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第04 讲 指数与指数函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 指数与指数幂的运算
题型02 指数函数的图象与性质
题型03 指数应用题
题型04值域
题型05 定点及图象问题
题型06 单调性问题
题型07 比较指数幂大小
题型08 解指数不等式
题型09 指数的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 指数与指数幂的运算
1．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【详解】原式．
2．若，则（ ）
A． B． C．64 D．
【答案】D
【详解】．
3．（多选）下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.
【详解】对于AB，，A错误，B正确；
对于CD，，C错误，D正确.
故选：BD
4．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【详解】由，得，故A正确；由，得，则，所以，故B正确；由得，所以，解得或，故C错误；令，则，解得或，即或，则或，故D错误．
5．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质直接求解即可；
（2）将根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算法则求解.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
02 指数函数的图象与性质
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可.
【详解】由题意可得：，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
7．（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用奇函数、偶函数定义建立方程组求出判断AC；利用指数、对数运算计算判断BD.
【详解】由，得，而是奇函数，是偶函数，
则，解得，
则，ACD正确，B错误.
故选：ACD
8．已知函数（且）满足，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】由题意知，解得，所以，所以．
9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】代入即可逐一求解.
【详解】对于AD，，
而，故A正确，D错误；
对于B，∵，又，
∴，故B正确；
对于C，∵，
又，
∴，故C正确．
故选：ABC.
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数满足，则 ．
【答案】27
【分析】令且，根据题设得，即可求解.
【详解】令且，因为，
则，即，解得或（舍），
所以，则，
故答案为：.
03 指数应用题
11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得．
【详解】由题意，即，，，
设降温到35℃大约需要，则，
即，，
，
所以，
故选：B．
12．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：，
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数模型计算即可.
【详解】由题意，第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图：
A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋
【答案】C
【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论.
【详解】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，
所以可近似认为时，，
又与死亡年数之间的函数关系式为，
所以，故，
所以，
令，可得，
两边取以为底数的对数可得，又，
所以，
，
所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋.
故选：C.
14．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可.
【详解】分别设和时的体积为，则，即.
又当时.
故选：C.
04 值域
15．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先化简求解集合、，再求即可.
【详解】，
，
因为，函数单调递增，
所以，所以，即 .
所以.
故选：C
16．已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】由指数函数的单调性可得函数的值域为，可得的值，再结合对数函数的单调性得的最小值为9，从而可得的值，即可得解．
【详解】因为，所以，
即函数的值域为，所以，
因为的值域为，
所以的最小值为9，所以，解得，
所以．
故选：A．
17．（多选）设函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的值域是
C．值域为 D．函数是偶函数
【答案】AD
【分析】利用偶函数的定义判断即可A、D；对化简，根据分段函数求值域的方法求解可判断B；根据复合函数求值域的方法求解可判断C.
【详解】对于A，已知函数，
因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且，
则函数为偶函数，故A正确；
对于B，函数化为分段函数为
因为当时，，，
同理可得时，，
则函数的图象如图所示：
由图象可得函数的值域为，故B错误；
对于C，已知，令，，
，解得，
即，而函数的值域为，函数取不到，
即的值域中没有，C错误；
对于D，函数,
，
故是偶函数，故D正确．
故选：AD．
18．已知函数的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求.
【详解】因为时，，所以，
又的值域为，所以时，的值域至少要取到，
则.
故答案为：.
05 定点及图象问题
19．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得.
【详解】因为幂函数在区间上单调递减，
则解得，
所以，，则，即函数的图象过定点.
故选：A.
20．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】如图，观察易知，或或，因此A，B，D均可成立
21．函数与的图象关于（ ）
A．轴对称 B．轴对称
C．直线对称 D．原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得.
【详解】令函数，，
对于A，，，，A错误；
对于B，，，，B错误；
对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误；
对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确.
故选：D
22．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
23．已知函数且的图象过定点，若角的终边过点，则 .
【答案】/
【分析】先利用指数函数定义求出定点坐标，再利用正弦函数定义可得.
【详解】因为函数过定点，由指数函数性质可知点横坐标为3，
代入可得，由正弦函数定义可知.
故答案为：.
06 单调性问题
24．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合指数函数、对数函数单调性逐项判断.
【详解】函数、、在上都单调递减，ABC不是；
函数在上单调递增，D是.
故选：D
25．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.
【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增，
而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
26．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解.
【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得，
又函数在上单调递减，则，
所以的取值范围是.
故选：B
27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值．
【答案】
【分析】设，由有最大值2，结合复合函数的单调性，知有最小值，则可将问题转化为二次函数的最值问题，求解即可．
【详解】设，则．
∵为减函数，又有最大值为2，∴有最小值．
因此，解得．
的值为.
07 比较指数幂大小
28．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】，则，因此，
，因此，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：D
29．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.
【详解】由幂函数为增函数，得；
由指数函数为减函数，得；
由对数函数为减函数，得.
所以.
故选：A.
30．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定.
【详解】∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；
又，且，
∴，∴，
∴.
故选：C
31．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【详解】由题意知，，
又函数在上单调递增，而3.4，即，
又在上单调递增，所以，即.
故选:D.
08 解指数不等式
32．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得.
【详解】由，，
所以，即是的充分不必要条件.
故选：A
33．（2025·湖北·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再应用交集定义计算求解.
【详解】由，所以.
又，所以.
故选：D.
34．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
【答案】
【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】当时，，，；
当时，，，；当时，，
因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减，
则函数在上单调递减，则，
于是，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
09 指数的综合应用
35．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解.
【详解】当时，恒成立，则，
因为定义域为的函数满足，
当时，，
当时，，
则
，
因为，此时；
当时，，
则，
因为，则，则，所以，
所以，函数在上的最小值为，
所以，，即，即，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
36．（多选）已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在，使得不等式有解，则实数m的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【详解】因为①，所以．又为偶函数，为奇函数，所以②，联立①②，得，．由得．因为为增函数，所以当时，，所以，结合选项知m的值可以为．
37．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】从已知不等式中分离出实数a，得.因为函数在R上是减函数，所以当时，，从而得，所以.
38．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】将条件转换为若对任意的，总有恒成立，分离参数结合基本不等式即可求解.
【详解】，
所以若对任意的，总有恒成立，
即对任意的，总有恒成立，
即对任意的，总有恒成立，
而当时，，等号成立当且仅当，
所以当时，有最小值且最小值是2，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，即函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，，则，排除C选项.
故选：D.
2．是的偶函数，且在上单调递增，设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合指数函数和对数函数的性质，判断出三者的大小关系.
【详解】由于为偶函数，则，
又，，
所以，因为是的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，则.
故选：A
3．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【分析】由题意，求得，根据幂函数的单调性，求得当时，，再由指数函数的单调性，求得当时，，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数在上单调递增，
可得，解得，即，
当时，函数为单调递增函数，所以当时，，
又由函数为单调递增函数，
可得时，，
又因为任意时，总存在使得，
所以，解得.
故选：D.
4．（多选）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称
C．的值域为 D．，且恒成立
【答案】BC
【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】的定义域为，关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
5．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数得图象，根据图象先确定，再由函数确定出的取值范围，再由确定出，即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即，
得，则．
由，即，得，求得，
，
故选：D．
6． 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用的单调性得，再利用函数和函数的单调性判断的大小关系.
【详解】若，且，
由函数在上为减函数，，
则，
又函数在上为减函数，则，
又函数在上为增函数，则，
因此可得.
故选：C.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
3．已知，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
【答案】B
【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
5．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【答案】
【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
考点：指数函数的性质.中小学教育资源及组卷应用平台
第04 讲 指数与指数函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 指数与指数幂的运算
题型02 指数函数的图象与性质
题型03 指数应用题
题型04值域
题型05 定点及图象问题
题型06 单调性问题
题型07 比较指数幂大小
题型08 解指数不等式
题型09 指数的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 指数与指数幂的运算
1．的分数指数幂表示为（ ）
A． B． C． D．都不对
2．若，则（ ）
A． B． C．64 D．
3．（多选）下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2026高三·全国·专题练习）化简与求值．
(1)；
(2)．
02 指数函数的图象与性质
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）已知是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数（且）满足，则（ ）
A． B． C． D．3
9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数满足，则 ．
03 指数应用题
11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （ ）
A． B． C． D．
12．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：，
A． B． C． D．
13．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图：
A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋
14．衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（ ）
A． B． C． D．
04 值域
15．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
17．（多选）设函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的值域是
C．值域为 D．函数是偶函数
18．已知函数的值域为，则的取值范围是 .
05 定点及图象问题
19．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
20．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
21．函数与的图象关于（ ）
A．轴对称 B．轴对称
C．直线对称 D．原点中心对称
22．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函数且的图象过定点，若角的终边过点，则 .
06 单调性问题
24．下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
25．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若的最大值为2，求的值．
07 比较指数幂大小
28．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
29．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025·河南许昌·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
08 解指数不等式
32．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
33．（2025·湖北·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
09 指数的综合应用
35．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（多选）已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在，使得不等式有解，则实数m的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．2
37．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
38．已知函数与，若对任意的，总有恒成立，则实数的取值范围是 ．
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．是的偶函数，且在上单调递增，设 则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
4．（多选）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称
C．的值域为 D．，且恒成立
5．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6． 若，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则
A． B．
C． D．
4．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
5．已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .

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