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第03讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关平行命题的判断
题型02 线面平行的判定定理
题型03 线面平行的性质定理
题型04面面平行的判定定理
题型05 面面平行的性质定理
题型06 线面平行的探索性问题
题型07 面面平行的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关平行命题的判断
1．在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①，②均错误
【答案】C
【详解】连接相交于，
当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误，
连接相交于，
当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确，
故选：C
2．（多选）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则、是异面直线
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABD
【详解】对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A错；
对于B选项，若，，，则、没有公共点，即、平行或异面，B错；
对于C选项，若，，则，C对；
对于D选项，若，，则或或与相交（不一定垂直），D错.
故选：ABD.
3．（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则，是异面直线
D．若，，，则或，是异面直线
【答案】ABC
【详解】A：当时，，可以相交、平行、异面，因此本选项不正确；
B：当，时，直线可以在平面内，因此本选项不正确；
C：当，时，，是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确；
D：因为，，，所以直线，是两条没有交点的直线，
所以或，是异面直线，因此本选选项正确，
故选：ABC
4．（多选）已知平面平面直线，点平面，点平面，且，点分别是线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，不可能重合
B．可能重合，但此时直线与不可能相交
C．当直线相交，且时，可与相交
D．当直线异面时，可能与平行
【答案】ACD
【详解】对于A选项，当时，若四点共面且时，两点能重合，可知A错误；
对于B选项，若重合，则，，
则平面，，平面平面直线，故，
此时直线与直线不可能相交，可知B正确；
对于C选项，当与相交，且时，，
结合线面平行的性质可知，
所以直线与平行，可知C错误；
对于D选项，当与是异面直线时，不可能与平行，可知D错误．
故选：ACD．
02 线面平行的判定定理
5．已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接交于点，
因为，为的中点，所以，
因为且，所以为，的中点，
又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
6．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求圆锥的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连结.如下图示：
根据题意可知：、O分别为、的中点，
.
又平面，平面，
平面．
（2），P为的中点，
．
又S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，
根据圆锥的性质可得：平面，又平面，
所以，
，
圆锥的表面积．
7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点．
(1)证明：平面．
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）证明：因为平面，所以．
又，所以是的中点，
所以，．
取的中点，连接，，
可知，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，从而．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
又因为，，
，所以三棱锥的体积为4.
8．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．

(1)证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）

在平面内过点作平行线分别交，于，；
在平面内过点作的平行线分别交，于，，连接，；
在中，由，可知，又且正方体边长为1，
代入可得，所以， 所以；同理可得.
又由，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
9．如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【详解】（1）
设，连接，
，Q为侧棱的中点，为的中点，
又是正四棱锥，为的中点，
在中有，
平面，平面，
平面；
（2）在正四棱锥中，有，
平面，平面，平面；
又平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可得．
03 线面平行的性质定理
10．在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图：
因为平面DAM，平面DAM，
所以平面DAM，又平面，平面平面，所以，
因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面，
又平面PDM，平面平面，所以，
所以，因此．
故选：C
11．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【详解】过点分别作交于点，交于点，
连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：
12．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 .
【答案】
【详解】如图，取中点，中点，可知，
，故平面平面，故点的轨迹为线段
故答案为：
13．如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接CE，因为，即，
又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以，
又因为平面，平面SCE，所以平面SCE.
（2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG，
因为，所以，所以B，C，G，F四点共面，
因为平面，平面BCGF，平面平面，
所以，所以四边形BCGF是平行四边形，
所以，所以，所以F为线段SE的中点.

14．在空间四边形中，，与直线都平行的平面分别交于点E，F，G，H．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求四边形的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为直线平面平面，平面平面，所以．
同理得，所以．同理得，所以四边形是平行四边形，
（2）由（1）可知，两式相加得，所以四边形的周长为．
04 面面平行的判定定理
15．（多选）在正方体中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
【答案】AB
【详解】
如图，对于A：∵，平面，平面，
∴平面．
又，同理可证平面．
又，平面，
∴平面平面，故A正确；
对于B：∵，平面，平面，
∴平面．
又，同理可证平面．
又，平面，
∴平面平面，故B正确；
对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，故C不正确；
对于D：平面，且与相交，又平面，平面，故平面与平面不可能平行，故D不正确.
故选：AB．
16．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过作，垂足为，连接，由对称性可得，
又，平面，平面，
过作，垂足为，连接，则，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱.
∵，，所以，，
同理求得，，则，
又，等腰三角形的面积为，
空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分，
∴空间几何体的体积为.
故选：D.
17．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：；
(3)若，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形，
所以，，
又平面，平面，
则平面，
同理平面，平面，
可得平面，
又，平面，
所以平面平面．
（2）因为底面为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
（3）
因为四棱锥是正四棱锥，
所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心，
又，所以，
又，
所以四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积．
18．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为且，所以，
因为，所以，故四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，所以平面平面;
（2）设四棱锥的底面积为，高为，则四棱锥的体积为，
由（1）可知，则点到平面的距离为，，
从而三棱锥的体积为，
所以多面体的体积为，故.
05 面面平行的性质定理
19．如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在四棱柱中，连接，FG，如图，

因为平面平面，平面平面，
平面平面，则，于是，
平面平面，而平面，则平面，
在平面内存在与不重合的直线，又平面平面，平面，
则平面AEF，在平面AEF内存在与不重合直线，从而，平面AEF，
平面AEF，则平面AEF，又平面，平面平面，
因此，BG，AF可确定平面，因为平面平面，
平面平面，平面平面，于是，即有，
所以.
故选：B
20．（ 2023·黑龙江大庆·三模）如图，在长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线与平面没有交点，所以平面，
取的中点，连接、、，
取的中点，连接、，如下图所示：
在长方体中，且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
故当在上运动，平面，则平面，
当时，最小，且最小值为，
此时的面积最小，且最小值为.
故选：C.
21．如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点、M、N作正方体的截面交于点Q，则 .

【答案】
【详解】如图，连接，则平面即为过点、M、N作的正方体的截面，

因为平面平面，且平面，平面，
故，又，且的对应两边的射线方向一致，
故，而，
故∽，故，而
故，则，
故答案为：
22．如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】因为四边形是菱形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
23．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示：

取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，
所以且，
因为为的中点，所以且，
因为、分别为、的中点，
所以且，
所以且，故四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面，故平面．
06 线面平行的探索性问题
24．如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接，
分别为中点，，
，，四边形为平行四边形，，
，又平面，平面，
平面.
（2）假设在棱上存在点，使得平面，
延长交于，连接交于，
，为中点，为中点，
，，，
平面，平面，平面平面，
，又，四边形为平行四边形，，
；
当时，平面.
25．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，
.
为的中点，，
即四边形为平行四边形，.
平面平面平面.
（2）设，取中点，连接，则在中，
分别是的中点，
平面平面，
平面.
与相似，且相似比为，
为的三等分点.
在点位置时满足平面.
即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.
26．如图，在底面半径为2 高为4的圆柱中，，分别是上 下底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段的中点，是下底面半圆周上靠近的三等分点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在底面圆周上是否存在点，使得平面？若存在，请找出符合条件的所有点并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，为的中点，证明见解析.
【详解】解：（1）因为圆柱的底面半径为2 高为4，是线段的中点，是半圆周上的三等分点，
所以三棱锥的体积为：
.
（2）存在点，为的中点，使得平面.理由如下：
连接，因为 是半圆周的三等分点，
所以；
又，所以为等边三角形，所以，
所以；
又平面，平面，所以平面；
由是圆柱的轴截面，所以四边形是矩形；
又因为 分别是 的中点，所以，即；
又平面，平面，所以平面；
且，平面，平面，
所以平面平面；
又平面，所以平面.
27．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面
(2)若平面，求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)点为的中点
(2)
【详解】（1）
如图1所示，分别取的中点为，连接．
因为分别是的中点，
所以，且.
又因为，
所以，所以.
又，所以.
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面.
所以，当点为的中点时，有平面.
（2）由（1）知，点为的中点，且与异面.
因为，
所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.
由已知可得，，，
所以.
如图2，取中点为，连接，易知，
则，，
所以，，
所以.
因为是的中点，所以，
所以，，
所以，在中，有，
所以与所成的角的余弦值为．
07 面面平行的探索性问题
28．如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．

【答案】能，证明见解析
【详解】能作出满足条件的平面，其作法如下：
如图，连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面．

证明如下：连接交于，连接，则为的中点，又为的中点，则．
因为平面，平面，故平面．
又因为为的中点，
所以，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，从而平面．
又因为，，，所以平面平面．
29．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．
(1)求三棱锥的体积．
(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，为的中点
【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形，
所以平面，
所以.
（2）当为的中点时满足平面平面，
设，连接，
因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点，
所以，又平面，平面，所以平面，
又为的中点，所以且，所以为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
30．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且
(1)求证：平面；
(2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)当的值为时，能使平面平面，证明见解析
【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，
所以.
又平面，平面，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即有，故.所以.
又平面，平面，所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面.
31．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在为中点使面面，理由见解析
【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下：
当为中点，连接，
又是的中点，是的中点，
所以，，
而平面，平面，所以平面，
同理可证面，
又，即平面平面，
综上，为中点时平面平面．
32．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）证明：因为，分别为线段的中点所以A.因为，所以B.又因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接，因为为的中点所以．
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面
故在线段上存在一点，使平面平面．
1．已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】
取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，
上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示.
在正四棱柱中，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，∴.
又平面，平面，∴平面.
∵，分别是和的中点，∴.
同理可知，
又，
∴四边形是平行四边形，∴.
∴.
又平面，平面，∴平面.
又，平面，平面，
∴平面平面.
∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动，
∴点在线段上运动.
在中，易求，，为等腰三角形，
∴点为线段的中点时，取得最小值.
此时，
即的最小值为.
故选：C.
2．正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意结合几何体的结构特征可将该几何体放于一个正方体中，如图：
分别是的中点，，平面，平面，
则平面，同理平面，平面，
故平面平面，由此可知∽，且，
则，
由题意可知正四面体EFGH与正四面体ABCD的公共部分的体积等于正四面体ABCD的体积减去其每个顶点处的小正四面体的体积，
即公共部分的体积为，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据结合体的结构特征，构造出正方体，结合正方体的结构特征去解决问题.
3．（ 2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】依题意，作出图形如图所示
设为的中点，
因为为的中点，
所以,
又平面，平面，
所以平面，
过点作，交于,则易知平面，
又因为平面，平面，
所以平面平面.
又平面,
所以平面.
因为,
所以四边形为平行四边形，
所以,
因为，
所以,
,
所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形为平行四边形即可.
4．如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，所以，
又分别为的中点，所以，故，
平面，平面，所以平面，
又，，所以四边形为平行四边形，故，
平面，平面，平面，
又平面，，故平面平面，
所以当平面时，平面，则点在线段上，
当时，取得最小值，易知，
此时为线段的中点.
由平面几何知识可知，，，，
.
所以的余弦值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：平面，则点在过与平面平行的平面内，分别为的中点，由平面平面得点在线段上，且为线段的中点，三角形中余弦定理求的余弦值.
5．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.则直线与平面的位置关系为 （填相交或平行）. 为线段上一点，使得四点共面，则的值为 .
【答案】 平行
【详解】（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以，
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，
又因为，所以，
则有，
故.
故答案为：平行；.
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查平面的性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
6．（ 2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
【答案】/
【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD，
由线面平行性质定理可知，设，
因为三棱锥的所有棱长均为2，
所以，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知，
所以，
因为F为线段AD的中点，所以，
由余弦定理可知，
所以，
令，，化简可得，
因为，所以，
则在时取得最小值，
所以，
综上当，即时MN取得最小值．
故答案为：．
7．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求线段的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理，平面，又因为，
所以平面平面．

（2）解：由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动，
在中，，，，的最小值为R到线段的距离，
因为是等腰三角形，故的最小值为．

8．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【详解】（1）连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，又平面，平面，
平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且均在平面中，
平面平面.
（3）由（1）知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，．

1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明:平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见详解；
【详解】（1）因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

7．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积
8．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关平行命题的判断
题型02 线面平行的判定定理
题型03 线面平行的性质定理
题型04面面平行的判定定理
题型05 面面平行的性质定理
题型06 线面平行的探索性问题
题型07 面面平行的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关平行命题的判断
1．在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①，②均错误
2．（多选）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则、是异面直线
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．（多选）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则，是异面直线
D．若，，，则或，是异面直线
4．（多选）已知平面平面直线，点平面，点平面，且，点分别是线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，不可能重合
B．可能重合，但此时直线与不可能相交
C．当直线相交，且时，可与相交
D．当直线异面时，可能与平行
02 线面平行的判定定理
5．已知在四棱锥中，侧面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
6．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求圆锥的表面积．
7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，点在线段上，平面，，是的中点．
(1)证明：平面．
(2)求三棱锥的体积．
8．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．

(1)证明：平面．
9．如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面．
(1)证明：平面；
(2)证明：．
03 线面平行的性质定理
10．在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
12．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 .
13．如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.

(1)求证：平面SCE；
(2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点.
14．在空间四边形中，，与直线都平行的平面分别交于点E，F，G，H．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求四边形的周长．
04 面面平行的判定定理
15．（多选）在正方体中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）
A．平面与平面 B．平面与平面
C．平面与平面 D．平面与平面
16．图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：；
(3)若，求四棱锥的体积．
18．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，、分别是棱、上的点，且，.
(1)证明：平面平面；
(2)记多面体的体积为，三棱锥的体积为，求的值.
05 面面平行的性质定理
19．如图，四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，上，，G在上且平面平面，则（ ）

A． B． C． D．
20．（ 2023·黑龙江大庆·三模）如图，在长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，过点、M、N作正方体的截面交于点Q，则 .

22．如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面；
23．如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点．证明：平面.

06 线面平行的探索性问题
24．如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
25．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
26．如图，在底面半径为2 高为4的圆柱中，，分别是上 下底面的圆心，四边形是该圆柱的轴截面，已知是线段的中点，是下底面半圆周上靠近的三等分点.
(1)求三棱锥的体积；
(2)在底面圆周上是否存在点，使得平面？若存在，请找出符合条件的所有点并证明；若不存在，请说明理由.
27．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．
(1)当点M在何位置时，平面
(2)若平面，求与所成的角的余弦值．
07 面面平行的探索性问题
28．如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．

29．如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．
(1)求三棱锥的体积．
(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.
30．知正方体中，、分别为对角线、上的点，且
(1)求证：平面；
(2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
31．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
32．如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
(1)求证：平面．
(2)在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由．
1．已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面则线段长度的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
2．正四面体的体积为为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（ 2024·四川乐山·三模）在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），，分别为的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.则直线与平面的位置关系为 （填相交或平行）. 为线段上一点，使得四点共面，则的值为 .
6．（ 2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
7．如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求线段的最小值．
8．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点，求的值．
1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明:平面；
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，
(1)求证：平面；
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
7．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
8．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；

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