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第04讲 随机事件、频率与概率
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 概率与频率 3
知识点2 事件的运算 4
知识点3 事件的关系 4
题型破译 5
题型1 随机事件之间关系的判断 5
题型2 随机事件的概率 7
【方法技巧】用频率估计概率
题型3 互斥事件与对立事件的判断 9
【方法技巧】互斥事件与对立事件的判断
题型4 互斥事件与对立事件的概率 11
【方法技巧】互斥事件与对立事件的概率
04真题溯源·考向感知 14
05课本典例·高考素材 15
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）样本空间和随机事件 （2）两个事件的关系和运算 （3）频率与概率 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年北京卷第18题（1），4分 2024年上海卷第19题（1）、（2），9分 2024年北京卷第18题（1），4分 2023年全国新课标Ⅱ卷第12题 5分
考情分析： 本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．
复习目标： （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． （2）理解事件间的关系与运算．
知识点1 概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.
自主检测下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
【答案】D
【详解】对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误；
对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误；
对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误；
对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确.
故选:D.
知识点2 事件的运算
定义 符号表示 图示
并事件 事件与事件至少一个发生，称这个事件为事件与事件的并事件（或和事件） 或者
交事件 事件与事件同时发生，称这个事件为事件与事件的交事件（或积事件） 或者
自主检测已知随机事件和相互独立，且，则（ ）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.78
【答案】A
【详解】因为事件和相互独立，,
故，
所以.
故选：A.
知识点3 事件的关系
定义 符号表示 图示
包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件) (或)
互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)
对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为 ， 且.
自主检测（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（ ）
A．与互斥 B．，
C． D．，为对立事件
【答案】ABC
【详解】由题知与不可能同时发生，所以与互斥，A正确；
事件包含基本事件，事件包含基本事件，
因此，，B正确；
事件包含基本事件，故，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误．
故选：ABC
题型1 随机事件之间关系的判断
例1-1下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；
由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件；
而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；
函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生.
根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.
故选：C.
例1-2判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析.
【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象；
（2）明天上海局部地区下雨是随机现象；
（3）明年小明又大一岁是确定性现象.
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象.
如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象；
掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象.
【变式训练1-1】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B．
【变式训练1-2】下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾
C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【答案】A
【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是；
对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是；
对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是；
对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是.
故选：A
【变式训练1-3】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【答案】D
【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意；
对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意；
对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意；
对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意.
故选：D.
题型2 随机事件的概率
例2-1为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表：
组别
人数 13 43 36 8
根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ．
【答案】0.44/
【详解】因为身高高于170cm的频率为，
抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44.
故答案为：0.44
例2-2对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
(1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率；
(2)估计元件的寿命在以上的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因表中200个电子元件的寿命在（单位：h）内的频率为，
故由此估计元件的寿命在（单位：h）内的概率为；
（2）因表中200个电子元件的寿命在以上的频率为，
故由此估计元件的寿命在以上的概率为.
方法技巧 用频率估计概率
（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
【变式训练2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：cm）
人数 18 21 39 22
用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40
【答案】C
【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人，
所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率．
故选：C
【变式训练2-2】某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人，
则被抽到的概率为；
法二：一个班抽取的人数为，
则被抽到的概率为.
故选：B.
【变式训练2-3】某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数；
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85
【答案】A
【详解】设事件为 “甲获胜”，
20组随机数，其中事件发生了18次，
.
故选：A.
题型3 互斥事件与对立事件的判断
例3-1某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生
C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生
【答案】D
【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误
B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误
C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误
D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确.
故选：D
例3-2投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ）
A．A为必然事件 B．B为不可能事件
C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件
【答案】C
【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件.
故选：C.
方法技巧 互斥事件与对立事件判断
1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式训练3-1】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ）
A．和不互斥 B．和互斥且不对立
C．和不互斥 D．和互斥且不对立
【答案】D
【详解】这个试验的样本空间为，
则和互斥且对立，和互斥且但不对立．
故选：D.
【变式训练3-2】从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球
【答案】C
【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球，
对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球，
A选项中的两个事件不是互斥事件；
对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球，
B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球，
故B选项中的两个事件不是互斥事件；
对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立；
对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件.
故选：C.
【变式训练3-3】（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ）
A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球”
C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球”
【答案】AB
【详解】从口袋内一次取出2个球，这个试验的样本空间 (白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，包含6个基本事件，
当事件“两球都为白球”发生时，事件“两球都不是白球”和事件“两球恰有一白球”不可能发生，满足互斥事件的定义，
且“两球都为白球”不发生时，事件“两球都不是白球”不一定发生，事件“两球恰有一白球”不一定发生，故非对立事件，故A、B正确；
“两球都为白球”发生时，事件“两球至少有一个白球”可以发生，故不是互斥事件，故C错误；
事件“两球不都是白球”意思是“两球至少有一个不是白球”与事件“两球都是白球”是对立事件，
故D错误.
故选：AB
题型4 互斥事件与对立事件的概率
例4-1某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若第一局为A，B两队比赛，则A队进入决赛的概率，
若第一局为A，C两队比赛，则A队进入决赛的概率，
若第一局为B，C两队比赛，则A队进入决赛的概率．
综上，所求概率．
故选：C.
例4-2甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，那么两人中恰有一人合格的概率是 ．
【答案】
【详解】将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况，
，
，
．
故答案为：
方法技巧 互斥事件与对立事件的概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．
【变式训练4-1】已知事件互斥，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可知：事件互斥，则，又，
所以，则.
故选：D
【变式训练4-2】已知事件与互斥，事件、同时发生的概率为，且，则 ．
【答案】
【详解】由题意知，
因为，所以，
事件与互斥，则，
由，解得，
所以；
故答案为：.
【变式训练4-3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽1题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为．
（2）设甲、乙两人中至少有一人抽到选择题为事件，则对立事件为两人均抽到判断题，
故．
1．（2018·全国III卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【详解】设事件A为不用现金支付，
则
故选：B.
2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
3．（2019·全国II卷·高考真题）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
1．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
【答案】公平，理由见解析
【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是.
【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决策游戏的公平性，关键在于准确求出概率.
2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.
【答案】(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)答案见解析.(4)答案见解析.
【详解】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为.
(2)“取出的球是白球”是随机事件事件,它的概率是.
(3)“取出的球是白球或是黑球”是必然事件,它的概率是
(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.
7 6 8 4 1
3 8 1 6 4
8 6 8 4 8
8 4 6 2 1
5 1 5 5 2
2 8 3 6 5
9 4 3 5 7
9 7 9 5 3
3 4 4 3 4
4 8 4 9 2
4 9 2 1 1
6 4 5 5 2
7 8 4 3 4
9 6 9 8 4
6 7 5 8 9
9 4 8 6 8
7 3 7 1 3
8 3 2 6 6
4 3 1 7 7
2 2 4 9 5
从表中可以查1-4数据有46个, 5-9数据有54个.
“取出的球是白球”的概率为:
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.
四面体的面 1 2 3 4
频数 22 18 21 39
【答案】0.21
【详解】解：标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计100值为0.21.
【点睛】此题考查频率与概率的关系，用频率估计概率.
4．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；
（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表.
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.
【答案】（1）相等；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【详解】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；
（2）通过试验统计得：（结果不唯一）
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别不大，
两种摸球方式频率：的频率差别很小，无论放回不放回，不影响
的概率略有影响，因为试验次数较少，频率相比概率有一定偏差.
5．“用事件A发生的频率，估计概率，重复试验次数n越大,估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明
【答案】错误，举例说明见解析
【详解】解：这种说法是错误的，重复试验的次数n越大，越有可能得到较准确的估计，但不能保证估计越精确，如历史上的抛硬币试验，见下表.
试验者 总抛掷次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
德·摩根 4092 2048 0.5005
蒲丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 24000 12012 0.5005
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 随机事件、频率与概率
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01考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 概率与频率 3
知识点2 事件的运算 4
知识点3 事件的关系 4
题型破译 5
题型1 随机事件之间关系的判断 5
题型2 随机事件的概率 6
【方法技巧】用频率估计概率
题型3 互斥事件与对立事件的判断 8
【方法技巧】互斥事件与对立事件的判断
题型4 互斥事件与对立事件的概率 8
【方法技巧】互斥事件与对立事件的概率
04真题溯源·考向感知 10
05课本典例·高考素材 11
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）样本空间和随机事件 （2）两个事件的关系和运算 （3）频率与概率 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年北京卷第18题（1），4分 2024年上海卷第19题（1）、（2），9分 2024年北京卷第18题（1），4分 2023年全国新课标Ⅱ卷第12题 5分
考情分析： 本节内容是概率的基础知识，考查形式可以是选择填空题，也可以在解答题中出现．出题多会集中在随机事件的关系以对应的概率求解．整体而言，本节内容在高考中的难度处于偏易．
复习目标： （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别． （2）理解事件间的关系与运算．
知识点1 概率与频率
一般地,随着试验次数的 ,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率 会逐渐稳定于事件发生的 .我们称频率的这个性质为频率的 .因此,我们可以用频率来估计概率.
自主检测下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
知识点2 事件的运算
定义 符号表示 图示
并事件 事件与事件至少一个发生，称这个事件为事件与事件的 （或和事件）
交事件 事件与事件同时发生，称这个事件为事件与事件的 （或积事件）
自主检测已知随机事件和相互独立，且，则（ ）
A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.78
知识点3 事件的关系
定义 符号表示 图示
包含关系 一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)
互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称 (或互不相容)
对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称 ，事件的对立事件记为 ， 且.
自主检测（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：“所有样本空间”，“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”，则（ ）
A．与互斥 B．，
C． D．，为对立事件
题型1 随机事件之间关系的判断
例1-1下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
例1-2判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【变式训练1-1】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①2020年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④向量的模不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-2】下列现象是随机现象的是（ ）
A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾
C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起
【变式训练1-3】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
题型2 随机事件的概率
例2-1为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表：
组别
人数 13 43 36 8
根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ．
例2-2对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命
个数 20 30 80 40 30
(1)估计元件的寿命在（单位：h）内的概率；
(2)估计元件的寿命在以上的概率．
方法技巧 用频率估计概率
（1）概率与频率的关系
（2）随机事件概率的求法
【变式训练2-1】在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表：
降落时距靶心距离（单位：cm）
人数 18 21 39 22
用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40
【变式训练2-2】某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数；
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲获胜的概率为（ ）
A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85
题型3 互斥事件与对立事件的判断
例3-1某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生
C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生
例3-2投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ）
A．A为必然事件 B．B为不可能事件
C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件
方法技巧 互斥事件与对立事件判断
1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．
2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
【变式训练3-1】从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ）
A．和不互斥 B．和互斥且不对立
C．和不互斥 D．和互斥且不对立
【变式训练3-2】从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（ ）
A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球
C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球
【变式训练3-3】（多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个（ ）
A．事件“两球都不是白球” B．事件“两球恰有一白球”
C．事件“两球至少有一个白球” D．事件“两球不都是白球”
题型4 互斥事件与对立事件的概率
例4-1某乒乓球比赛的友谊赛规则为：每组三支球队，先抽签决定第一局上场比赛的两支球队，第一局输的球队淘汰，获胜的球队与轮空的球队进行第二局比赛，第二局获胜的球队进入决赛.若A，B，C三支球队分在同一组，每局比赛相互独立且无平局，A队战胜B队的概率为，B队战胜C队的概率为，C队战胜A队的概率为，则A队进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
例4-2甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，那么两人中恰有一人合格的概率是 ．
方法技巧 互斥事件与对立事件的概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．
【变式训练4-1】已知事件互斥，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】已知事件与互斥，事件、同时发生的概率为，且，则 ．
【变式训练4-3】甲、乙两人参加普法知识竞赛，其中有6道选择题，4道判断题，甲、乙两人依次各抽1题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
1．（2018·全国III卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
3．（2019·全国II卷·高考真题）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
1．用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
2．盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.
3．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.
四面体的面 1 2 3 4
频数 22 18 21 39
4．在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件“第i次摸到红球”，i=1，2，3.
（1）在两种摸球方式下分别猜想事件发生的概率的大小关系；
（2）重复做10次试验，求事件发生的频率，并填入下表.
放回摸球 不放回摸球
（3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率差别大吗？在不放回摸球方式下，事件的频率差别大吗？请说明原因.
5．“用事件A发生的频率，估计概率，重复试验次数n越大,估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明

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