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第03讲 圆的方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 圆的定义和圆的方程 3
知识点2 点与圆的位置关系 4
题型破译 5
题型1 圆的标准方程 5
【方法技巧】求圆心和半径
题型2 圆的一般方程 6
题型3 判断点与圆的位置关系 8
【方法技巧】带入方程做比较
题型4 圆的范围问题 10
题型5 圆上的点到定点的距离最值 14
【方法技巧】求点与圆心的距离加减半径
题型6 圆的轨迹问题 16
04真题溯源·考向感知 19
05课本典例·高考素材 22
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）圆的方程 （2）圆中的切线问题 （3）点与圆的位置关系 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第7题，5分 新课标II卷，第5题，5分 天津卷，第12题，5分 新课标I卷，第6题，5分 天津卷，12题，5分
考情分析：理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
复习目标： 1.掌握圆的两个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上. 2.牢记两个相关结论 (1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
知识点1 圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
自主检测若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.
【详解】圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.
故选：A.
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|自主检测点在圆外，则a的取值范围为 ．
【答案】或.
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】由，可得，
因为点在圆外，
所以，
解得或.
故答案为：或.
题型1 圆的标准方程
例1-1已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程.
【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为，
所以圆的方程为.
故选：B.
例1-2设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　.
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【解析】方法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则解得
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法技巧
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
【变式训练1-1】“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程.
【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为，
半径为，所以所求圆的标准方程为，
即以为直径的圆的方程为.
故选：A
【变式训练1-2】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．
【答案】
【分析】利用待定系数法即可联立方程求解，或者利用几何法，求解圆心为两条直线的交点，即可求解.
【详解】（方法一）设圆心为，半径为r，
则圆的标准方程为．
由题意可得方程组．
解此方程组，得，故所求圆的方程为．
题型2 圆的一般方程
例2-1下列方程一定表示圆的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断.
【详解】对于A，方程表示点，A不是；
对于B，方程化为，此方程表示圆，B是；
对于C，当时，方程表示点，C不是；
对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是.
故选：B
例2-2设实数，圆的面积为，则 ．
【答案】
【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值.
【详解】圆的标准方程为，
故，故（负解舍去），
故答案为：.
方法技巧
选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【变式训练2-1】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可.
【详解】因为方程可变形为，
由题知，解得，实数的取值范围是.
故选：C
【变式训练2-2·变考法】已知圆的圆心坐标为，则的半径为 .
【答案】
【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可.
【详解】由，有，
因为圆心坐标公式为，所以，，
所以的半径为.
故答案为：
【变式训练2-3】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的一般方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可；
（2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
【详解】（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
题型3 判断点与圆的位置关系
例3-1已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】B
【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【详解】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B
例3-2“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.
【详解】定点在圆的外部，
，化简得，
k的取值范围：或，
所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
方法技巧
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
【变式训练3-1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由于点在圆的外部，圆的半径需大于0，将点代入圆的方程列出不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】解：圆的标准方程为，
则，
若点在圆的外部，则，
综上所述，实数的取值范围为，
故答案为：.
【变式训练3-2·变载体】已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出在圆外，在圆上，再利用列举法进行求解概率.
【详解】因为，故点在圆外，
，点在圆外，
，点在圆上，
，点在圆外，
从4个点中任意选择两个点，共有6种情况，
分别为，，
其中两个点都落在圆外的有，
故这两个点都落在圆外的概率为.
故选：A
题型4 圆的范围问题
例4-1(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　)
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值为2
【答案】BC
【解析】由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆.
设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
由y＝kx(x≠0)，则≤1，
解得k≥或k≤－，故A错误；
因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则≤1，
解得2－≤b≤2＋，
即y－x的最小值是2－，故C正确；
|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，
圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，
则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误.
例4-2（多选）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可得解判断；对于B，设，直接由坐标计算数量积，再结合一元二次函数性质即可得解判断；对于C，作圆和点N关于l对称的圆和点，由图即可求解最小值判断；对于D，作图观察得到当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，再求出最大值即可得解.
【详解】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1，
则两圆心距离，即两圆相离，
对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确；
对于B，由题可设，则，
所以当时，取得最小值为，故B错误；
对于C，因为点关于直线对称的点为，
所以点关于直线对称的点为，
所以如图，作圆和点N关于l对称的圆，
则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为，故C正确；
对于D，如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，
而最大值为，故D正确.
故选：ACD
方法技巧
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将所求变形成，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解.
【详解】因为动点到两点的距离的平方和为10，所以，
化简上述等式得到动点的轨迹方程为，故点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆．
因为，其中可看作是点与点连线的斜率，
设直线，即，则圆心到直线的距离，
因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
故答案为：.
【变式训练4-2·变载体】在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 .
【答案】
【分析】利用两点距离公式求得点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，易得点到直线的最大距离，从而求得面积的最大值.
【详解】设点，由可得，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
又直线与轴重合，所以点到直线的最大距离为圆的半径，
所以面积的最大值为.
故答案为：.
题型5 圆上的点到定点的距离最值
例5-1已知点满足，点，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度.
【详解】
因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大，
可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知.
故选：C.
例5-2已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由得，
所以点是以为圆心，半径为上的圆上的点，
表示点与点两点间距离的平方，
，所以的最大值为.
故答案为：
方法技巧
可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值
【变式训练5-1】已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值.
【详解】，且，的夹角为，
在平面直角坐标系中，令，设，
则，由，得，
因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以的最大值为.
故选：D
【变式训练5-2】若实数x、y满足， 则 的最大值是 .
【答案】/
【分析】由题可知表示圆上的点与原点之间的距离的平方，根据圆的性质即得.
【详解】将方程化为，表示以为圆心，半径为3的圆，
表示圆上的点与原点之间的距离，
故表示圆上的点与原点之间的距离的平方，
由可知原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为，
所以的最大值为，
所以的最大值为．
故答案为：.
【变式训练5-3】若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围.
【详解】直线，，设与的交点为P，
联立得出，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以.
故选：D.
题型6 圆的轨迹问题
例6-1在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得.
【详解】设点，
因为，所以，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点到直线的最大距离．
故选：B．
例6-2已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】且.
【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程.
【详解】由恒过，且与圆相交于、，
而的圆心为，若的中点为，则，
所以，易知：在以为直径的圆上，且，

所以弦的中点的轨迹方程且.
方法技巧
求轨迹方程的步骤：
①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
②列出关于的方程；
③把方程化为最简形式；
④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
⑤作答．
【变式训练6-1】已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可.
【详解】由题意，圆可化为，
∴圆C是以为圆心，半径的圆，
∵，点Q为线段中点，
∴，
即Q在以为圆心，1为半径的圆上，
∴求的最小值，转化为求的最小值，
∵圆心到直线距离，
∴，∴.
故选：B.
【变式训练6-2】（多选）已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3
C．在C上存在点M，使得
D．在C上存在点N，使得
【答案】ABD
【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为；利用定点到圆上点距离的最大值和最小值即可知在C上存在点D，使得D到点的距离为3，分别设出两点坐标，写出对应表达式并与C的方程联立解得不存在点M，使得，存在点N，使得.
【详解】对于A，设点，，由，得，化简得，即，故A正确；
对于B，由A可知曲线C的方程表示圆心为，半径为4的圆，圆心与点的距离为，
则点与圆上的点的距离的最小值为，最大值为，
而，故B正确；
对于C，设，由得，
又，联立方程消去得，
再代入得无解，故C错误；
对于D，设，由得，
又，联立方程消去得，
再代入得，所以存在点满足条件，故D正确．
故选：ABD
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.

4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【详解】圆化为标准方程为：，
圆的面积为，圆的半径为，
，解得．
故答案为：
5．（北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ．
【答案】
【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心和半径，根据相切得到，根据圆心在y轴的左侧得到，解得答案.
【详解】，即，
圆心为，半径为，圆心在轴的左侧，故，即，
圆与直线相切，故，解得.
故答案为：
6．（天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．
【答案】
【分析】设圆心坐标，根据题意结合点到直线的距离运算求解.
【详解】由题意可设圆心，
∵圆与射线相切，则，解得或（舍去），
即圆心为，故圆的方程为.
故答案为：.
7．（北京·高考真题）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹．
【答案】答案见解析
【分析】设动点P坐标为，根据题意列方程整理后讨论可得.
【详解】设动点P坐标为，则由题可得
整理可得：
当时，方程可化简为；
当时，方程为，
因为，
所以，此时方程表示圆.
综上，当时，P点的轨迹为直线；
当时，P点的轨迹为圆
1.已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程．
【答案】
【分析】根据圆的一般式列方程求解.
【详解】设所求圆的方程为,
因为点，，在所求的圆上，
所以，解得，
故所求圆的方程是．
2.求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．
【答案】，点在这个圆上，点不在这个圆上
【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．
【详解】圆心为，半径为5的圆的标准方程是,
因为，所以点的坐标满足圆的方程，
所以点在这个圆上．
因为，所以点的坐标不满足圆的方程，
所以点不在这个圆上（如图）．

3.已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
【答案】（建立平面直角坐标系）点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆，轨迹与圆O相交
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意可得等量关系，由此列出方程，化简可得动点M的轨迹方程，根据圆心距与两圆半径和差的大小关系即可判断该轨迹与圆O的位置关系.
【详解】如图，以线段的中点O为原点，所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，则AB为直径的圆的方程为；
由，得，.
设点M的坐标为，，
得，
化简，得，即.
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆如图.

因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，
又，所以点M的轨迹与圆O相交.
4.判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程
(2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程
(3)不是圆的方程，理由见解析
【分析】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆；
（2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆；
（3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程.
【详解】（1）原方程可以化为，
即，是圆的方程；
圆心坐标为，半径为5．
（2）方程两边除以4，得．
将左边配方，得，是圆的方程；
即圆心坐标为，半径为．
（3）因为原方程可以化为，即，
又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程．
5.点M在圆上，点N在圆上，求的最大值．
【答案】
【分析】运用配方法、数形结合思想进行求解即可.
【详解】，所以圆心，半径为，
，所以圆心，半径为，
如图所示：当依次在一条直线上时，最大，
最大值为：.

6.从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.
【答案】（在圆C内部的部分）
【分析】设所求轨迹上任一点，求得圆C的圆心坐标为，因为，所以，求解即可．
【详解】设所求轨迹上任一点，
圆C的方程可化为
则圆心坐标为，，

因为，所以点M的轨迹是以AC为直径的圆（在圆C内部的部分），
因为AC的中点坐标为，
所以点M的轨迹方程为（在圆C内部的部分）．中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 圆的方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 圆的定义和圆的方程 3
知识点2 点与圆的位置关系 3
题型破译 4
题型1 圆的标准方程 4
【方法技巧】求圆心和半径
题型2 圆的一般方程 4
题型3 判断点与圆的位置关系 5
【方法技巧】带入方程做比较
题型4 圆的范围问题 6
题型5 圆上的点到定点的距离最值 6
【方法技巧】求点与圆心的距离加减半径
题型6 圆的轨迹问题 7
04真题溯源·考向感知 8
05课本典例·高考素材 9
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）圆的方程 （2）圆中的切线问题 （3）点与圆的位置关系 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第7题，5分 新课标II卷，第5题，5分 天津卷，第12题，5分 新课标I卷，第6题，5分 天津卷，12题，5分
考情分析：理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
复习目标： 1.掌握圆的两个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上. 2.牢记两个相关结论 (1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. (2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
知识点1 圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C
半径为
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
自主检测若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆 ；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆 ；
(3)|MC|自主检测点在圆外，则a的取值范围为 ．
题型1 圆的标准方程
例1-1已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例1-2设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为______________.
方法技巧
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
【变式训练1-1】“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，求该圆的方程．
题型2 圆的一般方程
例2-1下列方程一定表示圆的是（ ）．
A． B．
C． D．
例2-2设实数，圆的面积为，则 ．
方法技巧
选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【变式训练2-1】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2·变考法】已知圆的圆心坐标为，则的半径为 .
【变式训练2-3】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的一般方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
题型3 判断点与圆的位置关系
例3-1已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．∪
例3-2“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法技巧
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
【变式训练3-1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是 .
【变式训练3-2·变载体】已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型4 圆的范围问题
例4-1（多选）已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　)
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值为2
例4-2（多选）已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最大值为
方法技巧
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【变式训练4-1】在平面直角坐标系中，动点到两点的距离的平方和为10，则的取值范围为 ．
【变式训练4-2·变载体】在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是 .
题型5 圆上的点到定点的距离最值
例5-1已知点满足，点，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．6
例5-2已知实数满足，则的最大值为 ．
方法技巧
可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值
【变式训练5-1】已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】若实数x、y满足， 则 的最大值是 .
【变式训练5-3】若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型6 圆的轨迹问题
例6-1在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
例6-2已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程．
方法技巧
求轨迹方程的步骤：
①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；
②列出关于的方程；
③把方程化为最简形式；
④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
⑤作答．
【变式训练6-1】已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练6-2】（多选）已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．在C上存在点D，使得D到点的距离为3
C．在C上存在点M，使得
D．在C上存在点N，使得
1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ．
5．（北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ．
6．（天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．
7．（北京·高考真题）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹．
1.已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程．
2.求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上．
3.已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
4.判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
5.点M在圆上，点N在圆上，求的最大值．
6.从定点向圆任意引一割线交圆于P，Q两点，求弦PQ的中点M的轨迹方程.

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