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第04讲 随机事件、频率与概率
目录
01 常考题型过关练
题型01 随机事件之间关系的判断
题型02 随机事件的概率
题型03 互斥事件与对立事件的判断
题型04互斥事件与对立事件的概率
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 随机事件之间关系的判断
1．下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔
【答案】D
【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象
故选：D
2．以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（多选）下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天是阴天
B．方程有两个不相等的实数根
C．明年长江武汉段的最高水位是
D．一个三角形的大边对小角，小边对大角
【答案】AC
【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意；
对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意；
对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意；
对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意；
故选：AC．
4．（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（ ）
A．5件都是正品 B．至少有1件次品
C．有3件次品 D．至少有3件正品
【答案】AB
【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确，
在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，
则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；
在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.
故选：AB
5．给出下列五个事件：①某地2月3日将下雪；②若，则；③实数的绝对值不小于0；④若实数a，b都不为0，则；⑤若，则．其中必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 ．
【答案】 ③⑤ ④ ①②
【详解】①随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪；②随机事件，若，则或；③必然事件，实数的绝对值非负；④不可能事件；⑤必然事件，若，则恒成立．
6．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动．
(1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围；
(2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件.
已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人.
要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生.
因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生.
所以可知的范围是.
（2）随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件.
要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足：
抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况;
抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到，
此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件.
所以的取值范围是.
7．判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
【答案】(1)确定性现象
(2)确定性现象
(3)确定性现象
(4)随机现象
(5)随机现象
【详解】（1）导体通电时，发热；一定发生，是确定性现象；
（2）抛一块石头，下落；一定发生，是确定性现象；
（3）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；一定不发生，是确定性现象；
（4）掷一枚硬币，出现正面；可能发生，也可能不发生，是随机现象；
（5）某人射击一次，中靶；可能发生，也可能不发生，是随机现象．
02 随机事件的概率
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
频率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
则该班成绩在内的概率为 .
【答案】/
【详解】根据测验成绩进行统计表，可得该班成绩在内的概率为.
故答案为：
9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ．
【答案】 0.21/ 0.18/
【详解】赔付金额大于投保金额的频率为，
估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21，
在样本车辆中，车主是新司机的占15%，
故投保的新司机人数为，
在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为.
故答案为：0.21，0.18
10．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为 ，成绩优秀的经验概率是 ．
【答案】 100 0.15/
【详解】因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，
所以第二小组的频率为，
因为第二小组的频数是40，所以参赛的人数为，
因为80分以上的频率为，
所以成绩优秀的经验概率是.
故答案为：100，
11．某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
【答案】
【详解】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内．
由频率分布表知，频率为，
所以直径误差不超过的概率约为.
故答案为：
12．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：


据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
【答案】/
【详解】组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是、、、、，
其频率为，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.
故答案为：
13．甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是 .
【答案】④
【详解】①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜,
由于抛一枚骰子，向上的点数为奇数和偶数的可能性是相同的，故游戏公平；
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，
因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是，故游戏公平；
③一副不含大、小王的扑克牌中各有红色牌和黑色牌26张，
故从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色或者黑色的可能性相同，
故扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜，游戏公平；
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率为，两枚都是正面向上的概率为，
则同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．游戏不公平，
故答案为：④
14．下列说法：
①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；
②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中，正确的有 .(填序号)
【答案】③．
【详解】解：①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的频率为0.55，而概率是随着试验次数增加频率趋于稳定的一个估计值，即①错误；
②买彩票中奖的概率为0.001，并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，即每次中奖的概率都是0.001，即②错误；
③这种抽取方法抽到每个签的概率均为，所以公平，即③正确；
④昨天气象局的天气预报降水概率是，是指可能性非常大，并不一定会发生，即④错误．
故答案为：③．
15．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.
商品类型 播放器每天平均产量 播放器每天平均故障率
影片播放器 3000 4%
音乐播放器 9000 3%
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是 .
【答案】③
【详解】①每天生产的播放器有是影片播放器，故①错误；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；
③因为音乐播放器的每天平均故障率3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确.
故答案为③
【点睛】本题考查概率概念的理解，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
03 互斥事件与对立事件的判断
16．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件
【答案】D
【详解】样本空间为，，
对于A，由于，所以不互斥，故A错误；
对于B，，所以不互斥，更加不可能对立，故B错误；
对于C，，所以不互斥，故C错误；
对于D，因为，所以C，D为对立事件，故D正确.
故选：D.
17．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件
C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
【答案】B
【详解】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；
对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；
对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；
对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.
故选：B．
18．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件
【答案】D
【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，
则样本空间为，
事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3，
事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6，
由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误；
B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6，
结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误；
C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5，
结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误；
D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6，
结合C选项，，且，
所以D，E为对立事件，D正确.
故选：D
19．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】C
【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；
至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误；
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确；
至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误.
故选：C.
20．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故选：B
21．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，
对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，
对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，
对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，
故选：B.
22．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故A错误；
B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与不是对立事件，故B错误；
C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件，
而，故与是对立事件，故C错误；
D中，因为彼此互斥，故与互斥事件，
而，故与是对立事件，故D正确；
故选：D.
23．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
【答案】B
【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误；
对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确；
对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误；
对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误．
故选：B．
04互斥事件与对立事件的概率
24．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
【答案】C
【详解】因为，事件与对立，
所以，
又，与互斥，
所以，
故选：C.
25．甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（ ）
A．0.517 B．0.42 C．0.46 D．0.348
【答案】D
【详解】设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（ ）.
，
，
.
故选：D
26．已知事件，互斥，若，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于事件，互斥，
则，
所以，选项A正确.
故选：A
27．已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：记事件：李伟成绩高于80分，：李伟成绩不低于60分且不高于80分，
所以，与互斥，且，.
因为“李伟成绩不低于60分”可表示为，
所以，由与互斥可知.
故选：D
28．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由与互为对立，则，
又与互斥，则.
故选：B.
29．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
【答案】C
【详解】由和对立，可得，解得，
又∵随机事件和互斥，，
∴．
故选：C．
30．甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.7，乙中靶的概率为0.8，则事件“恰好有一人中靶”的概率为（ ）
A．0.56 B．0.62 C．0.38 D．0.44
【答案】C
【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为.
故选：C.
31．小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为，
此游戏被闯关成功的概率为，
则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为，
故选：B．
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件
【答案】A
【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，，
显然，，因此事件与相互独立，A正确；
对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误；
对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误；
对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误.
故选：A
2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
【答案】A
【详解】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
3．（2024·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
【答案】B
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件有共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件有共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C：表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D：与不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
5．（多选）（24-25全国·模拟预测）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件 与 相互独立 D．
【答案】ABD
【详解】依题意，，，.
对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确；
对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确；
对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误；
对于D，因，故，故D正确.
故选：ABD.
1．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】甲不输包含甲赢和甲、乙和棋，
所以甲不输概率为
故选：A.
2．（2017·全国·高考真题）在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：
(1)抽取的3件产品全部是一级品的概率；
(2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，则事件A的概率.
（2）记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，则事件的概率，
所以抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率.
3．（2020·全国I卷·高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
【答案】（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 随机事件、频率与概率
目录
01 常考题型过关练
题型01 随机事件之间关系的判断
题型02 随机事件的概率
题型03 互斥事件与对立事件的判断
题型04互斥事件与对立事件的概率
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 随机事件之间关系的判断
1．下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔
2．以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
3．（多选）下列事件是随机事件的是（ ）
A．明天是阴天
B．方程有两个不相等的实数根
C．明年长江武汉段的最高水位是
D．一个三角形的大边对小角，小边对大角
4．（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（ ）
A．5件都是正品 B．至少有1件次品
C．有3件次品 D．至少有3件正品
5．给出下列五个事件：①某地2月3日将下雪；②若，则；③实数的绝对值不小于0；④若实数a，b都不为0，则；⑤若，则．其中必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 ．
6．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动．
(1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围；
(2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围．
7．判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一块石头，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)某人射击一次，中靶．
02 随机事件的概率
8．对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：
分数段
频率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
则该班成绩在内的概率为 .
9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ．
10．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为 ，成绩优秀的经验概率是 ．
11．某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下：
分组 频数 频率
10 0.10
20 0.20
50 0.50
20 0.20
合计 100 1.00
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ．
12．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、9、0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：


据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
13．甲、乙两人做下列4个游戏：
①抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜．
②甲乙在进行乒乓球比赛之前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球．
③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜．
④同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜．
在上述4个游戏中，不公平的游戏是 .
14．下列说法：
①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55；
②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的.
其中，正确的有 .(填序号)
15．某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复. 下表显示各播放器每天制造的平均数量以及平均故障率.
商品类型 播放器每天平均产量 播放器每天平均故障率
影片播放器 3000 4%
音乐播放器 9000 3%
下面是关于公司每天生产量的叙述:
①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；
②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；
③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.
上面叙述正确的是 .
03 互斥事件与对立事件的判断
16．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，C为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．A，D为互斥事件 D．C，D为对立事件
17．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件
C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
18．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件
19．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生
C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
20．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
21．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
22．在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　）
A．与是互斥事件，也是对立事件
B． 与是互斥事件，也是对立事件
C． 与是互斥事件，但不是对立事件
D．与是互斥事件，也是对立事件
23．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（ ）
A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球
B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球
C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球
D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球
04互斥事件与对立事件的概率
24．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
25．甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（ ）
A．0.517 B．0.42 C．0.46 D．0.348
26．已知事件，互斥，若，.则（ ）
A． B． C． D．
27．已知数学考试中，李伟成绩高于80分的概率为0.25，不低于60分且不高于80分的概率为0.5，则李伟不低于60分的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A． B． C． D．
29．已知随机事件和互斥，和对立，且，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6
30．甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.7，乙中靶的概率为0.8，则事件“恰好有一人中靶”的概率为（ ）
A．0.56 B．0.62 C．0.38 D．0.44
31．小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件
2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件
C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件
3．（2024·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
4．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
5．（多选）（24-25全国·模拟预测）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件
C．事件 与 相互独立 D．
1．（2016·天津·高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·全国·高考真题）在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：
(1)抽取的3件产品全部是一级品的概率；
(2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率．
3．（2020·全国I卷·高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务

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