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第05讲 对数与对数函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 指数与对数的互化及对数运算
题型02 换底公式
题型03 定义域和解析式
题型04指对运算的应用
题型05 对数函数的概念与图象
题型06 比较对数式的大小
题型07 解对数方程和不等式
题型08 对数复合函数的单调性
题型09 对数函数性质的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 指数与对数的互化及对数运算
1．已知，且，则（ ）
A．2或8 B．或8 C．8 D．64
2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
5．计算：
(1)；
(2)
02 换底公式
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“”的否定为“”
B．“”是“”的必要条件
C．若，则
D．
8．若，则的值为 .
03 定义域和解析式
9．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
10．在对数式中，实数的取值范围应该是（ ）
A． B．且 C． D．且
11．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为 ．
12．已知函数（，且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若，求实数x的值．
04 指对运算的应用
13．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的值域是
C．对任意 D．若，且，则
14．若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．
15．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：
16．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍．
17．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完， 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.
05 对数函数的概念与图象
18．函数的图象经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
19．函数与的图象只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
20．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
21．已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．
06 比较对数式的大小
23．设，，（ ）
A． B． C． D．
24．若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
25．设，则（ ）
A． B． C． D．
26．比较下列各组值的大小．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，．
07 解对数方程和不等式
27．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
28．已知全集，集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．若且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 .
08 对数复合函数的单调性
32．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（多选）函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为 C．为增函数 D．为非奇非偶函数
34．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（多选）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的增区间为，减区间为
C．函数的值域为
D．若，则实数的取值范围为
09 对数函数性质的综合应用
36．设函数．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
37．设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
39．已知函数，若不等式与的解集相同，则 .
1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
2．（多选）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．设、、，则（ ）.
A． B． C． D．
5．（多选）已知实数，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数为偶函数，则实数 .
1．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 对数与对数函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 指数与对数的互化及对数运算
题型02 换底公式
题型03 定义域和解析式
题型04指对运算的应用
题型05 对数函数的概念与图象
题型06 比较对数式的大小
题型07 解对数方程和不等式
题型08 对数复合函数的单调性
题型09 对数函数性质的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 指数与对数的互化及对数运算
1．已知，且，则（ ）
A．2或8 B．或8 C．8 D．64
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解.
【详解】因为，
，
令，
所以，解得或（不符合题意舍去），
所以，解得.
故选：C
2．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AD
【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可.
【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，
对于A，可化为，故A正确，
对于B，可化为，故B错误，
对于C，可化为，故C错误，
对于D，可化为，故D正确.
故选：AD
3．若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由指数式对数式互化公式把，解出来代入即可.
【详解】由 ，得 ；由 ，得 ；
因此，
.
故选：C
4．将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.
【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，
对于，可化为.
（2）对于，可化为.
（3）对于，可化为.
（4）对于，可化为.
5．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
02 换底公式
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解.
【详解】由题意有，，
所以，
故选：A.
7．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．“”的否定为“”
B．“”是“”的必要条件
C．若，则
D．
【答案】ABC
【分析】本题可根据全称命题的否定、必要条件的定义、对数的换底公式以及两角和的正弦公式来逐一分析选项即可.
【详解】对于A，命题“”，其否定为“”， 故A正确；
对于B，由能推出，所以“”是“”的必要条件，故B正确；
对于C， 已知，可得，所以，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：ABC.
8．若，则的值为 .
【答案】
【分析】由换底公式结合对数定义可得答案.
【详解】，则.
故答案为：
03 定义域和解析式
9．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对数函数的性质结合复合函数的定义域可得.
【详解】要使有意义，必须解得：．
故选：C.
10．在对数式中，实数的取值范围应该是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解．
【详解】由题意得，解得且.
故选：D.
11．若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】设，由条件求出，进而可得它的反函数．
【详解】设（且），
∵函数经过点，即，即，
∴，，
∴它的反函数的解析式为．
故答案为：．
12．已知函数（，且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若，求实数x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为（，且）的图象过点，所以，所以．又且，所以．
（2），其中且，即，
所以的定义域为．
（3）因为，所以，即，解得．
又因为即，所以
04 指对运算的应用
13．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的值域是
C．对任意 D．若，且，则
【答案】BD
【详解】由题意可得作出的图象，如图.则可知A错误，B正确.当时，，所以C错误.若，且，则，可得，则，所以D正确.
14．若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．
【答案】B
【分析】先判断的大致范围，再求之间的关系，最后应用利用“1”的代换及基本不等式求最值.
【详解】令，因为，所以．
若，则，此时显然不符合题意．
当时，令，得，令，得，
若，则当时，，，
所以，所以不符合题意，故．
因为，
当时，，所以，则，
当时，，所以，则，
故，即．
（另解：在处变号，在处变号，若，则，即），
所以，当且仅当，时等号成立.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据已知不等式恒成立得到为关键.
15．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：
【答案】4
【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.
【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，
由题意得，即，得.
因为，
所以,故.
故答案为：4
16．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍．
【答案】10
【分析】根据题中给出的关系式求出9.0级地震释放的能量与8.0级地震释放能量的比即可．
【详解】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为
则 ，
即 ．
那么2011年地震的能量是2008年地震能量的10倍．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了对数函数的应用，以及对数的运算，属于基础题．
17．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完， 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.
【答案】7
【分析】根据题意列出对数不等式，根据对数函数的单调行进行求解即可.
【详解】设天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
则有，
所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
故答案为：7
05 对数函数的概念与图象
18．函数的图象经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，确定函数的图象经过的定点.
【详解】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是.
故选：C
19．函数与的图象只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得.
【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错；
B中，由的图象知，则为减函数，B错；
C中，由的图象知，则为减函数，所以C对；
D中，由的图象知，此时无意义，D错．
故选：C.
20．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据对数函数单调性分析判断即可.
【详解】由题意可知：函数在定义域内单调递增，
结合选项可知：ABC错误，D正确.
故选：D.
21．已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简对数型函数后可得正确的选项.
【详解】因，故，故，
而与关于对称，
各选项中只有B满足，
故选：B.
22．已知函数（，）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】通过对数函数的性质求出定点的坐标，再将点坐标代入函数求出的值，最后把代入得出结果.
【详解】对于函数，因为恒成立.
令，解得
把代入函数，解得.
所以函数过定点.
，.
故.
所以．
故答案为：.
06 比较对数式的大小
23．设，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数的运算和指数函数的单调性比较可得.
【详解】，，，
所以.
故选：D
24．若，，则实数、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序.
【详解】由题意可得，，可得，，
因为对数函数为上的增函数，则，
幂函数在上为增函数，则，
故.
故选：D.
25．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性，分数指数幂的运算，估计各数值的大致范围，再比较大小.
【详解】由，得，
由，得，
由，可知，
综上得：.
故选：C.
26．比较下列各组值的大小．
(1)，；
(2)，，；
(3)，，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用对数函数的性质分别与0比较大小即可得解；
（2）根据指数函数、对数函数的性质分别通过“1”、“0”为桥梁比较大小；
（3）相比较倒数的大小，即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以．
（2）因为，，，
所以．
（3）因为，
所以．
07 解对数方程和不等式
27．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，即.
，即，
所以.
故选：A
28．已知全集，集合，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合，再利用集合的包含关系列式求解.
【详解】依题意，，，或，
由，得，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
29．若且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，则有或解得．
30．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，，，
则函数是上的奇函数，而函数在上都单调递减，
因此在上单调递减，不等式，则，
解得，所以所求解集是.
故选：B
31．已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可.
【详解】根据题意可得只需即可，
由题可知为对数底数且或，
当时，此时在各自定义域内都有意义，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以，
即，无解，
所以不符合题意；
当时，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
08 对数复合函数的单调性
32．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围.
【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
33．（多选）函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为 C．为增函数 D．为非奇非偶函数
【答案】ABD
【详解】选项A，由，得，所以A正确；选项B，，由，得，所以，所以B正确；选项C，在定义域内单调递减，在定义域内单调递减，所以C错误；选项D，定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以D正确．
34．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可.
【详解】当时，，其在上单调递增，
若在单调递增，，所以.
故选：D．
35．（多选）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的增区间为，减区间为
C．函数的值域为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A利用偶函数的定义；B利用复合函数的单调性求出在上的单调性，再利用对称性即可；C先求出当时，即可得出的范围，再结合对称性即可；D利用以及对称性和单调性即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
由，有，
可得函数为偶函数，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
由函数在上单调递增，在上单调递增，
可得函数在上单调递增（复合函数的单调性），
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
故B选项正确；
对于C选项，当时，由，得，有，
可得，
又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；
对于D选项，由及函数是偶函数，
且函数的增区间为，减区间为，
，可得，故D选项正确．
故选：ABD.
09 对数函数性质的综合应用
36．设函数．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质得的正负，从而得到的正负，进而得到，转化为二次函数最值问题.
【详解】函数的定义域是，
当，得，，得，
当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则，
当时，，则恒成立，又在区间单调递增，则，
由，得，则，
所以，当，时，的最小值为.
故选：B
37．设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围.
【详解】命题：，的定义域是，
即对于任意，恒成立.
当时，不恒成立.
当时，二次函数要恒大于，
则需满足.
解不等式，可得.
所以当命题为真时，.
命题：，的值域是，
这意味着能取遍所有大于的值.
当时，能取遍所有大于的值.
当时，二次函数的图象开口向上，
要使其能取遍所有大于的值，则需，
解不等式可得，即.
当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值，
所以当命题为真时，.
命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题.
当为假命题时，；当为假命题时，或.
所以，都为假命题时，.
那么命题，中至少有一个是真命题时，，即.
故选：D.
38．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得．
39．已知函数，若不等式与的解集相同，则 .
【答案】
【分析】由求得，利用换元法，得到，由此列不等式来求得.
【详解】由，即，可得，解得.
令，由，可得，
即.
由题知解得t＝9.
故答案为：
1．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，即，
所以，
所以所需的训练迭代轮数至少为次．
故选：C.
2．（多选）已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ）
A．的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C．的取值范围是
D．函数有4个零点
【答案】ACD
【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可．
【分析】作出函数的图象，如图所示：
对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确；
对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确；
对于C，则题意可知：，，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，则有，令，则有或，
当时，即，即，解得；
当时，即，所以或，解得，或或，
所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确．
故选：ACD．
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用对数的运算性质和对数函数的单调性化简比较即可
【详解】；
所以
故选：B.
4．设、、，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要通过对数函数的单调性以及构造函数利用导数判断函数单调性的方法，来比较、、的大小.
【详解】∵，在内单调递增，∴，∴，
令，定义域为，
，
当时，，∴在内单调递减，∴，
即，即，∴，∴.
故选：B.
5．（多选）已知实数，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.由条件可知，，则，故A正确；
B.，当且仅当时等号成立，故B正确；
C. ，当时等号成立，故C错误；
D.因为，，故D正确.
故选：ABD
6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得.
【详解】因为奇函数，则，
又，则，
于是，即4是函数的一个周期，
而，则，，
则，
又当时，，则，
所以．
故选：A
7．若函数为偶函数，则实数 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意，都有，通过这个等式来求解的值.
【详解】已知为偶函数，则，即.
对进行化简：
将其代入可得：
得到：,可得：
因为上式对于定义域内的任意都成立，所以，解得.
故答案为：.
1．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.

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