资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 数列求和
目录
01 常考题型过关练
题型01 等差（比）数列求和
题型02 含绝对值的等差数列求和
题型03 倒序相加法求和
题型04分组求和
题型05 错位相减法求和
题型06 裂项相消法求和
题型07 分类讨论法求和
题型08 其他数列求和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差（比）数列求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记.
(1)若数列为等差数列，求的公差.
(2)设.
①求的通项公式；
②记数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)1
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
则，，.
因为数列为等差数列，所以，即，解得，
所以的公差为.
（2）①解：当时，，
当时，，
故的通项公式为
②证明：当时，，满足.
当时，，
则
.
综上.
2．已知数列的前项和为，.
(1)若是正项等比数列，且，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)465
【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为，
由，知，，
所以①；②
得，又所以，
代入①得，所以
（2）因为，所以为常数
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
是以为首项，公差为2的等差数列，
故
3．（2025·陕西咸阳·三模）若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．
(1)求证：数列为准等差数列；
(2)求数列的通项公式及前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，．
【详解】（1）已知对于任意的，都有.
将换为，可得.
用减去，
可得：
因为，，所以.
根据准等差数列的定义，可知数列是公差为的准等差数列.
（2）由可得.
当时，，又，所以.
当为奇数时，.
当为偶数时，.
所以.
.
对于奇数项，是以为首项，为公差的等差数列，
根据等差数列前项和公式可得其前项和为：
.
对于偶数项，是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为：
.
所以.
4．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列，其前项和为，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和为，，，
所以，，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，.
（2）因为，则且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
5．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知条件得，因为，所以，
所以，故，即数列为以2为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，故，
设数列的前项和为，则.
02含绝对值的等差数列求和
6．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求前项和.
【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）由题意知，因为，所以.
因为，所以，所以，所以，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
设数列公差为，则，
∴，.
（2）因为，所以
所以当时，数列的前项和；
当时，数列的前项和.
所以．
7．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
显然，当时，满足，
所以.
（2）由（1）知，
因为时，，当时，，
所以当时，，
当时，①，②，
所以①②得，因为，
所以，
所以
8．已知是数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
9．已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）由（1）知，
设的前项和为，，∴，
当时，，，
，，
综上得.
10．已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，理由见解析
【详解】（1）证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
.
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
03 倒序相加法求和
11．已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选：C.
12．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【详解】，
∵函数
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
已知，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
故
故答案为：
已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
【答案】
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
15．已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中且，
则有 ，
因此函数图像关于点对称 ；
（2）由（1）知当时，，
①，
②，
①+②得，即.
04分组求和法求和
16．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)4212
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
17．已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）已知，等式两边同除得，且
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
则，解得.
（2）数列的前n项和为
，
根据等差数列等比数列前n项和公式可得，
所以数列的前n项和.
18．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1),
(2)
【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得
所以,
可知,
设等比数列的公比为,带入得,解得,
可知.
（2）有第一问可知,,则.
分组得
计算,
计算
则.
19.已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)；
(2) .
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
化简得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）由，得，
则
.
20.已知是公差为的等差数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，即，即，
又，解得，所以．
（2）由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，故正整数的最小值为．
（3）因为，
对任意的，，
故
.
05 错位相减法求和
21.已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，且.
(1)求的通项公式;
(2)令求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为数列满足，
当时，可得，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，可得，
两式相减，可得，可得，
因为所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）解：由（1）知：，可得，
可得，则，
两式相减，可得，
则 ，
所以.
22．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，.
故，
设数列的公差为，则，
所以；
（3），
即，
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
23．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
24.已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）由题意得，，首项为，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
由题意得，，且，
所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由题意，，
所以，
则，
两式相减可得，
，
所以.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，得，
即，且.
数列是以为首项，公差为1的等差数列.
；
（2），
所以，，
两式相减，得，
所以，
因为，，所以.
06 裂项相消法求和
已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为d，依题意，，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以
.
27.在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)选①②，答案均为；
(2)证明过程见解析
【详解】（1）选①，，，
因为，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，，
所以，
又，，所以为首项和公差均为1的等差数列，
所以，，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
选②，①，当时，，解得，
当时，，
故，
又因为数列的各项均为正数，所以，
故，即，
又，故为首项和公差均为1的等差数列，
所以，解得，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
（2）由（1）知，，，
，
所以，
因为，
所以，
所以为递增数列，故的最小值为，
所以.
28.数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并证明．
【答案】(1)证明见解析，
(2)，证明见解析
【详解】（1）由得，所以，
因此数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，得，
因此数列的通项公式．
（2）由（1)知
，
，
对任意的，，所以.
已知各项均为正数的数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，，
【详解】（1）因为，当时，，
两式相减得到，整理得到，
又数列的各项均为正数，所以当时，，即，
又由，得到，所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以，
假设存在正整数，使得成等差数列，
则，即，
化简得，得到，
解得，又且，
所以，，
故存在正整数，，使得,,成等差数列.
30．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，由韦达定理可得，
因为数列是等差数列，设公差为，
所以，即，
则，解得，
.
（2）由（1），则，
，
，
.
07 分类讨论法求和
31．设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由题意可知，，且，
解得：或（舍去）,
又当时，，所以有,
化简得：，则，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）及题设可知，.
当时，，
当时，.
.
①当是奇数时，
当时，
当时，
，
当时，也适合上式，
即：，且为奇数；
②当是偶数时，
.
即：，且为偶数；
综上所述；.
32．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得，是正项数列，，
当时，，解得（舍去），
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以.
（2）由（1）得
所以①当为偶数时,
,
②当n为奇数时,
所以.
33．已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由，得，即，
两边同加，得，则，因此数列为常数列，
所以数列为等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，，
所以.
34．数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
35．已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
08 其他数列求和问题
36．已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
37．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
（2）解：由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
38．已知等比数列的公比，前n项和为且.数列足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为区间内整数的个数求数列的前50项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由已知得，消去，得.
∵，解得，此时，因此，.
所以，；
（2）由题意：时，，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，.
因此，.
【点睛】关键点点睛：当时，在区间内整数的个数需要归纳，当时，，依次类推，寻找规律，是解决问题的关键.本题考查了合情推理中的归纳推理，属于中档题.
1．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】(1)；
(2)3，9，81，243；
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
，又，，
则，，故.
（2）因为，所以，则，
，
，
所以
所以.
4．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，
由题得
解得
所以.
（2）由（1）可得该数列为，
则
.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
(3).
【详解】（1）由，
令，有，因为，所以.
令，有，即，由，解得.
所以，.
（2）当时，由，代入，
化简得，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.
由，
所以.
所以数列的前项的和.
6．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求和
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和.
【答案】(1)，
(2)2024
【详解】（1）当时，.又因为，所以
设，则
依题意，，
得恒成立，解得，
所以，，
设等比数列的公比为q，，.
所以，.得到，联立得
解得或（舍去），代入中，解得
得数列的通项公式为
（2）
……①
……②
①-②，得
即
时，，，所以；
时，，所以，所以
所以.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以 ，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时， ．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 数列求和
目录
01 常考题型过关练
题型01 等差（比）数列求和
题型02 含绝对值的等差数列求和
题型03 倒序相加法求和
题型04分组求和
题型05 错位相减法求和
题型06 裂项相消法求和
题型07 分类讨论法求和
题型08 其他数列求和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差（比）数列求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记.
(1)若数列为等差数列，求的公差.
(2)设.
①求的通项公式；
②记数列的前n项和为，证明：.
2．已知数列的前项和为，.
(1)若是正项等比数列，且，求；
(2)若，求.
3．（2025·陕西咸阳·三模）若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．
(1)求证：数列为准等差数列；
(2)求数列的通项公式及前项和．
4．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列，其前项和为，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和．
5．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
02含绝对值的等差数列求和
6．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求前项和.
7．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
8．已知是数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求.
9．已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
10．已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
03 倒序相加法求和
11．已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
已知，则 ．
已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
15．已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
04分组求和法求和
16．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
17．已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
19.已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
20.已知是公差为的等差数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
05 错位相减法求和
21.已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，且.
(1)求的通项公式;
(2)令求数列的前n项和.
22．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
23．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
24.已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
06 裂项相消法求和
已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
27.在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
28.数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并证明．
已知各项均为正数的数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
30．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
07 分类讨论法求和
31．设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
32．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
33．已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
34．数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
35．已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
08 其他数列求和问题
36．已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
37．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
38．已知等比数列的公比，前n项和为且.数列足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为区间内整数的个数求数列的前50项和.
1．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
4．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
6．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求和
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．

展开更多......

收起↑