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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．实数a，b满足，则（ ）
A． B． C．1 D．3
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
5．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ）
A．的虚部为1 B．
C． D．
11．声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数是偶函数 B．该函数的最小正周期为
C．该函数的最大值为 D．该函数的图象关于对称
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若向量，的夹角为，，，则 ．
13．已知正实数满足，，则 .
14．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
(1)求A的值；
(2)若点D在AC上，且，求的面积．
16．（15分）
已知函数在处取得极值
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
17．（15分）
已知直线和是图象的两条相邻的对称轴
(1)求的解析式；
(2)将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
18．（17分）
已知数列的首项的前项和为，且.
(1)证明数列是等比数列；
(2)令，求函数在点处的导数；
(3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．（17分）
已知函数.
(1)若，，求函数的极值；
(2)若，当，求证：，；
(3)若，设，若，，，求实数的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式~第六章 数列（综合测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数单调性求集合A，进而可求交集.
【详解】因为集合，
且集合，所以.
故选：C.
2．实数a，b满足，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【分析】先根据复数乘法计算化简，再结合复数相等列式求解.
【详解】由得，
解得，所以．
故选：D.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得或；由，得，即，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
4．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得.
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，
得，整理得，解得，
所以.
故选：C
5．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量.
【详解】
如图所示，.
故选：D.
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先验证函数是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项.
【详解】因为，所以，
所以函数是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误；
取特殊值，令，则，
根据图象可以看出D错误，C正确.
故选：C.
7．已知，是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解.
【详解】由得，
即，所以
∵是第四象限角，∴.
所以.
故选：D.
8．已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集.
【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增，
又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增，
由，
当时，，即；
当时，，即；
由可得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，结合等差数列下标性质逐一判断即可.
【详解】A：因为数列是等差数列，
所以，因此本选项正确；
B：因为数列是等差数列，
所以由，而，
所以，因此本选项正确；
C：由上可知：，且，设等差数列公差为，所以，
而且从首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，因此前六项和最小，故，因此本选项不正确；
D：由上可知：，且，可得
，因此无法判断之间的大小关系，
故选：AB
10．欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ）
A．的虚部为1 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】A选项，计算出，得到虚部；B选项，，由共轭复数的定义可知B正确；C选项，计算出，C正确；D选项，通过计算可得的一个周期为6，且，通过周期可得答案.
【详解】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，，
，
故，，C正确；
D选项，，，
，
，
故的一个周期为6，
且
，
故
，D正确.
故选：BCD
11．声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数是偶函数 B．该函数的最小正周期为
C．该函数的最大值为 D．该函数的图象关于对称
【答案】BD
【分析】利用正弦函数的奇偶性判断A；求函数周期判断B；利用正弦函数的值域判断C；根据与的关系判断D.
【详解】对A：因为.
所以函数为奇函数，故A错误；
对B：因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，
且，，的最小公倍数为，所以的最小正周期为，故B正确；
对C：因为的最大值为1，的最大值为，的最大值为，且.
但是它们分别在，，，时取等号，所以不能同时取得最大值，故C错误；
对D：因为，
，
所以，所以该函数的图象关于对称，故D正确.
故选：BD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若向量，的夹角为，，，则 ．
【答案】
【分析】，利用向量数量积计算结果.
【详解】向量，的夹角为，，，有，
则.
故答案为：.
13．已知正实数满足，，则 .
【答案】/
【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解.
【详解】令，则，
由，得，
所以，解得或，
所以或，
所以或，
当时，则，
由，得，所以，
由，又，解得，
所以；
当时，由，得，所以，
由，又，解得，
所以，
综上所述，.
故答案为：.
14．已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知方程有两个根，则有3个根，然后作出分段函数的大致图象，利用数形结合即可求解.
【详解】因为，
根据题意和函数图象可知，
有两个根，则有3个根，
的图象如图所示，

结合图象可知，要使方程有3个根，则有，所以.
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，且，
(1)求A的值；
(2)若点D在AC上，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，结合正弦定理边化角，即可求角A；
（2）利用同角公式求正弦值，再结合正弦定理求出，然后再根据正弦的和差角公式求解，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由三角形内角和定理可知：，
再由，利用正弦定理边化角得：
，
因为，所以有，则；
（2）
由，在中，可得，
再由正弦定理得：，
，
所以的面积.
16．（15分）
已知函数在处取得极值
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解；
（2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解.
【详解】（1）函数的导数为：
由题意，，代入得：，解得，
经检验，符合题意；
故的值为.
（2）当时，，导数为：
令，解得，（舍去），
当，；当，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取到极小值也是最小值；
又，，从而可求最大值为，
故最大值为，最小值为.
17．（15分）
已知直线和是图象的两条相邻的对称轴
(1)求的解析式；
(2)将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数最小正周期，进而求出，代入，结合得到，得到函数解析式；
（2）求出，求出，根据零点个数，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1）由已知得函数的最小正周期，所以，
又因为，
所以，，即，，
因为，所以，
所以.
（2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，
得到函数的图象，所以，
因为，所以，
因为在区间上恰有两个零点，
所以，解得，
所以的取值范围为.
18．（17分）
已知数列的首项的前项和为，且.
(1)证明数列是等比数列；
(2)令，求函数在点处的导数；
(3)设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）由和作差结合等比数列定义即可求证；
（2）先由（1）得，接着计算导数再结合错位相减法和等差等比数列前n项和公式即可计算求解；
（3）分为偶数和为奇数分析不等式成立时的参数解即可得解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
所以，
又，即，
所以数列是公比和首项均为2的等比数列.
（2）由（1），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（3）不存在，理由如下：由题，
则，设对任意正整数都成立，
则当为偶数时，，
因为为偶数，所以，所以；
当为奇数时，，
因为为奇数，所以，所以，
综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立.
19．（17分）
已知函数.
(1)若，，求函数的极值；
(2)若，当，求证：，；
(3)若，设，若，，，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值为1，无极小值
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求导，利用导数讨论的单调性，再确定极值.
（2）方法一：由题意，得，令，则问题转化为证明，利用函数的导数研究函数的单调性可证.
方法二：设，则，原不等式等价于恒成立.
可通过导数求函数的最小值得证.
（3）设在上的最小值为，在上的最小值为，条件，，都有等价于，通过导数分别求函数和的最小值即可求解.
【详解】（1）若，，，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以无极小值，且当时，取得极大值.
（2）解法1：若，，
令，要证，只要证，
设，
，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，命题得证.
解法2：由题可知，对任意，恒成立.
等价于在恒成立.
所以，
即在恒成立.
设，则，
所以原不等式等价于恒成立.
设，得.
当时，令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在时，取到极小值，也是最小值，且最小值为.
因为，所以，即对任意，恒成立.
（3）解法1：设，则，
设，则，
所以在区间上单调递增，因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
又时，，
所以在上恒成立.
即在上的最小值.
由得，，
令，则，
设，，
当时，则，
当时，，不合题意，舍去.
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最小值为，即的最小值，
故要使得若，，都有，只需
解得，所以实数范围为.
解法2：由，则有
令，
，
因为所以，在上为增函数，
所以，即，所以在上为增函数，
则，即，
所以，，则有恒成立，
即，所以，
令，
则，，，
令，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以,
所以实数范围为.

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