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第04讲 解三角形
目录
01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 正弦定理解三角形
1．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可知，，即，
若有两解，则，且，所以，
所以.
故答案为：
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 .
【答案】2
【详解】在△ABC中，由正弦定理，得，即，
解得，又，则，所以，
所以.
故答案为：2.
3．在中，内角A，B，C的对边分别为，，则 .
【答案】
【详解】在中，由，得，又，
则由正弦定理，可得，又，
所以，所以为锐角，所以.
故答案为：
4．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在中，由正弦定理可得，
，
因为，所以，，
所以．
故选：C．
02 余弦定理解三角形
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【详解】设三角形为，且，
由三角形的几何性质，可得，
由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角，
则，即，解得
；，即，解得，
综上可得，，即的取值范围为.
故选：C.
7．设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】由余弦定理，代入，
得
根据完全平方公式，则，将其代入上式可得：
因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以
代入
设，则
即，两边同时乘以3得到
因为，所以
即
所以的最大值为
故选：D
8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 .
【答案】/
【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得，即，设，则，
由图可知，所以，即，
解得：，所以，故.
解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则，
由Stewart公式，，解得：，所以，
故.
故答案为：.
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
【答案】D
【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为，
由三角形的面积公式，可得，
不妨设，其中，则的最大角为角，
由余弦定理，可得，
又因为，
所以能构成三角形，
因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形.
故选：D.
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中 ，．，， 则 ．
【答案】3
【详解】在中，，，，，
，
由正弦定理得，得到，所以.
故答案为：
11．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为 ．

【答案】
【详解】如图所示，连接，
在中，因为且，
由余弦定理可得，所以，
所以，
在中，因为且，可得，
又因为，所以，所以，
所以四边形的面积为.
故答案为：.

12．如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
(1)求；
(2)若，求BC.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以是锐角，则，.
在中，由余弦定理得，.
又由正弦定理，可得，即，
因为，所以，则，故.
（2）在中，由余弦定理得，
则，.
在中，由余弦定理得
，解得.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过点作，垂足为.
由，得，
在四边形中，由，得，
所以四边形是平行四边形，
∴，，
所以的面积为.
（2）连接.
在中，因为，
所以,
在中，由,得.
所以为等边三角形，
在中，由余弦定理知
14．如图，在平面四边形中，.

(1)求；
(2)若的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
则，解得.
又由题设知，
所以；
（2），
，
由，得，
解得.
由余弦定理得，
又，所以.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【详解】由题意，
在圆的内接四边形中，
，的面积为，的面积为，
由几何知识得，，即,
由正弦定理得，
，
，
解得：，，
由余弦定理得，
，即，
，即，
∵，，
∴，
，
由几何知识得，四边形的四边均为正数，
∴，，
设四边形的周长为，
，
故答案为：16.
16．在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）由，，
所以，又，所以，所以为等边三角形，
所以，即的长度为.
（2）设，
在中，由余弦定理知，，
即，所以，
由，解得或（舍去），
所以，即为等腰直角三角形且，所以，
在中，由余弦定理知，
，所以，
17．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，则，
由余弦定理可得，
所以，解得．
故选：B．
18．已知四边形中，，则四边形的面积为 .
【答案】
【详解】
由可得：，
即，再代入余弦定理可得：
，解得：，
所以，因为是四边形内角，所以，
则由可得：，
所以四边形面积为：，
故答案为：.
19．如图，已知在平面四边形中，．
(1)设，若，求；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，因为，
由余弦定理得，
可得，
在中，因为，可得，
因为，所以．
（2）解：因为平分，可得，
由余弦定理，可得，解得，
所以.
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米 B．35米 C．45米 D．70米
【答案】B
【详解】由题意可得在中，，
在中，，则由正弦定理可得，
即，解得千米，故B正确.
故选：B.
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

如图所示，过点作于点，过点作于点，
则，，.
由题易知，，为等腰直角三角形，
所以，即，所以.
在中，，，
所以，
所以由正弦定理得，即，
解得，所以.
在等腰直角中，，
所以.
故选：C.
22．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2小时
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
【答案】沿北偏东60°方向能最快追上.
【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，，
在△ABC中，，，，
由余弦定理，得，
，由正弦定理可得，
，则与正北方向成90°角．
在中，,由正弦定理，
得，
,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学．
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)若米，求角的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)
(2)米
(3)米，米，
【详解】（1）由余弦定理得，．
（2），解得，
又为钝角，所以，
由余弦定理得，
米．
（3），当且仅当时等号成立，
此时，，
设，
在中，由正弦定理得，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
所以应设计米，米，．
06 边角互化
25．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由及正弦定理，
可得，
因，所以，
又，则有，
若，则有，则，
所以.
选选：B.
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以，所以.
故选：B.
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .
【答案】或2
【详解】由余弦定理有，所以，
解得或2.
故答案为：或2.
28．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知，
则，整理得．
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，又，故，即的取值范围是.
故选：A
29．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
且，
则，可得，
又因为，则，可得，
且，所以.
（2）因为，，
由正弦定理，可得，，
则，即，
由余弦定理，
即，解得，
所以.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得
，
由正弦函数最小正周期公式得最小正周期；
由，解得，
得函数的增区间为.
（2）由得，，则，
因为，所以，
可得，故，
由三角形面积公式得，解得，记为①式，
由余弦定理得，记为②式，
联立①②解得或，故.
31．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得，，
∴函数的最小正周期，
由得，
∴的单调递增区间为．
（2）由得，故，
∵，∴，
∴，解得.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，故，
所以外接圆的面积为．
32．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时, ,
当时, ,则,
故,
因此
（2）当时, ,
故,即,
由于,故,
所以,即,
由余弦定理可得,解得(负值舍去),
故
33．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，角的对边分别为，若.
①求的值；
②求.
【答案】(1)，
(2)①；②2
【详解】（1）.
最小正周期为，
，
，
所求函数的单调递减区间为.
（2）①由（1）知，
又，
又.
，
.
②由（1）得，
.
34．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的最值，并求此时的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．
【答案】(1)最大值为，此时；最小值为，此时；
(2).
【详解】（1）解：因为
，
当时，，
所以当，即时，取最小值，为；
当，即时，取最大值，为；
所以在上的最大值为，此时；最小值为，此时；
（2）解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得，
再将的图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，
得，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，，
由余弦定义可得：
，
所以，
解得，
所以.
08 最值问题（基本不等式法）
35．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，
又∵，∴
故，
∵,∴,
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为．
故选：B.
36．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是 .
【答案】
【详解】，，
，
，
，
整理得，
所以，解得，当且仅当时等号成立，
所以 ．
故面积的最小值为，
故答案为：
37．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得．
因为，所以，
所以，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
选条件②：因为，整理得．
由余弦定理，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
（2）解法一：由题设及（1）可知．
由余弦定理，得，
化简得．又，
所以，
解得，
当且仅当时等号成立，
由三角形的三边关系可知，
所以，即的取值范围为．
解法二：由题设及（1）可知．
由正弦定理，得，
所以，
得
，
因为，则，
所以，
故，
所以，即的取值范围为．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)若点是边上的中点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由和正弦定理可得，，
化简得，
因，则，则，即，
因，故，
又由且，
可得．
（2）因为点是边上的中点，所以，
平方得，
又由余弦定理得，
则，即，当且仅当时等号成立，
所以.
39．记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，则，
由，可得，所以，
所以的周长为.
（3）解：因为，由余弦定理得，即，
又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，
因为为边上的中线，可得，
所以，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
09 最值问题（三角函数法）
40．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得，则，
由，则，
因为的平分线交边于D，
所以，则，
所以，则，，
所以
，，
则，当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为.
故选：D.
41．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，，
可得，
由于，
可得，
由题意利用正弦定理可得，
可得，，
可得
，
由于，可得，可得，
可得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
42．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
整理得，
而，则，两边平方得，
又，所以，，于是，解得，所以．
（2）由（1）知，由，则，
由，，则，
则，即，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
43．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1），，
，
，
整理得．
，，，，
或，
或（舍去）．，得证；
（2），，
又
，
．
又，，
即,
，
，，，，
；
（3），
．
又，，，
，，
当且仅当时，等号成立，解得，满足条件，
故的最小值为．
44．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以
．
因为在锐角中，，所以，，
解得，则，所以，
所以，所以面积的．
45．在△中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，记其面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围为．
【详解】（1）由已知得，
，
，
，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
又，．
（2）法一：由（1）及已知，得，，
，
令，则．
△为锐角三角形，，解得，
在上单调递增，，
，，即．
在上单调递减，在上单调递增，
，即，，
的取值范围为．
解法二：由（1）及已知，得，，
，
，
△为锐角三角形，，解得，
，
即，，
，
的取值范围为．
10 切弦互化求最值问题
46．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为 .
【答案】/
【详解】因为，由正弦定理得，
即，
即，
两边同时除以，得，
即，
令，则，
故当时，即当时，取最大值为.
故答案为：.
47．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
而，则，于是，
整理得，因此，
所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，则，
而，则
，当且仅当时取等号，
因此，，所以的最大值为1.
48．已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，，
则.
因为，所以.
，
则．
（2）由（1）可知，，即，
由可得
，
即，所以为锐角三角形.
由均值不等式可知，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为．
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由知，
所以为正三角形，
∵，
设，则
由正弦定理：，即，则
在中，
即，则，即．
故选：A.
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由已知，设，则，，
，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，
所以，
即，
即，
所以.
故选：A.
3．（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A． B．面积的最大值为
C．当时， D．d的取值范围是
【答案】ABD
【详解】设A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由已知，，得，
又由余弦定理可知，
即，故A正确；
的面积为，
又，即，当且仅当时取等，
故的面积，故B正确；
设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，
由两点间线段最短可得，
当且仅当四点共线时取等，所以，
当时，，，得，
故为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，故C错误；
由A知，，
则（当且仅当时等号成立），
又因，则，
则，故D正确.
故选：ABD
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】在锐角中，由，有，
法一：有余弦定理知，，所以，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
所以的取值范围为.
法二：由正弦定理知，，
又，从而，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
5．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
【答案】/
【详解】设，则，
由正弦定理得，且，
由知：，则，
则的面积最小值为.
故答案为：
6．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
【答案】//
【详解】设，则，
在中利用余弦定理得，，
在中利用余弦定理得，，
因，
则，
则，
因等腰底边上的高为，
则，
故当，即，时，取最大值.
故答案为：
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④
(1)问满足的是哪三个条件 请列举出来，并说明理由；
(2)求.
【答案】(1)①③④，理由见解析
(2)2
【详解】（1）满足的条件是①③④；
若，，则，
若，，则，
由，所以条件①和②不可能同时满足，
故③和④都满足，由，所以，
所以B为锐角，应有，从而条件②不能满足，
故满足的条件是①③④.
（2）法一：由（1）可得，，，
由余弦定理，
所以，化简得
解得：或（舍去），故.
法二：因为，所以，
又，故.
由正弦定理，得，
因为B为锐角，得：，故.
由勾股定理，得，
因为，故.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，
则由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，
∴，由于，
则；
（2）根据题意，的面积为即，
则，
又根据余弦定理，，则，
所以，即，
又由的面积，
所以.
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
4．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
6．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.中小学教育资源及组卷应用平台
第04讲 解三角形
目录
01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 正弦定理解三角形
1．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 .
3．在中，内角A，B，C的对边分别为，，则 .
4．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
02 余弦定理解三角形
5．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
7．设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 .
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中 ，．，， 则 ．
11．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为 ．

12．如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
(1)求；
(2)若，求BC.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
14．如图，在平面四边形中，.

(1)求；
(2)若的面积为，求.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
16．在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
17．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知四边形中，，则四边形的面积为 .
19．如图，已知在平面四边形中，．
(1)设，若，求；
(2)若平分，求的长．
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米 B．35米 C．45米 D．70米
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A． B． C． D．
22．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)若米，求角的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
06 边角互化
25．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C． D．
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .
28．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
31．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
32．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积.
33．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，角的对边分别为，若.
①求的值；
②求.
34．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的最值，并求此时的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．
08 最值问题（基本不等式法）
35．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
36．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是 .
37．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)若点是边上的中点，求的最大值．
39．记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
09 最值问题（三角函数法）
40．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）．
A． B．3 C． D．
41．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
42．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
43．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)求的最小值．
44．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
45．在△中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，记其面积为，求的取值范围．
10 切弦互化求最值问题
46．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为 .
47．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
48．已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A． B． C． D．
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A． B．面积的最大值为
C．当时， D．d的取值范围是
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
5．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
6．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④
(1)问满足的是哪三个条件 请列举出来，并说明理由；
(2)求.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
4．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．

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