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重难点培优02 y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 φ的取值和最值（范围）问题（★★★★） 3
题型二 区间内的单调性与ω（★★★★★） 10
题型三 区间内的最值与ω（★★★★★） 15
题型四 区间内的极值（点）与ω（★★★★★） 21
题型五 区间内的零点与ω（★★★★★） 25
题型六 区间内的对称性与ω（★★★★★） 31
题型七 综合型问题与ω（★★★★★） 34
03 实战检测 分层突破验成效 41
检测Ⅰ组 重难知识巩固 41
检测Ⅱ组 创新能力提升 52
一、与对称性有关
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
二、与单调性有关
三、与零点和极值点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的.
例如：在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
题型一 φ的取值和最值（范围）问题
1．函数是上的偶函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.
【详解】是上的偶函数，即关于对称，则，
则，则，解得.
，则.
故选：D.
2．（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值．
【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是（），且它是偶函数，
所以（），，（），
又因为，所以.
故选：B．
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用的图象与性质，即可求解.
【详解】对于函数，易知的图象关于点对称，
设为的最小正周期，则，又，得，
当时，，，得到，，
又，可得，
故选：C.
4．（24-25高三上·山东日照·月考）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由在区间内单调求出的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得，利用对称轴即可求出.
【详解】由函数在内单调，得最小正周期，
点是函数图象的对称中心，
直线是函数的图象的一条对称轴，
而，则，符合题意，；
或，不符合题意，
因此函数，由是函数的图象的一条对称轴，
得，而，所以.
故选：D
5．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换可得函数解析式，由整体思想以及正弦函数的单调性，可得函数的单调区间，结合题意可得其包含关系，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，
令，解得，
令，由题意可得，则，解得，
当时，，不合题意；当时，，不合题意.
故选：B.
6．将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】现根据平移得到的表达式，再由，可知在处，一个取最小值，一个取最大值，且相邻，进而可以列出等式，求解即可.
【详解】的图象向左平移个单位后得到，
因为，
所以在处，一个取最小值，一个取最大值，
不妨设，，
则，
因为，则，解得.
故选:.
7．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知与在函数的同一个周期区间内，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由得 ① 或 ②；由得③或④；分组联立并结合即可得答案.
【详解】由得，
所以 ① 或 ②；
由得
所以③或④；
由①③得
由①④得
由②③得
由②④得
又因为，所以
时，.
故选：A.
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定周期求得，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.
【详解】由函数的最小正周期为，得，而，解得，
则，由，
得，又在上单调递减，
因此，且，解得①，
由余弦函数的零点，得，即，
而在上存在零点，则，
于是②，又，联立①②解得，
所以的取值范围是.
故选：B
10．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出，由正弦函数的图像变换及正弦函数的单调性可得，从而可求解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，解得，
所以.
将向左平移个单位后，所得函数为.
时，，故.
因为函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
因为，所以，解得，
所以，所以.
故选:B.
11．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解.
【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，
因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，
所以只需要在区间是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足时取值，
故，
根据余弦函数的单调性，若满足，解得，
若满足，解得，
若满足，无解，
故必满足题意，而，则ABC错误；
故选：D．
题型二 区间内的单调性与ω
【技巧通法·提分快招】
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： 1.根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. 2.以单调递增为例，利用 (k∈Z)，解得ω的取值范围.
1．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，由的范围求出的范围，再由正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】由题意设，由，所以，
则在上单调递增，
所以，解得，又，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数单调性计算求解参数即可得出最大值.
【详解】由题，
因为在区间内单调递增，
所以在区间内单调递减，
所以，，
解得，，
又，所以只有当时，不等式有解，解集为，
所以的最大值为.
故选:A.
3．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可.
【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，
且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．
故选：D．
4．（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可.
【详解】原函数为，
相当于把位于轴下方的图象翻折到上方，
则有，，
当时，.
故选：D．
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题
，令，，
因为，所以，，
因为在上单调递增，所以且，
得．由，得，
又且，所以，.
故选:C.
法二:由题
，
由，得，
设的最小正周期为T，则由题意得，所以，
从而，结合函数在上单调递增，在上单调递增，得，且，解得.
故选:C.
6．（24-25高三上·福建·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由于，所以，
要使在上单调递增，则，解得，
故的最大值为，
故答案为：
7．已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性及最小值条件列出不等式求解.
【详解】函数，
当时，，由在上单调递减，
得，解得，又，则，，
当时，，由存在唯一实数，使得，
得，解得，因此，
所以的取值范围为为.
故答案为：
8．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知可得且在上单调递增，进而得到，讨论即可得参数范围.
【详解】由题设，，则，则，
由都有，又，
所以在上单调递增，此时，
所以，可得，
当有，故当有，
当有，当有，
又，所以.
故答案为：
题型三 区间内的最值与ω
【技巧通法·提分快招】
利用三角函数的最值与周期或其图象的对称性之间的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
1．（2025·山东济南·二模）已知函数在处取得最大值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由正弦函数的性质有，，结合参数范围即可得.
【详解】由题设，则，，
又，则.
故选：D
2．（24-25高三上·河北唐山·月考）若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意，由，则有，求解可得的取值范围.
【详解】时，，
依题意有，解得，
则的取值范围为.
故选：D.
3．（24-25高三下·重庆·月考）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】由得出或，再由对恒成立，得出，分类讨论的值即可求解．
【详解】或，
因为对恒成立，所以，
①；
②；
故选：B．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先变形得到，，根据函数在区间上的单调性得到不等式，求出，根据在上恰好取得一次最大值得到不等式，求出，得到答案.
【详解】，，
当时，，
故，解得，
时，，故，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C
5．已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当时，又是正整数，
则此时的最小值为，
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
当时，，时，
由正弦函数的单调性，当时，
函数在区间上取得最小值：
，不符合题意；
当时，，时，
由正弦函数的单调性，当时，
函数在区间上取得最小值：
，不符合题意；
所以.
故选：D.
6．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可.
【详解】由已知可知，
由，解得，
因为在上单调递增，所以，
即，解得①，
此时，解得；
又因为在上，恒成立，所以，
解得，由于，
所以，解得②，
此时，解得，又因为，所以
当时，由①②可知，解得；
当时，由①②可知解得，
所以的取值范围为.
故选:B.
7．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】通过换元，问题转换成在可取到，进而可求解；
【详解】由，可得：，
令
由题意可知：在可取到，
结合余弦函数的性质可知需满足：，
解得，
所以的最小值为，
故答案为：
8．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，由恒等变换公式可得，然后结合条件列出不等式，代入计算，即可求解.
【详解】，
当时，，若在上有最小值没有最大值，
则，所以.
故答案为：
9．（25-26高三上·河北衡水·月考）函数恒有，且在上单调递增，则 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值.
【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，所以，所以；
已知在上单调递增，所以，即，解得.
当时，因为，所以，因为在上单调递增，所以，解得，
所以，解得，故.
当时，因为，所以.取，
则，因为，
所以，故在上单调递减，不满足题意.
同理可得不满足题意.
综上可得：.
故答案为：
题型四 区间内的极值（点）与ω
1．（2025·山西晋中·三模）已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则 ．
【答案】
【分析】结合三角函数的图象与性质可得的最小正周期，即可得的值.
【详解】设的最小正周期为T，结合三角函数的图象与性质可知，
所以，即，解得．
故答案为：.
2．已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.
【详解】因为，所以当时，有，
因为在区间内恰有一个极值，
结合函数图象，得，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数在区间上恰有3个极值点转化为在上有三个极值点的问题，再数形结合即可得解.
【详解】，，，
令，则，，
作出的图象，
要使函数在区间上有三个极值点，则，
解得，则的取值范围为.
故选：B.
4．若函数在内有且只有2个极值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简函数解析式，先求出整体的范围，结合有且只有2个极值点，得到不等式求得答案.
【详解】，
因为求的最大值，所以只考虑时的情况，
当时，则，
因为有且只有2个极值点，所以，
解得，所以的最大值为.
故选：A.
5．若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.
【详解】因为，
所以当时，即时函数取最大值，
当时，即时函数取最小值，
故函数的极大值点为，极小值点为，
因为函数在区间上既有极大值又有极小值，
所以，故，
所以的取值范围为.
故选：A.
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可.
【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，，
又因为在处取得极值，
即关于对称，所以，，即，，
由为奇函数且在上单调，可得在上单调，
所以的周期，所以，又，所以.
故选：B.
7．已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得，又极值情况列不等式可得，分情况得的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
题型五 区间内的零点与ω
【技巧通法·提分快招】
已知零点个数求ω取值范围的方法 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
1．（2024·甘肃·模拟预测）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可.
【详解】由题意，得．
因为，所以，
又只有一个零点，所以，解得．
故选：A．
2．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦二倍角公式进行化简，的出函数取零点的两种情况，分类讨论，根据结果写出的不等式，计算结果.
【详解】因为，
令，得或，
所以或或．
可知满足的非负根依次为，因为在区间上恰好有3个零点，所以,解得．
故选:A．
3．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围.
【详解】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得.
故选：D
4．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案.
【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以.
令，则当时，.
因为在区间上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，时，得，时，得，其他值，均不合要求，
所以或，
所以的取值范围是.
故选：C
5．（24-25高三下·云南·月考）已知函数（）在区间上恰有3个零点，且是函数图象的一条对称轴，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数图像性质以及零点个数求出，再结合对称轴方程可得.
【详解】因为，由已知得，所以，
又是函数图象的一条对称轴，所以，
则，
当时，，满足题意，
所以．
故答案为：
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数的极值点与的零点完全相同，则 .
【答案】
【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得即可.
【详解】由辅助角公式得，
由，得记为①，
对于，
由，得，
依题意，所以记为②，
由于函数的极值点与的零点完全相同，
对比①②可得.
故答案为：
7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先根据函数平移、放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可.
【详解】由题意，得
所以．
令，则．
设，则在上恰有两个极值点和两个零点，
如图，，
解得．
故答案为：.
8．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据周期性可得，以为整体，结合题意可得其取值范围，再结合正弦函数零点运算求解.
【详解】设函数的最小正周期为，
根据函数周期性可知：，即，
且，则，可得，
因为，则，
且，
因为函数在区间内没有零点，可知在区间内没有零点，
可得或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
题型六 区间内的对称性与ω
【技巧通法·提分快招】
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.
【详解】由，得，
由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，
所以.
故选：C
2．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
【答案】C
【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可.
【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴，
，所以，即，解得，
因为，所以点是函数图象的一个对称中心，
则，得，，即，，
因，则，且随k的增大而增大，
当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意，
当时，，此时，其中，有两条对称轴，
则的最大值为8．
故选：C．
3．（2025·福建南平·三模）已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得到，根据极大值点和对称中心的个数，数形结合得到，求出答案.
【详解】，时，，
因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，
故，解得.
故选：A
4．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解.
【详解】由条件可知，，得，
当时，，
由条件可知，，得，，且，
综上可知，的最小值为13.
故选：C
5．设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴 两个零点，得出不等式，即可求解.
【详解】由函数，其中，可得，
因为函数在区间恰有三条对称轴 两个零点，
则满足，解得，所以的取值范围为.
故选：C.
6．将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【分析】先利用平移变换法则求得解析式，然后根据正弦函数对称中心列式求得，即可得解.
【详解】将函数图像向左平移个单位长度，得到，
由题意，所以，
当时，.
故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）
7．已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据余弦函数的性质可得，进而即得.
【详解】因为，
所以，
因为函数的图象在 内恰有两条对称轴，
所以，
解得．
故答案为：.
题型七 综合型问题与ω
1．已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（ ）.
A．14 B．9 C．10 D．6
【答案】B
【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值.
【详解】由得，则.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.
当时，，这个区间不含中的任何一个，
故函数在上单调，符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.当时，，
这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.
当时，，这个区间不含有中的任何一个，
函数在上单调，符合题意.
当时，只能取，则，，
从而，是图象的对称轴.当时，，
这个区间含有，则函数在上不单调，不符合题意.
综上，的最大值为9.
另解：由题意知，得，即，从而①.
又由题意可得其中，则.
又因为，所以.
当时，，②.
由①②可得，的最大值为9.
故选：B.
2．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
【答案】C
【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在单调，
①若在单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，，，，，
此时在上单调递减，不满足题意；
故此时无解．
②若在单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为11．
当时，，，，．
此时在上不单调，不满足题意．
当时，由①在上单调递减，满足题意；
故的最大值为9．
故选：C
3．（2024·福建莆田·三模）（多选题）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】AB
【分析】由对称轴和对称中心列出关系式得，利用单调性得到，进而得或或，再注意验证是否符合题意可得答案.
【详解】由题意可得则，
即.因为在上单调，
所以，所以，即，所以，即，
解得.因为，所以或或.
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上单调递减，故符合题意；
当时，，，此时在上不单调，故不符合题意.
故选：AB.
4．（23-24高三上·山西·期末）（多选题）函数，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则在内恰有3个零点
B．若，则在内恰有3个极值点
C．若在内有最小值点，则
D．若在区间单调，则
【答案】ACD
【分析】根据正弦型函数的零点、极值点、最值点和单调性一一分析即可.
【详解】对于A，当时，，其零点满足，故，
故，其中在区间内恰有3个，故A正确；
对于B，当时，，其极值点满足，故，
故，其中在区间内只有2个，故B错误；
对于C，的最小值点满足，解得，
因为，则最小值为，令，得，故C正确；
对于D，的极值点满足，即，
若在单调，需（*），
由得，即，
当时，解得；当时，解得；
当，解（*）得，又，故；当时，对应的均为负值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是找到单调区间的通式，从而得到不等式组，解出范围，再对合理赋值即可.
5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ．
【答案】
【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.
【详解】设函数 的周期为 ，由， ，
结合正弦函数图象的特征可知，
， .
故 .
又因为 在区间上单调，所以， ，故 ，
所以 .
由 ，得 ，即且，
所以，当 时， ， ，或，舍.
当 时， ， ， ，符合条件.
当 时， ， ，或，舍.
所以 ， .
故答案为：.
6．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出
【详解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以，解得，
所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，
若对应为点（或点之后），则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，
若对应为点，则直线为图象的对称轴，
又是函数图象的一个对称中心，且，
则，解得，则.
所以取值的最大值为.
故答案为：.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意写出的表达式，进一步列出关于的式子即可求解.
【详解】由题意是偶函数，
从而，解得.
故选：B.
2．（24-25高三下·云南德宏·月考）若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】应用辅助角公式得，根据对称中心及求参数范围，即可得答案.
【详解】由题设，
因为，
所以，则，．
因为，所以.
故选：A.
3．已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，利用单调性计算求出参数范围.
【详解】因为，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，且，
所以当时，即时，函数在上单调递增，
则的取值范围.
故选：B.
4．函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得，即可得解出即可.
【详解】因为，因为在区间上恰有2个零点，
所以，所以的取值范围为，
故选：B.
5．已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可确定为函数的最小正周期，结合求出，再根据在区间有且只有三个零点，结合余弦函数性质列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知为函数的最小正周期，故，
由得，即，
由于，故，
在区间有且只有三个零点，故，
且由于在上使得的x的值依次为，
故，解得，即，
故选：D
6．已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由可得的值，再由正弦型函数的对称性列出方程，代入计算，即可求解.
【详解】∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．
解得，．
所以当时，.经检验满足题意
故选：C
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
8．（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式求解即可.
【详解】因为，所以当时，，
因为恰有3个极值点，所以，
解得，即的取值范围为.
故选：D
9．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】应用辅助角公式可得，结合正弦型函数的对称性及已知有求，最后由区间零点个数有，即可确定参数值.
【详解】由题设，函数
其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是，
所以，即，所以，．
因为函数在内仅有3个零点，所以，解得，
所以.
故选：B
10．设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用换元法将转化为形式，然后做出图象，根据已知条件判断范围即可.
【详解】由题意知，设，则，作的部分图象，如图所示，
要满足函数在区间恰有四个极值点和三个零点，
即满足函数在上恰有四个极值点和三个零点，
则，解得.
故选：C．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案.
【详解】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
可得，
由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，
不妨设，则，即在时取得最小值，
由于，此时，不合题意；，此时，
当时，满足题意.
故选：C.
12．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
又对任意的恒成立，
所以为的一条对称轴，
所以，解得，
又，则，，
所以．
当时，，
若函数在区间上恰有3个零点，则，解得，
即的取值范围是.
故选：D．
13．（24-25高三上·安徽马鞍山·期末）设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.
【详解】由题意，当时，，
因为函数，若在上有且只有个零点，
则，解得．
又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为，
而函数的最小正周期为，则，解得，
综上，的取值范围是.
故选：D
14．设函数，，若是奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解.
【详解】函数，
由是奇函数，得，则，
所以.
故答案为：.
15．（24-25高三上·上海·期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
【答案】
【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，
所以实数的最小值是.
故答案为：.
16．（24-25高三下·上海虹口·月考）若函数在是单调的，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】运用余弦型函数的单调性，列不等式组计算即可.
【详解】在是单调的，则，则，则.则.
并且，
则或，
解得或，则，则最大值为.
故答案为：.
17．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意得函数的最小正周期，解出的值，由对任意恒成立，列关于的不等式组求解即可.
【详解】函数的最大值为3，其图象与直线相邻两个交点的距离为，
则的最小正周期，由，得，解得，
若对任意恒成立，即对任意恒成立，
则，解得，
由，可得时，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：相邻的两个最大值点间隔一个周期，余弦不等式可以利用单位圆和三角函数线或借助于函数图象求解.
18．（23-24高三上·河北·期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则 ．
【答案】3
【分析】根据余弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.
【详解】由题意知图象关于原点对称，因此，解出，
由于在上单调递减，，
因此，解出，
由于，所以取，解得，又由于，且，则．
故答案为：3
19．（23-24高三下·广东·月考）已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据余弦函数的对称性求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，
所以，
又因，所以，
所以，
由且，得，有且只有一个最大值和一个最小值，
由正弦函数的图象与性质可得，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
20．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解.
【详解】当时，，
由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，，
得或，解得或，
则，所以实数的取值范围是.
故答案为：
21．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.
【详解】令，，得的极大值点为，，则存在整数，使得，
解得．
因为函数在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以．
当时，．当时，．
当时，．又，
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出并赋值计算是解决问题关键.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出
【详解】由得，
即的图象关于直线对称，且，
故，则，
即，
由函数在上单调，
得，即，
所以，，解得，而，故，1，2.
当时，，则，，结合，得，
此时，当时，
由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意；
当时，，则，，结合，得，
此时，当时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意；
当时，，，，结合，得，
此时，当时，
由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意.
综上，或1，则的最大值与最小值之和为.
故选：B
2．（24-25高三上·河北衡水·月考）设函数，若函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可知的最小正周期，的零点为，，根据周期性可知，再根据函数零点结合区间分析求解即可.
【详解】因为，由正切型函数可知：的最小正周期，
且的零点为，，
显然在区间内至少有1个零点，在区间内至少有2个零点，
若函数在区间上有且仅有1个零点，
则，即，解得，
若，因为，则，
且，
即，
则，
结合题意可知：，0中有且仅有一个属于，
由题意可知：或，
解得：，所以的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：分析可知：在区间内至少有1个零点，在区间内至少有2个零点，结合周期性可知，可得必要性.
3．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案.
【详解】令得，
因为，所以，
令，解得或，
从小到大将的正根写出如下：
，，，，，……，
因为，所以，
当，即时，，解得，
此时无解，
当，即时，，解得，此时无解，
当，即时，，解得，
故，
当，即时，，解得，
故，
当时，，此时在上至少有两个不同零点，
综上，的取值范围是.
故选：A
【点睛】方法点睛:在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
5．（24-25高三上·福建·月考）已知函数，且，则满足在区间上的最大值为的的取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先计算出，分、、三种情况讨论，结合图形和方程的解与图象的交点个数之间的关系求解即可.
【详解】由，得，所以，
因为，有，
因为，所以.
当时，.
若，，此时的最大值为，所以，
画出的图象，如图，
由图可知，函数图象在上没有交点，所以方程在上无解；
若，，此时的最大值为1，
所以，解得，不符合题意；
若，，此时的最大值为，所以，
画出的图象，如图，
由图可知，函数图象在上有一个交点，所以方程在上仅有一个解；
所以的个数为1.
故选：A.
6．（2024·河南·模拟预测）已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三角函数图象性质可得，再根据函数在区间内有零点，无最值限定出不等式，再根据的范围可得结果.
【详解】因为函数，且满足的的最小值为，
所以函数的最小正周期，所以，解得，
即可得，
因为，所以.
因为函数在区间内有零点，无最值，
所以，解得，
即，
当时，，不满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，满足条件；
当时，，不满足条件.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围.
7．若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的最值点可得，并结合x的取值范围分析求解.
【详解】若函数在区间上有且仅有一个极值点，
即数在区间上有且仅有一个最值点，
则，解得，
故函数的最值点为.
不妨设在区间上仅有的一个最值点为，
则，即，
则，得，
解得，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
综上，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为的形式．
（2）整体意识：类比的性质，只需将中的“”看成中的“x”，采用整体代入求解；
（3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论.
8．已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据余弦型函数的基本性质可得出关于、的方程组，解出、的表达式，再结合函数与方程的关系，将问题转化为存在唯一的，使得函数取到最大值，且，结合三角函数的基本性质，求出的范围，由大到小进项检验，即可求得的最大值.
【详解】因为函数，
对都有，且是的一个零点，
则，解得,
因为函数在上有且只有一个零点，
则方程在上有且只有一个根，
因为，所以，存在唯一的，使得函数取到最大值，且，
则，解得，
令，则，且，
所以，、的奇偶性相同，
由可得，解得，即，
当时，，为奇数，则，所以，，
由可得，
此时，当或时，函数取最大值，不合乎题意；
当时，，为偶数，，即，
由可得，
此时，当时，函数取最大值，合乎题意.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优02 y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ的取值问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 φ的取值和最值（范围）问题（★★★★） 3
题型二 区间内的单调性与ω（★★★★★） 5
题型三 区间内的最值与ω（★★★★★） 6
题型四 区间内的极值（点）与ω（★★★★★） 7
题型五 区间内的零点与ω（★★★★★） 8
题型六 区间内的对称性与ω（★★★★★） 9
题型七 综合型问题与ω（★★★★★） 10
03 实战检测 分层突破验成效 11
检测Ⅰ组 重难知识巩固 11
检测Ⅱ组 创新能力提升 14
一、与对称性有关
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是；
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是；
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离；
二、与单调性有关
三、与零点和极值点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理方法也是类似的.
例如：在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
题型一 φ的取值和最值（范围）问题
1．函数是上的偶函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数，其中，，若图象上的点与之相邻的一条对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东日照·月考）已知点在函数（，且，）的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间上单调，则（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若在上单调递增，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
6．将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）
A． B． C． D．
7．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知与在函数的同一个周期区间内，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖北黄石·二模）已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三下·上海·月考）设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
题型二 区间内的单调性与ω
【技巧通法·提分快招】
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围的方法： 1.根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T＝，求得0＜ω≤. 2.以单调递增为例，利用 (k∈Z)，解得ω的取值范围.
1．（2024·四川泸州·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2025·辽宁·二模）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·福建·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 .
7．已知函数（）在区间上单调递减，且存在唯一实数，使得，则的取值范围为 .
8．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是 .
题型三 区间内的最值与ω
【技巧通法·提分快招】
利用三角函数的最值与周期或其图象的对称性之间的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
1．（2025·山东济南·二模）已知函数在处取得最大值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（24-25高三上·河北唐山·月考）若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三下·重庆·月考）记函数的最小正周期为T．若，且对恒成立，则最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上的最小值为，则所有满足条件的正整数之和为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
6．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·海南·三模）已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
8．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）已知函数（）在上有最小值没有最大值，则的取值范围是 .
9．（25-26高三上·河北衡水·月考）函数恒有，且在上单调递增，则 ．
题型四 区间内的极值（点）与ω
1．（2025·山西晋中·三模）已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则 ．
2．已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在内有且只有2个极值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型五 区间内的零点与ω
【技巧通法·提分快招】
已知零点个数求ω取值范围的方法 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k＋1个零点的区间长度的最小值.
1．（2024·甘肃·模拟预测）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·云南·月考）已知函数（）在区间上恰有3个零点，且是函数图象的一条对称轴，则 ．
6．（2025·山东·模拟预测）已知函数的极值点与的零点完全相同，则 .
7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 .
8．已知函数区间内没有零点，则的取值范围是 .
题型六 区间内的对称性与ω
【技巧通法·提分快招】
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
1．（24-25高三上·浙江·开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
3．（2025·福建南平·三模）已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
5．设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将函数图像向左平移个单位长度，得到的图像关于点中心对称，则的一个取值为
7．已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 .
题型七 综合型问题与ω
1．已知.若是函数的零点，直线是函数图象的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（ ）.
A．14 B．9 C．10 D．6
2．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．7
3．（2024·福建莆田·三模）（多选题）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高三上·山西·期末）（多选题）函数，则以下说法正确的有（ ）
A．若，则在内恰有3个零点
B．若，则在内恰有3个极值点
C．若在内有最小值点，则
D．若在区间单调，则
5．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数（，），若，，且在区间上单调，则 ．
6．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·山东临沂·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·云南德宏·月考）若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数（且），设T为函数的最小正周期，，若在区间有且只有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．设函数在区间上恰有四个极值点和三个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高三上·安徽马鞍山·期末）设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．设函数，，若是奇函数，则 ．
15．（24-25高三上·上海·期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
16．（24-25高三下·上海虹口·月考）若函数在是单调的，则的最大值为 ．
17．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 .
18．（23-24高三上·河北·期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则 ．
19．（23-24高三下·广东·月考）已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为 ．
20．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
21．（2024·山西晋城·一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为 ．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（24-25高三上·河北衡水·月考）设函数，若函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建·月考）已知函数，且，则满足在区间上的最大值为的的取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·河南·模拟预测）已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 .
7．若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为 .
8．已知函数，对都有，且是的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为 .

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