资源简介

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第05讲 椭圆及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 椭圆的定义 4
知识点2 椭圆的简单几何性质 4
题型破译 6
题型1 椭圆的定义及其应用 6
【方法技巧】定义结合焦点三角形
题型2 椭圆的标准方程 10
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 14
题型4 椭圆中的焦点三角形 16
题型5 离心率 21
题型6 与椭圆有关的范围(最值) 26
题型7 椭圆的实际应用 29
04真题溯源·考向感知 35
05课本典例·高考素材 48
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程； 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； 3.掌握椭圆的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，18题，17分 全国二卷，16题，15分 北京卷，19题，15分 新课标I卷，第16题，15分 新课标Ⅱ卷，第5题，5分 新课标I卷，第5题，5分 全国甲卷（理数），第12题，5分 北京卷，第19题，15分
考情分析： 椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大； 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
复习目标： 1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特征，进而得出椭圆的定义. 2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化. 3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从方程到曲线性质的推理逻辑.
知识点1 椭圆的定义
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
自主检测（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ．
【答案】3
【分析】通过椭圆的焦点在x轴或者y轴上，由椭圆的定义求出即可求解.
【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）；
若椭圆的焦点在y轴上，则，由得.
故答案为：3．
知识点2 椭圆的简单几何性质
1..椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 (a>b>0) (a>b>0)
范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝ (0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
2.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，
当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
(6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.
(7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
自主检测（多选）已知椭圆，则（ ）
A．C的长轴长为8
B．C的焦点坐标为
C．C的离心率为
D．C上的点到焦点的最大距离为
【答案】ACD
【分析】由椭圆的标准方程分别得到，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于椭圆，，则，
则，
对于A，椭圆的长轴长为，故A正确；
对于B，椭圆的焦点在轴上，且，
则焦点坐标为，故B错误；
对于C，离心率，故C正确；
对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确；
故选：ACD
题型1 椭圆的定义及其应用
例1-1如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 .
【答案】35
【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，
根据椭圆的对称性，可知，，，
又根据椭圆的定义，得，，，，
所以，
又由椭圆，可知，
所以.
故答案为：.
例1-2给定点，已知点是椭圆上的动点，是左焦点.
(1)当取最小值时，求点的坐标；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由椭圆的第二定义可求得，利用化折为直的思想即可求得当|取最小值时，点的坐标；
（2）由椭圆第一定义有，即，又，利用两点间的距离公式求，进而求解.
【详解】（1）由题意可知，且左准线为：.
过点作准线的垂线，垂足为，过作此准线的垂线，垂足为，由椭圆第二定义有.
从而（定值）.
当且仅当点是与椭圆的交点时等号成立，此时点.
当取最小值时，点的坐标为.
（2）设是椭圆的右焦点，则.
由椭圆第一定义有，
.
，且，
，
的最大值和最小值分别为和.
方法技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【变式训练1-1】（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ）
A．
B．的长轴长为4
C．的最小值为
D．的最大值是
【答案】ABD
【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D.
【详解】设，因为，所以，
因为，所以，解得，A正确．
因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确．
的最小值为，C错误．
因为，
当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确．
故选：ABD
【变式训练1-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 .
【答案】5
【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值.
【分析】因为，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.
易知，即，
所以.
故答案为：5
【变式训练1-3】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程.
【详解】设，
因为，可得，
可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，
且，则，
所以动点M的轨迹方程是.
故答案为：.
题型2 椭圆的标准方程
例2-1 “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题考查的是对充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征.
【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且，
所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B．
例2-2（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知焦点及定义计算求解椭圆方程；
（2）先联立方程组得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.
【详解】（1）由题意可得解得
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
方法技巧
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
【变式训练2-1】方程表示的曲线是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定
【答案】A
【分析】由题意可得，利用圆锥曲线的定义可得结论.
【详解】由方程，可得，
即到的距离与到直线的距离之比为，
由圆锥曲线的定义可知，表示的曲线为椭圆．
【变式训练2-2·变考法】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可.
【详解】因为，所以，
设，则，，所以，．
因为，所以，
在中，，即，解得，
所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为．
故答案为：
【变式训练2-3·变载体】已知点是椭圆上的三点，其中点是椭圆的右顶点，直线过椭圆的中心，且，，如图所示.

(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得直线与直线关于直线对称，求直线的斜率.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件判断的形状，然后求出的坐标，进而求出椭圆方程.
（2）首先求出直线的方程，然后联立直线方程和椭圆方程，将用表示出来，从而可求出的斜率.
【详解】（1），且过椭圆的中心，
.
.
又点的坐标为.
是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：.
将点代入方程，得，
椭圆的方程为.
（2）直线与直线关于直线对称，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，从而直线的方程为：，
即，

由，消去，整理得：.
是方程的一个根，
，即.
同理可得：.
，
，
，
则直线的斜率为定值.
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
例3-1已知椭圆的焦距为4，则离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论焦点的位置，根据的关系列方程求解即可求出离心率.
【详解】由题：焦距为4，所以
若焦点在轴上，则,此时离心率为，
若焦点在轴上，则（舍），
故选：C.
例3-2（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先根据，以及余弦定理，确定，再根据椭圆方程，即可求解.
【详解】由及余弦定理，得，
整理得，
即，故该椭圆的长轴长为.
故选：A
例3-3（多选）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案.
【详解】由题可知，所以.
故选：A.
方法技巧
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
【变式训练3-1】（2025·重庆·三模）已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率.
【详解】已知椭圆方程，则.
根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为.
因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得：
即，移项可得.
因为，所以.
由，.
根据椭圆离心率公式，可得.
此椭圆的离心率为.
故选： B.
【变式训练3-2】（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ）
A．长半轴长为 B．短半轴长为
C．焦距为4 D．离心率为
【答案】AD
【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案.
【详解】，
，解得.
该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，
短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，
椭圆的焦距为，
椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误.
故选：AD.
题型4 椭圆中的焦点三角形
例4-1（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值；
解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值.
【详解】依题意，，，
解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
因为平分，由角平分线定理可得，故，
所以，即，
故，所以.
解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
由，得，
所以.
故选：B.
例4-2（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
【答案】BCD
【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项.
【详解】对于A选项，在椭圆中，，，，
，则、，
设点，，，故选项A错误；
对于B选项，由椭圆的定义可知，
的周长为，故选项B正确；
对于C选项，设，，可得，
由余弦定理可得
，
所以，
所以，解得，故选项C正确，
对于D选项，设的内切圆半径为，
则，
，故选项D正确.
故选：BCD.
方法技巧
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【变式训练4-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
【答案】ACD
【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误.
【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长，
半焦距，故，
对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大，
此时面积为，故A正确；
对于B，若的平分线必过椭圆的中心，
因为，则此时为等腰三角形，故，
故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心，
故B错误；
对于C，因为，故，
由余弦定理可得，
故，故，
所以，故，故C正确；
对于D，设，则，
故，
所以，
而，故，
所以即，故，
所以，因为，故符号该不等式，
故椭圆C上存在点P，使得，故D正确；
故选：ACD.
【变式训练4-2·变载体】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】首先根据椭圆的定义求出的值，然后可确定，进而得到点的坐标，从而求出直线的斜率.
【详解】如图所示，根据椭圆的定义可知，①，
由题意知②，
联立①②方程组可解得.
而，所以，即为直角三角形，.
由于在第二象限，所以点的坐标为.
因为，所以直线的斜率为.
故答案为：.
题型5 离心率
例5-1设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.
【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点，
因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系，
由，结合对称性、圆的切线性质，
令，且，
所以，
所以，可得，故，
故选：D．
例5-2（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定.
【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以；
又因为是双曲线的焦点，所以
所以，故A正确；
对于B，由题意可得，两式平方整理得，
在中，由，得，即，
又由，，可得，解得，故B正确；
对于C，由B可得，即，即，故C错误；
对于D，由C可得，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确．
故选：ABD.
方法技巧
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
【变式训练5-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率.
【详解】设，，，，，，
又，，解得，，
此时，，，，解得，
又点在上，，，，
又，即，解得，，
即.
故选：
【变式训练5-2】已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件求出椭圆方程，设，可得切线的方程为 ，利用垂直关系即可求解.
【详解】由离心率 ，得 ，结合 ，解得 .
将点代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 .
设，则切线的方程为 .
当时，即，此时直线方程为，满足，
当时，即，此时直线方程为，满足
当，时，得斜率关系 ，则不满足，
结合选项，正确答案为.
故选：A
【变式训练5-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.
【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，
设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，
因为，设为直线的倾斜角，则，
所以，所以，
.
所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.
【变式训练5-4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，，
因为为等腰三角形，且为钝角，则，
设点，则，，
则，可得，又因为，故，
所以
，
所以，化简得出.
故答案为：.
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
例6-1（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
【答案】BD
【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断.
【详解】椭圆即为，
故，
对于A，，故A错误；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，的最小值为，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：BD.
例6-2（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为
C．点在椭圆C内 D．的值可以是6
【答案】BC
【分析】根据题意先求，进而得即可判断ABC，对于D设，则，利用的范围即可判断.
【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；
离心率为，故B正确；
又因为，故C正确；
设，，
所以，
又，所以，又，故D错误，
故选：BC.
方法技巧
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
【变式训练6-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为
C． D．恰好存在两个点P使得
【答案】BC
【分析】由椭圆的方程可得，即可判断AB；由判断C，确定P点所在方程，联立椭圆方程可求出符合题意的点的个数，判断D.
【详解】对于椭圆，，故椭圆长轴长为，A错误；
椭圆离心率为，B正确；
点）是椭圆E上的一个动点，则，即，C正确；
由可知P点位于以为直径的圆上，，
则该圆方程为，联立，解得，
则或或或，故满足题意的点P有4个，D错误，
故选：BC
【变式训练6-2】（多选）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据的范围判断A，利用余弦定理判断B，根据对称性判断C，记双曲线的实半轴长为，设，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达，从而建立关于的方程，求出，即可判断D.
【详解】对于A：椭圆的左右焦点分别为，，
点在上，所以，故A正确；
对于B：因为，
在中由余弦定理，
即，即，所以，故B正确；
对于C：若是等腰三角形，若或，由对称性可知满足条件的点有个；
若，又，则，此时点在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件的点有个；
综上可得，满足条件的点有个，故C错误；
对于D：记双曲线的实半轴长为，在第二象限，
所以，，
设，因为交轴于点，且平分，
所以，
在中，由余弦定理可知，，
设，则，
由角平分线定理可知，，即，解得，
在中，，
所以，因为，解得，
因此，双曲线的离心率，故D正确.
故选：ABD
题型7 椭圆的实际应用
例7-1（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设切线上一动点为，根据椭圆定义得到，设右焦点关于切线的对称点为，设左焦点关于切线的对称点为，，分析知，，三点共线，所以，即可判断选项A，由投影及对称性分析得，，判断选项B，取切点在椭圆上顶点时，可得，由椭圆中与的大小不确定，进而判断选项C，设，，，结合余弦定理，化简后即可判断选项D.
【详解】对于选项A：设切线上一动点为，
一方面根据椭圆定义得到，
当且仅当点在切点时，取到等号；
另一方面，设右焦点关于切线的对称点为，
设左焦点关于切线的对称点为，
则，
当且仅当点，，，三点共线时，取到等号；
所以，，三点共线，所以，故选项A正确；
对于选项B：由前面分析得到，同理，
所以，故选项B正确；
对于选项C：举反例说明，如取切点在椭圆上顶点时，则，
而所给椭圆中与的大小不确定，故选项C不正确；
对于选项D：设，，，
所以，，则，
又在中，，
化简得，即，
所以，故选项D正确.
故选：ABD.
例7-2小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（ ）（用表示）.

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设篮球半径为，连接，过作交于，则，于是椭圆长轴长，，由二倍角公式化简即可求解.
【详解】
设篮球半径为，显然平面平面，连接平面，
过作交于，则，
于是椭圆长轴长，
在四边形中，，
令椭圆半焦距为，而，则，
解得，
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
【变式训练7-1】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造一个底面半径为，高为的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.
【详解】构造一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，
圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体．
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为，
则，即，故新几何体的截面面积为．
把代入，即，解得，
故半椭球的截面面积为，
由祖暅原理，可得椭球的体积为：
圆柱圆锥．
故选：A．
【变式训练7-2】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可
【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，
由图可知，椭圆的短半轴长，
在中，，
由正弦定理得：
，
所以，

故选：D.
【变式训练7-3】如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .

【答案】或
【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解.
【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于，
此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中，
,又，
所以，
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即，
所以椭圆的标准方程为或，
故答案为：或.

1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；
（2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长.
【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）
由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，
解得，
故.
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出.
【详解】（1）由题可知,，所以，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）(ⅰ)设，易知，
法一：所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为.
法二：设，则，所以
，，故
点的坐标为.
(ⅱ)因为,,由,可得
,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
法一：设,所以
,当且仅当时取等号,
所以.
法二：设，则，
，当且仅当时取等号,
故.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为或.
【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；
（2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解得或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解；
（2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解.
【详解】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，使得恒成立.
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）
若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.
综上，存在，使得恒成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
1.椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.
【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.
故选：D.
2.若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
【答案】14
【分析】借助椭圆定义即可得.
【详解】由，则，由在椭圆上，故有,
又，所以.
故答案为：.
3.如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．

【答案】
【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程.
【详解】圆的圆心为，半径.
圆的圆心为，半径，
，所以圆与圆的关系是内含.
设动圆圆心为，动圆半径为，
由于，
所以点的轨迹是以为焦点，即，，的椭圆，
所以点的轨迹方程为.

4.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
【答案】答案见解析
【分析】由椭圆的标准方程可以知道，，则椭圆位于四条直线，所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出在第一象限内的图形就可画出整个椭圆．
【详解】根据椭圆的方程，得，，，
所以，椭圆的长轴长，短轴长，
离心率，焦点为，，
顶点为，，，．
将方程变形为，
根据算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标（如下表所示）：
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．

5.如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？

【答案】点M的轨迹是椭圆，理由见解析
【分析】点在圆上运动，点P的运动引起点运动．我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程．
【详解】设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为，
由点M是线段的中点，得，．
因为点在圆上，
所以 ①
把，代入方程①，得，
即．
所以点的轨迹是椭圆．
6.根据下列条件判断方程表示什么曲线.
(1)；
(2).
【答案】(1)椭圆
(2)双曲线
【分析】（1）利用椭圆的标准方程判断即可；
（2）利用双曲线的标准方程判定即可.
【详解】（1）当时，且，故方程表示椭圆；
（2）当时，，方程，故表示双曲线；
7.已知椭圆C的焦点为，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率．
【答案】
【分析】根据等边三角形以及椭圆的知识求得正确答案.
【详解】因为，
由于是等边三角形，所以，
从而有．中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 椭圆及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 椭圆的定义 4
知识点2 椭圆的简单几何性质 4
题型破译 5
题型1 椭圆的定义及其应用 5
【方法技巧】定义结合焦点三角形
题型2 椭圆的标准方程 7
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴 8
题型4 椭圆中的焦点三角形 9
题型5 离心率 10
题型6 与椭圆有关的范围(最值) 11
题型7 椭圆的实际应用 12
04真题溯源·考向感知 15
05课本典例·高考素材 17
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程； 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； 3.掌握椭圆的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，18题，17分 全国二卷，16题，15分 北京卷，19题，15分 新课标I卷，第16题，15分 新课标Ⅱ卷，第5题，5分 新课标I卷，第5题，5分 全国甲卷（理数），第12题，5分 北京卷，第19题，15分
考情分析： 椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大； 与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
复习目标： 1.通过对椭圆定义的探究过程，体会从具体实例中抽象出数学概念的方法，培养观察、分析、归纳和概括的能力.例如，从生活中常见的椭圆形状物体（如鸡蛋、行星轨道模型等）出发，引导学生思考如何用数学语言描述其特征，进而得出椭圆的定义. 2.在推导椭圆标准方程的过程中，学会运用坐标法解决几何问题，提高运用代数方法研究几何问题的能力，体会数形结合思想的应用.如在建立平面直角坐标系后，将椭圆上点满足的几何条件转化为代数方程，通过化简方程得到椭圆的标准方程，在这个过程中深刻理解数与形之间的相互转化. 3.通过对椭圆几何性质的研究，掌握从方程研究曲线性质的一般方法，培养逻辑推理能力。例如，根据椭圆的标准方程，通过分析方程中(x)，(y)的取值范围得出椭圆的范围，从方程的形式判断椭圆的对称性等，逐步建立起从方程到曲线性质的推理逻辑.
知识点1 椭圆的定义
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
自主检测（2025·湖南娄底·二模）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ．
知识点2 椭圆的简单几何性质
1..椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 (a>b>0) (a>b>0)
范围
顶点 A1 ， A2 ， B1 ， B2 A1 ， A2 ， B1 ， B2 ，
轴长 短轴长为 ，长轴长为
焦点 F1 ， F2 ， F1 ， F2 ，
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴： ，对称中心：
离心率 .
a，b，c的关系 .
2.椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，
当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.
(1)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为．
(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．
(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ．
(6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.
(7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．
自主检测（多选）已知椭圆，则（ ）
A．C的长轴长为8
B．C的焦点坐标为
C．C的离心率为
D．C上的点到焦点的最大距离为
题型1 椭圆的定义及其应用
例1-1如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 .
例1-2给定点，已知点是椭圆上的动点，是左焦点.
(1)当取最小值时，求点的坐标；
(2)求的最大值和最小值.
方法技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【变式训练1-1】（多选）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ）
A．
B．的长轴长为4
C．的最小值为
D．的最大值是
【变式训练1-2】（2025·甘肃金昌·二模）已知是椭圆上的动点，，且，则 .
【变式训练1-3】已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
题型2 椭圆的标准方程
例2-1 “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例2-2（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
方法技巧
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
【变式训练2-1】方程表示的曲线是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．不能确定
【变式训练2-2·变考法】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ．
【变式训练2-3·变载体】已知点是椭圆上的三点，其中点是椭圆的右顶点，直线过椭圆的中心，且，，如图所示.

(1)求点的坐标及椭圆的方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得直线与直线关于直线对称，求直线的斜率.
题型3 椭圆的焦距与长轴、短轴
例3-1已知椭圆的焦距为4，则离心率（ ）
A． B． C． D．
例3-2（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．6 B． C． D．3
例3-3（多选）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ）
A． B． C．1 D．
方法技巧
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
【变式训练3-1】（2025·重庆·三模）已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ）
A．长半轴长为 B．短半轴长为
C．焦距为4 D．离心率为
题型4 椭圆中的焦点三角形
例4-1（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
例4-2（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．点纵坐标为 B．的周长为
C． D．的内切圆半径为
方法技巧
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
【变式训练4-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ）．
A．的面积的最大值为12
B．的平分线必过椭圆的中心
C．若，则
D．设，椭圆C上存在点P，使得
【变式训练4-2·变载体】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为 ．
题型5 离心率
例5-1设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例5-2（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值为
方法技巧
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
【变式训练5-1】已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 .
题型6 与椭圆有关的范围(最值)
例6-1（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（ ）
A．C的离心率为 B．的周长为12
C．的最小值为3 D．的最大值为16
例6-2（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（ ）
A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为
C．点在椭圆C内 D．的值可以是6
方法技巧
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
【变式训练6-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为
C． D．恰好存在两个点P使得
【变式训练6-2】（多选）椭圆的左右焦点分别为，，点在上，双曲线与椭圆有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．若是等腰三角形，则满足条件的点有4个
D．若是椭圆与双曲线的交点，且在第二象限，交轴于点，平分，则双曲线的离心率为
题型7 椭圆的实际应用
例7-1（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
例7-2小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（ ）（用表示）.

A． B． C． D．
【变式训练7-1】我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练7-2】油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ）

A． B． C． D．
【变式训练7-3】如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .

1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
1.椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2.若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ．
3.如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．

4.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
5.如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段的中点M的轨迹是什么？为什么？

6.根据下列条件判断方程表示什么曲线.
(1)；
(2).
7.已知椭圆C的焦点为，短轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求椭圆C的离心率．

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