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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
题型02 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”
题型03 等角定理
题型04空间中线、面的位置关系
题型05 异面直线所成的角
题型06 立体几何中的截面问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 利用基本事实证明”点共面”，“线共面”
1．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在长方体中，直线与相交吗？为什么？

3．已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上．
4．如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，

(1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由；
(2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积）
02 利用基本事实证明”线共点”，“点共线”
5．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
6．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
7．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
8．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．

(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
03 等角定理
9．已知角的两边和角的两边分别平行且，则 .
10．如图，分别为正方体的棱的中点．求证：．
11．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：

(1)四边形为平行四边形；
(2)．
04 空间中的线、面的位置关系
12．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．平面内所有直线都与是异面直线 B．平面内不存在与平行的直线
C．平面内所有直线都与相交 D．直线与平面有公共点
13．如图，长方体．
（1）直线平面 ；
（2）直线平面 ．
14．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
15．（1）如图，金字塔的棱AC、BD所在直线的位置关系是 ；

（2）如图，是安装好的门.图中AC所在直线与水平地面的位置关系是 ；直线ED与水平地面的位置关系是 ；直线ED与平面ABC的位置关系是 .

（3）如图，在正方体中直线AC与平面的位置关系是 ；直线与直线的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 .

05 异面直线所成的角
16．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
17．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ）

A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条
18．如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（ ）
A．60° B．90°
C．45°或60° D．60°或90°
19．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 .
20．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为 .
06 立体几何中的截面问题
21．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（ ）
A． B． C． D．
23．已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点做平面截正方体，则截面形状不可能是（ ）．
A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
24．直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
25．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 ，
26．（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面可能是五边形
B．一定是锐角三角形
C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D．的最小值是
1．（ 2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
2．（ 2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
4．（ 2022·河南·三模）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
5．在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学 艺术 哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（ 2023·江西景德镇·一模）（多选）如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足，则（ ）

A．若四边形为矩形，则
B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点
C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为
D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形
8．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2011·浙江·高考真题）若直线不平行于平面，且，则
A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交
2．（2018·全国II卷·高考真题）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
3．（2015·广东·高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交 B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交 D．至多与，中的一条相交
4．（2007·湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
5．（2012·四川·高考真题）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
题型02 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”
题型03 等角定理
题型04空间中线、面的位置关系
题型05 异面直线所成的角
题型06 立体几何中的截面问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 利用基本事实证明”点共面”，“线共面”
1．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在A图中，分别连接，
由正方体可得四边形为矩形，则，
因为为中点，故，则，所以四点共面.
在B图中，设为所在棱的中点，分别连接，
由A的讨论可得，故四点共面，
同理可得，故，同理可得，
故平面，平面，所以六点共面.
在C图中，由为中点可得，同理，
故，所以四点共面.
在D图中，为异面直线，四点不共面.
故选：D.
2．如图，在长方体中，直线与相交吗？为什么？

【答案】直线与相交，理由见解析
【详解】直线与相交，理由如下，
连接，在长方体中，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以对角线相交.

3．已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上．
【答案】证明见解析
【详解】证明：设，，
∵，∴，确定一个平面．
∵，∴，同理．
∴直线即直线，∴，．
∴，，，，这五个点在同一平面上．
4．如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，

(1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由；
(2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积）
【答案】(1)存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析.
(2)新棱柱的表面积为或
【详解】（1）存在点位于的中点处时，点F在平面上.
理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，

因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又是的中点，为的中点，所以，
所以，
所以点、、、四点共面，即点F在平面上.
（2）①如图所示，

由题意知，，，则，
所以此三棱柱的表面积为（）.
②如图所示，

所以此三棱柱的表面积为（）.
③如图所示，

所以此三棱柱的表面积为（）.
综述：新棱柱的表面积为或.
02 利用基本事实证明”线共点”，“点共线”
5．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：在中，∵为的中点，
∴．
在中，∵，
∴，∴，
∴四点共面．
（2）∵，，，
∴平面，平面，
又平面平面，
∴直线．∴三点共线．
6．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：连接，，
正方体中，E，F分别是的中点，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC与相交，设交点为P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P为两平面的公共点，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P；
（2）
在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
7．如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上．
【答案】证明见解析
【详解】证明：由已知的延长线交平面于点，
根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l，
因为直线，所以平面，
又因为，所以平面，所以是平面与平面的公共点．
因为平面，所以．
同理可得：且．
所以三点在同一条直线上．
8．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．

(1)证明：B，D，E，G四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，取的中点分别为S,T，连接，则,
因为四边形和四边形均为正方形，，且，，
所以四边形均为平行四边形，即，，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以B，D，E，G四点共面.
（2）

延长，设它们交于一点S，
因为，且，
所以，则，
同理，延长，设它们交于一点Q，
因为四边形和四边形均为正方形，，
则，又，
所以，则，
因此S和Q是同一个点，
所以三条直线交于一点.
03 等角定理
9．已知角的两边和角的两边分别平行且，则 .
【答案】或
【详解】角的两边和角的两边分别平行且，
由等角定理可知，或，
则或，
故答案为：或
10．如图，分别为正方体的棱的中点．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】连接，根据条件分别为棱的中点可知，
四边形为平行四边形．
又，
所以四边形是平行四边形，
所以，同理．
又与∠CEB两边的方向相同，
因此．
11．在梯形中，，，分别为和的中点，，与相交于．将平面沿翻折起来，使到的位置，，分别为和的中点，求证：

(1)四边形为平行四边形；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为在梯形中，，，分别为，的中点，
所以且，
又，，所以．
因为，分别为，的中点，
所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形．
（2）折叠前，且，，
折叠后，，
所以与的对应边平行且方向相同，
所以．
04 空间中的线、面的位置关系
12．若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A．平面内所有直线都与是异面直线 B．平面内不存在与平行的直线
C．平面内所有直线都与相交 D．直线与平面有公共点
【答案】D
【详解】由直线与平面的位置关系可知，直线与平面不平行，则直线与平面相交或.
当直线与平面相交时，设交点为，则平面内过点的直线与直线相交，A错误；
当时，显然平面内存在直线与直线平行，故BC错误；
由上知，所以直线与平面有公共点，D正确.
故选：D
13．如图，长方体．
（1）直线平面 ；
（2）直线平面 ．
【答案】 /
【详解】根据长方体可知，直线平面，
直线平面.
故答案为：，.
14．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
【答案】C
【详解】因为直线AB与直线l相交于点D，，所以平面，
又点C在平面上，所以平面，
因为平面，点在直线AB上，所以平面，
又平面，所以平面，
所以与的交线是直线.
故选：C.
15．（1）如图，金字塔的棱AC、BD所在直线的位置关系是 ；

（2）如图，是安装好的门.图中AC所在直线与水平地面的位置关系是 ；直线ED与水平地面的位置关系是 ；直线ED与平面ABC的位置关系是 .

（3）如图，在正方体中直线AC与平面的位置关系是 ；直线与直线的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 .

【答案】 异面 平行 相交 平行 平行 异面 相交 平行
【详解】（1）金字塔的四个顶点构成空间四边形，其中棱所在直线的位置关系是异面.
（2）因为图中所在直线与平行，
根据线面平行的判定定理得到与水平地面的位置关系是平行；
直线与平行，而,,
所以与水平地面的位置关系是垂直，
所以直线与水平地面的位置关系是垂直;
直线与平行，根据线面平行的判定定理得到与平面的位置关系是平行.
（3）因为，平面，，
所以直线与平面的位置关系是平行，
根据正方体的性质知，直线与直线的位置关系是异面，平面与平面的位置关系是相交，
在正方体中平面平面,
所以平面与平面的位置关系是平行.
故答案为：（1）异面，（2）平行，垂直，平行；（3）平行；异面；相交；平行.
05 异面直线所成的角
16．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
还原正方体可知点与点重合，如图所示，
设正方体棱长为，
则，
即为等边三角形，
即，
所以直线与所成角为，
故选：C.
17．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（ ）

A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条
【答案】C
【详解】将平移到，平移到，

所以点作与异面直线与所成的角都是的直线，
即过点作与异面直线与所成的角都是的直线，
因为异面直线与所成的角为，
所以的角平分线平分角为或，
若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是，
此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条，
若的角平分线平分角为，
即角平分线与异面直线与所成的角都是，
则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线，
此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条，
综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条.
故选：C
18．如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（ ）
A．60° B．90°
C．45°或60° D．60°或90°
【答案】B
【详解】
过点作的平行线交平面于点，连接，.
，平面，平面，
四边形为平行四边形，
又与成60°的角，故或，
当时，又为等边三角形，故
当时，，
又，不合题意；
综上，
在中，，
所以（或其补角）为异面直线与所成的角，
故异面直线与所成的角为.
故选：B.
19．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 .
【答案】或
【详解】
分别为的中点，连接，
所以，，
所以或其补角就是异面直线和所成的角，
因为异面直线和成的角，
或.
故答案为：或.
20．如图，在菱形ABCD中，，，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接和，N为的中点，连接CN.则在翻折过程中，与CN的夹角为 .
【答案】
【详解】取的中点，连接，
则，则（或其补角）就是与CN所成的角，
因为M为BC的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，，所以，
因为菱形ABCD中，，所以是等边三角形，所以，
所以，即，所以，
又，所以，，，
所以，
所以，所以，
所以，所以与CN的夹角为.
故答案为：.
06 立体几何中的截面问题
21．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点，
连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面，
其中分别是的中点，故．
，故，
由勾股定理得，，
同理可得，
又，故，
故平面截四棱柱所得截面的周长为．
故选：A．
22．如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，延长交于点，则，
即为的一个三等分点，
连接，取的中点为，连接，则，
所以四点共面，故梯形即为截面图形，
显然为最长边，长度为．
故选：B.
23．已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点做平面截正方体，则截面形状不可能是（ ）．
A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】C
【详解】如下图，
当在上，截面形状为矩形，
当与重合，截面形状为等边三角形，
当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形.
故选：C
24．直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱，分别是的中点，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，
连接，交于点，连接，
所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形.
由平行线分线段比例可知：，故，
故为等腰直角三角形，所以，
故，则，.
连接，易知，
所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，
等腰梯形的高，
则等腰梯形的面积为.
又，
所以五边形的面积为.
故选：D.
25．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 ，
【答案】 /
【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．
，为的中点，
≌，为的中点，
的面积.
，，
的面积为，
.
设四边形的面积为，
的面积为，
五棱锥的体积为，
连接，则三棱锥的体积为，
故，，
.
故答案为：；.
26．（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面可能是五边形
B．一定是锐角三角形
C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D．的最小值是
【答案】AD
【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长，
分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点，
连接此时截面为五边形，所以A正确；
对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，，
此时因为，故为钝角，所以B错误；
对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则，
所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形,
易知，所以其截面面积为，故C错误；
对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得
，连接与于P点，
此时，
故D正确.
故选：AD
1．（ 2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
【答案】D
【详解】对于AB，如图，连接，，
因为是的中位线，所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长，相交于点，
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
因为平面平面，
所以，所以三线共点，故C正确；
对于D，因为，当时，，
又，则，故D错误.
故选：D.
2．（ 2025·陕西·一模）已知正方体的棱长为常数，点P在线段上（端点除外），过点P且垂直于的平面截正方体所得截面的周长为y，若，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，设平面和平面分别与交于点Q，R，当点P在线段AQ和线段上时，截面是正三角形，当点P越靠近点A或越靠近点时，截面周长越小，且变化是线性的．
当点P在线段QR上（不含点Q，R）时，截面是六边形EFGHMN，且，，，，
所以，所以，所以六边形EFGHMN的周长与的周长相等．综上可知y关于x的函数图象大致为D．
故选：D
3．在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【答案】C
【详解】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，
而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且，
所以为平行四边形，
所以共面，
所以四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
4．（ 2022·河南·三模）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）如图，
连接EF，BD，．
∵EF是的中位线，
∴．
∵与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴E，F，D，B四点共面．
（2）∵，且，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵直线BE，直线平面，
∴平面，
∵直线DF，直线平面，
∴平面，
∵平面平面，
∴，
∴BE，DF，三线共点．
5．在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】正方体中，，所以为等边三角形.
因为，所以或其补角为直线与所成的角.
当点与线段的端点重合时，直线与所成的角取得最小值；
当点与线段的中点重合时，直线与所成的角取得最大值.
故直线与所成角的取值范围.
故选：D.
6．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学 艺术 哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接，取的中点，再连接，
由正八面体的性质知，
所以（或补角）为异面直线与所成的角，
在中，，即，
解得，即正八面体的棱长为，
在中，，所以，即，
在等边中，，
在中，由余弦定理得
所以，
所以，且为锐角，
所以.
故选：D.
7．（ 2023·江西景德镇·一模）（多选）如图，正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是所在棱上的点，且满足，则（ ）

A．若四边形为矩形，则
B．若四边形为菱形，则E，G或F，H为所在棱中点
C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为
D．当且仅当E，F，G，H均为所在棱中点时，四边形为正方形
【答案】BCD
【详解】A：若四边形为矩形，也有可能，如下图示，即只需用一个垂直于一组对面的平面截正方体，并保证即可，错；

B：若四边形为菱形，，则且对角线垂直，
若E，G或F，H都不是棱中点，如下图，作，分别交于，
因为E，G都不是棱中点，则，易知，与菱形矛盾，
所以E，G或F，H至少有一对是棱中点，对；

C：由B分析知：四边形为菱形，假设E，G是棱中点，且，
所以F，H都是棱中点时，菱形边长最短为2；F，H都是顶点时，菱形边长最长为，
棱长的范围为，故四边形的周长取值范围为，对；

D：要使四边形为正方形，即用一个垂直于一组对面的平面截正方体，且截面过一组相对侧棱的中点，
结合矩形和菱形的性质，且，则E，F，G，H均为所在棱中点，对.
故选：BCD
8．已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在正方体中，平面平面，
因为平面，平面，平面平面，
则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交，
设交点为，如图所示，

又因为平面，平面，
即分别为，与平面所成的角，
因为，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点；
当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动；
当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形；
当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，
如图所示．

因此．当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，可得，则，
所以线段的取值范围是，
所以若平面截该正方体的截面为五边形，线段的取值范围是.
故选：B．
1．（2011·浙江·高考真题）若直线不平行于平面，且，则
A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交
【答案】B
【详解】试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
解：直线l不平行于平面α，且l α，则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故A，C，D错误
故选B．
考点：平面的基本性质及推论．
2．（2018·全国II卷·高考真题）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.

3．（2015·广东·高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交 B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交 D．至多与，中的一条相交
【答案】C
【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图
所以至少与，中的一条相交.
故选:C．
4．（2007·湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
【答案】D
【详解】如图所示，连结，由几何关系可得点为的中点，且，
由三角形中位线的性质可得：，即与不是异面直线，
很明显，与异面，
由几何关系可得：，则，
综上可得，选项D中的结论不成立.
本题选择D选项.
5．（2012·四川·高考真题）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．
【答案】
【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
，即异面直线A1M与DN所成角的大小是

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