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第06讲 双曲线及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 双曲线的定义
题型02 双曲线的标准方程
题型03 双曲线的焦点、焦距
题型04双曲线的范围
题型05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
题型06 等轴双曲线
题型07 双曲线的渐近线
题型08 双曲线的离心率
题型09 双曲线的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 双曲线的定义
1．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线与双曲线N共渐近线设出双曲线M的方程，分焦点在x轴上与焦点在y轴上两种情况进行分类讨论即可.
【详解】由题意易知．
当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为；
当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为．
故选：D
2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设、的夹角为，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用已知条件和双曲线的定义求出、，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
设、的夹角为，则，解得，
因为，由双曲线的定义可得，故，
由余弦定理可得，
即，可得，故.
故选：D.
3．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，
所以可知双曲线，解得.
因为为双曲线右支上任意一点，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C
4．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则 ．
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果.
【详解】根据双曲线方程，，
，
根据双曲线的定义，由已知，
又，
所以．
故答案为：.

5．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程.
【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为.
设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支.
易知，解得；
又，解得；
，所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：
02 双曲线的标准方程
6．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或，
故的取值范围为．
故选：B.
【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上．
7．已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，代入坐标，表示出点的从标，代入双曲线中化简，结合已知条件可得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，且，
则有，得，
将点代入双曲线中得，所以 ①．
因为，即同向，
所以，所以，
将①代入上式并整理得，
即，则，等号能取到，
所以．
故选：B．
8．在直角坐标系中，若方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定等式，利用双曲线的第二定义确定其离心率，再列式求解.
【详解】方程变形为，
即，则，
此方程表示双曲线上一点到定点与定直线之比为常数，
由，得，所以的取值范围为.
故选：C
9．(多选)已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是双曲线
C．若，则曲线是椭圆
D．若，则曲线的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据四种曲线的定义可得结果
【详解】A选项：由题意，曲线，若，则，
此时曲线，表示两条直线，A选项正确；
B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确；
C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误；
D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确.
故选：ABD.
03 双曲线的焦点、焦距
10．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】因为，所以，
可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为，
右焦点到其渐近线的距离为.
故选：B.
11．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程求出，再计算即可得出答案.
【详解】由双曲线方程可知，
所以，则，．
故选：C.
12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由双曲线的离心率为，
可得，解得，即双曲线，
则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即，
所以双曲线的焦点到渐近线的距离为.
故选：A.
13．（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚轴长为6 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的焦点坐标为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线标准方程，结合题给双曲线方程得出的值，代入各
选项逐一进行判断.
【详解】由双曲线可知：
，
由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A对.
离心率，故B对.
令，即双曲线的渐近线方程为，故C错.
因为，所以双曲线的焦点坐标为，故D对.
故选：ABD.
14．（多选）已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线
C． D．与恰有四个公共点
【答案】AC
【分析】求出与的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中的取值范围判断D.
【详解】根据题意，椭圆，半焦距，
的焦距为，
双曲线，半焦距，
的焦距为，显然，A正确；
因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误；
，则，C正确；
因为椭圆中，
双曲线中，
则与只有和两个交点，D错误.
故选：AC
04 双曲线的范围
15．双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率.
【详解】由题意，，设，
则，，
因为原点O在以线段为直径的圆上，可得，
所以，即①，
又直线的斜率，可得②，
联立①②可得，即，
又点在双曲线上，可得，
又，解得，所以.
故选：B.
16．（多选）已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．（为坐标原点）
C．双曲线的渐近线方程为
D．为圆上一点，的最小值为1
【答案】ABD
【分析】A利用之间的关系求出；B根据右顶点是的中点可判断；C渐近线方程为；D将转化为，再结合双曲线的定义即可.
【详解】由题意知，，则，虚轴长为，A项正确；
易知右顶点是的中点，当点在右支上运动时，有，B项正确；
双曲线的渐近线方程为，C项错误；
易知为双曲线的左焦点，则，
则，D项正确．
故选：ABD
17．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 .
【答案】
【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案.
【详解】双曲线 与圆 交于 四点，
且这四个点恰为正方形的四个顶点，
设，则，
所以，解得，
所以，即,
故答案为：.
18．已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先计算双曲线的标准方程，法一：求得，，再根据焦半径公式结合条件计算即可.法二：由双曲线定义可知，代入计算即可.
【详解】由题意可知，设，即，代入双曲线方程有，
又的面积为，即，
所以有，解得，
所以双曲线的方程为．
方法一 设，
则，
则，
由于，所以，因此，
于是，故的最小值是．
方法二 由双曲线定义可知，且，
于是，
由于，所以，
因此，故的最小值是．
故答案为：；
05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
19．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴
【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为．
故选：A
20．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ）
A．长轴长为2的椭圆的一部分
B．长轴长为的椭圆的一部分
C．实轴长为2的双曲线的一部分
D．实轴长为的双曲线的一部分
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到，利用,求出，根据方程特征即可得到答案.
【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点，
建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则，

因为是锐角三角形，所以，
则|，，，
由，得，
整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为，
故点P的轨迹为实轴长为的双曲线的一部分．
故选：D
21．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（ ）
A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形
【答案】BD
【分析】根据特例可判断BD正误，根据渐近线夹角可判断AC正误.
【详解】不妨令，轴；当时，四边形为等腰梯形，
当时，四边形为矩形，故B，D正确；
因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为，
故四边形的对角线必不可能相互垂直，
故A，C错误.
故选：BD.
06 等轴双曲线
22．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围为
B．双曲线的焦点坐标为
C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为
D．当双曲线为等轴双曲线时，
【答案】AD
【分析】根据双曲线的标准方程即可求解AB；根据双曲线的标准方程，求解渐近线即可判定C；根据等轴双曲线的定义即可求解D.
【详解】选项A：令，解得，A正确；
选项B：由于，，故该双曲线的焦点在轴上，
而，得，所以焦点坐标为，B错误；
选项C：当时，的标准方程为，易知渐近线方程为．
若双曲线的两条渐近线的夹角为，则渐近线的斜率为或，C错误；
选项D：当双曲线为等轴双曲线时，，解得，D正确．
故选：AD
23．等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案.
【详解】设等轴双曲线方程为，一个焦点是，则，则.
故双曲线的标准方程是.
故答案为：.
24．已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 .
【答案】
【分析】可知轴为曲线的渐近线，进而可得，设，根据题意整理可得，结合椭圆定义可得以及，即可得结果.
【详解】对于曲线：，则轴为其渐近线，即渐近线相互垂直，
可知该双曲线为等轴双曲线，可得，
对于曲线，设曲线上的点，
由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称，
由于将代入中，方程不变，故曲线关于对称，
由此令，代入到中，
可得，该椭圆焦点为，
由于曲线：是椭圆可按变换得到，
故按此变换，由，可取，
可得，解得，
当且仅当时，，当且仅当时，，
又因为
，
，
则，
可知曲线是以为焦点的椭圆，则，可得，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：1.根据双曲线渐近线的特征确定双曲线的离心率；
2.利用椭圆定义证明曲线为椭圆，注意的取值范围.
25．已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线与C交于A，B两点.
(1)求C的方程；
(2)若点为线段AB的中点，求k的值；
(3)若，且A，B两点都位于y轴的右侧，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据等轴双曲线概念，结合条件构造方程组求出即可；
（2）运用点差法求解即可；
（3）直曲联立，借助韦达定理和根的判别式即可.
【详解】（1）由题可设，
因为实轴长为，所以，即.
故C的方程为.
（2）设，
则两式相减得，整理得.
因为线段AB的中点坐标为，所以，，
所以直线AB的斜率.
（3）由可得.
因为直线与C的右支交于不同的两点，所以，
故，即k的取值范围为.
07 双曲线的渐近线
26．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可.
【详解】由题设得，所以.
故选：B．
27．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16
C．渐近线方程为 D．离心率为
【答案】ACD
【分析】由有，逐项验证即可求解.
【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确；
由，所以虚轴长为，故B错误；
由得，故C正确；由，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
28．（多选）已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．
C．的取值范围为
D．过且与双曲线有一个公共点的直线有 条
【答案】BC
【分析】对于A由双曲线的标准方程得即可判断，对于B设，由得，又即可解得，利用数量积的坐标运算即可判断，对于C先求直线的方程，利用几何法即可判断，对于D分直线的斜率存在和不存在讨论， 若直线的斜率存在，可设直线方程为，与双曲线方程联立由判别式即可判断.
【详解】对于A，双曲线标准方程为.，虚轴长，故A错误；
对于B，由题意可设，，，由
可得，两边平方可得 ①
因点在双曲线上，所以 ②
联立①②可得，解得或（舍去），，
所以点坐标为和.. 故B正确；
对于C，若为，则直线的方程为，即，
故圆心到直线的距离，故.故C正确；
对于D，若直线的斜率不存在， 显然满足题意；
若直线的斜率存在，可设直线方程为，联立直线方程与双曲线方程，
消去得，
若 ，满足题意；若，则当时满足题意，解得 .
综上，过且与双曲线有一个公共点的直线有4条，故D错误.
故选：BC.
08 双曲线的离心率
29．（多选）已知椭圆，两个焦点分别为，则（ ）
A．a的取值范围为
B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若，则C的焦距为6
D．若，则C的离心率为
【答案】BCD
【分析】对于A由题意有解出即可判断，对于B由已知解出即可判断，对于C由，计算即可判断，对于D由，计算，根据离心率公式即可判断.
【详解】对于A：由题意可知，可得，故A错误；
对于B：由，则，虚轴长为2，故B 正确；
对于C：若，则C的焦距为，故C正确；
若，则C的离心率为，故D正确．
故选：BCD.
30．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．记直线、的斜率分别为、，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，若直线与渐近线平行时，说明此时即可判断；对于B，由题意，故只需验算即可；对于C，由双曲线的几何形状判断即可；对于D，由题意，结合即可判断.
【详解】由已知，，若直线与渐近线平行时，
根据对称性不妨取直线方程为，
联立，得，
设，，，
由于两点均在双曲线的左支上，所以，，，
对于A：直线、的斜率分別为、，
则，
均在双曲线上，，所以，
所以，，A错误.
对于B：由知，，
由对称性得，，则四边形为矩形，则，
设，，则在中，
由余弦定理得，
即，
即，
，
则，
则，B正确；
对于C，，
当，，三点共线时，，
，则直线，
联立，解得，即与矛盾，故C错误；
对于D，，
又，所以，
结合，得，的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
31．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标，根据点在双曲线上，结合点，的坐标得到直线PA，PB的斜率之积，利用基本不等式得到，从而得到双曲线离心率的取值范围．
【详解】设点，其中，易知点，且有，
则.
因为，所以在第一或第三象限，由双曲线的对称性，
不妨令点在第一象限，则，
则，且，
由基本不等式可得，
所以存在点，使得直线PA，PB的斜率之和为，
即，所以．
故答案为：．
32．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得，即可求解；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得，即可判断定点.
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，
由离心率为可得，解得，
所以的方程为．
（2）如图，设直线的方程为，，
联立得，
由题意可得，且，
化简得，
由韦达定理得．
因为，
所以，
整理得，
即，
化简得，因为直线不经过点，所以，
此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系．
所以，即，满足，
所以直线的方程为，即直线过定点．
09 双曲线的应用
33．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A． B．18cm C． D．
【答案】D
【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，
设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为，
由双曲线的离心率为，得，则，
由喉部（中间最细处）的直径为，得，
所以双曲线的方程为，设点，
由，得，所以该塔筒的高为.
故选：D

34．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．

【答案】
【分析】利用双曲线的光学性质，反射后的光线反向延长线经过另一个焦点，从而确定反射光线的路径，进而求出的值.
【详解】入射线反射后得到的光线的反向延长线定过双曲线的另一个焦点，
．
故答案为：
35．舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置．
【答案】海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km．
【分析】根据题意，取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系，得A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)，且点P在线段BC的垂直平分线上，由于A，B两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6，于是点P在双曲线的右支上，联立方程即可求解.
【详解】解　取AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系，
易知A，B，C三点的坐标分别为(3，0)，(－3，0)，(－5，2)，
设动物所在位置为点P处，连接PB，PC．由于B，C同时发现动物信号，因此|PB|＝|PC|，
于是点P在线段BC的垂直平分线上，
线段BC的垂直平分线PD的方程为x－y＋7＝0，
连接PA，由于A，B两舰发现动物信号的时间差4 s，因此|PB|－|PA|＝4＜6，
于是点P在双曲线的右支上，
解方程组
得直线x－y＋7＝0与双曲线右支的交点P(8，5)，所以|AP|＝10，∠PAx＝60°．
因此，海洋动物的位置在舰A的北偏东30°方向，且离舰A的距离为10 km．
36．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析
(2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论；
设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论．
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
经过口时最短距离：，
经过口时最短距离：．
因为,
所以经过入口运送较近．
（2）设点，已知
，可得
所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
则，即，又因为，，
所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点．
37．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路的曲线方程；
(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置 （即确定点的坐标）
【答案】(1)：，:
(2)
【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案；
（2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标.
【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，
且，所以，
所以方程为，
又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为，
所以道路所在的曲线方程为，
又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为
以为圆心，为半径的圆，其方程为，
故道路曲线方程为段：为，
段：.
（2）当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
当点在线路上，设，
又由，则，
由（1）可得，则，
可得当时，有最小值，且，
因为，所以有最小值为，此时，则，
则点的坐标为，此时到的距离最小.
1．已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】B
【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解.
【详解】由的短轴长为4，得，即，则．
若，则，显然矛盾；
若，则．
故选：B.
2．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程.
【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题可知，，即．
因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米，
所以，可得，
因此，结合选项可知A满足．
故选：A.
3．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（ ）
A．轴 B．
C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】由题意设直线，，联立方程写出韦达定理：．求出点，即可判断A；同法求得点，由向量数量积为0即可判断B；由抛物线的焦半径公式和梯形中位线定理可得以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切判断C；先计算，计算并化简，即可判断D.
【详解】如图，由题意可知，抛物线的焦点为，准线为，
显然直线AB的斜率可以不存在，但不为0，此时直线AB与抛物线必相交于两点，
设直线设，，联立方程
消去可得，可得．
对于A，直线，令，可得，
即，所以轴，A正确；
对于B，由A项同理可得则轴，则，
可得，所以，B正确；
对于C，由上述分析可知，由梯形中位线可知，
以AB为直径的圆的圆心到准线的距离为，
即圆心到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线恒相切，C错误；
对于D，因为，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，此时直线与轴垂直，故面积的最小值为，D正确.
故选：ABD.
4．已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标.
【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率．
设，线段AB的中点为，则，
可得，．
因为A，B为双曲线上的两点，
所以，两式相减整理得，
即，解得，所以直线，
因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点
联立得，
解得，可知线段AB中点的坐标为．
故答案为：.
5．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．
【答案】
【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果.
【详解】因为为底面圆的直径，，，，所以，则，
所以，则都是等腰直角三角形.
因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，
截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，
设抛物线与底面交点为E，则，
设抛物线为，则，解得，
即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
故答案为：
6．已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可；
（2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可；
（3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率.
【详解】（1）根据题意可得，则．
将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为．
（2）由（1）得，即，则，则直线的方程为．
设，由得，
，
所以．
（3）设，
则两式相减得．
设，则所以，
即，所以，即，
所以直线OP的斜率．

1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
2．（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
4．（上海·高考真题）双曲线的渐近线方程为
【答案】
【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程.
【详解】
故答案为：.
5．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围是
【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线的方程．
（2）设出直线的方程，代入双曲线的方程，利用判别式及根与系数的关系求出的中点坐标，从而得到线段的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得的取值范围．
【详解】（1）解：设双曲线的方程为．
由题设得，解得，所以双曲线方程为．
（2）解：设直线的方程为．
点，，，的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得．
此方程有两个不等实根，于是，且△．
整理得． ③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，．
从而线段的垂直平分线方程为．
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，．
将上式代入③式得，整理得，．
解得或．
所以的取值范围是．
6．（重庆·高考真题）如图，和是平面上的两点，动点P满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，，，
【分析】由已知，可根据椭圆的定义，判断点P的轨迹为椭圆，设出椭圆方程，利用待定系数法，分别求解出即可；
由已知，由可得：，将这个式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，从而判断点P的轨迹满足双曲线，求解出双曲线的方程，令椭圆和双曲线方程联立，即可求解坐标.
【详解】（1）由已知，和是平面上的两点，
动点P满足：，
所以由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，
设椭圆方程为：，
由已知可得：半焦距，长半轴，所以，
所以点P的轨迹方程为：.
（2）由，得，①
又因为，所以点P不为椭圆长轴的顶点，
故点P、点M、点N三点组成三角形，
在中，，，
由余弦定理可知：，②
将①代入②得：，
所以，即，
故点P的轨迹是以和为焦点，实轴为的双曲线，
设双曲线方程为：，
由已知可得： ，，
所以点P的轨迹方程为：.
又因为点P又满足椭圆方程：，
所以由方程组：解得：，
所以点P的坐标为：，，，.中小学教育资源及组卷应用平台
第06讲 双曲线及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 双曲线的定义
题型02 双曲线的标准方程
题型03 双曲线的焦点、焦距
题型04双曲线的范围
题型05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
题型06 等轴双曲线
题型07 双曲线的渐近线
题型08 双曲线的离心率
题型09 双曲线的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 双曲线的定义
1．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则 ．
5．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
02 双曲线的标准方程
6．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点在双曲线上，点满足为坐标原点，且，，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
8．在直角坐标系中，若方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．(多选)已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是双曲线
C．若，则曲线是椭圆
D．若，则曲线的离心率为
03 双曲线的焦点、焦距
10．已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2 B．6 C． D．
11．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
13．（多选）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚轴长为6 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．的焦点坐标为
14．（多选）已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线
C． D．与恰有四个公共点
04 双曲线的范围
15．双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
16．（多选）已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．（为坐标原点）
C．双曲线的渐近线方程为
D．为圆上一点，的最小值为1
17．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 .
18．已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ．
05 双曲线的顶点、实轴、虚轴
19．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ）
A． B．2 C． D．1
20．在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ）
A．长轴长为2的椭圆的一部分
B．长轴长为的椭圆的一部分
C．实轴长为2的双曲线的一部分
D．实轴长为的双曲线的一部分
21．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（ ）
A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形
06 等轴双曲线
22．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围为
B．双曲线的焦点坐标为
C．当时，双曲线的两条渐近线的夹角为
D．当双曲线为等轴双曲线时，
23．等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ．
24．已知曲线：是双曲线，曲线：是椭圆，其离心率分别是和，则 .
25．已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线与C交于A，B两点.
(1)求C的方程；
(2)若点为线段AB的中点，求k的值；
(3)若，且A，B两点都位于y轴的右侧，求k的取值范围.
07 双曲线的渐近线
26．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
27．（多选）关于双曲线的以下论述中，正确的是（ ）
A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16
C．渐近线方程为 D．离心率为
28．（多选）已知分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上一点且满足，直线与圆（）有公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为
B．
C．的取值范围为
D．过且与双曲线有一个公共点的直线有 条
08 双曲线的离心率
29．（多选）已知椭圆，两个焦点分别为，则（ ）
A．a的取值范围为
B．椭圆C与双曲线有相同的焦点，则该双曲线的虚轴的长为2
C．若，则C的焦距为6
D．若，则C的离心率为
30．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．记直线、的斜率分别为、，则
B．若，则
C．的最小值为6
D．的取值范围是
31．已知双曲线上存在点，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
32．已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点．
09 双曲线的应用
33．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）

A． B．18cm C． D．
34．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．

35．舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°方向，且与B相距4 km，它们准备围捕某海洋动物．在某时刻A发现动物信号，4 s后，B，C同时发现这种信号．设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，试确定海洋动物的位置．
36．如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
(1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；
(2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置．
37．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求道路的曲线方程；
(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置 （即确定点的坐标）
1．已知椭圆的短轴长为4，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
2．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（ ）

A． B．
C． D．
3．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线分别交抛物线的准线于两点，则下列说法正确的有（ ）
A．轴 B．
C．以为直径的圆与抛物线的准线恒相交 D．面积的最小值为
4．已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ．
5．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．
6．已知双曲线的实轴长为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜；
(3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
4．（上海·高考真题）双曲线的渐近线方程为
5．（天津·高考真题）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
6．（重庆·高考真题）如图，和是平面上的两点，动点P满足：．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若，求点P的坐标．

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