，
共有种选法；
（2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，
则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，
3种书共有种排法，
共有种放法．
4．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
所以共可确定的平面个数是个；
（2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，且所确定的四面体与点的顺序无关，
所以共可确定的四面体个数是：个.
5．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法.
【答案】种.
【详解】第一步选做第1题：选法有种，
第二步选做第2题：选法有种，
第三步选做第3题：选法有种，
所以一共有：种选法.
6．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
7．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）100件产品中有97件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有种；
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有种；
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有种；
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有种.中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 排列、组合
目录
012
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 排列与组合的概念 4
知识点2 排列数与组合数 4
知识点3 排列数、组合数的公式及性质 4
题型破译 5
题型1 排列数与组合数的计数 5
题型2 直接法 5
题型3 间接法 5
题型4 捆绑法与插空法 6
题型5 分组与分配问题 6
题型6 定序问题 7
题型7 相同元素分配问题 7
04真题溯源·考向感知 8
05课本典例·高考素材 8
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）排列与组合的概念 （2）排列数、组合数的公式及性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年上海卷第9题，5分 2024年上海卷第10题，5分 2023年甲卷（理）第9题，5分 2023年乙卷（理）第7题，5分 2023年全国Ⅰ卷第13题，5分
考情分析：从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考常考内容，以考查基本概念和基本方法为主，涉及特殊元素与特殊位置、两元索相邻或不相邻、分组、分配等问题，分值为5分．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
复习目标： （1）理解排列、组合的概念． （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． （3）能利用排列组合解决简单的实际问题．
知识点1 排列与组合的概念
名称 定义
排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
自主检测从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（ ）．
A．360 B． C．24 D．
知识点2 排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
自主检测下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
自主检测若，则（ ）
A．5 B．6或5 C．7 D．7或8
题型1 排列数与组合数的计数
例1-1（ ）
A．0 B．56 C．1 D．42
例1-2（多选）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】若，则的值为 ．
【变式训练1-2】若，则正整数的值为 .
【变式训练1-3】若，则 .
题型2 直接法
例2-1甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（ ）
A．24种 B．16种 C．12种 D．8种
例2-2用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．
【变式训练2-1】在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．6种 D．12种
【变式训练2-2】五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种．
A．24 B．72 C．36 D．42
【变式训练2-3】从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有 种．（用数字作答）
题型3 间接法
例3-1某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144 B．240 C．336 D．456
例3-2从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ．
【变式训练3-1】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
【变式训练3-2】某公司从10名大学生中招聘4名工作人员，甲、乙两人至少有一人入选的不同选法种数为（ ）
A．90种 B．140种 C．196种 D．256种
【变式训练3-3】某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3节不同的文化课、2节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有 种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有 种排法．
题型4 捆绑法与插空法
例4-1将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
例4-2两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种 B．796种 C．816种 D．834种
【变式训练4-1】6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ）
A．240 B．480 C．960 D．1920
【变式训练4-2】据典籍《周礼·春官》记载， “宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音.若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为 种.(用数字作答)
【变式训练4-3】某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字作答）
题型5 分组与分配问题
例5-1为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的情况的种数为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
例5-2六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为 .
【变式训练5-1】某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【变式训练5-2】将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ）
A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种
【变式训练5-3】近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ．
【变式训练5-4】《数术记遗》记述了我国古代十余种算法.甲、乙、丙三人拟收集该书中运筹算、九宫算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，则不同的分工收集方案有 种.
题型6 定序问题
例6-1现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400 B．11760 C．13440 D．20160
例6-2重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10 B．20 C．60 D．30
【变式训练6-1】2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（ ）个．
A．480 B．600 C．720 D．840
【变式训练6-2】高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．42 B．30 C．21 D．15
【变式训练6-3】某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（ ）
A．150 B．300 C．900 D．450
题型7 相同元素分配问题
例7-120个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120 B．240 C．300 D．360
例7-2方程的正整数解的不同组数为 ．（用数字作答）
【变式训练7-1】现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ）
A．504种 B．126种 C．84种 D．56种
【变式训练7-2】已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解.
A．171 B．190 C．342 D．380
【变式训练7-3】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105种 B．455种 C．120种 D．560种
1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
1．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）

A．120 B．180 C．221 D．300
2．填空题.
（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是 ；
（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；
（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是 .
3．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上.
（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
4．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？
（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？
5．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法.
6．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
7．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验.
（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？
（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？

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