资源简介

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第01讲 集合及其运算
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 元素与集合 3
知识点2 集合的基本关系 4
知识点3 集合的交集、并集、补集运算 4
知识点4 集合的运算性质 5
题型破译 5
题型1 元素与集合的关系 5
【方法技巧】判断元素与集合关系
题型2 集合中元素的特征 6
【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点
题型3 集合间的基本关系 7
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
【易错分析】易忽略集合为空集
题型4 （真）子集的个数 7
题型5 数集的运算 8
题型6 点集的运算 8
题型7 Venn图的运算 9
题型8 利用集合的运算结果求参数 10
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
题型9 容斥原理 11
题型10 集合的新定义问题 12
04 真题溯源·考向感知 12
05 课本典例·高考素材 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T2（5分） 全国二卷T3（5分） 全国Ⅰ卷T1（5分） 全国甲卷（文）T2（5分） 全国甲卷（理）T1（5分） 全国甲卷（文）T1（5分） 全国甲卷（理）T1（5分） 全国乙卷（文）T2（5分） 全国乙卷（理）T2（5分） 全国 I卷T1（5分） 全国 II卷T2（5分）
考情分析： 新高考卷中集合专题为热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 近三年考情显示，集合常与一元一次不等式、一元二次不等式等各种不等式结合，强调数形结合思想，如通过数轴法求解区间交并运算。命题趋势稳定，重点考查集合间关系判断及运算准确性，偶有涉及空集特例或参数范围求解，需注意端点值验证。备考应熟练掌握集合符号语言转换，强化含参问题分类讨论能力，同时关注集合与函数、逻辑用语的交叉命题形式。
复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
知识点1 元素与集合
1．元素与集合的关系：
若属于集合，则记作 ________；
若________集合，则记作；
2．集合中元素的特征：确定性，________，无序性
3．空集：不含有________的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 ________ 有理数集 实数集 复数集
符号 ________ ________
5．集合的表示方法：列举法、________、图示法.
自主检测已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 集合的基本关系
文字语言 符号语言
基本关系[] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[] ________
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的________ 且
必记结论：
（1）若集合A中含有n个元素，则有________个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑________的情况，否则会造成漏解.
自主检测已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点3 集合的交集、并集、补集运算
运算 文字语言 符号表示 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 ________
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集 由全集U中________集合A的所有元素组成的集合
自主检测已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点4 集合的运算性质
① ________； ②；
③； ④ ________ ；
⑤.
自主检测（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
题型1 元素与集合的关系
例1-1（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例1-2若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 判断元素与集合关系
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【变式训练1-1】集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
【变式训练1-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（多选）若集合中只有一个元素，则的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
题型2 集合中元素的特征
例2-1已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2-2（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．
方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点
（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．
（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2·变考法】设，若集合中的最大元素为3，则 ．
【变式训练2-3】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
题型3 集合间的基本关系
例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法
（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
易错分析 易忽略集合为空集
注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.
【变式训练3-1】设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（多选）已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得
C．当时， D．当时，
题型4 （真）子集的个数
例4-1已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．6
例4-2若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练4-1】集合的真子集的个数是 .
【变式训练4-2·变载体】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型5 数集的运算
例5-1已知集合，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
例5-2已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】设集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】已知全集，集合，，则 ，（ ．
【变式训练5-3】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】设集合，，.
(1)求；
(2)求.
题型6 点集的运算
例6-1已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例6-2（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【变式训练6-1】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】已知集合，，则 ．
题型7 Venn图的运算
例7-1设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】（多选）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练7-2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型8 利用集合的运算结果求参数
例8-1（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
例8-2设集合，，全集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路
（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。
（2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。
【变式训练8-1】设集合或，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2·变考法】已知集合和，满足，，则实数 ．
【变式训练8-3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
题型9 容斥原理
例9-1高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
例9-2（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：
参与情况 参与人数
参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60
参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89
参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50
至少参与了其中的一个活动 105
则下列说法正确的是（ ）
A．三项活动都没有参与的人数为15
B．三项活动都参与的人数最多为47
C．恰好参与一个活动的人数最少为21
D．恰好参与两个活动的人数最多为94
【变式训练9-1】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【变式训练9-3】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（ ）
A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对
题型10 集合的新定义问题
例10-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
例10-2给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
【变式训练10-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练10-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-3·变考法】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
1．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1）；
（2）.
2．已知全集，试求集合B.
3．请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
4．设集合，，求，．
5．已知集合,是否存在实数a,使得 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲 集合及其运算
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 元素与集合 3
知识点2 集合的基本关系 4
知识点3 集合的交集、并集、补集运算 5
知识点4 集合的运算性质 5
题型破译 6
题型1 元素与集合的关系 6
【方法技巧】判断元素与集合关系
题型2 集合中元素的特征 7
【方法技巧】应用集合元素的特性解题的要点
题型3 集合间的基本关系 9
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
【易错分析】易忽略集合为空集
题型4 （真）子集的个数 11
题型5 数集的运算 12
题型6 点集的运算 13
题型7 Venn图的运算 14
题型8 利用集合的运算结果求参数 16
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
题型9 容斥原理 19
题型10 集合的新定义问题 22
04真题溯源·考向感知 24
05课本典例·高考素材 26
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）集合的概念与表示 （2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T2（5分） 全国二卷T3（5分） 全国Ⅰ卷T1（5分） 全国甲卷（文）T2（5分） 全国甲卷（理）T1（5分） 全国甲卷（文）T1（5分） 全国甲卷（理）T1（5分） 全国乙卷（文）T2（5分） 全国乙卷（理）T2（5分） 全国 I卷T1（5分） 全国 II卷T2（5分）
考情分析： 新高考卷中集合专题为热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 近三年考情显示，集合常与一元一次不等式、一元二次不等式等各种不等式结合，强调数形结合思想，如通过数轴法求解区间交并运算。命题趋势稳定，重点考查集合间关系判断及运算准确性，偶有涉及空集特例或参数范围求解，需注意端点值验证。备考应熟练掌握集合符号语言转换，强化含参问题分类讨论能力，同时关注集合与函数、逻辑用语的交叉命题形式。
复习目标： 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
知识点1 元素与集合
1．元素与集合的关系：
若属于集合，则记作 ；
若不属于集合，则记作；
2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 或
5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
自主检测已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由且，得，解得．
故选：A
知识点2 集合的基本关系
文字语言 符号语言
基本关系[] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[]
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集
空集 空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集 且
必记结论：
（1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．
（2）子集关系的传递性，即.
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
自主检测已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B
知识点3 集合的交集、并集、补集运算
运算 文字语言 符号表示 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
自主检测已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，，
，.
故选：C.
知识点4 集合的运算性质
① ； ②；
③； ④ ；
⑤.
自主检测（2025·云南昆明·模拟预测）已知集合A，B满足：，，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】由题意有，
因为，所以，则满足条件的集合B为，，共2个．
故选：B.
题型1 元素与集合的关系
例1-1（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
例1-2若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为集合中有且只有一个元素，
所以方程只有一个解，
所以，解得.
故选：D.
方法技巧 判断元素与集合关系
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【变式训练1-1】集合，且，则有（ ）
A． B． C． D．不属于中的任意一个
【答案】B
【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，新以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数．
【变式训练1-2】已知集合，，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若，且，则，即.
【变式训练1-3】（多选）若集合中只有一个元素，则的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【详解】当，，满足条件；
当，由，则得，此时只有一个元素，
所以当或时，集合中只有一个元素.
故选：BC
题型2 集合中元素的特征
例2-1已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题意，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B.
例2-2（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ．
【答案】3
【详解】因为，所以分为以下两种情况：
①或，当时，集合满足题意；
当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去；
②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，.
故答案为：3.
方法技巧 应用集合元素的特性解题的要点
（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．
（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【变式训练2-1】集合中的不能取的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由集合的互异性可知，，或，或，
得，或，或，
故选：C
【变式训练2-2·变考法】设，若集合中的最大元素为3，则 ．
【答案】1
【详解】因为集合中的最大元素为3，
所以,所以或.
当时，不合题意舍；
当时，不符合集合的互异性舍；
当时，集合中的最大元素为3；
所以.
故答案为：1.
【变式训练2-3】举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：
(1)求实数，应满足的条件；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)且且且且；
(2)或或.
【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知，
即且且且且；
（2）若，则或，解得：或或，
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
故或或.
题型3 集合间的基本关系
例3-1（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则.
故选：B.
例3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，，即，满足；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
例3-3（2025·山东·模拟预测）已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以当时满足题意，此时，
当时，要满足题意，则有
综上实数的取值范围为.
故选：A
方法技巧 由集合间的关系求参数的解题方法
（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
易错分析 易忽略集合为空集
注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.
【变式训练3-1】设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令或分类讨论即可．
因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或．
当时，，
，有，得，
所以；
当时，集合，，有，
又，所以，得，不满足题意．
综上．故选：C．
【变式训练3-2】（多选）已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得
C．当时， D．当时，
【答案】AC
【详解】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确；
选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误；
选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确；
选项D，当，即时，，符合，
当时，要使，需满足解得，不满足，
故这样的实数a不存在，因此D错误．
故选：AC.
题型4 （真）子集的个数
例4-1已知集合，则集合，且的子集的个数为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．6
【答案】B
【详解】由，则，又，且，
所以，故子集个数为.
故选：B
例4-2若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是，
当时，，不符合题意；
当时，由可得．
故选：C．
【变式训练4-1】集合的真子集的个数是 .
【答案】
【详解】由题意得，为的正因数，
故，
所以此集合的真子集个数为.
故答案为：.
【变式训练4-2·变载体】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集，
即方程组只有一个解，
即方程只有一个解，
当时，，满足条件；
当时，，解得或，
综上，实数的最小值为．
故选：A.
题型5 数集的运算
例5-1已知集合，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【详解】因为，，所以，
所以或，
故选：.
例5-2已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得，，
所以，
故选：D．
【变式训练5-1】设集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，．
【变式训练5-2】已知全集，集合，，则 ，（ ．
【答案】 或 或．
【详解】或 利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图：
则或．又，所以或，或．
【变式训练5-3】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，则，所以．
【变式训练5-4】设集合，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，
又，，
所以，
则.
题型6 点集的运算
例6-1已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由方程组，解得，则.
故选：C．
例6-2（2025·陕西·模拟预测）已知集合，则的元素个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】B
【详解】联立，整理得，
解得，则，即，有1个元素.
故选：.
【变式训练6-1】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，解得，
故，
故选：C
【变式训练6-2】已知集合，，则 ．
【答案】
【详解】由，得或或或
.
故答案为：
题型7 Venn图的运算
例7-1设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是．
例7-2已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由图可知，，不是空集，
故选：C
【变式训练7-1】（多选）已知集合M，N为全集U的子集，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，当时，显然成立，故A正确；
对于B，若，则由图1可得M不可能是的子集，故B错误；
对于C，若，则由图2可得成立，故C正确；
对于D，若，则由图3可得成立，故D正确.

故选：ACD.
【变式训练7-2】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且，
所以阴影部分可表示为或或.
故选：D.
【变式训练7-3】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者.
故选：AD.
题型8 利用集合的运算结果求参数
例8-1（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选：D.
例8-2设集合，，全集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【详解】解：（1）解法1 易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是．
解法2 由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是．
方法技巧 求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路
（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。
（2）将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。
【变式训练8-1】设集合或，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意有即．
【变式训练8-2·变考法】已知集合和，满足，，则实数 ．
【答案】
【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得
【变式训练8-3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，或，
由得，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
【变式训练8-4】已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1）由于，所以解得．
（2）若选①，由得．
当时，则，解得，满足条件；
当时，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选②，．
当时，，解得，满足条件：
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选③，．
当时，，解得，满足条件；
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
题型9 容斥原理
例9-1高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【答案】A
【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；
集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；
则，
则.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
故选：A.
例9-2（多选）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：
参与情况 参与人数
参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60
参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89
参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50
至少参与了其中的一个活动 105
则下列说法正确的是（ ）
A．三项活动都没有参与的人数为15
B．三项活动都参与的人数最多为47
C．恰好参与一个活动的人数最少为21
D．恰好参与两个活动的人数最多为94
【答案】ABD
【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为，
只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为，
只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为，
只参与佛山祖庙活动的人数为，
只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为，
对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105，
那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确；
对于B，根据已知条件可得：
，①
，②
，③
，④
将① ② ③得：
， ⑤
用⑤ ④可得：
，即，
因为，即，解得，
所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确；
对于C，由④可得，
将代入可得：，
因为，所以，
即恰好参与一个活动的人数最少为11，
选项C错误；
对于D，恰好参与两个活动的人数为，
因为，所以，
所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确.
故选：ABD.

【点睛】本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
【变式训练9-1】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ，
则由图知 ， ，
两式相减得 ， .
故选：C.
【变式训练9-2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得：
，
解得：，
故同时参加田径和球类比赛的人数为，
故答案为：9；3．
【变式训练9-3】一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（ ）
A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对
【答案】A
【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，；
同时参加了三门学科考试的学生数为，如图．
根据题意，有，
前面三个等式相加，可得．
由第四个等式可得，，
因此，
解得．因此学生总数为．
故选：A.
题型10 集合的新定义问题
例10-1设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故选：B.
例10-2给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
【答案】ABD
【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误.
【变式训练10-1】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确；
对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确；
对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误；
对④：任取有理数，，令，，则， ，
，且，所以有理数集是数域，故④正确.
所以正确的有：①②④.
故选：B.
【变式训练10-2】对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当都是偶数或都是奇数时，
则或或或或或或或或；
当是偶数，是奇数时，，或；
当是奇数，是偶数时，，或；
集合中含有个元素，它的子集个数为，
故选：B
【变式训练10-3·变考法】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【详解】因为集合，则，
所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个．
故选：C
1．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，故，
故选：D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，
则可能的取值为，即，
于是.
故选：C
4．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
5．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意得.
故选：C.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
1．图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
（1）；
（2）.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【详解】如下图阴影部分所示.
【点睛】本题考查图表示集合，涉及到集合的交集、并集和补集运算，属于基础题.
2．已知全集，试求集合B.
【答案】
【解析】计算，根据计算得到答案.
【详解】，，
.故.
【点睛】本题考查了交集，全集，补集，意在考查学生的计算能力.
3．请解决下列问题：
（1）设，若，求的值；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由于，所以，且，.
（2），且，
如图所示.

【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.
4．设集合，，求，．
【答案】答案见解析
【详解】解：因为
所以
又因为，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当且且时，所以，
5．已知集合,是否存在实数a,使得 若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,
【解析】，分，讨论，并满足互异性，列式求解.
【详解】解:，
或，
，
∴存在实数，使得.
【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题.

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