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第06讲 双曲线及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 双曲线的定义 4
知识点2 双曲线的标准方程 4
知识点3 双曲线的简单几何性质 5
题型破译 6
题型1 双曲线的定义 6
【方法技巧】没有绝对值只表示一支
题型2 双曲线的标准方程 7
【方法技巧】谁的系数为正焦点就在对应的轴上
题型3 双曲线的焦点、焦距 9
题型4 双曲线的范围 10
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴 16
题型6 等轴双曲线 19
题型7 双曲线的渐近线 22
题型8 双曲线的离心率 25
【方法技巧】通过几何、定义找abc的关系
题型9 双曲线的应用 30
04真题溯源·考向感知 34
05课本典例·高考素材 43
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) 3.了解双曲线的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第3题，5分 全国二卷，第11题，6分 天津卷，第9题，5分 北京卷，第3题，4分 新课标I卷，第12题，5分 全国甲卷（理数），第5题，5分 新课标I卷，第16题，5分 全国甲卷（文数），第8题，5分 北京卷，第12题，5分 天津卷，第9题，5分
考情分析： 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
复习目标： 1.深入理解双曲线的定义，明确其与椭圆定义的区别与联系。能够精准阐述双曲线定义中动点到两定点距离之差的绝对值为定值（小于两定点间距离）这一关键特征，并能运用定义解决相关问题，如根据给定条件判断点的轨迹是否为双曲线。 2.全面掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。理解这些性质与双曲线方程之间的内在联系，例如通过方程判断双曲线的范围，利用对称性简化问题求解过程。能准确求出双曲线的渐近线方程，并理解渐近线对描绘双曲线形状的重要作用。深入理解离心率的定义及它对双曲线形状的影响，能够根据已知条件求出离心率的值或范围
知识点1 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距.
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线；
(3)当a＞c时，集合P是 空集.
自主检测已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解.
【详解】由双曲线的标准方程可得，
由满足方程，知点在双曲线的右支上，
.
故答案为：4.
知识点2 双曲线的标准方程
标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0)
图形
自主检测（多选）已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线
【答案】CD
【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】因为曲线：.
当时，表示圆；
当，且时，表示椭圆；
当时，表示双曲线；
当或时，表示两条直线.
所以CD正确.
故选：CD
知识点3 双曲线的简单几何性质
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点
顶点 顶点坐标： A1 (－a,0)， A2 (a,0) 顶点坐标： A1 (0，－a)， A2 (0，a)
渐近线 y＝ ±x y＝ ±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长
a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
自主检测（多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则
C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为
【答案】BCD
【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解.
【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误；
对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确；
对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确；
对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确.
故选：BCD.
题型1 双曲线的定义
例1-1已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
【答案】A
【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解.
【详解】根据双曲线定义可得，又，
所以或，
又，，
而或，
所以.
故选：A.
例1-2设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ．
【答案】9
【解析】由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值．
【详解】解：设两圆和圆心分别为A，B，
则A，B正好为双曲线两焦点，
，
即最大值为9，
故答案为：9．
方法技巧
（1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
（2）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
【变式训练1-1】若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】，
当点在左支时，的最小值为，
当点在右支时，的最小值为，
因为，则点在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，解得；
当，点在左支时，；在右支时，；推不出；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【变式训练1-2】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助双曲线定义计算即可得.
【解答过程】由双曲线定义可知：，
则三角形的周长为，
故.
故选：D.
题型2 双曲线的标准方程
例2-1若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A．25 B．16 C．5 D．4
【答案】C
【分析】通过双曲线求出焦点，根据椭圆中的关系，得到的值.
【详解】双曲线焦点为，所以，
所以，
故选：C.
例2-2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线中关系和离心率公式即可得到答案.
【详解】由双曲线方程知，且焦点在轴上，
所以在椭圆中，则，离心率.
故选：A.
方法技巧
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
【变式训练2-1】双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解.
【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，，
所以焦点到渐近线的距离.
故选：B.
【变式训练2-2·变考法】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，
即实数的取值范围为，
故答案为：.
题型3 双曲线的焦点、焦距
例3-1（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．
【详解】解：双曲线的一个焦点坐标为，可得，
可得
故选：D
例3-2已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
【答案】B
【分析】由渐近线的方程可求，进而可求解；
【详解】由渐近线的方程为易得：，得，
所以，从而
故选：B
方法技巧
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率
【变式训练3-1】双曲线和有（ ）
A．相同焦点 B．相同渐近线 C．相同顶点 D．相等的离心率
【答案】A
【分析】对于已知的两条双曲线，有，则半焦距相等，且焦点都在轴上，由此可得出结论.
【详解】解：对于已知的两条双曲线，有，
半焦距相等，且焦点都在轴上，
它们具有相同焦点.
故选：A.
【变式训练3-2】已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程可得双曲线的焦点在轴上，且，然后设双曲线的方程，并求出渐近线方程，最后由焦点到该双曲线渐近线的距离等于及双曲线中即可求解.
【详解】解：因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点坐标为，
由题意，双曲线C的焦点在轴上，且，
设双曲线C的方程为，则有，
其渐近线方程为，即，
又焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则有，所以，
所以双曲线C的方程为，
故选：A.
题型4 双曲线的范围
例4-1（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用坐标计算，再利用进行消元，解关于的不等式.
【详解】点在上，则，且或，
因，则，，
则，
解得，故或.
故选：B
例4-2（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．是双曲线 B．若，则的斜率为
C．存在点，使得 D．不存在区间，当时，
【答案】ABC
【分析】利用等比中项列等式并化简求C的轨迹方程可判断A；求出M点的横坐标，利用导数的几何意义求切线的斜率判断B；当M是顶点时切线斜率不存在但满足，当M点不是顶点时求出切线的斜率，由两直线垂直斜率之积为列方程求解M，方程无解，此时不满足条件，判断C；将代入不等式求出的范围，再结合双曲线上点的坐标的范围即可求得的取值范围，判断D.
【详解】因为，，成等比数列，
所以，即，
，进一步化简可得：，
所以点的轨迹C为双曲线，A正确；
若，则，将C的方程转化为：，
求导得：，令得，即过点M的切线的斜率为，B正确；
若，则过点M的切线l为，此时满足；
若，则过点的切线l的方程为：，切线l的斜率为，如果，则，等式不成立.所以存在点，使得，C正确；
将代入不等式得，解得，
结合双曲线得，D错误.
故选：ABC
方法技巧
（1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练4-1】（2025·重庆·三模）（多选）已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】设点，根据点到直线的距离公式得到，，，利用圆锥曲线的统一定义得到，结合双曲线的离心率及双曲线的范围求解可判断各选项.
【详解】设点，则有，所以，，.
对于A，由双曲线的性质有，所以，故A错误；
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确；
对于D，，所以当PF垂直于时，有最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【变式训练4-2·变载体】（多选）已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．线段中点的轨迹方程为
C．的最小值为5 D．直线与曲线只有一个公共点
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题意得，进而根据双曲线的定义即可判断；对于B，设是线段的中点，则，由点在圆上，代入化简即可判断B；对于C，设，则，，将表示成的二次函数，求函数的最小值即可；对于D，分直线与圆相切与不相切两类讨论，当与圆不相切时，通过三角设元法，设出的中点为，得到直线的方程，再将直线的方程与曲线方程联立，通过方程组的解的情况即可判断.
【详解】对于A，∵是的中垂线上的点，则，
∴，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，
∴曲线的方程为，故A正确；
对于B，设，线段中点，则，
所以，即化简为，故B正确；
对于C，设，则，则，
，
当时，，故C不正确；
对于D，曲线的方程为.
设是圆的两条切线，切点分别为，
当与(或)重合时，的中垂线经过点，且∥，
直线的方程为：，直线为曲线的渐近线；
当不与重合时，
由选项B知，线段中点的轨迹方程为，
故可设中点，
若，则，
当，即时，
此时中垂线，与相切，即直线与曲线只有一个公共点；
当，即时，
此时中垂线，与相切，即直线与曲线只有一个公共点；
若，则，
∴，
即，
若，即，此时直线过原点，则与（或）重合，
故.
联立，即，
得，
化简得，
则，即此时，解得.
所以只有一组实数解，
即直线与曲线相切，只有一个公共点，故D项正确.
故选：ABD.
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴
例5-1（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为
【答案】BC
【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项．
【详解】直线与坐标轴的交点分别为和，
因此双曲线的一个焦点为，即，
又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，
由，解得，
选项A，实轴长为，A错；
选项B，离心率为，B正确；
选项C，双曲线方程为，由解得，即，
右焦点为，则，C正确，
选项D，曲线的顶点坐标为，D错误；
故选：BC．
例5-2（多选）已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线和直线的斜率的乘积为
D．
【答案】ABD
【分析】联立直线与双曲线方程，由，求得，即可判断A；将代入双曲线方程，求得，即可判断B；由，即可判断C；由三角形的面积，可求得，即可判断D.
【详解】解：将代入，
整理得，
，
解得，故A正确；
将代入双曲线方程得：，
可得，即，故B正确；
，易得.，C故错误；
由题意可知双曲线的焦距为，
则，
又，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练5-1】已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解.
【详解】由题意得：，，，
联立可解得：，即实轴长为
故选：C.
【变式训练5-2】（多选）已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．点为的重心
C． D．为等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据等轴双曲线求得渐近线判断A；根据重心的向量形式判断B；设，，根据重心坐标性质得，关于轴对称，进而求得，根据的面积求得判断C，结合选项C求得，根据对称性可得为等边三角形判断D.
【详解】由于双曲线是等轴双曲线，故其渐近线为，故A正确；
由知点为的重心，故B正确；
设，，，，
由点为的重心知，，
故，关于轴对称且，，
故的面积，解得，故C错误；
由C可知，，关于轴对称且，，
所以，所以，所以，
因此为等边三角形，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练5-3】若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
【答案】
【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚轴长.
【详解】显然，将化为，
若该方程表示双曲线，则，
且双曲线的标准方程为，
即，虚轴长.
故答案为：.
题型6 等轴双曲线
例6-1已知等轴双曲线的左 右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等轴双曲线的几何形式，能够确定是等腰三角形，即可求解.
【详解】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点），
由，得，则，
所以.
故选：C
例6-2已知双曲线，左、右顶点分别为，，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且，则 ．
【答案】0
【分析】根据双曲线的标准方程，表示出直线，的斜率之间的关系，再利用诱导公式可求，进而求的值.
【详解】如图：
设，则，即.
设，则，
根据三角形的外角定理，可得，
所以，，所以.
所以，且，均为锐角，
所以，
所以，即.
故答案为：0
方法技巧
(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
【变式训练6-1】反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
【答案】（或）
【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标.
【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上，
联立方程，解得或，
即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为，
且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线，
故其虚半轴长为4，可知其半焦距为，
故其焦点坐标分别为，.
故答案为：（或）.
【变式训练6-2】为双曲线右支上两不同点，则取值范围是 .
【答案】
【分析】方法一：利用向量数量积的坐标表示，再求最值即可；
方法二：设，利用向量数量积的坐标表示，再通过三角恒等变形化简，再求最值即可；
方法三：设出直线AB方程，直曲联立消元，由韦达定理代入向量数量积的坐标表示，再求最值即可；
方法四：双曲线图像与函数图像全等，由，再求最值即可.
【详解】方法一：因为为双曲线右支上两不同点，
设，则，，
则
，
取等号条件是，显然该式可以取到无限大，
所以取值范围是.
方法二：设，
则
，所以，
取等号条件是，所以取值范围是.
方法三：设直线AB方程为与双曲线右支交于两点，
联立得，
设，
则
即取值范围是.
方法四：双曲线图像与函数图像全等，
在上取两点，
可知，
时，取等号条件为，
所以取值范围是.
题型7 双曲线的渐近线
例7-1（多选）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的离心率为
B．曲线的渐近线方程为
C．若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则
【答案】AC
【分析】根据待定系数法，求出双曲线参数之间的关系，求出离心率和渐近线方程，判断A，B的正误，根据焦点到渐近线的距离为短轴长，求出双曲线的方程，再根据两点间的距离公式和双曲线的性质求出三角形的面积，判断C，D的正误.
【详解】由题意设双曲线的渐近线方程为，代入点，
解得，则双曲线的离心率，故A正确；
由得双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；
若到渐近线的距离为，则，，则双曲线的方程为，故C正确；
设，则由，可得，
解得，三角形的面积，故D错误．
故选：AC．
例7-2（2025·上海·模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ．
【答案】16
【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为值，，
所以，得，.
故答案为：16
方法技巧
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
【变式训练7-1】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程．
【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，
所以设双曲线方程为，
将代入，可得，则，
所求双曲线的标准方程是．
故选：D．
【变式训练7-2】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左 右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解.
【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形.
因为，所以，故四边形为矩形，
由双曲线定义得，在直角中，，
由，得，解得，
所以，
所以的渐近线方程为.
故选：A.
【变式训练7-3】（25-26高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程.
【详解】由题知，，
又，则的横坐标为，
根据对称性不妨设在轴上方，
由，解得，则，
于是，故，
即，，化简可得，
于是，即，
故渐近线方程为：.
故选：B
题型8 双曲线的离心率
例8-1（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】结合题意建立方程，求解离心率即可.
【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以，化简得，解得，故C正确.
故选：C
例8-2（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解.
【详解】
由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得，
设，由，得，所以，
解得，即，
因为点N在双曲线C上，所以，
所以，解得.
因为，所以，则，
所以，又.所以.
故选：B
方法技巧 （1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练8-1】如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.
【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，
根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，
根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，
综上，
故选：C.
【变式训练8-2·变考法】（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的渐近线方程为 B．直线轴
C．双曲线的方程为 D．的最小值为
【答案】BC
【分析】对于选项A，根据离心率以及双曲线的性质可求出双曲线的渐近线方程；对于选项B，根据这一性质以及线段之间的关系即可证明；对于选项C，根据这一条件以及离心率即可求出的值，从而求出双曲线方程；假设选项D正确，然后根据图象进行推导。结果发现直线垂直于轴时才取到最小值的结论.
【详解】对于选项A：
因为离心率，，所以.
化简得：，所以.
所以双曲线的渐近线方程为，故A错误.
对于选项B：
过点作，因为是内切圆的圆心，
所以.
因为，所以，
所以，所以①.
又②，①②联立解得，所以重合，
所以轴，故B正确.
对于选项C：
根据题意可知，，由选项B知，
所以化简得，所以，又，
所以解得，从而.
所以双曲线的方程为，故C正确.
根据选项B中的内容，按照同样的方法即可证明轴.
由选项C求出的双曲线方程可知，.
那么根据基本不等式的性质，，
当且仅当时，取最小值.
通过图象可以发现，当时，即和的内切圆半径相等，
所以与全等，
因为与全等，与全等，
所以，根据双曲线对称的性质可知，直线轴.
此时点，
此时直线没有斜率，不合题意，
故，取不到最小值，故D错误.
故选：BC.
【变式训练8-3】（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ．
【答案】3
【分析】利用双曲线方程中的关系结合离心率，列式计算即可求得的值.
【详解】由双曲线，得，所以
双曲线C的离心率为，
所以，解得
故答案为：.
题型9 双曲线的应用
例9-1已知曲线，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线与直线无公共点
B．曲线与圆有三个公共点
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到直线的最大距离是
【答案】D
【分析】分类讨论方程表示曲线的类型，画出曲线的图象，再逐项判断.
【详解】对于A选项，联立，将代入，得，
所以曲线与直线无公共点，A选项正确；
下面分析曲线的图象：
曲线，当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为，不符合；
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为.
由此画出曲线的图象如下图所示：
对于B选项，圆的圆心为，半径是，
与圆弧(）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为.
结合图象可知曲线与圆有三个公共点，B选项正确；
对于C选项，点满足直线对称的对称点是，
将点代入得，整理得，
所以曲线关于直线对称，C选项正确；
对于D选项，由图可知，曲线上的点到直线的最大距离是，
即圆弧()的半径，所以D选项错误.
故选：D.
例9-2年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.
【答案】
【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果.
【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，
即可得，因此离心率为；
设双曲线的方程为，将代入计算可得，
解得；
所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.
故答案为：；；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出实半轴长.
【变式训练9-1】由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ．
【答案】2
【分析】由双曲线的光学性质结合，可得垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求出.
【详解】由双曲线的光学性质知，平分，延长与的延长线交于点E，
由，得为的中点，又是中点，
所以.
故答案为：2
【变式训练9-2】某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm.
【答案】
【分析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论.
【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意，，所以，
因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线方程为，因为斧高12cm，
令，得，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：.
【变式训练9-3】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
【答案】A
【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.
【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，
因为、比处同时晚收到信号，所以有，
从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，
如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，，
所以，双曲线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即点，
从而，所以，直线的倾斜角为，
则在处测得的方向角为北偏东，
故选：A.
1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选：
2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，则，
即.
故选：D
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选：C.
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，
故A正确；
对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，
设，则，故，故，
由A得，故即，故B错误；
方法二：因为，因为双曲线中，，
则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则，
则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，
方法三：在利用余弦定理知，，
即，则，
则为直角三角形，且，则，故B错误；
对于C，方法一：因为，故，
由B可知，
故即，
故离心率，故C正确；
方法二：因为，则，则，故C正确；
对于D，当时，由C可知，故，
故，故四边形为，
故D正确，
故选：ACD.
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)当时，；
(3)的最大值为.
【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可；
（2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解；
（3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解.
【详解】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系.
1.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上
【答案】B
【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.
【详解】由圆可知，圆心，半径，
圆化为标准方程，
圆心，半径，
因此圆心距，所以两圆相离，
设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为，
则满足，所以，
即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，
根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，
即圆心在双曲线的一支上.
故选：B.
2.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．

【答案】
【分析】如图建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，利用已知条件确定的值，从而可求得双曲线的方程.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，
因为，点的横坐标分别为25，13，
所以设（），
所以，解得，
因为高为55米，
所以，即，
得，
所以所求双曲线方程为.

3.指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率．
【答案】答案详见解析
【分析】根据双曲线的知识求得正确答案.
【详解】双曲线的焦点在轴上，
所以范围：或；.
对称性：关于轴、轴、原点对称.
顶点：.
渐近线：.
实轴：，虚轴：.
离心率：，其中.
4.动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.
【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹.
【详解】设d是点M到直线l的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.
5.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，求出结合焦点位置得出双曲线方程；
（2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出，即可得出双曲线方程.
【详解】（1）由已知得5，．因此，且．
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是．
（2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为.
因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
，
因此，从而．
因此，所求双曲线的标准方程是．
6.已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.
【答案】
【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可.
【详解】

由题可得，，
所以,
设，则，解得,
由于对称性，不妨取，所以
根据双曲线的定义可得，，解得，
设到直线的距离为，
在直角三角形中，，
所以.
7.如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？

【答案】答案见详解
【分析】就两圆半径的大小关系分类讨论，再根据曲线的定义可得相应的轨迹.
【详解】设圆的半径为，圆的半径为，动圆的半径为，
因为动圆M与两个定圆和分别外切，故，，
若，则，故的轨迹为的中垂线.
若，则，
故的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支.
若，则，
故的轨迹为以、为焦点的双曲线的左支.中小学教育资源及组卷应用平台
第06讲 双曲线及其性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 双曲线的定义 4
知识点2 双曲线的标准方程 4
知识点3 双曲线的简单几何性质 4
题型破译 5
题型1 双曲线的定义 5
【方法技巧】没有绝对值只表示一支
题型2 双曲线的标准方程 6
【方法技巧】谁的系数为正焦点就在对应的轴上
题型3 双曲线的焦点、焦距 6
题型4 双曲线的范围 7
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴 8
题型6 等轴双曲线 9
题型7 双曲线的渐近线 10
题型8 双曲线的离心率 11
【方法技巧】通过几何、定义找abc的关系
题型9 双曲线的应用 12
04真题溯源·考向感知 14
05课本典例·高考素材 15
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) 3.了解双曲线的简单应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第3题，5分 全国二卷，第11题，6分 天津卷，第9题，5分 北京卷，第3题，4分 新课标I卷，第12题，5分 全国甲卷（理数），第5题，5分 新课标I卷，第16题，5分 全国甲卷（文数），第8题，5分 北京卷，第12题，5分 天津卷，第9题，5分
考情分析： 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
复习目标： 1.深入理解双曲线的定义，明确其与椭圆定义的区别与联系。能够精准阐述双曲线定义中动点到两定点距离之差的绝对值为定值（小于两定点间距离）这一关键特征，并能运用定义解决相关问题，如根据给定条件判断点的轨迹是否为双曲线。 2.全面掌握双曲线的几何性质，包括范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。理解这些性质与双曲线方程之间的内在联系，例如通过方程判断双曲线的范围，利用对称性简化问题求解过程。能准确求出双曲线的渐近线方程，并理解渐近线对描绘双曲线形状的重要作用。深入理解离心率的定义及它对双曲线形状的影响，能够根据已知条件求出离心率的值或范围
知识点1 双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是 ；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是 ；
(3)当a＞c时，集合P是 .
自主检测已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ．
知识点2 双曲线的标准方程
标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0)
图形
自主检测（多选）已知曲线，则（ ）
A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆
C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线
知识点3 双曲线的简单几何性质
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点
顶点 顶点坐标： A1 ， A2 . 顶点坐标： A1 ， A2 .
渐近线 y＝ . y＝ .
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的 .
a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
自主检测（多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则
C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为
题型1 双曲线的定义
例1-1已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A．9 B．1 C．1或9 D．11或9
例1-2设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ．
方法技巧
（1）双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
（2）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
【变式训练1-1】若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【变式训练1-2】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
题型2 双曲线的标准方程
例2-1若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A．25 B．16 C．5 D．4
例2-2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
【变式训练2-1】双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式训练2-2·变考法】已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 .
题型3 双曲线的焦点、焦距
例3-1（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3-2已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
方法技巧
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率
【变式训练3-1】双曲线和有（ ）
A．相同焦点 B．相同渐近线 C．相同顶点 D．相等的离心率
【变式训练3-2】已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且焦点到该双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型4 双曲线的范围
例4-1（2025·辽宁·一模）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2（2025·福建福州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，，为两个定点，为动点，且，，成等比数列，记点的轨迹为，过作的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．是双曲线 B．若，则的斜率为
C．存在点，使得 D．不存在区间，当时，
方法技巧
（1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练4-1】（2025·重庆·三模）（多选）已知双曲线C：的右焦点为F，P是C右支上的动点，P到直线，和的距离分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2·变载体】（多选）已知点是圆上一动点，点，线段的中垂线交直线于点，若点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线的方程为 B．线段中点的轨迹方程为
C．的最小值为5 D．直线与曲线只有一个公共点
题型5 双曲线的顶点、实轴、虚轴
例5-1（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的离心率为
C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为
例5-2（多选）已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线和直线的斜率的乘积为
D．
【变式训练5-1】已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式训练5-2】（多选）已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．点为的重心
C． D．为等边三角形
【变式训练5-3】若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于 ．
题型6 等轴双曲线
例6-1已知等轴双曲线的左 右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
例6-2已知双曲线，左、右顶点分别为，，点P是双曲线C上异于顶点的一点，且，则 ．
方法技巧
(1)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)利用渐近线可以较准确的画双曲线的草图．
(5)双曲线上的点到焦点的最小值为c－a.
【变式训练6-1】反比例函数的图像是双曲线，则这个双曲线的一个焦点坐标为 ．
【变式训练6-2】为双曲线右支上两不同点，则取值范围是 .
题型7 双曲线的渐近线
例7-1（多选）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的离心率为
B．曲线的渐近线方程为
C．若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为
D．设为坐标原点，若，则
例7-2（2025·上海·模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ．
方法技巧
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则其渐近线方程为
已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．
（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
（4）等轴双曲线的渐近线
等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．
【变式训练7-1】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左 右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】（25-26高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型8 双曲线的离心率
例8-1（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
例8-2（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 （1）建立不等式法：
①利用曲线的范围建立不等关系．
②利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
③利用角度长度的大小建立不等关系．
④利用题目不等关系建立不等关系．
⑤利用判别式建立不等关系．
⑥利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
⑦利用基本不等式，建立不等关系．
（2）函数法：
①根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
②通过确定函数的定义域；
③利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
（3）坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【变式训练8-1】如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练8-2·变考法】（多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，为的左顶点，过且斜率存在的直线与的左支分别交于，两点，设，分别为，的内切圆的圆心，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的渐近线方程为 B．直线轴
C．双曲线的方程为 D．的最小值为
【变式训练8-3】（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ．
题型9 双曲线的应用
例9-1已知曲线，则下列结论中错误的是( ).
A．曲线与直线无公共点
B．曲线与圆有三个公共点
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到直线的最大距离是
例9-2年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm.
【变式训练9-1】由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ．
【变式训练9-2】某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm.
【变式训练9-3】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西
1．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2 B．5 C． D．
2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
7．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若的离心率为2，求.
(2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
(3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
1.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上
2.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．

3.指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率．
4.动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.
5.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8；
(2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点．
6.已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.
7.如图，已知动圆M与两个定圆和分别外切，则动圆圆心M的轨迹是什么图形？

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