资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情解码·命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 直线与平面垂直 3
知识点2 平面与平面垂直 4
知识点3 线面角和二面角 5
题型破译 6
题型1 有关垂直命题的判断 6
题型2 线面垂直的判定与性质 7
题型3 面面垂直的判定 10
【方法技巧】面面垂直推线面垂直的思路
题型4 面面垂直的性质 12
题型5 几何法求线面角 14
【方法技巧】几何法求线面角的求解步骤
题型6 几何法求面面角 16
【方法技巧】几何法求面面角的常见方法
题型7 线面垂直的探索性问题 18
题型8 面面垂直的探索性问题 20
04 真题溯源·考向感知 23
05 课本典例·高考素材 26
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）直线与平面垂直的判定与性质 （2）平面与平面垂直的判定与性质 （3）直线与平面的夹角和二面角 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T9(6分)、T17（15分） 北京卷T14（5分） 天津卷T17（15分） 全国 I卷T17（15分） 全国II卷 T7（5分）、T17（15分） 全国甲卷（文）T18（12分） 全国甲卷（理）T18（12分） 全国乙卷（文）T19（12分） 全国乙卷（理）T9（5分）、T19（12分） 全国 II卷T20（12分）
考情分析： 该内容是新高考卷的重点考查内容，题型涵盖选择、填空及解答题，分值约5-10分。解答题中常作为第一问考查线面或面面垂直的证明，需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，难度中等。选择题则侧重垂直关系的判定，需注意定理中 “相交直线” 等关键条件。 近年命题更注重逻辑推理与空间结构的结合，动态问题（如翻折、动点）增多，需灵活运用性质转化条件。例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。备考时要强化定理条件的严谨性，熟练通过几何构造（如找垂线、证线线垂直）完成推理，避免忽略定理核心条件导致失误。
复习目标： 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.
知识点1 直线与平面垂直
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_______一条直线垂直
线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线_______.
推论：
①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
③垂直于同一条直线的两个平面_______.
自主检测如图，四棱锥中，面是正方形，.
(1)若平面，求证：平面；
(2)若点为的中点，求证：.
知识点2 平面与平面垂直
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直
2.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直
自主检测如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，.证明：平面平面
知识点3 线面角和二面角
1.直线和平面所成的角
定义 一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引_______，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
画法
取值范围
规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
2.二面角的概念
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是．
取值范围 _______
自主检测1．如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
2．如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为： ．
题型1 有关垂直命题的判断
例1-1已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中不正确命题的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例1-2已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【变式1-1】（多选）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-2】（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，，，共面，则
C．若不垂直于，且，则必不垂直于 D．若且，则
题型2 线面垂直的判定与性质
例2-1（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ）
A． B．
C． D．
例2-2如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，.
(1)证明：.
(2)证明：平面.
(3)证明：⊥平面CDE.
【变式2-1】如图，在正四棱柱中，是的中点，且.

(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
【变式2-2】如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．
(1)证明：．
(2)证明：平面．
【变式2-3】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【变式2-4】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
题型3 面面垂直的判定
例3-1如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
例3-2如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上．

(1)求证：平面平面；
【变式3-1·变题型】如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为 .
【变式3-2】如图，在正四棱柱中，，垂足为E．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面平面．
【变式3-3】如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.

(1)求证：平面平面；
题型4 面面垂直的性质
例4-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
例4-2如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面平面，求的值；
方法技巧 面面垂直推线面垂直的思路
先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
【变式4-1】已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式4-2】如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点.
(1)证明：平面
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【变式4-4】如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上．

(1)求证：；
题型5 几何法求线面角
例5-1如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例5-2如图，在四棱锥中，平面，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角.
方法技巧 几何法求线面角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
【变式5-1】在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【变式5-2】如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.
(1)证明：平面；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.
【变式5-3】如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交.
(1)求证：；
(2)若，，.
（i）证明：平面；
（ii）求直线与平面所成的角.
题型6 几何法求面面角
例6-1已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 .
例6-2如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
(1)证明：平面PAC；
(2)若，求二面角的平面角的正弦值.
方法技巧 几何法求面面角的常见方法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角；
（2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
【变式6-1】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ．
【变式6-2】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【变式6-3】在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.
(1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；
(2)①证明：；
②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.
题型7 线面垂直的探索性问题
例7-1如图，长方体中，，，点P为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
例7-2如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
【变式7-2】如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点．
(1)求证：平面平面PAB；
(2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型8 面面垂直的探索性问题
例8-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
例8-2如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式8-1】如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【变式8-2】（ 2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．
(1)证明：平面平面；
8．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
1．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：.
2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？
4．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
5．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
6．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情解码·命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 直线与平面垂直 3
知识点2 平面与平面垂直 5
知识点3 线面角和二面角 6
题型破译 8
题型1 有关垂直命题的判断 8
题型2 线面垂直的判定与性质 10
题型3 面面垂直的判定 17
【方法技巧】面面垂直推线面垂直的思路
题型4 面面垂直的性质 20
题型5 几何法求线面角 25
【方法技巧】几何法求线面角的求解步骤
题型6 几何法求面面角 31
【方法技巧】几何法求面面角的常见方法
题型7 线面垂直的探索性问题 36
题型8 面面垂直的探索性问题 44
04 真题溯源·考向感知 52
05 课本典例·高考素材 60
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）直线与平面垂直的判定与性质 （2）平面与平面垂直的判定与性质 （3）直线与平面的夹角和二面角 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T9(6分)、T17（15分） 北京卷T14（5分） 天津卷T17（15分） 全国 I卷T17（15分） 全国II卷 T7（5分）、T17（15分） 全国甲卷（文）T18（12分） 全国甲卷（理）T18（12分） 全国乙卷（文）T19（12分） 全国乙卷（理）T9（5分）、T19（12分） 全国 II卷T20（12分）
考情分析： 该内容是新高考卷的重点考查内容，题型涵盖选择、填空及解答题，分值约5-10分。解答题中常作为第一问考查线面或面面垂直的证明，需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，难度中等。选择题则侧重垂直关系的判定，需注意定理中 “相交直线” 等关键条件。 近年命题更注重逻辑推理与空间结构的结合，动态问题（如翻折、动点）增多，需灵活运用性质转化条件。例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。备考时要强化定理条件的严谨性，熟练通过几何构造（如找垂线、证线线垂直）完成推理，避免忽略定理核心条件导致失误。
复习目标： 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.
知识点1 直线与平面垂直
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直线线垂直 一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直
线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行.
推论：
①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
③垂直于同一条直线的两个平面平行.
自主检测如图，四棱锥中，面是正方形，.
(1)若平面，求证：平面；
(2)若点为的中点，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
因为平面，平面，所以，
因为平面，所以平面；
（2）∵面是正方形， ，
，
又因为，且平面，平面，所以平面，
平面.
知识点2 平面与平面垂直
1.判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
自主检测如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，.证明：平面平面
【答案】证明见解析
【详解】由题意，得，所以．
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，
所以，．
所以，即．
又因为为等腰直角三角形，，
所以，,
因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
知识点3 线面角和二面角
1.直线和平面所成的角
定义 一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
画法
取值范围
规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
2.二面角的概念
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是．
取值范围
自主检测1．如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【答案】
【详解】因为平面平面，
所以直线与平面所成角即与平面所成角，连接，
由正方体的性质可知平面，故是与平面所成角，
设正方体的棱长为2，
在中，，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：
2．如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为： ．
【答案】
【详解】解：取的中点，连接、，因为三棱锥的各棱长均为，
所以，且，
所以即为平面和平面所成角，
由余弦定理，
即，解得；
故答案为：
题型1 有关垂直命题的判断
例1-1已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中不正确命题的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】对于①，设两个相互垂直的平面为，平面平面．
∵平面平面，∴当时，必有，而，∴，
而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，
故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即①是真命题．

对于②，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故②是假命题．
对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，如上图，平面内与不平行的直线与平面不垂直，故③是假命题．
对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故④是假命题．
故选：C.
例1-2已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【详解】对于A，由，，得或或与相交，A错误；
对于B，由，，，得或与相交，B错误；
对于C，由，，得存在过的平面，则，
而，于是，又，，因此，C正确；
对于D，，，由，得可以是与垂直的平面内的任意直线，
因此可以与平行、相交或在内，D错误.
故选：C
【变式1-1】（多选）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】若，则或，A选项错误；
由线面平行性质定理，则，B选项正确；
若，则，C选项正确；
若，则可能平行，D选项错误；
故选：BC.
【变式1-2】（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，，，共面，则
C．若不垂直于，且，则必不垂直于 D．若且，则
【答案】BD
【详解】如图：在正方体中

因为平面，平面平面，结果平面，而非平面，故A错误；
因为与平面不垂直，平面，且，故C错误；
对B：因为，，所以无公共点，又，共面，所以，故B正确；
对D：因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确.
故选：BD
题型2 线面垂直的判定与性质
例2-1（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】A：若为中点，又为中点，根据正方体的结构特征有平面，
平面，则，如下图示，
又为中点，根据中位线及正方形的性质有，
由都在平面内，则平面，
平面，则，满足；
B：如下图示，平面，平面，则，
若，都在平面内，则平面，
平面，则，显然不成立，不满足；
C：如下图示，由中位线及正方形性质易知，
由平面，平面，则，
都在平面内，则平面，
平面，则，满足；
D：若为中点，又都为中点，如下图示，
根据中位线、正方形的性质易知，，
由平面，平面，则，
由都在平面内，则平面，
平面，则，同理可证，
由都在平面内，则平面，
平面，则，满足.
故选：ACD
例2-2如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，.
(1)证明：.
(2)证明：平面.
(3)证明：⊥平面CDE.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，
所以，因为平面ABC，平面ABC，
所以.因为平面平面，
，所以平面.
因为平面，所以.
（2）连接，设与交于点F，则F为的中点.
连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则.
又平面平面，所以平面.
（3）易得，则，
所以.
由（1）可知CD平面，所以.
因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE.
【变式2-1】如图，在正四棱柱中，是的中点，且.

(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）在正四棱柱中，连接，连接，则为中点，
而是的中点，则，又平面，平面，
所以平面.

（2）四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
在正方形中，，则矩形为正方形，，而，
因此，又平面，平面，则，又，
平面，于是平面，而平面，
因此，又平面，
所以平面.
【变式2-2】如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．
(1)证明：．
(2)证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：在等边中，因为为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，且平面，
所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）证明：由（1）知平面，且平面，所以，
在直角中，由，可得，
在直角中，因为，可得，可得，
在直角中，由，可得，
则满足，所以，
因为，且平面，所以平面.
【变式2-3】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，
因为，，平面，平面．
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，
又，平面，平面．
所以平面．
又平面，所以．
【变式2-4】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°，
由余弦定理得，
∵，
∴．
同理，在三棱台中，，，
∵，
∴，∴，
∴，，
设三棱台的高为，
由，解得h=2．
又∵，故为三棱台的高，
∴平面ABC，AB 平面ABC，
∴，，，平面，
∴平面，
又，
∴平面．
题型3 面面垂直的判定
例3-1如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）取中点，连接，如图，
由已知，所以，且，
中，，
又，所以，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面；
例3-2如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上．

(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为四边形为菱形，所以.
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
【变式3-1·变题型】如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为 .
【答案】平面（或平面）
【详解】在正方形ABCD中，，
故在四面体中，，
平面，故平面，
而平面，故平面平面，
同理平面平面，
故答案为：平面（或平面）
【变式3-2】如图，在正四棱柱中，，垂足为E．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）
由正四棱柱性质可得：，
由平面，平面，所以平面，
又由平面，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）
连接，由正四棱柱可知，平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
【变式3-3】如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.

(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面平面，
平面，

又平面.
取中点，连接，由已知得，
又，
又平面平面，平面.
又平面平面平面.
题型4 面面垂直的性质
例4-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，交于点，连接，
在正方形中，为的中点，又为侧棱的中点，
所以在中，为的中位线，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为分别为侧棱的中点，所以为的中位线，
所以，且，
在是正方形中，，，
所以，且，
所以四边形为梯形，
又平面平面，且平面平面，
在是正方形中，，且平面
所以平面，又平面，
所以，所以，所以梯形为直角梯形；
又，为侧棱的中点，
所以，且，所以梯形的面积为:，
由平面，又平面，
所以，所以，
又，所以平面，即平面，
所以为四棱锥的高，且，
所以四棱锥的体积为：.
例4-2如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面平面，求的值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面，平面，所以平面，
又因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直，
且平面平面，，，平面，
所以面，面，
因为平面，所以，，
则，，
又由，则.
同理可得：.
取中点为，记，则且，
所以，，所以为二面角的平面角，
因为平面平面，则，且，所以，
可得.
方法技巧 面面垂直推线面垂直的思路
先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
【变式4-1】已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】如图，取的中点，连接，
因为，且，
所以，，，
又，平面，故平面，
又平面，所以平面平面，
过点作，垂足为，
又平面平面，平面，
所以平面，即是三棱锥的高，
在中，由等面积法，得，解得，
又，
.
故选：A.
【变式4-2】如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点.
(1)证明：平面
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）因为是半圆弧上一点，所以，即，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
【变式4-4】如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上．

(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）三棱柱中，连接，由点在底面上的射影在上，
得平面平面，而平面平面，
平面，，则平面，
而平面，则，
由，得平行四边形是菱形，则，
又平面，
因此平面，而平面，所以；

题型5 几何法求线面角
例5-1如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在正四棱锥中，平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又平面，则，而，要的面积取得最小值，
当且仅当，此时，
由平面平面，得在平面内射影为，
即是OH与平面ABCD所成的角，，
所以OH与平面ABCD所成角的余弦值为.
故选：C
例5-2如图，在四棱锥中，平面，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，
由于为的中点，所以且，
又且，
因此且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角，
取的中点为，连接，
由于所以，
又平面平面，
所以，平面，
故平面，所以为直线与平面的夹角，
由于，
所以，
由于为锐角，所以，
故直线与平面的夹角为.
方法技巧 几何法求线面角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
【变式5-1】在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【答案】/
【详解】
如图添加辅助线，由于，所以分别为的中点，
又因为，分别为棱，的中点，所以，且，
又因为，且，所以且，
即四边形是平行四边形，又因为，
所以四边形是菱形，即，
又因为，，所以，
即可得，
即四面体是正四面体，取为的中点，
所以可得
又因为平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面，
即直线与平面所成角为，
设正四面体的棱长为，
则，
故答案为：
【变式5-2】如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.
(1)证明：平面；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，是圆柱的两条母线，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
又由（1）知，所以平面
所以为直线与平面所成的角.
设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，
因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得，
又Ｃ为弧的中点，所以，
所以在中，
在中，
所以直线与平面所成角的正切值为.
【变式5-3】如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交.
(1)求证：；
(2)若，，.
（i）证明：平面；
（ii）求直线与平面所成的角.
【答案】(1)见解析
(2)（i）见解析；（ii）.
【详解】（1）直线和直线相交，故四点共面，
四棱锥中，，平面，
平面，故平面，
因为平面平面，平面，
故.
（2）（i），，故，
故，
所以，故，
因为平面，平面，
故，且，平面，
故平面.
（ii）因为，E为的中点，
故F为的中点，且，
故，
因为平面，平面，
故，且，平面，
故平面，
故是直线与平面所成的角，
因为，，
所以
所以即，
故直线与平面所成的角为.
题型6 几何法求面面角
例6-1已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 .
【答案】/
【详解】在正四棱台中，，
令上下底面中心分别为、，连接，则棱台的高为，
取的中点，的中点，连接，
过点作⊥于点，则，
如图所示，侧面与下底面所成二面角的平面角是，
由，
解得，故，，
由勾股定理得，
其正弦值，
即四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为
故答案为：
例6-2如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
(1)证明：平面PAC；
(2)若，求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以.
又因为，平面，平面，所以平面.
（2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 就是二面角 的平面角.
设 ，因为 ，所以 .
在 中，根据勾股定理 .
根据正弦函数的定义，.
所以二面角 的平面角的正弦值为.
方法技巧 几何法求面面角的常见方法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角；
（2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
【变式6-1】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ．
【答案】
【详解】取的中点，连接，
因为，为的中点，则，
由垂径定理可得，
所以二面角的平面角为，
因为平面，平面，所以，
因为，，
所以，，
由题意得平面，则为直线与圆锥底面所成角，即，
则在中，，故，
则，
因为，所以，即二面角的大小为.
故答案为：.
【变式6-2】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【答案】
【详解】过作于，
∵二面角为直二面角，
∴面，面，所以，
取中点，为中点，连接，则，
∵是正三角形，∴，∴，
面，面，，
所以面，面，得，
∴为二面角的平面角，
令，则，
∴，
∴在中,
即二面角的正切值为
【变式6-3】在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.
(1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；
(2)①证明：；
②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析．
(2)①证明见解析．②
【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以，
又平面,平面,所以.
平面，平面平面，
又因为，所以.
（2）
①证明：取的中点，连接,
因为，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面为矩形，且，，的中点，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以；
②在面内过点作的垂线，垂足为，连接，
因为底面为矩形，所以,由题意知平面，
由①知，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以即为所求二面角的平面角．
因为平面，平面，所以，
因为侧面为等边三角形，，所以，
因为，，所以，所以，
同理得，
所以,
在等腰中，
，
在中，由余弦定理．
二面角的余弦值为.
题型7 线面垂直的探索性问题
例7-1如图，长方体中，，，点P为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且
【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故，
又，则底面为正方形，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）令，连接、，由长方体性质可得，
则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角，
，，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为；
（3）存在，且，即点与重合，连接、、，
则，
，
，
有，故，
由平面，平面，故，
又，、平面，故平面，
故在直线上存在点Q使得平面，且.
例7-2如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以，
又因为M是的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，
所以，
点M为的中点，所以，，
所以，
，
设点A到平面的距离为h，则，
所以，解得，
所以点A到平面的距离为.
（2）由（1）可知平面，
因为平面，则平面平面，
在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有，
平面平面，平面，
因此平面，
于是点Q即为所要找的点，
在和中，，即，
所以，因此，
即有，于是，所以.
【变式7-1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点是的中点时，平面.
【详解】（1）取的中点，连结，
因为点分别是和的中点，所以，，
且，，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面；
（2）假设存在点，使平面，
因为，且点是的中点，所以，
且平面，平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，所以四边形是正方形，则；
取的中点，连结，则，
则，，平面，
所以平面，
所以点是的中点时，平面.
【变式7-2】如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点．
(1)求证：平面平面PAB；
(2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC，
所以平面ABC，平面ABC，所以，
又，，所以,
又，所以，
所以，又，是平面内的两条相交直线，
所以平面，又平面，
所以平面平面PAB
（2）
存在，当时，平面BMN，
过点M作垂足为F，
由（1）知平面ABC，平面ABC，所以，
又点M为AC的中点，，
所以，，是平面内的两条相交直线，
所以平面，又平面，
所以，，是平面BMN内的两条相交直线，
所以平面BMN，
由已知得，又，
即，又，
所以，所以，
故当时，平面BMN，
【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：取中点，连接、.
因为、分别是、的中点，
所以且.
在平行四边形中，且，
因为是的中点，所以且.
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：当点为线段的中点时，平面，理由如下：
取的中点，连接、.
因为，，，所以，平面，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，则平面，
又因为平面，，所以，平面平面，
所以，平面.
故当点是线段的中点时，平面，此时，.
题型8 面面垂直的探索性问题
例8-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）由侧面是正三角形，M是的中点，得，
由正方形，得，而平面平面，平面平面，
且平面，则平面，又平面，于是，
而平面，
所以平面.
（2）取的中点，的中点，连接，连接，连接，连接，

于是，由正方形，得，则，令，
显然是正的中心，，，
又平面平面，平面平面，则平面，
平面，即有，而平面，
则平面，平面，在平面内过作交于，
显然，而平面，因此平面，
连接并延长交于，连接，于是平面平面，
过作，则有，，，
，，则，又，，
从而点是线段的中点，，过作交于，
于是，即，显然，因此，
所以在棱上存在点N使平面平面成立，.
例8-2如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面．
因为平面，所以.
因为是等边三角形，D为的中点，所以.
因为，平面，且，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，则，
则是异面直线与CD所成的角或补角.
设，则，，，，
故，
即异面直线与CD所成角的余弦值为.
（3）在中，作，垂足为E.
因为平面，且平面，
所以.
因为平面，且，
所以平面.
因为平面BCE，所以平面平面.
设，则，，故.
因为，
所以，
则，，
所以.
故在上存在点E，使得平面平面，此时.
【变式8-1】如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在；点为线段中点.
【详解】（1）设四棱锥的体积为，正方形的面积为，
则：.
故四棱锥的体积为：.
（2）存在，点为线段中点，理由如下：
取的中点，取中点，连接、，如下图：
因为、分别为、的中点，所以：，，
所以：，所以：四边形为平行四边形，所以：，
因为底面，平面，所以：，
又因为底面为正方形，所以：，且，平面，
所以：平面，因为：平面，所以：，
又因为：，点为中点，所以：，
又因为：，平面，所以：平面，
又因为：，所以：平面，
又因为：平面，所以：平面平面.
故当点为的中点时，平面平面.
【变式8-2】（ 2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且点为棱的中点
【详解】（1）证明：取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
（2）解：当点为的中点时，平面平面，

因为四边形为矩形，则，因为，则，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
因此，当点为的中点时，平面平面.
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°，
由余弦定理得，
∵，
∴．
同理，在三棱台中，，，
∵，
∴，∴，
∴，，
设三棱台的高为，
由，解得h=2．
又∵，故为三棱台的高，
∴平面ABC，AB 平面ABC，
∴，，，平面，
∴平面，
又，
∴平面．
（2）如图，过点C作于点H，
由（1）知平面，平面，
∴，，
∴平面．
连接，则为与平面所成角，记为θ，
∵平面，平面，
∴，
∵，，
∴．
在直角梯形中，，，
∴，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为．
九、未命名题型
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°，
由余弦定理得，
∵，
∴．
同理，在三棱台中，，，
∵，
∴，∴，
∴，，
设三棱台的高为，
由，解得h=2．
又∵，故为三棱台的高，
∴平面ABC，AB 平面ABC，
∴，，，平面，
∴平面，
又，
∴平面．
（2）如图，过点C作于点H，
由（1）知平面，平面，
∴，，
∴平面．
连接，则为与平面所成角，记为θ，
∵平面，平面，
∴，
∵，，
∴．
在直角梯形中，，，
∴，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为．
1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和，
所以.
因为平面，平面，所以，
因为，平面，，
所以平面，因为平面，所以，.
同理：，又，故四边形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因为，
所有棱长之和为.
故选：C
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图，底面为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设，
分别取的中点，连接，
则，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
过作的垂线，垂足为，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由题意可得：，则，即，
则，可得，
所以四棱锥的高为.
故选：D.
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，则，则，
因为是正三角形，为中点，则，则
又，
所以，
则不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱中，平面，
又平面，则，
因为是正三角形，为中点，则，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于D，因为在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故D正确；
对于C，因为在正三棱柱中，，
假设，则，这与矛盾，
所以不成立，故C错误；
故选：BD.
4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【答案】(1)证明见解析.
(2)
【详解】（1）证明：因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
（2）如图，

过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的高为.
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，,
又因为,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．
(1)证明：平面平面；
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）由题意证明如下，
在四棱锥中，⊥平面，，
平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
8．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵平面，∴平面；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，即，
设平面与平面的夹角为，
则；
（3）由（1）知平面，平面，∴，
易知，
又，则D到平面的距离为，
由棱锥的体积公式知：.
1．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明：在正三棱柱中，且为棱的中点，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以
2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。
【详解】证明：∵底面是正方形，
.
平面，平面，
.
又，平面，平面.
平面.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。
3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？
【答案】底面四边形的两对角线垂直时
【详解】解：当底面四边形的两对角线垂直时，可得到.
证明如下：如图，连接.
∵在直四棱柱D中，
平面，面，
.
若，又，
平面.
平面，
.
而直四枝柱中，
显然，
.
【点睛】本题考查了线面垂的判定定理，本题主要通过开放的形式来考查，具有灵活性。
4．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】根据定理先证明，得平面，即可得证面面垂直.
【详解】证明：∵在正三棱柱中，D为的中点，为正三角形，
.
又在正三棱柱中，平面，平面，
.
，平面，平面.
平面.
平面，∴平面平面.
【点睛】此题考查面面垂直的证明，关键在于根据几何体特征，准确证明出线面垂直，即可证明面面垂直.
5．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
【答案】作图见解析；.
【详解】解：如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM.
为二面角V-AB-C的平面角
根据已知条件可得.
在中，由余弦定理
∴二面角V-AB-C的余弦值等于.
【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则.
6．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
【答案】直线DE与平面VBC垂直，理由见解析
【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证.
【详解】解：直线DE与平面VBC垂直
理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角.
由AB是的直径，知.
因此，平面平面VBC.
由两个平面垂直的性质定理，
平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC，
可知直线AC与平面VBC垂直，
由D，E分别是VA，VC的中点，知，
所以直线DE与平面VBC垂直.

展开更多......

收起↑