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第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 条件概率
题型02 相互独立事件的判断
题型03 相互独立事件的概率
题型04全概率公式及其应用
题型05 贝叶斯公式及其应用
题型06 全概率公式与贝叶斯公式综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 条件概率
1．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设A，B是一个随机试验中的两个零件，若，，，则 .
5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 .
02 相互独立事件的判断
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（ ）
A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
7．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（ ）
A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立
B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立
C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立
D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立
8．数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立
9．连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
10．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件相互独立 B．事件相互独立
C．事件相互独立 D．事件相互独立
11．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.
(1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率；
(2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立.
12．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，；
(2)求，并说明事件与是否相互独立．
13．一个袋子中有大小和质地相同的3个球，其中有2个黑色球（标号为1和2），一个白色球（标号为3），从袋中有放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到白色球”，事件“两次摸到的球颜色不同”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求；
(2)求，并说明事件与是否相互独立．
14．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立．
15．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；
(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．
03 相互独立事件的概率
16．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．已知事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A．A与互为对立事件 B．若，则
C．若A与互斥，则 D．若A与相互独立，则
18．甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后重复上面的操作．若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概率为 ．
19．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲 乙两人中至少有一人通过面试的概率是 .
20．已知随机事件与对立，与相互独立，若，则 .
21．某班举办联欢会，甲、乙两名同学组队参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙二人在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ．
22．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
04全概率公式及其应用
23．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
24．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是废品的概率为（ ）
A．0.21 B．0.05 C．0.94 D．0.95
25．运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（ ）
A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53
26．已知某次数学测试卷中有8道4选1的单选题，某学生能完整做对其中6道题，在剩下的2道题中，有1道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小明从这8题中任选1题，则他做对的概率为 .
27．某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ．
28．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和.
29．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
05 贝叶斯公式及其应用
30．某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
31．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么：
(1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？
(2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？
32．已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为.
(1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求；
(2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率.
33．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三个厂的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三个厂供应的产品数之比为2：3：5，将三个厂的产品混合在一起现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
34．某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
35．临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的4‰，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；
(2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.
06 全概率公式与贝叶斯公式综合
36．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率.
37．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占，而其余包中各含1个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．
38．设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．
(1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率；
(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
39．一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)对于事件，当时，证明：；
(3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率.
40．假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.
(1)求取出的零件是次品的概率；
(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
41．在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱.
(1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率；
(2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由.
1．（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
3．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
4．（多选）（2025·浙江绍兴·二模）某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是．则下列说法正确的是（ ）
A．P（猜对第n+1题|猜对第n题） B．P（猜对第n+1题|猜错第n题）
C． D．全部猜对的概率为
5．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1时，．
6．（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值，并证明：当时，；
(3)求（用含的式子表达）.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
2．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为中小学教育资源及组卷应用平台
第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
01 常考题型过关练
题型01 条件概率
题型02 相互独立事件的判断
题型03 相互独立事件的概率
题型04全概率公式及其应用
题型05 贝叶斯公式及其应用
题型06 全概率公式与贝叶斯公式综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 条件概率
1．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，由条件求得，然后由条件概率的公式求得答案．
【详解】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，则，
则“喜欢吃肠旺面或丝娃娃”为事件，“既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃”为事件，
由题意知，，
从而，
因此由条件概率的公式得．
故选：B．
2．盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则，
则，，
由条件概率公式可得，
故选：C.
3．已知事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出，根据概率的基本性质得到，从而求出，，利用条件概率求出答案.
【详解】由题意得，故，
，
又，故，解得，
所以，
故，
由条件概率公式得.
故选：B
4．设A，B是一个随机试验中的两个零件，若，，，则 .
【答案】
【分析】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解.
【详解】由，有，
又由，有，
可得.
故答案为：
5．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 .
【答案】/0.25
【分析】根据条件概率计算公式求解即可.
【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为，
又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为，
所以.
故答案为：
02 相互独立事件的判断
6．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（ ）
A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】C
【分析】根据古典概型的概率计算公式和相互独立的公式即可求解.
【详解】对A：掷两次骰子，基本事件有个，事件“两次掷出的点数之和是6”包含：，，，，共5个基本事件，所以，故A错误；
对B：事件都包含基本事件有：，，，，，共6个，所以；事件包含的基本事件有：，所以,
因为，故与不相互独立，故B错误；
对C：事件：“第一次掷出的点数是偶数”，所以,事件包含的基本事件有：，，，所以，因为，所以事件，相互独立，故C正确；
对D：因为事件包含：，共2个基本事件，所以，因为，故事件与不相互独立，故D错误.
故选：C
7．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（ ）
A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立
B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立
C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立
D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得和时，事件对应的概率，结合和的关系，即可得到答案.
【详解】当时，，
则，所以当2时，事件与事件不相互独立；
当时，，
则，所以当时，事件与事件相互独立.
故选：B.
8．数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立
【答案】C
【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解.
【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为，
由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误；
对于选项B：，，，，故选项B错误；
对于选项C：，，，
所以，所以与相互独立，故选项C正确；
对于选项D：，，，故选项D错误.
故选：C.
9．连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BD
【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得.
【详解】，，，，
对A：，，
故与不相互独立，故A错误；
对B：，，有，
故与相互独立，故B正确；
对C：， 故与不相互独立，故C错误；
对D：，，有，’
故与相互独立，故D正确；
故选：BD.
10．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件相互独立 B．事件相互独立
C．事件相互独立 D．事件相互独立
【答案】BCD
【分析】根据独立事件的概率公式验证即可.
【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为，
因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个，
所以，因为，所以为独立事件，故A项正确；
，同理得，故B项错误；
，同理得，故C项错误；
因为为对立事件，所以，故D项错误.
故选：BCD
11．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.
(1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率；
(2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立.
【答案】(1)；
(2)事件与事件不独立.
【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案.
【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质，
由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点，
其中事件，共5个样本点，故，
所以，摸出两球标号互质的概率为.
（2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为：
，共12个样本点，
其中第一次摸出球的标号小于，可得，
第二次摸出球的标号小于，可得，
所以，则，，
所以，所以事件与事件不独立.
12．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，；
(2)求，并说明事件与是否相互独立．
【答案】(1)答案见解析
(2)，事件与事件不独立．
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式即可求得结果；
（2）利用独立事件定义可得，即可得出结论.
【详解】（1）试验的样本空间为，，共12个基本事件，
而事件包含的基本事件有，，，，，，，，共包含8个基本事件，
则可得，
事件包含的基本事件有，，，，共4个基本事件；
则．
（2）因为事件与同时发生的基本事件有，，
所以．
又因为，可得，
所以事件与事件不独立．
13．一个袋子中有大小和质地相同的3个球，其中有2个黑色球（标号为1和2），一个白色球（标号为3），从袋中有放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到白色球”，事件“两次摸到的球颜色不同”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求；
(2)求，并说明事件与是否相互独立．
【答案】(1)，，；
(2)，事件与事件不独立．
【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间，由此结合古典概型概率计算公式即可求解；
（2）首先由古典概型概率计算公式求得，然后验证是否相等即可.
【详解】（1）试验的样本空间，共9个基本事件，
而事件包含的基本事件有，则，
事件包含的基本事件有，，所以．
（2）因为事件与同时发生的基本事件有，所以，
又因为，
所以事件与事件不独立．
14．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立．
【答案】(1)
(2)， ，事件A与事件B不相互独立
【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率和抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，然后相加即可；
（2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1的球”的概率，然后通过判断是否成立来判断相互独立性.
【详解】（1）记事件C“取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3”
事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2
红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为
（2）记3个红球分别为，，其中，表示红球标数字1，表示红球标数字2，记2个蓝球分别为，其中表示蓝球标数字1，表示蓝球标数字2
则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间
其中事件共12结果；
其中事件共12个结果；
其中事件共7个结果，
“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，
概率．
因为成立，所以事件A与事件B不相互独立
15．已知一个袋子中有4个红球（标号为1，2，3，4）、2个黑球（标号为5，6），这些球的大小和质地都相同（即每个球被摸到的可能性相同）．现在不放回的摸出两个球，用表示第一次摸到号球，第二次摸到号球，样本空间．记事件：恰有一次摸到红球；事件：至少有一次摸到红球；事件：第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号．
(1)写出事件相应的样本空间的子集（用列举法），并求出事件的概率；
(2)判断事件与事件的是否为相互独立？并说明理由．
【答案】(1)样本空间见解析；
(2)相互独立；理由见解析
【分析】（1）根据题意，求得不放回地摸出2个球的总数，再利用列举法求得恰有一次摸到红球所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，利用列举法，结合古典摡型的概率公式，分别求得事件和事件的概率，由，得到事件与事件相互独立.
【详解】（1）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中恰有一次摸到红球所包含的基本事件的空间为
，共有16种情况，
所以事件的概率为.
（2）根据题意，不放回地摸出2个球有种不同的摸法，
其中至少有一次摸到红球，有
，共有28种情况，所以，
第一次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号，有
，共有15种情况，
所以,
又由事件中所包含的基本事件空间为
，共有14种情况，可得，
所以，所以事件与事件相互独立.
03 相互独立事件的概率
16．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，
甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
故选：D．
17．已知事件满足，则下列说法正确的是（ ）
A．A与互为对立事件 B．若，则
C．若A与互斥，则 D．若A与相互独立，则
【答案】B
【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概念计算判断即可.
【详解】对A，由，但并未表明事件是否为互斥事件，所以无法判断A与互为对立事件，故错误；
对B，若，则，故正确；
对C，若A与互斥，则，故错误；
对D，若A与相互独立，则，故错误.
故选：B
18．甲、乙两人先后抛掷同一枚骰子，甲先抛1次，乙再抛1次，看作1次操作，然后重复上面的操作．若某次操作甲、乙抛掷向上点数之差的绝对值大于3，记本次操作无效，若连续两次操作无效，则停止抛掷骰子，则4次操作后停止抛掷骰子的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3的概率，结合独立事件和对立的事件的概率公式可求4次操作后停止抛掷骰子的概率.
【详解】每次操作共有种结果，其中甲、乙抛掷的向上点数之差的绝对值大于3的结果有：
，，，，，，共有6种，
所以每次操作无效的概率为，
若4次操作后停止抛掷骰子，则第2次不是无效操作，第3次与第4次是无效操作，
所以所求概率为．
故答案为：.
19．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲 乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲 乙两人中至少有一人通过面试的概率是 .
【答案】
【分析】根据独立事件同时发生的概率乘法公式及对立事件的概率公式得解.
【详解】由题意，甲没有通过面试的概率，
乙没有通过面试的概率，
所以甲、乙都没有通过面试的概率为，
所以甲 乙两人中至少有一人通过面试的概率是.
故答案为：
20．已知随机事件与对立，与相互独立，若，则 .
【答案】0.18/
【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出．
【详解】因为与对立，所以，
又与相互独立，所以．
故答案为：0.18．
21．某班举办联欢会，甲、乙两名同学组队参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙二人在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ．
【答案】/0.95
【分析】方法一、根据题意，设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“甲、乙二人至少猜对一个成语”，则，根据独立事件乘法公式求解即可；方法二、利用对立事件求解.
【详解】方法一、设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“甲、乙二人至少猜对一个成语”，
所以，则．
由题意知，事件A，B相互独立，
则．
方法二、事件的对立事件“甲、乙二人一个成语也没有猜对”，即，
则．
故答案为：
22．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
【答案】/
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可.
【详解】记端午假期甲地降雨为事件，乙地降雨为事件，
由题知，，且相互独立，所以相互独立，
所以两地都不降雨的概率为.
故答案为：
04全概率公式及其应用
23．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2
【答案】A
【分析】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品，求得，由全概率公式可得答案.
【详解】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品，
，，
由全概率公式
.
所求概率为，
故选：A.
24．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是废品的概率为（ ）
A．0.21 B．0.05 C．0.94 D．0.95
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算.
【详解】记表示第台加工的零件，表示任取一件为废品，
则,
所以任取一零件，它是废品的概率.
故选：B
25．运动员甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.3，0.4，0.3；在甲使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，甲能够获得奖牌的概率依次为0.5，0.5，0.4.若甲参加某次游泳比赛，则甲没有获得奖牌的概率为（ ）
A．0.47 B．0.49 C．0.51 D．0.53
【答案】D
【分析】利用全概率公式及条件概率进行求解.
【详解】设表示“甲使用自由泳参加比赛”，表示“甲使用蛙泳参加比赛”，表示“甲使用仰泳参加比赛”，表示“甲没有获得奖牌”，则.
故选：D
26．已知某次数学测试卷中有8道4选1的单选题，某学生能完整做对其中6道题，在剩下的2道题中，有1道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案.小明从这8题中任选1题，则他做对的概率为 .
【答案】/0.875
【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.
【详解】设小明从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的6道题为事件B，
选到有思路的1道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，
则，，，
由全概率公式可得：
.
故答案为：.
27．某商店组织了一场盲盒抽奖活动，组织方共准备了20个盲盒，其中有5个盲盒内有奖品．抽奖者甲先拿起了一个盲盒，正在犹豫是否打开的时候，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ．
【答案】
【分析】先计算甲第一次拿的盲盒有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，再计算甲第一次拿的盲盒没有奖情况下，选择另外一个盲盒有奖的概率，然后根据全概率公式即可求得结果.
【详解】设表示甲第一次拿的盲盒有奖，表示甲第一次拿的盲盒无奖，表示甲最终中奖.
因为共有20个盲盒，其中5个盲盒有奖，
所以，.
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中4个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则；
若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩19个盲盒，其中5个有奖，
甲再选另一个盲盒打开，则；
根据全概率公式得：
.
故答案为：.
28．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，.求和.
【答案】，
【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】根据条件概率计算出结果
因为，，
所以，
，
由于，
解得，
所以.
，
解得.
29．甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
(1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出；
（2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.
【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
（2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
05 贝叶斯公式及其应用
30．某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是．
(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；
(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可；
（2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，，
由全概率公式，得
.
（2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是乙厂生产的概率为
.
31．某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么：
(1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？
(2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？
【答案】(1)0.26
(2)
【分析】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”，利用全概率公式即可求解；
（2）利用贝叶斯公式即可求解.
【详解】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”，
则，
所以．
（2）所以．
32．已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为.
(1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求；
(2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解；
（2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解.
【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件，
事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，
所以；
（2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品，
由题意可得，，
由全概率公式可得，
所以，
即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为.
33．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三个厂的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三个厂供应的产品数之比为2：3：5，将三个厂的产品混合在一起现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
【答案】这件产品由丙厂生产的可能性最大
【分析】设事件A表示“取到的产品为正品”，事件，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由全概率公式和贝叶斯公式得解.
【详解】解：设事件A表示“取到的产品为正品”，事件，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”．
由题意知，，，，，．
由全概率公式得．
由贝叶斯公式得，
，．
所以这件产品由丙厂生产的可能性最大．
34．某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】(1)需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个
(2)0.028
(3)甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元
【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进而求出数量；
（2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可；
（3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用.
【详解】（1）设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
35．临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的4‰，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；
(2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】利用贝叶斯公式求解.
【详解】（1）解：设事件是试验结果是阳性反应，事件是被检查者患有癌症，
则，，，
，，，
由贝叶斯公式得
.
（2）.
06 全概率公式与贝叶斯公式综合
36．某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率.
【答案】(1)0.71
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，
“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件.
则
.
（2）.
37．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占，而其余包中各含1个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设“取到的一包含4个次品”，“取到的一包含1个次品”，“采购员拒绝购买”，求出，，，，根据全概率公式求出；
（2）求出.
【详解】（1）设“取到的一包含4个次品”，“取到的一包含1个次品”，“采购员拒绝购买”，
，，，，
由全概率公式得到．
（2）.
38．设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．
(1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率；
(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可.
【详解】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，：从甲袋中取出2个白球，：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球．
显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间．
由全概率公式，得
．
答：从乙袋中取出的是2个红球的概率为．
（2）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则，
，，
故，
所以
答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是识别全概率公式运用的条件.
39．一个袋子中有10个大小相同的球，其中黄球6个，红球4个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)对于事件，当时，证明：；
(3)利用（2）中的结论，求第次都摸到红球的概率.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”，则第2次摸到红球的事件为，
由题意可得，，
所以；
（2）因为，
所以，得证；
（3）由题意可知，，
由（2）中结论，
可得.
40．假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.
(1)求取出的零件是次品的概率；
(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全概率公式即可得解；
（2）根据条件概率公式可得解.
【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”，
事件“取出的零件是次品”，
则，且互斥，
则，，
所以，，
所以
，
所以取出的零件是次品的概率为；
（2）取出的是次品是从第一箱取出的概率
，
所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为.
41．在一个抽奖游戏中，主持人在编号分别为的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品，并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个，在开箱之前，主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的，则从中随机选取一个），并给抽奖人第二次选择箱子的机会，然后，主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里，则奖品由抽奖人获得；否则，抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱.
(1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率；
(2)若主持人打开的空箱子是3号箱，请问抽奖人是坚持选择1号箱，还是改选2号箱？请你给出建议，并说明理由.
【答案】(1)
(2)建议抽奖人改选2号箱,理由见解析
【分析】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，由全概率公式有，然后结合题意即可求解；
（2）利用条件概率求出，即可得解．
【详解】（1）设 “奖品在第号箱子里” ，2，， “主持人打开3号箱”，
由全概率公式，得
；
（2）因为，
，
所以，
即建议抽奖人改选2号箱．
1．（2025·浙江·三模）已知随机事件A，B发生的概率分别为，且则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据条件概率公式、对立事件概率公式判断.
【详解】若，则，
若，则不一定成立，则不一定成立，
如，时，，满足，但不满足，
若，则，故，即，
所以是的必要不充分条件，
故选：B.
2．（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）已知事件，且，则（ ）
A．事件与事件互为对立事件
B．若事件与事件互斥，则
C．若事件与事件互斥，则
D．若，则事件与事件相互独立
【答案】BD
【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可.
【详解】对于A,由于对立事件概率和为1，但，A错误，
对于B、C,由事件与事件互斥，，,
所以B正确 ,C错误
对于D,因为，，故事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立,D正确.
故选:BD
3．（多选）（2025·河南驻马店·模拟预测）记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BC
【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解.
【详解】A选项：，，，所以，
所以与不互斥；
B选项：，，，所以，
所以与互斥；
C选项：，，，
所以，，，
所以，与相互独立；
D选项：，，，
所以，
，，，
所以，与不相互独立.
故选：BC.
4．（多选）（2025·浙江绍兴·二模）某考试有20道三项选择题．某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项．试卷下发后，更是发现自己一题也不会做．于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案．设其答对第n题的概率是．则下列说法正确的是（ ）
A．P（猜对第n+1题|猜对第n题） B．P（猜对第n+1题|猜错第n题）
C． D．全部猜对的概率为
【答案】AC
【分析】用表示第题答对，设每道题的选项为，在第题的正确答案为的假设下列举即可判断A选项；在第题的正确答案为，第题的正确答案为的假设下列举即可判断B选项；列出即可求出数列是各项均为的常数列，进而判断C选项；利用即可判断D选项.
【详解】用表示第题答对，则表示第题答错，，
设每道题的选项为，
不妨设第题的正确答案为，
则在猜对第题的条件下，该同学第题可能选择或两种情况，
又由没有连续相同的选项可知，第题的正确答案必为中的一个，
则，故A选项正确；
由于没有连续相同的选项，不妨设第题的正确答案为，第题的正确答案为，
则在该同学第题答错的条件下，
该同学这两道题的选项可能为，
其中第题答对的是，
故，故B选项错误；
容易得出，则，
又，则，则数列是各项均为的常数列，
则，故C正确；
全部猜对的概率，故D错误.
故选：AC
5．（2025·山东·二模）甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
(1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
(2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
附：当0 < q < 1时，．
【答案】(1)
(2)方案二，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出满足题意的所有事件，根据概率的加法公式即可求解；
（2）根据概率公式分别求得选方案一和方案二时甲获胜的概率，作商比较大小即可求解．
【详解】（1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为：
：甲贏第1，3，4局，乙赢第2局，
：甲赢第2，3，4局，乙赢第1局，
：乙赢第1，3，4局，甲赢第2局，
：乙赢第2，3，4局，甲赢第1局，
对应概率：；
（2）设事件：甲最终获胜，事件：甲乙在前两局结束后得分相同．
记使用方案一，二时甲胜出的概率分别为．
对于方案一，根据条件概率公式：
，
因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲，乙各胜出一局达到同分的条件下，甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率恰为，即，
故，
从而．
对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每局胜者按照“甲乙甲乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律．
从而甲获胜的概率
，
显然，令，
有，即，
因为，所以
所以应选择方案二．
6．（2025·云南·模拟预测）有个编号分别是的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第个罐子中随机取出一颗糖果.设事件表示从第个罐子中取出红色糖果，记事件发生的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值，并证明：当时，；
(3)求（用含的式子表达）.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析；
(3).
【分析】（1）由古典概率结合题意可得答案；
（2）由题意及全概率公式可得答案；
（3）设，由（2）可知，然后通过构造等比数列可得答案.
【详解】（1）在第一个罐子中共有糖果颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式，
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由全概率公式，得
所以即；
（3）记，由（2）知递推关系式，变形为，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
则即.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
2．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.
【详解】解法一：列举法
给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，
则甲参加“整地做畦”的概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选择有3种可能性：，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.
解法二：
设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，
则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为
故答案为：；
3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.

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