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第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情解码 命题预警 1
02 体系构建·思维可视 2
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 平面的基本事实 3
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 3
知识点3 等角定理 4
知识点4 异面直线所成角 4
题型破译 5
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面” 5
【方法技巧】证明共面的方法
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线” 6
【方法技巧】证明共线、共点的方法
题型3 等角定理 8
题型4 空间中的线、面的位置关系 9
题型5 异面直线所成的角 11
题型6 立体几何中的截面问题 12
【方法技巧】作截面的三种方法
04 真题溯源 考向感知 13
05 课本典例·高考素材 15
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）平面的基本事实 （2）点、直线、平面的位置关系判断 （3）异面直线所成的角 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T17（15分）
考情分析： 本节内容在新高考中单独考察比较少，一般结合位置关系的证明、夹角等知识点。近年命题不仅难度逐步提升，还新增截面问题，对考生空间想象能力和逻辑推理能力提出更高要求。往年高考中，给定几何体，求解异面直线成角或判断线面关系等。 2025年全国一卷在此基础上有所创新，出现点在面内的考查形式，进一步拓展了空间几何的命题维度。这一变化既延续了对核心知识的重点考查，又通过新情境强化了对空间概念理解和逻辑推理能力的综合检测，体现了高考命题的灵活性与深度。
复习目标： 1.理解、掌握空间基本事实，能够判断点线面之间的关系. 2.能掌握空间异面直线所成的角. 3.会解立体几何的截面问题.
知识点1 平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 基本事实4
叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 平行于同一条直线的两条直线平行
图示
符号表示 三点不共线 存在唯一的平面使 且__________ __________ __________
作用 确定一个__________或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 证明两条直线平行
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条__________直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条__________直线，有且只有一个平面．
自主检测
给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 （0个公共点） 图示
符号语言 __________ a∥α
相交关系 （1个公共点） 图示
符号语言 __________
独有关系 图示
符号语言 a，b是__________
公共点个数 0个 无数个
自主检测如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
知识点3 等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________或__________．
②符号语言：,或
等角定理的两个推论：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
作用：判断和证明两个角相等或互补。
自主检测若，，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
知识点4 异面直线所成角
1.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
2.异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
3.异面直线的判定：①定义法；②两直线既不平行也不相交
4.异面直线所成角取值范围：
自主检测在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
例1-1在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例1-2如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面
方法技巧 证明共面的方法
先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内
【变式1-1】（多选）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．M，O，，A四点共面
C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面
【变式1-2】在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有 条．
【变式1-3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面.
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”
例2-1如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B．
C． D．直线EB，GD交于点B
例2-2如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
方法技巧 证明共线、共点的方法
证明共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式2-1】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．

【变式2-2】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
【变式2-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点.
题型3 等角定理
例3-1若与的两边分别平行且方向相同，若，则 .
例3-2如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ．
【变式3-1】空间中两个角和，若，则的大小是
【变式3-2】如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
题型4 空间中的线、面的位置关系
例4-1已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（ ）
A． B． C．或 D．与相交
例4-2如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系．
(2)判断直线与直线的位置关系．
【变式4-1】如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ．
【变式4-2】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
【变式4-3】在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交.
题型5 异面直线所成的角
例5-1在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例5-2如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 .
【变式5-1】在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】在长方体中，与所成的角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【变式5-3】如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为 ．
【变式5-4】如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值.
题型6 立体几何中的截面问题
例6-1在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为
例6-2把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积．
方法技巧 作截面的三种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
【变式6-1】已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 .
【变式6-2】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 .
【变式6-3】已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，过直线的平面平面AEF，则平面截正方体所得截面的面积为 ．
【变式6-4】在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心.
(1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
1．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．（2015·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
4．（2020·全国III卷·高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
1．如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
3．如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
5．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？
7．如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？中小学教育资源及组卷应用平台
第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 平面的基本事实 3
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 4
知识点3 等角定理 5
知识点4 异面直线所成角 6
题型破译 7
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面” 7
【方法技巧】证明共面的方法
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线” 10
【方法技巧】证明共线、共点的方法
题型3 等角定理 14
题型4 空间中的线、面的位置关系 16
题型5 异面直线所成的角 19
题型6 立体几何中的截面问题 23
【方法技巧】作截面的三种方法
04 真题溯源 考向感知 28
05 课本典例·高考素材 33
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）平面的基本事实 （2）点、直线、平面的位置关系判断 （3）异面直线所成的角 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T17（15分）
考情分析： 本节内容在新高考中单独考察比较少，一般结合位置关系的证明、夹角等知识点。近年命题不仅难度逐步提升，还新增截面问题，对考生空间想象能力和逻辑推理能力提出更高要求。往年高考中，给定几何体，求解异面直线成角或判断线面关系等。 2025年全国一卷在此基础上有所创新，出现点在面内的考查形式，进一步拓展了空间几何的命题维度。这一变化既延续了对核心知识的重点考查，又通过新情境强化了对空间概念理解和逻辑推理能力的综合检测，体现了高考命题的灵活性与深度。
复习目标： 1.理解、掌握空间基本事实，能够判断点线面之间的关系. 2.能掌握空间异面直线所成的角. 3.会解立体几何的截面问题.
知识点1 平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 基本事实4
叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 平行于同一条直线的两条直线平行
图示
符号表示 三点不共线 存在唯一的平面使 且 且
作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 证明两条直线平行
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
自主检测
给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ）
①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面；
③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误；
一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误；
空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误；
两条平行直线确定一个平面，故④正确.
故选：C
知识点2 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 （0个公共点） 图示
符号语言 a∥b a∥α
相交关系 （1个公共点） 图示
符号语言
独有关系 图示
符号语言 a，b是异面直线
公共点个数 0个 无数个
自主检测如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
【答案】 平行 异面 相交 异面
【详解】由正方体性质易知，故为平行四边形，故直线，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；
直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；
点 平面内， 平面而且，点C不在平面内，则直线与直线 “异面”．同理，直线与直线 “异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.
故答案为：平行；异面；相交；异面
知识点3 等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
②符号语言：,或
等角定理的两个推论：
（1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
（2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
作用：判断和证明两个角相等或互补。
自主检测若，，且，则等于（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以或.故选：C
知识点4 异面直线所成角
1.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
2.异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
3.异面直线的判定：①定义法；②两直线既不平行也不相交
4.异面直线所成角取值范围：
自主检测在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由正方体的性质可知：，
所以就是直线与所成的角或其补角，
由正方体的性质可知：平面，平面，
所以，
假设正方体的棱长为，则，
所以有，
因为为锐角，所以，
故选：A.
题型1 利用基本事实证明“点共面”，“线共面”
例1-1在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】第一个图，如图：
分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面；
第二个图，如图：
为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作，
因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面；
第三个图，如图：

因和分别是相邻侧面的中位线，所以，，
所以，即四个点共面；
第四个图，如图：

因为平面，所以平面，所以与异面直线，
即四个点不共面．
故选：C
例1-2如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面
【答案】证明见解析
【详解】如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
方法技巧 证明共面的方法
先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内
【变式1-1】（多选）在长方体中，直线与平面的交点为M，O为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．M，O，，A四点共面
C．B，，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面
【答案】ABD
【详解】因为，则四点共面.因为，则平面，
又平面，则点在平面与平面的交线上，
同理，也在平面与平面的交线上，
所以三点共线，M，O，，A四点共面，故选项A、B正确；
三点均在平面内，而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，所以点M不在平面内，
即四点不共面，故选项C错误；
点M在直线上，点O在直线上，所以A，O，C，M四点都在平面，
所以A，O，C，M四点共面，故选项D正确.
故选：ABD
【变式1-2】在长方体的所有棱中，既与AB共面，又与共面的棱有 条．
【答案】5
【详解】作图并观察可知，既与AB共面又与共面的棱有CD，BC，，，，共5条．
故答案为：5
【变式1-3】如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面.
【答案】证明见解析
【详解】取中点，过作于，连接，，
则，，，
所以四边形是平行四边形，，
由得，，
又，，，所以，，，四点共面，
又，所以，，，四点共面.
题型2 利用基本事实证明“线共点”，“点共线”
例2-1如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B．
C． D．直线EB，GD交于点B
【答案】D
【详解】因为DF与EG相交，
所以平面平面,
所以直线EB，GD交于点B，故D正确.
而由题意，可为上任意一点，故ABC错误.
故选：D
例2-2如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点；
【答案】证明见解析
【详解】在正方体中，连接，
由，得四边形是平行四边形，则，
由分别是的中点，得，则，即四点共面，
而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面，
同理平面，而平面平面
则，即点在直线上，所以直线交于同一点.
方法技巧 证明共线、共点的方法
证明共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
证明共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式2-1】如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．

【答案】共线
【详解】∵，平面，∴平面，
∵为中点，∴为中点，
∴，平面，∴平面.
∴是平面和平面的公共点；
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.

【变式2-2】已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：直线、、三线共点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
（2）由于且，故直线相交，设交于，
则，
同理可得直线相交于点，则，
故与重合，故直线三线相交于点O，
故直线三线交于一点．
【变式2-3】如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点.
【答案】证明见解析
【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形，
则直线与必相交，与必相交.
延长，，，设的延长线与的延长线交于点，
的延长线与的延长线交于点．
在正四棱台中，，，
则，，得，所以点重合，
即直线，，相交于同一点.
题型3 等角定理
例3-1若与的两边分别平行且方向相同，若，则 .
【答案】
【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得.
故答案为：
例3-2如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ．
【答案】
【详解】因为，且＝＝，
所以，同理，，
因为，所以，
同理，
所以∽，且＝＝，
所以．
故答案为：.
【变式3-1】空间中两个角和，若，则的大小是
【答案】或
【详解】因为，
所以和相等或者互补，
所以或.
故答案为:或.
【变式3-2】如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：.
【答案】见解析
【解析】根据,可得,,进而通过平行线得两个角和对应相等,即可证明.
【详解】证明；在中,因为,
所以.
同理可证,.
所以,.
所以.
【点睛】本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题.
题型4 空间中的线、面的位置关系
例4-1已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（ ）
A． B． C．或 D．与相交
【答案】C
【详解】
在正方体中，取，，
当取面为平面时，
所以满足，，此时；
当取面为平面时，
所以满足，，此时，
所以与平面的关系是或.
故选：.
例4-2如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系．
(2)判断直线与直线的位置关系．
【答案】(1)相交；
(2)异面；
【详解】（1）因为面，所以面，又面，
所以直线与平面的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面，
又面，，面，
所以直线与直线的位置关系是异面；
【变式4-1】如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ．
【答案】相交
【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行，
则延长与BB′必相交于一点，设交点为H，
所以，，
又平面，平面，
所以平面，H∈平面，
故平面与平面相交．
故答案为：相交
【变式4-2】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
【答案】 平行 异面 相交 异面
【详解】由正方体性质易知，故为平行四边形，故直线，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”；
直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”；
点 平面内， 平面而且，点C不在平面内，则直线与直线 “异面”．同理，直线与直线 “异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”.
故答案为：平行；异面；相交；异面
【变式4-3】在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交.
【答案】证明见解析
【详解】证明：在正方体中，E为的中点，
与不平行.
延长CE与，延长线相交于一点，
，.
又平面，平面，
平面，平面，
所以平面与平面相交.
题型5 异面直线所成的角
例5-1在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取的中点，连接，
因为，分别是的中点，
所以，，
在正方体中，∵
∴，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
故为异面直线与所成角或其补角.
设正方体的棱长为2，分别是的中点，
由余弦定理得：，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
例5-2如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 .
【答案】2
【详解】连接，如图，
在直三棱柱中，，
则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以，
设三棱柱的高为，在和中，，
所以是等腰三角形.
因为，所以，
所以，所以该三棱柱的高为2.
故答案为：2.
【变式5-1】在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示，

因为，分别是棱，的中点，所以，.
由棱柱的性质可知，.
因为是棱的中点，所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
则是异面直线与所成的角或其补角.
设，则，.
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值是.
故选：C.
【变式5-2】在长方体中，与所成的角为，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，
是异面直线与所成的角，即，
在中，，
在中，有，即.
故选：D.
【变式5-3】如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为 ．
【答案】2
【详解】在正三棱柱中，取中点G，连接FG，EG，BG，如图所示．
由点E为正方形的中心，得，，而，，
于是，，由F为棱的中点，得，，则四边形CFGE是平行四边形，有，
即或其补角就是异面直线BF与CE所成的角，
正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，，，
等腰底边FG上的高，，
所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2．
故答案为：2.
【变式5-4】如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接交于，连接，
侧面为平行四边形，为的中点.
又点为的中点，，
又平面平面，
平面.
（2）由（1）得为异面直线与所成的角或其补角.
在棱长均为2的正三棱柱中，，，，
在中，由余弦定理得，
异面直线与所成的角的余弦值为.
题型6 立体几何中的截面问题
例6-1在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为
【答案】
【详解】
采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，
因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得，
所以分别为三等分点，
所以，
所以截面的周长为.
故答案为：.
例6-2把一正方体沿对角面劈开，得一几何体，如图，其中B1C1＝A1C1＝2，M为A1B1的中点，试作出过点B1且与平面AMC1平行的截面，并计算该截面的面积．
【答案】作图见解析，
【详解】如图，取AB的中点N，连接B1N，NC，CB1，则截面B1NC即为所求，理由如下：
∵ANB1M，且，∴四边形ANB1M为平行四边形，∴AMB1N.
又B1N 平面AMC1，AM 平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1，同理，CN平面AMC1，又B1N∩CN＝N，B1N，CN 平面B1NC，
∴平面B1NC平面AMC1.
∵B1C＝，
B1N＝，
NC＝，∴B1C2＝B1N2＋NC2，∴B1N⊥NC，
∴S△B1NC＝.
方法技巧 作截面的三种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。
【变式6-1】已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则 .
【答案】6
【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E，
因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面，
因为M是的中点，且，所以，，
所以是△的中位线，则是的中点，
又因为N为的中点，所以，
易知，则，所以.
故答案为：6
【变式6-2】已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 .
【答案】/
【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得，
而，则，在中，，
，令平面与直线交于，连，则，
，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连，
于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知，
在中，，而，
在中，，由余弦定理得，
在中，，，
所以所得截面面积.
故答案为：
【变式6-3】已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，过直线的平面平面AEF，则平面截正方体所得截面的面积为 ．
【答案】18
【详解】如图，取的中点，的中点M，连接，，，，，
则，所以，，，四点共面．
因为，平面，平面，所以平面．
因为，且，所以四边形为平行四边形.
所以，平面,平面,
所以平面，又都在平面内，所以平面平面，
所以四边形即为平面截正方体所得截面，
易得，，，
所以四边形的面积．
故答案为：18
【变式6-4】在一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心.
(1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比.
【答案】(1)作图见解析
(2)小几何体与大几何体的比值为
【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点，
连接，则为截面与各木块表面的交线，
理由如下：由于，故四点共面，
且平面平面，平面平面，
平面平面，则为截面与各木块表面的交线.
（2）由于点在平面内且为的重心，，
所以，又因为，故，
故几何体为棱柱，
设棱台的高为，的面积为，故，
又，则，
故由台体体积公式得正三棱台体积为，
所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为，
故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）.
1．（2021·全国乙卷·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
2．（2022·上海·高考真题）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【详解】A选项：四边形是平行四边形，与相交，故A错；
C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错；
D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错；
利用排除法可得选项B正确.
故选：B.
3．（2015·山东·高考真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求证：．
【详解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，，
又在正方形中，因此，
因此与所成角的余弦值是．
（2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，，
因此平面，又因为平面，因此．
4．（2020·全国III卷·高考真题）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
【详解】
（1）因为长方体,所以平面,
因为长方体,所以四边形为正方形
因为平面,因此平面,
因为平面,所以；
（2）在上取点使得,连,
因为,所以
所以四边形为平行四边形，
因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，
因此在平面内
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.
1．如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线.
故选：D.
2．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】BD
【详解】平面上不共线的三点确定一个平面，故A错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故B正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故C错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故D正确；
故选：BD.
3．如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系.
【答案】见解析
【解析】按直接的三种位置关系判断．
【详解】解：直线与相交；直线与平行；直线与异面；直线与异面.
【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.
【解析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.
【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；
②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；
这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.
【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.
5．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【答案】证明见解析
【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
6．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？
【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.
【详解】
还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，
AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：
直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.
【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.
7．如图，已知长方体中，，，．

(1)BC和所成的角是多少度？
(2)和BC所成的角是多少度？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以是异面直线与所成的角，
在中，，，所以.
故异面直线和所成的角是.
（2）因为，则和BC所成的角即为，显然，
则和BC所成的角是.

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