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第03讲 圆的方程
目录
01 常考题型过关练
题型01 圆的标准方程
题型02 圆的一般方程
题型03 判断点与圆的位置关系
题型04圆的范围问题
题型05 圆上的点到定点的距离最值
题型06 圆的轨迹问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 圆的标准方程
1．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 .
3．圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ．
4．已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ．
02 圆的一般方程
5．若圆关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
6．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
8．设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
03 判断点与圆的位置关系
9．已知圆，则下列各点在圆上的是（ ）
A． B． C． D．
10．点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
11．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．与有关，不能确定
12．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在圆的内部
C．圆与圆C外切
D．当直线平分圆C的周长时，
04 圆的范围问题
13．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．设点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
15．（多选）已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 .
17．已知实数x，y满足方程，的最大值和最小值分别为 和 ．
05 圆上的点到定点的距离最值
18．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知复数满足， 则的最小值是
20．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 .
21．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 .
06 圆的轨迹问题
22．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）．

A．
B．点M的轨迹方程为
C．的最小值为
D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值
24．（多选）已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点作曲线的切线，切线长为
B．当三点不共线时，
C．在上存在点，使得
D．的最小值为
25．已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
1．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
2．两个圆：与：恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
3．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
4．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28 B．30 C．31 D．32
5．（多选）已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ）
A．的面积的最大值为12
B．，关于轴对称
C．当时，
D．直线的斜率的取值范围为
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
5．（上海·高考真题）已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
6．（全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
7．（全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 圆的方程
目录
01 常考题型过关练
题型01 圆的标准方程
题型02 圆的一般方程
题型03 判断点与圆的位置关系
题型04圆的范围问题
题型05 圆上的点到定点的距离最值
题型06 圆的轨迹问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 圆的标准方程
1．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.
【详解】设中点为O，则，即，
设圆半径为r，则，
则以为直径的圆的方程为.
故选：B.
2．圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据直线交点得出圆心，再结合圆心及切线得出半径，最后应用圆的标准方程即可求解.
【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3，
故圆标准方程为.
故答案为：.
3．圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程.
【详解】因为，，所以圆半径，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
4．已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】先求出线段中点得出圆心，再应用两点间距离计算得出直径，最后应用圆的标准方程即可求解.
【详解】因为，所以线段的中点坐标为，，
所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是．
故答案为：．
02 圆的一般方程
5．若圆关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论.
【详解】把圆的方程化为标准方程为，
所以圆的圆心的坐标为，
因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心.
故选：A.
6．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可.
【详解】解析：设所求圆的方程为，
因为该圆过点，，
所以解得，
所以该圆的方程为.
故选：A.
7．“关于的方程：表示圆”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论.
【详解】由题意有，
所以或，
由于为或的真子集，
故方程表示圆是的必要不充分条件，
故选：A.
8．设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为，变形得，
所以，解得.
故答案为：.
03 判断点与圆的位置关系
9．已知圆，则下列各点在圆上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论.
【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程，
只有C选项满足该方程.
故选：C
10．点与圆的位置关系是（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关
【答案】A
【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可.
【详解】由圆心，
可得，
所以在外.
故选：A
11．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．与有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【详解】由直线恒过定点，而，
所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点，
故选：C
12．（多选）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点在圆的内部
C．圆与圆C外切
D．当直线平分圆C的周长时，
【答案】ACD
【分析】根据圆的半径为，求得的值，可判定A正确；根据点与圆的位置关系的判定方法，可判定B不正确；根据圆圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；根据平分圆C的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，可判定D正确.
【详解】对于A中，由圆的半径为，
可得，解得，即，所以A正确；
对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确；
对于C中，由圆，可得圆心，半径为，
又由圆的圆心，半径为，
可得，
即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确；
对于D中，当直线平分圆C的周长时，圆心在直线上，
可得，解得，所以D正确．
故选：ACD.
04 圆的范围问题
13．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为所以点在以为直径的圆上，
圆的方程为，
所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即.
故选：B.
14．设点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值.
【详解】由，则，如下图示，

令且，则，，，
，
，
，
所以
，
当时，有最小值为.
故选：D
15．（多选）已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得圆的半径以及圆心到直线的距离，结合圆的性质就三角形面积的最值.
【详解】由题意知：，，
且圆心坐标为，半径为1，
因为圆心到直线的距离．
所以的最大值，故A错误，B正确；
的最小值，故C正确，D错误；
故选：BC.
16．已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 .
【答案】4
【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求.
【详解】由题设，令，，且，
所以，且，
所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4.
故答案为：4.
17．已知实数x，y满足方程，的最大值和最小值分别为 和 ．
【答案】
【分析】表示圆上的一点与原点距离的平方，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，继而即可求解.
【详解】已知实数x，y满足方程，即，
如图所示，表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
圆心到原点的距离为，
所以的最大值是，
的最小值是．
故答案为：；.
05 圆上的点到定点的距离最值
18．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解.
【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，．
设，则，整理得，
所以点的轨迹方程为．
则
可看作圆上的点到原点的距离的平方，
所以，所以，
即的最大值为，
故选：A.
19．已知复数满足， 则的最小值是
【答案】
【分析】根据复数的模长公式及两点之间的距离公式，将的最小值转化为圆上一点到定点距离的最小值，再依据圆上一点到定点距离最小值的求法求解即可.
【详解】设复数，依题意，即，
其表示复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
其表示复数在复平面内对应的点到点的距离，
可得的最小值是以为圆心，为半径的圆上一点到定点距离的最小值，
且圆上一点到定点距离最小值的公式为（为圆心到定点距离），
因此，的最小值是.
故答案为：.
20．已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】将点在圆上的距离的最大值转化为圆心到的距离加半径，根据椭圆的定义得，再由三角不等式，即可求解.
【详解】椭圆的两个焦点为，，长半轴，
圆的标准方程为，所以圆心为，半径为1，
因为点在圆上，所以，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
又，，所以.
故答案为：
21．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 .
【答案】6
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【详解】由圆可化为，则，半径为1，
设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：

所以，又，
当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是.
故答案为：6
06 圆的轨迹问题
22．已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设，，由为的中点，则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.
故选：D.
23．（多选）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）．

A．
B．点M的轨迹方程为
C．的最小值为
D．圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值
【答案】ABC
【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断；
【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，
又圆上恰有3个点到直线的距离为，
所以，即，故A正确 ；
对于B，由题知，所以在以为直径的圆上，
所以点M的轨迹方程为，故B正确；
对于C，设，则，
在中，，
即，
又
，
当，即时取等，故C正确；
对于D，设在轴上一点C，使，
所以，整理得，
又点在圆上，
所以，解得，
则，当三点共线时取等，
又，原点到直线的距离，
所以，如图符合题意的点有两个，故D错误；

故选：ABC.
24．（多选）已知，点满足，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点作曲线的切线，切线长为
B．当三点不共线时，
C．在上存在点，使得
D．的最小值为
【答案】AB
【分析】设动点坐标，根据可求得动点轨迹方程，A选项，构造直角三角形，即可求得切线长；B选项可知是内角的角平分线， 即可得出结论；C选项，可以求得动点的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；D选项，三点共线时和最小可以求解.
【详解】设P点坐标为，由，则，化简得
，所以动点轨迹是以为圆心，为半径的圆.
A选项，过点作曲线的切线，切线长为，A选项正确.
B选项，当三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，是内角的角平分线，所以.故B选项正确.
C选项，因为，设，则，化简得轨迹为，所以动点的轨迹为圆心，半径为的圆，圆心距
，所以两圆位置关系为内含，所以在上不存在点，使得，故C错误.
D选项，因为，所以，故D错误.
故选：AB.
25．已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可.
【详解】由直线过点，圆可知，圆心为，
设点，
由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即，
此时点的轨迹为圆但不包括点.
当点与点重合时，其坐标满足方程.
综上，点的轨迹方程为.
故答案为：
1．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆切线的性质及已知求得，再由二倍角正切公式求值.
【详解】化为，圆心为，半径为2
所以点到圆心的距离为，则切线长为，
所以，则.
故选：D
2．两个圆：与：恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】由题意得两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得的最小值．
【详解】圆：化为标准方程；
圆：化为标准方程，
由于圆与圆恰有三条公切线，
两圆外切，
，得，
当且仅当时等号成立，
，
，
，
的最小值为，当且仅当时取最小值.
故选：B．
3．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案.
【详解】圆关于直线对称，
圆心在直线上，，，
圆，即，圆心为，半径为．
圆的标准方程是，圆心，半径，
所以，
所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B.
4．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28 B．30 C．31 D．32
【答案】B
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果.
【详解】由双曲线方程可知：
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，则
可得
，
当且仅当为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30．
故选：B．
5．（多选）已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ）
A．的面积的最大值为12
B．，关于轴对称
C．当时，
D．直线的斜率的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用给定定义得到的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D即可.
【详解】设，由可得，
，即，
所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为．
对于A选项，，选项A正确；
对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上，
直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点，
由题可知，，
由角分线定理逆定理得，故，
又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确；
对于C选项，当时，，
而，则为等腰三角形，
过作于，则，
则，由垂径定理可得，选项C错误；
对于D选项，当直线与圆相切时，连接，
得到，此时，，由勾股定理得，
由锐角三角函数的定义得，
由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知，
得到直线斜率的取值范围为，选项D正确．
故选：ABD．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
4．（湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36 B．18 C． D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：因为圆，即，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，
故选：D.
5．（上海·高考真题）已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图，易知圆和轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、二倍角公式进行求解.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
且该圆和轴相切，切点为原点，连接，设，
则两条切线的夹角为，，，
即两条切线夹角的正切值是.
故答案为：.
6．（全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
7．（全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：

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