资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 椭圆及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 椭圆的定义及其应用
题型02 椭圆的标准方程
题型03 椭圆的焦距与长轴、短轴
题型04椭圆中的焦点三角形
题型05 离心率
题型06 与椭圆有关的范围(最值)
题型07 椭圆的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 椭圆的定义及其应用
1．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．(多选)已知圆，圆，则（ ）
A．
B．若，则圆与圆有且仅有1个公共点
C．若圆与圆的相交弦长为4，则
D．当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为
4．在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ．
5．已知的周长为6，为的中点，且，则面积的最大值时，
02 椭圆的标准方程
6．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
7．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ．
10．设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程．
03 椭圆的焦距与长轴、短轴
11．若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．3 C． D．2
12．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
13．(多选)我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．a，b，c成等比数列
C．是直角三角形
D．以，为直径的圆是菱形的内切圆
14．若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ．
15．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
04 椭圆中的焦点三角形
16．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．
17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6 B．面积的最大值为
C．的取值范围为 D．的最小值为
18．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．(多选)已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （ ）
A．满足条件的P点总共有4个 B．=4
C．|PO|=3 D．
20．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
05 离心率
21．已知椭圆的左 右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
24．已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
06 与椭圆有关的范围(最值)
28．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
29．已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ．
30．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 .
31．点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ．
07 椭圆的实际应用
32．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
33．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）

A． B．
C． D．
34．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．面积的最大值为 B．的最大值为8
C．若，则 D．若，垂足为，则
35．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ．
1．已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
3．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．(多选)已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（ ）
A． B．椭圆离心率为
C．圆与圆相切 D．的最大值为4
5．已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
5．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 椭圆及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 椭圆的定义及其应用
题型02 椭圆的标准方程
题型03 椭圆的焦距与长轴、短轴
题型04椭圆中的焦点三角形
题型05 离心率
题型06 与椭圆有关的范围(最值)
题型07 椭圆的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 椭圆的定义及其应用
1．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案.
【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，
且，则动点的轨迹为椭圆，
易知，，，即方程为.
故选：C.
2．已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程．
【详解】设动圆的圆心为，半径为R，
动圆与圆外切，同时与圆内切，
则，又，
因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，
设椭圆的方程为，故，解得，，
由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为：
故选：A
3．(多选)已知圆，圆，则（ ）
A．
B．若，则圆与圆有且仅有1个公共点
C．若圆与圆的相交弦长为4，则
D．当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为
【答案】ABC
【分析】根据圆方程的定义求解选项A；判断两个圆的位置关系可判断选项B；利用圆和圆的公共弦所在直线方程的求解方法可确定选项C；根据椭圆的定义判断选项D.
【详解】对于圆，
转化为标准方程，
因为半径，所以，A正确,
若，圆，圆心，半径,
圆，圆心，半径．
两圆心间距离，则两圆外切，
所以两圆有且仅有1个公共点，B正确，
若圆与圆的相交弦长为4，因为圆的直径为4，
所以相交弦为圆的直径，即两圆的公共弦所在直线过圆的圆心，
由两式相减可得，，
将代入得，C正确，
当时，圆，
圆心，半径，圆，圆心，半径．
设动圆的半径为，因为动圆与圆外切，同时与圆内切，
则，，
所以，
根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
，
可得，其轨迹方程为，D错误．
故选：ABC.
4．在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ．
【答案】12
【分析】利用椭圆的定义求解，结合椭圆的几何性质求解即可.
【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ，
半短轴 .
设，则的轨迹是椭圆，
面积 ，
当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大.
最大面积为 .
故答案为：12.
5．已知的周长为6，为的中点，且，则面积的最大值时，
【答案】/
【分析】以为原点，和其垂直平分线依次为轴，建立平面直角坐标系，设，得到，，设，根据周长为定值可得点在以为焦点的椭圆上，写出其标准方程，又有得到点在以为圆心，以2为半径的圆上，联立圆和椭圆方程求解得到点的纵坐标关于的表达式，进而得到面积关于的表达式，进而利用导函数分析单调性求得面积最大是的的值，即的长度.
【详解】如图建立平面直角坐标系.
设，，由可知点在圆：上，
由的周长为6，可得，根据椭圆的定义可知，点在以为焦点的椭圆上，
半长轴，焦距，半焦距，故半短轴，
故椭圆的标准方程为.
由得，由短半轴小于等于椭圆上的点到椭圆中心的距离，可知,
所以，得，
联立，解得，
.
设，
，
当时，；当时，.
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
又∵，
故当且仅当时，最大，即最大.
故答案为：.
02 椭圆的标准方程
6．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程.
【详解】
如图依题意，的周长为，
解得．
设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得．
所以．
故椭圆的标准方程为．
故选：D.
7．已知焦点在轴上的椭圆，上顶点为，左、右焦点分别为，，经过点的直线垂直平分线段，且交椭圆于，两点，的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设条件易得，结合图形将的周长转化为的周长，从而求得的值，即得椭圆方程.
【详解】
如图，因经过点的直线垂直平分线段，则，即，
因，则的周长等于的周长，
即，解得，，故椭圆的标准方程为.
故选：D．
8．长为1的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，找出，再根据得到，即可求解．
【详解】设，，，
则有，
即，由题意可得，
即，即，
故选：A．
9．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ．
【答案】9
【分析】根据椭圆的性质求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则，，，
所以，解得，
故答案为：9
10．设是椭圆上一点，分别为关于轴、原点、轴的对称点，为椭圆上异于的点，且，与的交点为，当沿椭圆运动时，求动点的轨迹方程．
【答案】．
【分析】假设点、的坐标，然后利用点差法得到，联立直线、的方程，可得，，然后代入椭圆方程可得.
【详解】设是椭圆上的任意一点，，动点的坐标为，
则，，．
由，两式作差可知，即，
又，，所以，从而，
所以直线的方程为，
又直线的方程为，联立得，，
因为点在上，所以，
动点的轨迹方程．
03 椭圆的焦距与长轴、短轴
11．若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可知椭圆焦点在轴上，将端点代入椭圆方程即可求解.
【详解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且，
所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确.
故选：A.
12．点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意可知可知，由椭圆性质以及余弦定理计算可得需满足，再对选项逐一检验即可得出结论.
【详解】如下图：
不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为.
因为椭圆上存在点，使得，所以需；
在中，由余弦定理得，
又，化简得.
同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足.
故选：B.
13．(多选)我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．a，b，c成等比数列
C．是直角三角形
D．以，为直径的圆是菱形的内切圆
【答案】BCD
【分析】由“黄金椭圆”的定义得到的值，进而求出离心率，即可判断A；由和离心率的值，验证是否成立，即可判断B，求出三边的长，验证是否成立，即可判断C，分别求出菱形的内切圆半径，及圆心到直线的距离，验证是否成立，即可判断D.
【详解】对于A，由“黄金椭圆”的定义可知，即.
所以椭圆的离心率，
因为椭圆的离心率，所以，故A错误；
对于B，由可得，
由可得，所以，
所以，即a，b，c成等比数列，故B正确；
对于C，由题意可知，
所以，，，
因为，
，
所以，所以是直角三角形，故C正确；
对于D，以，为直径的圆的方程为，
菱形的边长为，周长为.
菱形的面积，
设菱形的内切圆半径为，
则菱形的面积周长，所以.
直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，
则，
所以以，为直径的圆是菱形的内切圆，故D正确.
故选：BCD
14．若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ．
【答案】
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长.
【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，所以长轴长为．
故答案为：．
15．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 .
【答案】
【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距.
【详解】设，又因为，
所以，则，则，
由，两式相减得，
即，因为，所以，所以，
，所以，解得，
所以，所以椭圆的焦距为.
故答案为：.
04 椭圆中的焦点三角形
16．已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值.
【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则，
则，
所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆，
设其标准方程为，其中，则，标准方程为，
面积为，显然，当时，最大，
则面积的最大值为.
故选：B
17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A．的周长为6 B．面积的最大值为
C．的取值范围为 D．的最小值为
【答案】D
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可.
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D
18．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积
【详解】由椭圆：可得，， ，
因为上一点且在第一象限，则
由为等腰三角形，则可得或，
当时，，
此时的面积为：；
当时，，不合题意，舍去.
综上，可得的面积为.
故选：C．

19．(多选)已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （ ）
A．满足条件的P点总共有4个 B．=4
C．|PO|=3 D．
【答案】ABD
【分析】由题设求出，设 再在焦点中，运用余弦定理结合椭圆的定义得到求得即可判断B；设P（x ，y ），由=4得代入椭圆方程得从而，故P点共有4个，可判断A、C，求得即可判断D,
【详解】
由题意得，，设 则
在中，由余弦定理得，，
即 ，即 ，解得 故B项正确；
设P（x ，y ），
代入椭圆方程得， 解得
则 故C项错误；
由故P点共有4个，故A项正确；
对于D， 故D项正确.
故选：ABD.
20．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据题意可知，可得，然后可求.
【详解】，
，
又椭圆，
则，
.
故选：D.
05 离心率
21．已知椭圆的左 右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解.
【详解】
根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知，
由椭圆的定义可得，所以，
所以，由是的中位线，
可得，所以，解得，
所以的离心率为.
故选：B.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意判断为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率.
【详解】如图，

由，得，，
其中，所以，
可得为直角三角形，
，且，
解得，，
再由勾股定理可得：
得，．
故选：D．
23．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为F，点在椭圆上，，点B关于原点O的对称点为M．若，则C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设出对应点，作出符合题意的图形，利用求出，进而结合题意求出，再利用向量垂直的坐标表示得到，再将点坐标代入方程得到，再代入中化简得到，最后求解离心率即可.
【详解】由题意得椭圆的参数方程为，
如图，故设，，，
则，，
因为，所以，，
解得，故，
因为点B关于原点O的对称点为，所以，
则，，
因为，所以，
故，
化简得，
则，
将代入椭圆方程，
得到，化简得，
把代入中，
得到，同除可得，解得或（舍去）.
故选：B
24．已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨设，，由，求得，进而得解.
【详解】不妨设，，
该椭圆的离心率为，解得或，
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
故选：C.

25．已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据得，将点代入椭圆方程得，则，由得，代入化简得，即可求解.
【详解】设椭圆的半焦距为，
椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.
设，因为，所以，
所以，则，将点代入椭圆方程得，所以，
即，则，由得，
又，所以，
化简得，
所以，解得（负根舍去）.
故选：B
26．已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解.
【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接，
由,，得为等边三角形，则，
所以C的离心率为.
故选：B
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线定理得到线段比例关系，结合椭圆的定义可得结果.
【详解】
如图，连接.
因为三角形的三条角平分线交于一点，所以射线是的角平分线.
因为，所以.
由角平分线定理得，.
设，则，
所以，，
所以椭圆的离心率.
故选：B.
06 与椭圆有关的范围(最值)
28．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可.
【详解】由点在椭圆的内部，
可得：，且，
解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：B
29．已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值.
【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点
设，则，，
则，
所以，，
当恰与点重合时，取得最小值，
即要使时取最小值，则必有，所以.
故答案为：.
30．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用椭圆的性质得到的范围，再利用椭圆的定义将转化为关于的二次函数，从而得解.
【详解】由题意知，，所以，
设，则，即，
由，得，
故，
所以当时，取得最大值9，
当或时，取得最小值5，
故的取值范围为.
故答案为：.
31．点是椭圆上任意一点，点是圆上任意一点，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据圆的性质可得，设，结合两点间距离公式求的最值，即可得结果.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为点是圆上任意一点，
则，即，
又因为点是椭圆上任意一点，设，
可得，
当时，取到最小值；
当时，取到最大值5；
可得，所以的取值范围为.
故答案为：.
07 椭圆的实际应用
32．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项.
【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴，
以的方向为轴正方向建立直角坐标系，
则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，
则由已知，，
所以，，故离心率为，故A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，
所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，
故B正确，C错误，
因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确.
故选：C．
33．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D.
【详解】如图可知，，，，A不正确；
，，；B不正确；
由，可知，C不正确；
，可得，故，
即，，，即，D正确，
故选:D.
34．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．面积的最大值为 B．的最大值为8
C．若，则 D．若，垂足为，则
【答案】ACD
【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解.
【详解】由椭圆方程可知：，，.
对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确；
对于B：因为，则，
可得，
当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，
所以的最大值为7，故B错误；
对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线，
则，
设，则，，
可得，，，，
则，
即，
整理可得，解得或，
当时，，与重合，不合题意，
所以，即，故C正确：
对于D：如图，延长，交于点，
则在中，，，
则且为中点，连，
在中，，
则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确.
故选：ACD.
35．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】/0.5
【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，即可求离心率.
【详解】设球O半径为r，由题意知：，
，椭圆的长半轴长，
椭圆短半轴长为球的半径，即，
所以，
椭圆的离心率为，
故答案为：.
1．已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平方分线及椭圆定义计算结合，最后计算得出离心率即可.
【详解】延长交的延长线于，连接，
由题意知：，，
所以，则的轨迹为以为圆心、为半径的圆，
所以与短轴顶点的最短距离为，
所以，所以，
则.
故选：C.
2．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】根据已知结合椭圆的定义确定点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，进而求面积的最大值.
【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r，
因为与相内切，则．
设，连接，则，
，又，
所以，，
所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，
由，得，又，所以．
显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为．
故选：D
3．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据条件，确定的形状以及边长之比，结合椭圆的定义，求其离心率的值.
【详解】不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图．由题意可得，
易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点，
所以，故为直角三角形，由题意，，设，
则，解得或（舍），
所以，．
故选：B
4．(多选)已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（ ）
A． B．椭圆离心率为
C．圆与圆相切 D．的最大值为4
【答案】AC
【分析】AB选项，根据通径长得到，进而求出，由椭圆定义判断A，由离心率定义得到B错误；C选项，由圆心距和半径的关系判断C；D选项，设点，其中，可得，化简得到，当时，取得最大值，，进而求出的最大值.
【详解】AB选项，由通径长，得．所以，
由椭圆的定义，可得，所以A正确；
椭圆离心率，所以B不正确；
C选项，圆N的圆心为，半径，圆圆心为，，
因为，所以两圆相内切；C正确；
D选项，设点，其中，则满足，可得，
则
，
当时，取得最大值，，
故，所以D不正确．
故选：AC
5．已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程；
（2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系.
法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出.
【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，，
故椭圆E的方程为；
（2）联立，消去得，，
整理得，①，
又，所以，，
故①式可化简为，即，所以，
所以直线与椭圆相切，为切点.
设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，易知，
联立，解得，
联立，解得，
所以
，
，
故．
法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，
联立，解得，
联立，解得，
若，则，
由对称性，不妨取，则，
，，所以，
同理，当时，，
当时，则，，,
又，所以，
所以
，
，
则，即，
所以.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
5．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.

展开更多......

收起↑