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第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 直线与圆的位置关系
题型02 圆的切线方程
题型03 圆的弦长和弦心距
题型04直线与圆的应用
题型05 圆与圆的位置关系
题型06 圆的公共弦
题型07 圆的公切线
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线与圆的位置关系
1．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定
【答案】C
【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解.
【详解】直线，
即，
令，解得，
即直线过点，
又，
则点在圆内，
所以直线与圆相交，有个公共点，
故选：C.
2．直线与圆交于两点，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可．
【详解】设，
由得，，则，
，
由得，，
故选：B．
3．（多选）已知直线，圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相离
B．当直线与圆相切时，的值为
C．圆心到直线的距离的最大值是5
D．圆与圆外切
【答案】BD
【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较可判断A；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断B；求出圆心到动直线的最大距离即可判断C；根据两圆位置关系判断D.
【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点；
圆的标准方程为，所以圆心，半径.
对于A，当时，直线的方程为，
圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，故A错误.
对于B，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，故B正确.
对于C，当过点的直线与直线垂直时，圆心到该直线的距离有最大值5，
此时因为直线的斜率为0，所以过点的直线的斜率不存在.
因为直线的斜率为，所以圆心到直线的距离的取值范围为，
即圆心到直线的距离不存在最大值，故C错误.
对于D，圆的标准方程为，所以圆心，半径.
因为，所以圆与圆外切.故D正确.
故选：BD.
02 圆的切线方程
4．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值.
【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.
因为PQ为圆的切线，所以，
在中，根据勾股定理可得.
已知，则.
点，根据两点间距离公式，可得.
因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.
因为，当取最小值时，，
则.
的最小值为.
故选：A.
5．（多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ）
A．圆O与直线l相离 B．存在最小值
C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形
【答案】AB
【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断C；根据为直角三角形求得，根据圆心到直线的最小距离即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，正确；
对于C，由垂直平分得，，
则，当且仅当时取等号，
所以不存在最大值，错误；
对于D，由A可知，，若为直角三角形，则，
从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误.
故选：AB
6．过点作圆的切线，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程.
【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，得，
切线方程为；
当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线.
故直线的方程为.
故答案为：.
7．已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 .
【答案】
【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程.
【详解】，即，，
∵，即点在圆上，
设切线为，则，，
∴，
∴切线，即.
故答案为：.
8．已知函数，设曲线在点处的切线为l，若l与圆相切，则a的值为 ．
【答案】或
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的切线性质列式求解.
【详解】依题意，，，
切线的方程为，即，
由与圆相切，得，解得或，
所以a的值为或．
故答案为：或
03 圆的弦长和弦心距
9．已知圆O的方程是，则圆O过点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程
【详解】，圆心为，
圆心与连线所在直线斜率为：，
因为，
所以点在圆内，
所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.
所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以，
由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：，
整理得：
故选：B
10．若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值.
【详解】因为圆，所以圆心为，半径为.
设圆心到直线距离为：.
因为直线与圆截得的弦长为.
所以.
解得：.
故选：.
11．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用几何法先求圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】由题意有圆心到直线的距离为，
所以，
又解得.
故选：C.
12．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案.
【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立，
可得，其判别式为，
设，则.
又，，
则
，
当且仅当时取等号.
故选：B
04 直线与圆的应用
13．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可.
【详解】

作与，作与，
直线的方程为，
故
又可得，，
，
从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时.
故选：A
14．对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点（不与重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动（不与原点重合），将关于的内半圆半径记为，当时，点的横坐标的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】A
【分析】设点坐标为，分两种情况分类讨论，（1）点在第一象限时，（2）点在第三象限时，分别求出的取值范围即可.
【详解】过点作，与直线交于点，
设点是线段上的动点，
（1）当点在第一象限时，
（i）当点在线段上运动时（不与重合），关于的
内半圆是以为圆心，分别与相切的半圆，如图①所示，连接，
因为点在直线上，
所以,
当时，则，，
所以，即点为中点，
过轴，则交轴于点，
所以点的横坐标.
（ii）如图②所示，当点与点重合时，点在的角平分线上，
分别与相切，即，，
所以点的横坐标.
所以当时，的取值范围为.
（iii）当点在的延长线上运动时， 关于的
内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，如图③所示，
所以当时，的取值范围为.
（2）当点在第三象限时，
当点在的反向延长线上运动时（不与重合）, 关于的
内半圆是以为圆心，经过点且与相切的半圆，如图④所示，
因为,
所以.
当时，过点作轴于点，是切点，连接，
则，
所以，
在中，，
所以，
因为，
所以相似,
所以，即，解得.
所以当时，的取值范围为.
综上所述，点在直线上运动时（不与重合），
当时，的取值范围为或.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆的切线和三角形的综合，解题的关键是画出图形，综合应用圆的切线性质、相似三角形及三角函数的知识.
15．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算，再用数形结合思想求出最小值.
【详解】
如图，建立直角坐标系，记，
因为，所以点，
作，设其坐标为，因为，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即，
因为对任意的实数t，均有 ，
所以，
由于上式对任意的实数t的一元二次不等式恒成立，
则，即，
设又设，则，
整理得：，所以可知点在直线上，
又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且，
所以可以把看成两动点和的距离，
显然距离最小值为圆心到直线的距离减去半径1，
而点到直线的距离,
所以，即的最小值为3,
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：确定B，C点轨迹解决问题的关键.
16．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米.
【答案】(1)半径为；
(2)
3.5米
【分析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径；
（2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高．
【详解】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的直角坐标系，
因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米，
则，，，
易知圆心在轴上，设圆的方程为，
又，在圆上，则，
解得：，，
所以，圆弧所在圆的半径为；
（2）设限高为，作交圆弧于，则，
由（1）知，圆的方程为：，
将的横坐标代入圆的方程，
有，解得：或（舍，
所以，
即车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
17．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：
(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；
(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．
【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由见解析
(2)
(3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由见解析
【分析】（1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论；
（2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程；
（3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞．
【详解】（1）若时，沿向量的方向击打母球A，则，而，
所以，即两向量同向共线，
所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动；
（2）若，过点与点的直线方程为．
依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，
设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此，
则有，解得，
即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，
∴母球A的球心运动的直线方程为；
（3）若，由（2）知．又，
∴，
∴，
故为锐角．
∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞．
故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动．
05 圆与圆的位置关系
18．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为，
则，故两圆外切，
因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为.
故选：A.
19．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
【答案】B
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可.
【详解】圆即，圆心为，半径为；
圆即，圆心为，半径为；
圆心距为，因为，所以两个圆外离.
故选：B
20．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，
设动圆的圆心，半径，而，点在圆内，
由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且，
因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点，
长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长，
所以动圆圆心C的轨迹方程为．
故选：D
21．已知圆：，圆：．
(1)证明：圆与圆相交；
(2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证.
（2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程.
【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径；
圆的标准方程为，圆心，半径；
于是，即，
所以圆与圆相交.
（2）由，得，
将代入圆得：，当时，；当时，，
则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为，
而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为.
22．年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ．
【答案】
【分析】利用圆、圆均与圆外切，分别求出圆、圆的方程，直线的方程为，由圆的弦长公式建立方程组，求解即得.
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为3.
设圆的标准方程为，圆心为，半径为
因为圆与圆外切，所以，解得，
根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，.
直线过点，且与三个圆都相交，
设直线的方程为，且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，
依题意，，
可得，解得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式求.
06 圆的公共弦
23．圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
【答案】B
【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案.
【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，
由圆，则圆心，半径，
点到公共弦所在直线的距离，
公共弦长为，则，解得或，
由圆，整理可得，
则，所以或.
故选：B.
24．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 .
【答案】
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长.
【详解】

如图，由圆与圆相减，
整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，
由圆的圆心到直线的距离为，
由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.
故答案为：.
25．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程.
【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程，
也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得
，解得或，
故或，
两种情况下公共弦所在的直线方程均为.
故答案为：.
26．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，
圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：
到距离为，所以，即，
又，
所以，四边形的面积.
故答案为：9.
07 圆的公切线
27．圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
【答案】C
【分析】根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可.
【详解】因为是圆，所以，
因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切，
因为，所以，解得，
故选：C.
28．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围．
【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交，
而圆心，半径，圆心，半径，则 ，
因此，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
29．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
30．圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可.
【详解】如图：
由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，
则公切线的长为，
方法二：，
所以内公切线的长为：
故选：D
1．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解.
【详解】由得，
直线经过定点，如图，
，
当直线与半圆相切时，，
所以恰有两个公共点时，由图可知，，
故选：D．
2．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的加法运算和向量模的运算得，所以点是两圆的交点，由圆与圆的位置关系求得的最大值.
【详解】若为坐标原点，则，
所以，
所以点落在以原点为圆心，以为半径的圆上，
又因为点落在以为圆心，以为半径的圆上，
所以点是两圆的交点，即两圆有交点，
由圆与圆的位置关系得到，解得，
所以的最大值为.
故选：A.
3．在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与圆无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】圆：关于原点的对称圆为：，
则，
由已知得与无公共点，所以或，
所以或，解得：或，
又因为，所以，故C正确.
故选:C.
4．已知圆直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆一定有公共点
C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1
D．圆与圆只有一条公切线
【答案】D
【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，由，得，
直线过定点，故A正确：
对于B，，又，
即定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为，
而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确：
对于D，圆化为，
圆的圆心为，半径为4，
两圆圆心距为，所以两圆相交，
因此它们有两条公切线，故D错误.
故选：D
5．已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，
由，得，是圆内含于圆，设圆M的半径为r，
由P为的内心，设内切圆的半径为，由，
得，整理得，
当动圆M内切于圆，与圆外切（），则，
，则，，因此a＝17；
当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则，
，则，，得a＝19
所以a＝17或19.
故选：C．
6．（多选）如图，圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（ ）
A．圆C的方程为
B．圆C与圆的相交弦所在直线方程为
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件求出圆C的方程判断A；求出两圆公共弦所在直线方程判断B；对圆上任意点，求出求解判断D.
【详解】设圆C的方程为，由圆C与x轴相切于点，截轴所得弦长为，
得，解得，则圆C的方程为，A正确；
依题意，点在圆内，圆C与圆O必相交，将两圆方程相减得相交弦所在直线方程，B错误；
设为圆O上任意一点，而，则，
因此，则，，C正确，D错误.
故选：AC
7．（多选）已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（ ）
A．当，时，圆心到直线的距离为
B．当，时，是坐标原点，则的最小值为
C．当时，不存在，使圆与直线相离
D．存在，使对任意的，圆与直线均相切
【答案】ACD
【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O关于直线的对称点，结合点与圆的位置关系利用几何法求解最小值判断B，求出圆心到直线的距离，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得，与半径比较即可判断C，举例法当时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D.
【详解】对于AB，当，时，直线即，
圆即，圆心，半径为，
则圆心到直线的距离为，故A正确；
如图作点O关于直线的对称点，设，则，
解得，所以，则，
所以的最小值为，故B错误；
当时，圆即，
圆心，半径为，
圆心到直线的距离为，
，其中，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以任意的，，
故当时，任意的，使圆与直线相交，故C正确；
当时，圆即，
圆心，半径为，圆心到直线的距离为，
故当时，对任意的，圆与直线均相切，故D正确.
故选：ACD
1．（山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【详解】化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
2．（全国·高考真题）已知直线和圆相切，那么a的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径，列式即可得出a的值.
【详解】由题可知圆心坐标为，半径为2，列式可得，
得，（舍去）
故选：C
3．（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：
①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】
对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思想考虑.
【详解】对于①，取直线,
则对于任意的，有，
故圆均在直线的下方，
而对任意的，有，
故圆均在直线的上方，
而当时，表示原点，它在直线的下方，
故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为
当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
5．（天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
【答案】
【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．
考点：相交弦所在直线的方程
6．（北京·高考真题）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由圆的标准方程即可求出圆心和半径；直线与该圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出实数a的取值范围.
【详解】由知圆的圆心坐标为，，
直线与该圆有公共点，
则圆心到直线的距离小于等于半径，
所以，化简得：.
所以实数a的取值范围是：.
故答案为：；.中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 直线与圆的位置关系
题型02 圆的切线方程
题型03 圆的弦长和弦心距
题型04直线与圆的应用
题型05 圆与圆的位置关系
题型06 圆的公共弦
题型07 圆的公切线
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线与圆的位置关系
1．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定
2．直线与圆交于两点，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知直线，圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相离
B．当直线与圆相切时，的值为
C．圆心到直线的距离的最大值是5
D．圆与圆外切
02 圆的切线方程
4．过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
5．（多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（ ）
A．圆O与直线l相离 B．存在最小值
C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形
6．过点作圆的切线，则直线的方程为 .
7．已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 .
8．已知函数，设曲线在点处的切线为l，若l与圆相切，则a的值为 ．
03 圆的弦长和弦心距
9．已知圆O的方程是，则圆O过点的最短弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
12．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
04 直线与圆的应用
13．一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（ ）
A． B． C． D．
14．对于，给出如下定义：若点是边上一定点，且以为圆心的半圆满足：①所有点均在的内部或边上；②半径最大．则称此半圆为边上的点关于的最大内半圆．若点是边上一动点（不与重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边关于的内半圆．已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动（不与原点重合），将关于的内半圆半径记为，当时，点的横坐标的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
15．已知平面向量 满足，且对任意的实数t，均有 则的最小值为
16．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米.
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米.
17．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：
(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；
(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．
05 圆与圆的位置关系
18．已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．外离 C．内含 D．相交
20．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
21．已知圆：，圆：．
(1)证明：圆与圆相交；
(2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程．
22．年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ．
06 圆的公共弦
23．圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ）
A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4
24．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 .
25．若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ．
26．已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
07 圆的公切线
27．圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
28．已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
29．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
30．圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
1．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若圆：上任意一点关于原点的对称点都不在圆：上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆直线，，则下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆一定有公共点
C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1
D．圆与圆只有一条公切线
5．已知圆和，动圆与圆均相切，是的内心，且，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
6．（多选）如图，圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于A，B两点，且，过点A任作一条直线与圆相交于M，N两点，则（ ）
A．圆C的方程为
B．圆C与圆的相交弦所在直线方程为
C．
D．
7．（多选）已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（ ）
A．当，时，圆心到直线的距离为
B．当，时，是坐标原点，则的最小值为
C．当时，不存在，使圆与直线相离
D．存在，使对任意的，圆与直线均相切
1．（山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．（全国·高考真题）已知直线和圆相切，那么a的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论：
①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
5．（天津·高考真题）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
6．（北京·高考真题）圆的圆心坐标是 ，如果直线与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ．

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