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第07讲 抛物线及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 抛物线的定义与标准方程
题型02 抛物线的焦点坐标及准线方程
题型03 抛物线的轨迹方程
题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
题型05 焦半径问题
题型06 抛物线的几何性质
题型07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
题型08 抛物线的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．9或18
2．(多选)已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．三点共线（其中为坐标原点）
D．
3．已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
4．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ．
02 抛物线的焦点坐标及准线方程
5．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．(多选)已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ）
A．曲线的轨迹方程为
B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14
C．若为曲线上的动点，则的最小值为5
D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点
8．若抛物线的焦点为点，则 ．
03 抛物线的轨迹方程
9．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
11．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程.
(2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求.
12．已知动点到点的距离，与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与动点的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
13．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
14．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．(多选)设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．的最小值为4
C．的最大值为5
D．以线段为直径的圆与轴相切
05 焦半径问题
16．已知实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．(多选)设抛物线（）的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．
B．的坐标为或
C．
D．直线的方程为
18．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
19．(多选)过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．以为直径的圆与x轴相切
B．
C．的最小值为
D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为
20．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 .
21．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则 .
22．已知抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，为坐标原点，，若的平分线过的中点，则点的坐标为 ．
06 抛物线的几何性质
23．(多选)设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ）
A． B．
C．存在直线，使得 D．对任意直线，
24．(多选)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ）
A．的方程为 B．
C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形
25．(多选)已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ）
A．点的轨迹是抛物线的一部分 B．点的轨迹是直线的一部分
C．外心的轨迹是直线的一部分 D．外心的轨迹是抛物线的一部分
26．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ．
①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．
07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
27．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
29．设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是 .
30．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切．
08 抛物线的实际应用
31．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．8m
32．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50m B． C．55m D．
33．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm．
34．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
35．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离.
36．如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（ ）

A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米
37．已知是抛物线的对称轴与准线的交点，为抛物线的焦点，点在抛物线上．在中，若，则的最大值为 ．
38．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为．
(1)求的准线方程；
(2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．
①求证：直线过定点；
②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
40．如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且.
(1)求的方程；
(2)过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为.
①求的面积；
②证明：.
1．（全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
6．（全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲 抛物线及其性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 抛物线的定义与标准方程
题型02 抛物线的焦点坐标及准线方程
题型03 抛物线的轨迹方程
题型04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
题型05 焦半径问题
题型06 抛物线的几何性质
题型07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
题型08 抛物线的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1 B．9 C．1或9 D．9或18
【答案】C
【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果.
【详解】
分别过点M，N作，垂足为，则
由抛物线的定义，得
由，得，
则，
由图1，，，
∵M，O，B三点共线，∴
,
.
由图2，，
，
,
，
∵M，O，B三点共线，∴
综上，或9.
故选：C.
2．(多选)已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．三点共线（其中为坐标原点）
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明.
【详解】
连接，根据抛物线定义可知，所以，
又由于轴，所以，
所以，同理可证，
所以，
即，故正确；
过作于，设，则，，
所以，
所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误；
设，则，
由于，由于三点共线，
则，
又由于，则，由于，
则，所以，，
所以，
即，所以三点共线，故C正确；
由于，则，即，所以，
所以，故D正确．
故选：ACD．
3．已知点在抛物线上，的焦点为，则 ．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点，准线为，
所以点到准线的距离，则.
故答案为：2.
4．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的定义，用，表示出，再根据勾股定理和基本不等式求解即可.
【详解】
设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示.
由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以.
又，所以，所以.
又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为.
故答案为：.
02 抛物线的焦点坐标及准线方程
5．已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化为抛物线的标准方程即可得解.
【详解】由抛物线化为标准方程得，
则抛物线的焦点到准线的距离为，
故选：A.
6．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程．
【详解】直线与y轴的交点为，
所以抛物线C的焦点为，故，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
故选：D．
7．(多选)已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ）
A．曲线的轨迹方程为
B．圆与曲线交于A，B两点，与交于E，G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为14
C．若为曲线上的动点，则的最小值为5
D．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得.
【详解】对于A，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确；
对于B，直线交圆于点，而，
四边形是矩形，周长为，B错误；
对于C，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为，
则，，当且仅当与点重合时取等号，
因此的最小值为，C正确；
对于D，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为，
由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点，
当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点，
因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，D错误.
故选：AC
8．若抛物线的焦点为点，则 ．
【答案】/
【分析】将抛物线化为标准形式，然后结合题意可得答案.
【详解】，因焦点为，则.
故答案为：
03 抛物线的轨迹方程
9．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出的坐标，然后利用垂直关系列出等式求出，进而得到抛物线方程.
【详解】根据题意，设抛物线方程为，
则，准线方程为.
所以点.
因为，所以，
化简得，即，解得.
所以抛物线方程为.
故选：D.
10．在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程．
【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：．
故答案为：.
11．已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程.
(2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据抛物线的定义特征即可求出轨迹的方程.
(2)设，利用设而不求的思想，结合曲线在A，B处的切线方程，求出交点坐标借助向量数量积的关系进行转化求解即可.
【详解】（1）（1）由题意知动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹C的方程为.
（2）（2）设，.联立得，
则，，
.
易知直线，的斜率存在，设直线的方程为，联立
，得.
由，解得，所以切线的方程为.
同理可得，切线的方程为.
由解得即点.
因为，，，且，所以，
即
化简得，因此或故.
12．已知动点到点的距离，与点到直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与动点的轨迹交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）点的轨迹满足抛物线的定义，由此求得点的轨迹方程；
（2）由于直线斜率存在且不为零，故设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入可求得的值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）因为平面上的动点到定点的距离与到直线的距离相等，
所以由抛物线定义知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，
所以其轨迹方程为.
（2）
直线的斜率显然存在且不为0,
故可设的方程：
由,得,
所以,
因为，
所以,
所以,
解得,
所以所求直线的方程是，即.
04 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
13．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线．
设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为．
由，可得，
当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立，
故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.

故选：B
14．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值.
【详解】
因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，，
则，
当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
15．(多选)设抛物线的焦点为为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程是
B．的最小值为4
C．的最大值为5
D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出的中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D.
【详解】A（√）由抛物线，知其焦点为，准线方程为．
B（√）如图所示，过作准线于点，则，
故，
当且仅当，，共线时（即图中），最小，
最小值为到准线的距离4.

C（×）由，当且仅当共线时取等号，故的最大值为．
D（√）由，知的中点坐标为，而，故，所以以线段为直径的圆与轴相切．
故选：ABD
05 焦半径问题
16．已知实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】吧问题转化成抛物线上的点到焦点的距离与到定直线的距离之和的最小值问题，再结合抛物线的定义求解.
【详解】如图：
根据题意，的几何意义为点与点之间的距离，
分析可得点在抛物线上，点在直线上，
抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点.
所以的几何意义为.
由.
过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点.
则（当与点重合，与点重合时取等号）
故选：B
17．(多选)设抛物线（）的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．
B．的坐标为或
C．
D．直线的方程为
【答案】AB
【分析】由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D.
【详解】如图，由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由为的中点得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确；
由选项A知抛物线方程为，，则，故，，所以点的坐标为或.故选项B正确；
的面积为.故选项C不正确；
由，或知，直线的方程为，即.故选项D不正确.
故选：AB.
18．设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】解法一：根据抛物线定义以及角度关系，构造方程即可解得；解法二：利用结论，直接代入角度计算即可得出结果.
【详解】解法一：如图所示，过点作AB垂直准线于点，过焦点作FD垂直AB于点．
由题意可知．
根据抛物线的定义知．
在中，，
又，所以，
解得．
解法二：由结论（为直线AF的倾斜角）得．

故选：C.
19．(多选)过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．以为直径的圆与x轴相切
B．
C．的最小值为
D．过A，B两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点P，则的面积最小值为
【答案】ACD
【分析】根据题意，设直线的方程为，联立方程组求得，得到，根据物线的性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定A正确；由斜率公式，求得，可判定B不正确；由抛物线的焦半径公式，得到，结合基本不等式，可判定C正确；求得切线方程，联立方程组求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，得到面积的面积为，可判定D正确.
【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为，
显然直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立方程组，可得，，
设，则，
则，
对于A中，由抛物线的性质，可得，
则以为直径的圆，其圆心为，半径为，
则圆心到轴的距离，所以以为直径的圆与轴相切，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，因为，可得
由抛物线的焦半径公式，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，由抛物线，可得，
所以过点和的切线方程分别为和，
联立方程组，可得，即，
又由直线方程，即，
则点到直线的距离为，
又由，
所以的面积为，
设，可得，所以的最小值为，所以D正确.
故选：ACD.
20．已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 .
【答案】4
【分析】设，，根据焦半径公式得到方程，求出，得到答案.
【详解】由，得，则抛物线C的准线方程为.
设，，则，∴，
∴点P到轴的距离为4.
故答案为：4
21．已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则 .
【答案】8
【分析】根据抛物线的焦半径公式计算即可.
【详解】因为点M到焦点的距离为5，所以，解得.
故答案为：
22．已知抛物线，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，为坐标原点，，若的平分线过的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，再利用圆的方程与曲线联立即可求解.
【详解】设线段的中点为，作轴于点，轴于点，
直线交的准线于点，
则，故．
过点作于点，由是的平分线，知，
由垂线段的唯一性知两点重合，可得，
则点在以线段为直径的圆上．
设，则由，得，
将代入得，
易知，所以
，即，即，得，所以．
故点的坐标为．
故答案为：.
06 抛物线的几何性质
23．(多选)设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是（ ）
A． B．
C．存在直线，使得 D．对任意直线，
【答案】ACD
【分析】对于A，设出直线方程，联立结合韦达定理证明；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用利用三角形相似证得，，判断C，对于D，联立直线方程和抛物线方程，分别表示即可证明.
【详解】
对于A，当直线的斜率不存在时，为中点，满足；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立，消去，得，
，则，
因为，，
所以，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，
所以，
过垂直于的直线方程为
当时，代入，，
所以，
所以，
因为，
所以，故A正确；
对于B，由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
所以存在直线，使得，故C正确；
对于D，，，所以，
所以，
因为，，所以，因为，所以，
，所以，
同理，
令，则，因为，则，所以，
所以，
所以，其中，
所以，
其中
，
同理，
所以，故D正确，
故选：ACD.
24．(多选)设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ）
A．的方程为 B．
C．以为直径的圆与相交 D．为钝角三角形
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解.
【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为，
对于A，抛物线的准线的方程为，A正确；
由消去并整理得，解得，
对于B，点，，B错误；
对于C，，线段中点到准线的距离，
因此以为直径的圆与相切，C错误；
对于D，，则是钝角，D正确.
故选：AD.
25．(多选)已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ）
A．点的轨迹是抛物线的一部分 B．点的轨迹是直线的一部分
C．外心的轨迹是直线的一部分 D．外心的轨迹是抛物线的一部分
【答案】BD
【分析】对于AB：设，建立起与，斜率的关系式，消元得到关于，的方程，即为点的轨迹方程；对于CD：先证明，可得到，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切，再由抛物线的定义可得到外心的轨迹.
【详解】对AB：不妨设，由已知,
设直线的斜率为①，倾斜角为，
切线斜率为，倾斜角为，
由正切和差公式：，
②，
设切线方程为，联立，
得，由得③，
将①③代入②得：，
化简并因式分解有：，
再代入回③，得：，又，则，故B正确，A错误；
对CD：设外心为，由选项B可知在的一条切线上，切点为；
把代入到中，
可得，得，所以；
又，，所以，
，，
，
，
，
，
，，
故，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切，
又，故其外心在为焦点，为准线的抛物线上，故C错误，D正确.
故选：BD

26．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是 ．
①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．
【答案】①②③
【分析】利用抛物线的定义，结合交点的横坐标来表示各焦半径长和弦长，再推导交点的纵坐标之积为定值，即可作出各选项判断.
【详解】由抛物线方程，可知焦点，
设，，由题意知：，
所以，整理得．
对于①：根据抛物线定义可知，
所以圆的半径为，
又因为线段的中点到直线的距离为，
因此圆与直线相离．故①正确；
对于②：以为直径的圆的半径为，
而线段的中点到轴的距离为，因此圆与直线相切．故②正确；
对于③：，
因此的最小值为4．故③正确；
对于④：，因此没有最小值．故④错误；
故答案为：①②③．
07 抛物线中三角形、四边形的面积问题
27．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，易得直线过定点，则，由此即可得解.
【详解】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，，
抛物线的焦点，
直线过定点，
因为，，
所以，
所以.
故选：B.
28．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
【答案】D
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点A的坐标，即得四叶图上的点到点的距离的最大值；对于CD，由图像对称性，当与平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何意义可求切点，根据对称性再得到，即可求弦长最大值，又第一象限花瓣一半的面积小于与的差，所以求出与的差，即可判断阴影区域面积小于6.
【详解】由题知，开口向右的抛物线方程为，焦点，
所以开口向上的抛物线方程为，即，故A正确；
又，所以，
所以四叶图上的点到点的距离的最大值，故B正确；

，且在第一象限的区域关对称，直线与直线垂直，
所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与平行的直线分别与抛物线相切时，
设切点为，开口向上的抛物线方程为，
又，所以切点，由对称可得切点，
此时弦长最大值，故D错误；
切线的方程为，与轴交点，
过点的切线方程为，与轴交点，与切线的交点，
由图知第一象限花瓣一半的面积小于与的差，
，
所以阴影区域面积小于，故C正确；
故答案为：D.
29．设点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则的面积是 .
【答案】
【分析】设直线方程，设，，联立直线和抛物线方程，结合抛物线定义以及韦达定理，得出坐标，以及直线方程，利用两点之间距离公式和点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】由题知，设直线为，
联立，得，
设，，则，
所以，，不妨令，
则，，
所以，，
所以，直线为，即，
所以，
又到直线距离为，
所以的面积为.
故答案为：
30．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积；
(3)若为的准线，证明：以为直径的圆与相切．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线焦点可求抛物线方程；
（2）利用抛物线的定义来求焦点弦长，再求点到线的距离可求得面积；
（3）利用抛物线的定义结合梯形的中位线通过圆心到直线的距离等于半径可判断相切.
【详解】（1）直线过点，
所以抛物线的焦点，
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，
由，消去并化简得，
解得，
所以，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为．
（3）
设的中点为，且到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，
所以以为直径的圆与直线相切．
08 抛物线的实际应用
31．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．8m
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点,
设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以,
当时，，所以水面宽度为．
故选：B
32．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50m B． C．55m D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案.
【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知，
设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离，
则,解得．

故选：A
33．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm．
【答案】60.5
【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得.
【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示：
则可设抛物线的方程为，
由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点，
代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为，
当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为，
将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为.
故答案为：
34．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
【答案】4.3
【分析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，最右侧的高，用该值减去即为限制高度.
【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
将点代入得，
故，
今，得，
故限高为，
故答案为：4.3.
35．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为，，则.
由点B，D均在抛物线上，得解得，
所以抛物线顶端到连桥AB的距离为.
36．如图是正在施工建设的济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥．大桥主跨OA长约500米，主塔AB高约100米，缆悬索OB是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（参考数据：）（ ）

A．725米 B．1358米 C．1525米 D．1558米
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出的准线方程，结合抛物线的定义及两点间距离公式求解.
【详解】以为原点，直线OA为轴，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，
连接AF，BF，则，设抛物线的方程为，
则，解得，因此抛物线的焦点为，准线方程为，
，又，
所以主塔两端点A，B到抛物线的焦点的距离之和约为（米）．
故选：C

37．已知是抛物线的对称轴与准线的交点，为抛物线的焦点，点在抛物线上．在中，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义和几何性质，将题目条件所给等式转化为的形式．
【详解】由对称性，不妨假设点在第一象限．准线，，，
过点作，垂足为，则由抛物线定义可知，
于是，
因为在上为减函数，所以当取到最大值时（此时直线与抛物线相切），最大．
设，代入，得，由得，
即直线的斜率为1，从而，所以．
故答案为：
38．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，且当直线过的焦点时，在点处的切线的交点的横坐标为．
(1)求的准线方程；
(2)若，直线与的另一个交点为（异于点），是否存在实数，使得直线恒过定点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，定点为
【分析】（1）通过抛物线切线方程性质，结合切线横坐标与焦点的关系列方程求解；（2）假设直线方程，联立方程用韦达定理化简，得出的值，再计算得出定点.
【详解】（1）

设直线过的焦点，
设其方程为，其中，
联立得，
设，不妨令，
则，
因为，
所以在点处的切线方程分别为，
又，
代入切线方程得，
解得，故，
所以的准线方程为．
（2）

由（1）得抛物线的方程为，设，直线，
联立得，
则，
所以，①
（ⅰ）当直线斜率存在时，，
同理得，则，所以，
则直线的方程为，
代入得，
将①代入得，要使直线过定点，则，即，
此时的方程为，其恒过定点；
（ⅱ）当，且直线斜率不存在时，，由得，
代入①式得，所以，
解得，所以，此时直线的方程为，也过点．
综上，存在实数，使得直线恒过定点．
39．如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点．
①求证：直线过定点；
②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程．
（2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解；
②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解.
【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，，
抛物线的方程．
（2）①设，由于切线斜率一定存在，
故设过点的切线，
代入中，得：，
，．
设的斜率分别为，
则
，，，
得
，
的中点为．
又，直线的方程：，
即：，过定点．
②设，则．同理：．
，．
把代入中得：，
所以由，
，
，解得．
存在定点，使得以为直径的圆恰过点．
40．如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且.
(1)求的方程；
(2)过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为.
①求的面积；
②证明：.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）根据抛物线定义直接可得解；
（2）①根据点的坐标及三角形面积公式直接计算；②根据三角形面积计算可得，结合等比数列求和公式可得证.
【详解】（1）由已知抛物线，准线为，
由抛物线定义可知抛物线上的点到焦点的距离为，
即，解得，
即抛物线方程为；
（2）①由（1）得抛物线方程为，即，
即，，
则，
即点的横坐标为，纵坐标为，
即，则，
则三角形面积；
②设，与线段的交点为，
则，，
即，，
又，即，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
则，
则，
又，
则.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1．（全国乙卷·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

3．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
6．（全国甲卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．

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