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第05讲 空间向量及其应用
目录
01 常考题型过关练
题型01 空间向量的加减数乘运算
题型02 空间向量基本定理
题型03 空间向量的数量积运算
题型04 共线问题
题型05 共面问题
题型06 平行、垂直的向量证明
题型07 线线角、线面角的向量求法
题型08 面面角的向量求法
题型09 点面、面面距离的向量求法
题型10 点线、线线距离的向量求法
题型11 轨迹问题的向量求法
题型12 探索性问题的向量求法
题型13 夹角最值问题的向量求法
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 空间向量的加减数乘运算
1．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意点是的中点，
所以.
故选：B.
2．在空间四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题知，.
故选：A
3．在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意易知是的中位线，即，
所以.
故选：C
02 空间向量基本定理
4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为N为BC的中点，则，所以，，
则，因此，．
故选：D
5．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，
因为，，所以，
所以.
故选：D．
6．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】

在三棱柱中，
，
故选：B.
7．在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】

在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，
可得
，
所以
则.
故选：B.
03 空间向量的数量积运算
8．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【详解】已知向量，，
则向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：
9．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，.
根据向量数量积坐标运算：可得.
根据向量模长公式：可得，.
根据向量夹角公式可得.
因为.
根据平行四边形面积公式，可得.
则邻边的平行四边形的面积为.
故选：B.
10．（多选）在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，，故A正确：
对于B，，故B错误，
对于C，，故C错误：
对于D，易得为正三角形，故，故D正确.
故选：AD
11．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．一定为锐角 B．一定为直角
C．一定为钝角 D．锐角 直角 钝角均有可能
【答案】A
【详解】因为底面是正方形，所以，又因为底面，所以两两垂直，
所以，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，因为在线段上，所以，
所以，
则，
所以，
所以一定是锐角，
故选：A.
12．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 .
【答案】
【详解】设分别为的中点，连接，
在正三角形中，，，
在正方形中，，，，
所以为二面角的平面角，即，
所以
.
故答案为：.
13．在三棱柱中，为的中点，则 .
【答案】/
【详解】根据题意，取中点，连接,
，
又，
则
，
所以.
故答案为：.
04 共线问题
14．已知向量，，若，则 .
【答案】5
【详解】由，得，解得，，
所以
故答案为：5
15．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 .
【答案】/
【详解】由题意可知，
，，则，
，
，，三点共线，，．
故答案为：.
16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）依题意，
.
（2）因为，
点在对角线上，且，
所以，
则，
因为、、三点共线，所以，
即，
又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底，
所以，解得.
05 共面问题
17．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【详解】由四点共面，所以，即，
故选：C.
18．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，
，
令，则，
又，故点共面，
所以.
故选：B.
19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故选：C.
20．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 .
【答案】
【详解】设，
其中，为的中点，，
故,
所以，，
因为四点共面，所以，解得
故答案为：
21．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且．
(1)证明：，，，四点共面．
【答案】(1)证明见解析；
【详解】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，
则，
于是，即向量共面，
又向量有公共点，所以，，，四点共面.
06 平行、垂直的向量证明
22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）在四棱锥中，平面，，
则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
从而，设平面的法向量，
则，取，得，
又，所以，即，所以平面；
23．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∴，设平面的一个法向量为，
∵，，
令，∴，∵，∴，
又∵平面，所以平面.
24．在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面.

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接，，
因平面，平面，平面平面，所以，
设，，连接，
由在四棱台中，平面平面，
平面平面，平面平面，
则得，
又由题意知，则得四边形是等腰梯形，
所以，同理可证，
因，平面，所以平面，
又底面是菱形，所以，
则以为原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，

因为菱形的边长为，，则，，
则，，则，
所以，，，，，
则，，，
设，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
所以，即平面，
又平面，所以平面平面；
25．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接，交于点，再连接．
因为底面是正方形，所以点是的中点．
又是的中点，所以．
而平面且平面．
因此平面．
（2）由底面，底面是正方形且与平面所成角为，又，可知是等腰直角三角形，即．
现以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
设，则，，，，
且．．
．
，．
同理．则.
又,平面,平面；
07 线线角、线面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：连接，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以，
因为，、平面，所以平面，
又平面，则．
（2）因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为，
所以与平面成角的余弦值为．
27．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为P，D分别是，的中点，则，
在三棱柱中，则，可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）由题意知三棱柱中，侧棱与底面垂直，
且，，
故，∴，
以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
则，，
可得，
所以直线平面夹角的正弦值为.
28．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）.
(1)若，求直线与所成角的余弦值；
(2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系.
已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为；
又因为，，所以点坐标为.
所以，.
根据向量的夹角公式，，
，所以.
因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.
（2）因为，，所以点坐标为.
那么，，.
设平面的法向量为，有，即.
令，得，解得；
把，代入得，解得.
所以.
已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角），
则.
等式两边同时平方得.
化简：，即.
展开得. 移项整理得，
又因为，所以，解得.
29．如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点．
(1)求证：平面平面PAC；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)或．
【详解】（1）连接BD，因为E，F分别是线段PB，PD的中点，所以．
因为平面平面ABCD，所以，即，
又ABCD为正方形，所以，即
又平面PAC，所以平面PAC，
又平面EFG，所以平面平面PAC．
（2）如图，以为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，
设，则．
设平面AEF的一个法向量为，则，令得．
设直线AG与平面AEF所成角为，则
解得或，所以或．
08 面面角的向量求法
30．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接.
(1)证明:⊥平面 ；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为⊥平面，平面，
所以⊥.又⊥，且，平面，
所以⊥平面.
因为，所以⊥平面；
（2）作⊥，垂足为.则，又，
所以四边形是平行四边形，又⊥，
所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，
且，，所以.
由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥.
又，所以，在Rt中，.
在Rt中，.
以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
则，
所以，，，，
设平面的法向量为，
由，得，
解得，令，则，故，
设平面的法向量为，
由，得，
令得，，
可得，
因此.
故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为.
31．图，四边形为正方形，平面平面，，点在线段上，．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：过点作，垂足为．
因为，所以四边形是正方形，
所以，，
则是等腰直角三角形，所以，则，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以．
因为，所以平面．
（2）证明：连接，记，连接．
由（1）得四边形是正方形，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
又，所以．
因为，所以，即，
所以，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（3）
连接．在正方形中，．
由（2）得平面，因为平面，所以．
因为，所以平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由题可知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量．
，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
32．如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接，，
因为且，
所以四边形为菱形，故，
又因为，所以四边形为平行四边形，
故有，所以，
因为，、平面，，故平面，
因为平面，所以．
（2）证明：如图，连接交于点O，连接．
因为，且，
所以，所以O为的三等分点，
又因为，所以M为的三等分点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（3）由题意知，，，
因为，平面，与相交，所以平面．
以菱形的对角线交点为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，由于，
则，，，，，
由知．
设平面的法向量为，
，，
所以，令，则，，
即，
设平面的法向量为，
，，
所以，令，则，，
即，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
33．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC.
(1)证明：为PD的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求PA的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接BD交AC于，连接OE，
因为底面ABCD是菱形，所以是BD中点，
又平面，平面PBD，平面平面，所以，
故为PD中点.
（2）取的中点，连接，易知，则平面，
在菱形中，易知，由，，则，，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
设，则，，，，
由为的中点，则，
取，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，所以平面的一个法向量；
设平面的法向量，则，
令，则，，所以平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，则，
即，解得.
09 点面、面面距离的向量求法
34．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点．
(1)若，证明：．
(2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)或
【详解】（1）连接BD，，
因为，底面ABCD为矩形，
所以底面ABCD为正方形，所以，
在直四棱柱中，底面ABCD，则，
因为，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则，，，，，
则，，,
设平面的法向量为，
则
令，得,
由，，
所以，
所以点F到平面的距离，
解得或．
35．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，
因为，分别为棱，的中点，所以，
在长方体中，，所以，
所以，，，四点共面.
（2）以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
则点到平面的距离.
36．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，点E为线段的中点，点F为线段上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求点P到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，，所以.
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）知，平面，平面，所以，
又因为底面为正方形，所以，由，平面，
所以平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设，则，
设平面的法向量，则，
令，则，，故，
设平面的法向量，，令，则，
则平面的法向量，
由题意得，，即，
整理得，，解得或（舍），则
所以平面的法向量可取，
所以点到平面的距离.
37．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
10 点线、线线距离的向量求法
38．在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为
【答案】
【详解】设直线的单位方向向量为，
点，，，，，
，，
，，
到直线的距离为.
故答案为：.
39．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故选：D．
40．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)
【详解】（1）证明：由题知，平面ABC，
所以、、两两垂直
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，，，则
，，，，，，
所以，
故
所以
（2）由（1）分析知，，，
又，即
所以，
设平面的法向量为
则，即
令，则
由题知，是平面的一个法向量
设二面角的平面角为，则
所以二面角的余弦值为.
（3）由（2）知，，且
在上的投影向量的模长.
计算.
根据点到直线距离公式，
即点到直线的距离为.
41．如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以，
所以，即，又，所以，
在图②中，，即，又平面
所以平面，即平面，
又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，故，
则异面直线与所成的角的余弦值为；
（2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量，
所以，令，则
所以异面直线与之间的距离为.
11 轨迹问题的向量求法
42．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，则，
由，得，整理得，
所以点Q的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，此圆在正方形内部，
所以点Q的轨迹长度为.
故选：C.
43．已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为球的半径为，则，设，
则，，所以，
又，，则，得到，
如图，在线段取点，使，所以线段轨迹为圆锥的侧面，
又，则，所以圆锥的侧面积为，
所以线段轨迹的面积为，
故选：C.
44．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足．
(1)证明：平面；
(2)①求动点的轨迹长度；
②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）在上取点，使得，连接，
因为，所以，
所以，且，
又，所以，又，
所以，且，则四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，故平面；
（2）分别取的中点，连接，则底面圆，连接，
因为点为的中点，所以，易得，
以为原点，以，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
①因为，所以，所以，
则动点的轨迹是半径为的圆，其轨迹长度为；
②设平面的法向量为，
由得取，则，
因为，都在平面内，所以平面，
所以是平面的一个法向量，记为，
所以，
由题意可知，，整理得，解得，
故的值为．
12 探索性问题的向量求法
45．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使点到直线的距离为
C．存在点，使直线与所成角的余弦值为
D．存在点，使点，到平面的距离之和为3
【答案】AB
【详解】连接，则，故A正确；
点到直线的距离，故B正确；
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，则，，
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
整理得，解得，故C错误；
在平面中，过，分别作，，垂足为，，
则点，到平面的距离之和为．
设，则，
当点与重合时，点，到平面的距离之和最大，
所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误．
故选：AB
46．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．
(1)记平面平面，证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)在侧棱上存在一点，使平面，满足
【详解】（1）在正四棱锥中，，平面，平面，
则平面，而平面，平面平面，
所以.
（2）由题意可知点到平面的距离即为点到平面的距离，
因为四棱锥是正四棱锥，所以在底面的射影为正方形的中心，
即的中点，由题意可得，所以，
又，
设点到平面的距离为，由，所以，
所以，所以点到平面的距离为；
（3）在侧棱上存在一点，使平面，满足.
理由如下：连接交于，连接，则是的中点，
取中点，又，则，
过作的平行线交于，连接，在中，有，
由平面，平面，得平面，而，则，
又，平面，平面，则平面，
又，平面，因此平面平面，
又平面，得平面，所以存在，且.
47．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，
(1)求证：平面 ；
(2)求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）
如图，连接交于点，连接，由正方形可得：
因是的中点， 则，
又因平面，平面，
故平面.
（2）因则,
故有,因平面，故平面.
（3）
由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，因E是的中点，则，
设，解得，则得,,
设平面的法向量为，则
故可取.由平面可得，
即，解得，即存在点时，满足平面，
此时，.
48．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，且
【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，
因为，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：在中，因为，，，
所以，所以.
又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，、、、、，
则，，
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，取，则.
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：因为、到平面的距离相等，且、在平面的同侧，
则有平面.
因为点在棱，所以，其中，
因为，则，所以.
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以.
所以，所以.
49．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.
因为，所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
（2）因为，，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意有，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则有
令，得，，所以是平面的一个法向量.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在，使二面角的正弦值为，
即使二面角的余弦值为.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量，
，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量.
由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，
故二面角的余弦值为，
则有，
即，解得，.
又因为，所以.
故存在，使二面角的正弦值为
13 夹角最值问题的向量求法
50．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）D是的中点，翻折前，翻折后.
是的中点，翻折前，翻折后
翻折后，又，
且方向相同，.
又E是的中点，F是的中点，
翻折前、后，，
且方向相同，，
翻折后，在中，
；
（2）
过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接，
在中，，，D是的中点，
可知翻折前，；翻折后，，
又，平面，
又平面，，
又，平面，
就是三棱锥的高.
在中，，，，
由余弦定理可知.
，
.
在中，，，
，，D是的中点，E是的中点，
，
，
.
（3）在平面中，过点作，交于点，
平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
设，则，
，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，则，，，
设平面的一个法问量，
则，
令，则，，，
设平面与平面的夹角为，
则
，
，，则，
当且仅当，即时，即时，等号成立.
平面与平面的夹角的余弦值的最大值为.
51．如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
(3)求直线与平面夹角正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
52．如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．
(1)求圆台的体积；
(2)设，分别是圆台的两条母线．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
（2）（ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M，
所以A，，，B四点共面．
又因为圆面圆面O，
平面圆面，
平面圆面，
所以．
（ⅱ）在圆面O内作，垂足为O．
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，
，．
设平面的一个法向量，
因为，，
由即解得，，
取，则，，得．
设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即，时，取“”，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为
53．在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形.
(1)求证：平面；
(2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵底面是正方形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．∵平面，∴．
同理可得，
∵，，平面，∴平面．
（2）由（1）知平面，，∴平面，
又∵面，
∴．∵，，，∴平面，
又平面，∴．
∵为中点，∴．
如图，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则，，则，又．
由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
又∵，所以该椭圆，，则，
所以在平面内椭圆轨迹方程为：．
设，， ∴．
又是平面的法向量，
记与面所成角为，则，
又由Q的轨迹方程得．
记，．
该二次函数的对称轴为，∴，
所以与平面所成角正弦值的最小值为
1．（多选）已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．点到直线的距离的最小值为
C．棱上存在点，使得
D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为
【答案】ACD
【详解】如图，设的中点为，连接，
是中点，，且，
对于A，若是中点，，且，
，且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面，故A正确；
根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，
设，，，，
所以点到直线的距离，
即点到直线的距离的最小值为，故B错误；
对于C，，所以，
则，当时，，即，
所以棱上存在点，使得，故C正确；
对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心，
所以，又正方体外接球半径，
所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确.
故选：ACD.
2．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接，
由是边长为2的等边三角形，是以的等腰三角形，
所以，，，
所以，，所以，
所以平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
当点是内一动点，且，则点在以为直径的圆上，
当线段的长最小时，点在与圆的交点处，所以，
所以，
设直线与直线所成角为，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
3．如图，四棱锥中，为正三角形，，，
为线段的中点．
(1)在平面内，过点作平面的平行线，并证明；
(2)若，证明：平面平面；
(3)若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积．
【答案】(1)作图及证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）如图，连接，直线即为直线，
取的中点，连接，则，
而，则，
四边形为平行四边形，因此，又平面平面，
所以平面.
（2）由，且，得，
又为正三角形，则，
又，则，，
而，于是，又平面，
则直线平面，又平面，
所以平面平面.
（3）延长至，使得，即，连接，
又，则四边形为正方形，连接，
过点作平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由四点在以为半径的球面上，由球的性质知球心在轴上，设点，
于是，解得，即，
又为正三角形，连接，则，
又平面，
于是平面，点在坐标平面内，设点，又，
则，
解得，因此四棱锥的高，
直角梯形的面积，
所以四棱锥的体积．
4．（ 2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合.
(1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为二面角为，所以，
所以与均是全等的正三角形，取中点，则，
由平面平面得，
又，平面，因此平面，即，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
设，所以，，所以即，
所以的长为.
过作于，因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
即为点到平面的距离，因为，所以，
所以，所以点到平面的距离为.
（2）因为，所以，
又平面平面，所以即为二面角的平面角，
所以.
取中点，连接，如图，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，又平面，
所以平面，因为，平面，所以，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的法向量，则
令，则，所以.
设平面的法向量，又，
所以，
令，则，所以.
所以.
设平面与平面夹角为，
所以，
故平面与平面夹角的正弦值为.
5．如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在三棱台中，取AC的中点O，连接BO，，，
由，得，
由平面平面，平面平面，
平面，得平面，
而平面，则，
又，，则四边形是菱形，故，
而，，平面，因此平面，
又平面，所以．
（2）取中点，则，
由平面平面，平面平面，平面，
则平面，直线两两垂直，
以点O原点，直线OB，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
设直线与平面所成的角为，
，
当且仅当时等号成立．
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
6．（ 2025·北京海淀·三模）如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为．
(1)设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系．
(2)若点为线段的靠近点的三等分点
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)相交
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）相交
（证明一（寻找交线）：如图，在平面中，因为为梯形，所以延长，交于点．连接，
因为，，所以平面，平面，所以即为交线，与相交于点．
证明二（反证法）：假设直线和直线不相交，由于两直线都在平面内，所以．
又平面，平面，所以平面．
又平面，平面平面，所以，矛盾！
故直线和直线相交,
（2）（ⅰ）证明：在中，，又，
所以．
所以翻折后，．
因为平面，平面，平面平面．
所以是二面角的平面角，．
又，，所以由余弦定理得，
所以，因此．
因为，，又，平面．
所以面，
又因为面，所以．
因为，，，平面，
所以平面．
（ⅱ）因为，所以，．
又由（ⅰ）知，，所以两两垂直．
如图，以为原点，分别为轴正方向
建立空间直角坐标系，，，，
，，
设平面的法向量
由，得
令，得，，
所以为平面的一个法向量，
所以．
故与平面所成角的正弦值为.
7．如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，
，即.
四边形为平行四边形，则.
平面平面
平面，
平面平面，又平面，
，
四边形是菱形，，
又平面平面，则，
又，平面，
平面，又
平面.
（2）连接交于点，，则.
平面，
平面，因为平面，
则.
，四边形是菱形，则，
，
以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，
设，则.
.
，即，
，则，
，又是平面的一个法向量，
，
设，则
.
8．（ 2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
(1)若，证明：．
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
(3)求四面体的外接球的半径的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）平面平面，交线为，，平面，则平面，
平面，则，又，，平面，所以平面，
平面，则，因为，所以，
所以，可知．
在梯形中，由，，知，．
设，
得，，由，得，
解得，．
（2），，
平面平面，平面，
则平面，又平面，平面平面，
则，，
所以，则直线，，交于一点，
可得．设，得，解得．
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，．
设平面的法向量为，
即令，则，
设直线与平面所成的角为，
．
（3）坐标系如（2）中所示，设，，，，，
设的中点为，球心，
的外心为，则平面，即，，由，即，得，
，
当时，取得最小值，最小值为，
即四面体的外接球的半径的最小值为．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】法一：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，则，
又，，所以，则，
又，，所以，则，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，则，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
法二：
连结交于，连结，则为的中点，如图，
因为底面为正方形，，所以，
在中，，
则由余弦定理可得，故，
所以，则，
不妨记，
因为，所以，
即，
则，整理得①，
又在中，，即，则②，
两式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面积为.
故选：C.
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，则，则，
因为是正三角形，为中点，则，则
又，
所以，
则不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱中，平面，
又平面，则，
因为是正三角形，为中点，则，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于D，因为在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故D正确；
对于C，因为在正三棱柱中，，
假设，则，这与矛盾，
所以不成立，故C错误；
故选：BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，
则，
对于A，，
则，
则不成立，故A错误；
对于BD，，
设平面的法向量为，
则，得，令，则，
所以，，
则平面，平面，故BD正确；
对于C，，
则，显然不成立，故C错误；
故选：BD.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
（2）如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，令，得，即，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）过作垂直的延长线交于点，
因为是中点，所以，
在中，，
所以，
因为，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
又，
所以.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.

8．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【详解】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 空间向量及其应用
目录
01 常考题型过关练
题型01 空间向量的加减数乘运算
题型02 空间向量基本定理
题型03 空间向量的数量积运算
题型04 共线问题
题型05 共面问题
题型06 平行、垂直的向量证明
题型07 线线角、线面角的向量求法
题型08 面面角的向量求法
题型09 点面、面面距离的向量求法
题型10 点线、线线距离的向量求法
题型11 轨迹问题的向量求法
题型12 探索性问题的向量求法
题型13 夹角最值问题的向量求法
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 空间向量的加减数乘运算
1．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在空间四边形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
02 空间向量基本定理
4．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
03 空间向量的数量积运算
8．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
9．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
10．（多选）在平行六面体中，，，M为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，四棱锥，底面是边长为4的正方形，棱底面，且分别是，的中点，是线段上的动点，则（ ）
A．一定为锐角 B．一定为直角
C．一定为钝角 D．锐角 直角 钝角均有可能
12．如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 .
13．在三棱柱中，为的中点，则 .
04 共线问题
14．已知向量，，若，则 .
15．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 .
16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
05 共面问题
17．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．0
18．已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
19．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在平行六面体中，为的中点，，交平面为， 则的值为 .
21．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且．
(1)证明：，，，四点共面．
06 平行、垂直的向量证明
22．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点．
(1)证明：平面；
23．三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点．
(1)求证：平面；
24．在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面.

(1)证明：平面平面；
25．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，与平面所成角为，是的中点，点且．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
07 线线角、线面角的向量求法
26．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
27．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线平面所成角的正弦值.
28．如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）.
(1)若，求直线与所成角的余弦值；
(2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值.
29．如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点．
(1)求证：平面平面PAC；
(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长．
08 面面角的向量求法
30．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接.
(1)证明:⊥平面 ；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
31．图，四边形为正方形，平面平面，，点在线段上，．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)求平面与平面的夹角的正弦值．
32．如图1，在平面多边形中，为直角三角形，，，．如图2，现将沿轴向上翻折到图中的处，此时，．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
33．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC.
(1)证明：为PD的中点；
(2)若，二面角的余弦值为，求PA的长.
09 点面、面面距离的向量求法
34．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点．
(1)若，证明：．
(2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值．
35．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求点到平面的距离.
36．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，点E为线段的中点，点F为线段上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的夹角为，求点P到平面的距离.
37．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
10 点线、线线距离的向量求法
38．在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为
39．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
40．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
41．如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
11 轨迹问题的向量求法
42．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）．
A． B． C． D．
43．已知球的半径为，是球表面上的定点，是球表面上的动点，且满足，则线段轨迹的面积为（ ）
A． B． C． D．
44．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，点为上不同于的一点，点在上，且，动点满足，动点在上底面上，满足．
(1)证明：平面；
(2)①求动点的轨迹长度；
②当点为的中点时，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
12 探索性问题的向量求法
45．（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使
B．存在点，使点到直线的距离为
C．存在点，使直线与所成角的余弦值为
D．存在点，使点，到平面的距离之和为3
46．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且．
(1)记平面平面，证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)点为侧棱上一点，猜想：当为何值时，有平面，并证明你的猜想．
47．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，
(1)求证：平面 ；
(2)求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.
48．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
49．如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
13 夹角最值问题的向量求法
50．中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值．
51．如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
(3)求直线与平面夹角正弦值的最大值．
52．如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为．
(1)求圆台的体积；
(2)设，分别是圆台的两条母线．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
53．在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形.
(1)求证：平面；
(2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值.
1．（多选）已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．点到直线的距离的最小值为
C．棱上存在点，使得
D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为
2．如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰祶形，，为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值．
3．如图，四棱锥中，为正三角形，，，
为线段的中点．
(1)在平面内，过点作平面的平行线，并证明；
(2)若，证明：平面平面；
(3)若四点在以为半径的球面上，求四棱锥的体积．
4．（ 2025·甘肃白银·二模）如图，已知正方形的边长为分别为的中点，以为棱将正方形折成如图所示，使得二面角的大小为，点在线段上且不与点重合.
(1)直线与由三点所确定的平面相交，交点为，若，求的长度，并求此时点到平面的距离；
(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.
5．如图，在三棱台中，平面平面，，，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
6．（ 2025·北京海淀·三模）如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为．
(1)设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系．
(2)若点为线段的靠近点的三等分点
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
7．如图所示，六面体的底面是菱形，，且平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：直线平面；
(2)已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.
8．（ 2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，，分别为线段，上异于端点的一点，，将梯形沿翻折至与梯形垂直的位置，得到多面体．
(1)若，证明：．
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
(3)求四面体的外接球的半径的最小值．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
3．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
8．（2022·全国乙卷·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

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