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第04讲 数列的通项公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 累加法
题型02 累乘法
题型03 法
题型04形如
题型05 形如
题型06 形如
题型07 倒数法
题型08 形如
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 累加法
1．若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，可得：
，累计可得：，
故选：D.
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以当时，，，…，，
累加可得，
因为，所以，当时，，满足上式，
所以，
故选：B．
3．数列满足，且，则等于（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【详解】因为，，，
所以有，，，，.
累加得，又，
所以，即.
当时，符合上式，所以.
则.
故选：B.
4．若数列满足（，且），，则 .
【答案】
【详解】因为（，且），，
所以 ；
经验证，时，，符合条件.
故答案为：.
5．（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式.
（2）在数列中，，，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1） ，
，
将以上个式子相加，得
，
即.
.
又当时，也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）因为，，所以，
所以
又因为当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为.
02 累乘法
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为数列满足：，，
当时，，
当时，由可得，
两个等式作差得，所以，可得，
当时，，满足，
故当时，，
所以
，
因此，.
故选：B.
7．记为首项为1的数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易得，故，
化简得，即，
由知，故，
累乘可得，
即，故，
当时，也符合上式，故，故.
故选：C.
8．已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【详解】当时，，
由，
由，得，
两式相减得，，
所以，
故选：B
9．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
即，因此；
因此，
可得，
所以.
故选：B
10．数列中，若,，则 .
【答案】
【详解】若，，则且，
所以，
所以.
故答案为：.
03 法
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【详解】（1）因为，所以，故，
又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
当时，，
而时，不满足题意，
所以.
12．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．
(1)求；
(2)求；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故，即．
（2）当时，，
又因为满足上式，故；
13．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）据题可得：，当时，，
两式子作差可得：
，
又，所以，
当时，，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列；
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1），得，
当时，有，
得，
化简可得，
因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
15．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）在数列中，，当时，，
而，不满足上式，
所以数列的通项公式为.
16．（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1）当时，，得，所以．
当时，
联立，两式相减可得：
，化简得，
因为，所以，
故数列是以，公差的等差数列，所以；
17．已知是数列的前n项和，．
(1)求的通项公式.
【答案】(1)
【详解】（1）设.
当时，.
当时，，
化简得：，故.
验证时，，符合条件.
因此，通项公式为.
04 形如
18．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等差数列
【答案】C
【详解】数列中，，由，得，解得.
因为，所以，
因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，故.
对于A，，A错误；
对于B，，故，B错误；
对于C，是等比数列，C正确；
对于D，，而不成等比数列，
所以不是等差数列，D错误.
故选：C.
19．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．129 C． D．130
【答案】C
【详解】因为，所以，
则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
故选：C.
20．（多选）已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）.
A．. B．数列为等比数列.
C．. D．.
【答案】BC
【详解】构造等比数列，两边加1得:，
所以数列是首项为，公比为 2的等比数列，
由等比数列通项公式得：，，，
由，首项得，选项A错误；
由可知是公比为2的等比数列，选项B正确；
，选项C正确；
，选项D错误；
故选：BC.
21．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)．
【详解】（1）因为，
取可得，又，
所以，解得，
当时，用替换可得，
所以，
即，
所以，又，
即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
即．
22．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【详解】（1），故，
，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列，
所以，所以；
23．在数列中，，且满足，数列的前项和为，且．
(1)求和的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1），，
是首项为2，公比为2的等比数列，即；
由，当时，，
当时，，也满足，
，
05 形如
24．设数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为数列的前项和为，，
当时，，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得，
等式两边同时除以可得，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
故，所以，
故，，故，A错B对；
由题意可得，
所以，CD都错.
故选：B.
25．已知在数列中，，则 ．
【答案】
【详解】，两边同时除以，得，
令，则，
则是首项为，公比为的等比数列．
，即，则．
方法一：，两边同时加上，则，
令，则，，
则是首项为3，公比为3的等比数列．，则．
方法二：，两过同时除以，得，
令，则，
故当时，，，
累加得，
，当时，也符合此式，
则．
故答案为：.
26．已知数列的首项，且满足，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
则，所以是首项为，公比为的等比数列，
，所以，
所以.
故答案为：.
27．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由，得，
因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，，
所以数列的通项公式.
28．已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又，则，故，
所以是首项与公比都为的等比数列.
（2）依题意，，
当时，，
两式相减，得
整理得，即，则，
又，所以，
所以是各项为的常数列，
所以，即.
29．已知数列满足，且．求数列的通项公式；
【答案】
【详解】由已知，
所以，
又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，
所以，
即．
30．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
06 形如
31．设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
【答案】C
【详解】由题设，则，
所以，则
又，则，
所以是首项、公比均为的等比数列，则，
所以，则.
故选：C
32．已知数列的前项和为，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，所以，
而，故，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，所以．
故选：C
33．在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D．
34．已知数列满足，，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【详解】法一：
因为，所以，
又，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
故.
法二：
由，，故，
，.
故选：C.
35．数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）设，所以，，
即，
因为，所以，
所以.
又因为，所以，
作差得，化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
36．设数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意知数列满足：，，
则
，，故为首项是6，公比为2的等比数列，
故，即，
适合上述结果，故；
07 倒数法
37．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，，则，
而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
因此，所以．
故选：C
38．数列满足，则 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，解得，故.
故答案为：.
39．已知数列中，，.
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1）在数列中，由，得，
则，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，解得.
40．已知数列中，且.
(1)求数列的第项；
(2)猜想数列的通项公式，并证明.
【答案】(1)，，.
(2)，证明见解析.
【详解】（1），，.
（2）由（1）可猜想.
证明：由，可得，
即，又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
则，所以.
41．已知数列满足，.求的通项公式.
【答案】
【详解】因为，，所以，
所以， 故，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
42．已知数列中，，
(1)求数列的前项和；
【答案】(1)
【详解】（1）由，取倒数可得，令，
化简可得，则，解得，
由，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，可得，
则.
43．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】将两边同时除以得，
整理得，由得，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
故．
故答案为：
08 形如
44．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得：，
又，所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列,
因此，
当时，
相加得：.
故选：A.
45．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】AB
【详解】设，则，
则，解得或，
当时，，
因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以①，故A正确；
当时，，
因，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，故B正确；
①②两式作差得，，故C错误；
数列的前项和为，
数列的前项和为，
则，故D错误．
故选：AB．
46．已知数列中，，且满足．设，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）∵，，∴，
∵，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，.
（2）∵，
∴当时，
，又也满足上式，
所以.
1．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，
即，
则，而，则，
于是时，，整理得，
又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，因此，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式．
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为①，所以，解得，
对任意的，②，
②-①得，即，
所以，即，
因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
3．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由有，
所以，又，，解得，
又因为，即，
所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，
所以，
（2）由（1）有，
所以，
上式相加有，
所以，
所以；
4．（2025·广东揭阳·三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求；
(2)求的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令可得，故；
令可得，故.
（2）由题设有，故，
化简得，
即，由知，故，
累乘可得，
即，故.
而符合该式，故.
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1），则当时，，
当时，，不符合，
所以．
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
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第04讲 数列的通项公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 累加法
题型02 累乘法
题型03 法
题型04形如
题型05 形如
题型06 形如
题型07 倒数法
题型08 形如
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 累加法
1．若数列满足（且），，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
3．数列满足，且，则等于（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
4．若数列满足（，且），，则 .
5．（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式.
（2）在数列中，，，求数列的通项公式.
02 累乘法
6．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
7．记为首项为1的数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
9．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
10．数列中，若,，则 .
03 法
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
12．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，．
(1)求；
(2)求；
13．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
15．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
16．（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
17．已知是数列的前n项和，．
(1)求的通项公式.
04 形如
18．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等差数列
19．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．129 C． D．130
20．（多选）已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）.
A．. B．数列为等比数列.
C．. D．.
21．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
22．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
23．在数列中，，且满足，数列的前项和为，且．
(1)求和的通项公式；
05 形如
24．设数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知在数列中，，则 ．
26．已知数列的首项，且满足，则 .
27．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
28．已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求的通项公式；
29．已知数列满足，且．求数列的通项公式；
30．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
06 形如
31．设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
32．已知数列的前项和为，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
33．在数列中，已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
34．已知数列满足，，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
35．数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
36．设数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
07 倒数法
37．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
38．数列满足，则 .
39．已知数列中，，.
(1)求；
40．已知数列中，且.
(1)求数列的第项；
(2)猜想数列的通项公式，并证明.
41．已知数列满足，.求的通项公式.
42．已知数列中，，
(1)求数列的前项和；
43．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
08 形如
44．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
45．（多选）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C． D．
46．已知数列中，，且满足．设，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
1．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
2．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
3．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
4．（2025·广东揭阳·三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求；
(2)求的通项公式；
5．（2025·山西忻州·模拟预测）已知数列的前n项和满足．
(1)求的通项公式；
1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．

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