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重难点培优02 不等式及函数中的恒成立和有解问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★） 3
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 （★★★） 6
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★） 9
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★） 12
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★） 15
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★） 22
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★） 28
03 实战检测 分层突破验成效 33
检测Ⅰ组 重难知识巩固 33
检测Ⅱ组 创新能力提升 52
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立 或 2、不等式对任意实数恒成立 或 注：对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为， 则恒成立 ，即；恒成立 ，即． 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由判别式即可求解.
【详解】由题意可得：，
解得：，
所以实数的取值范围为，
故选：A
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.
【详解】因命题为真，故在上恒成立，
故，解得，
故命题为真的一个充分不必要条件为的子集，
故选：B
3．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令，，依题意可得，恒成立，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得的取值范围是.
故选：B
4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】
【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以实数a的最小值为.
故答案为：.
5．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案.
【详解】开口向下，
要想在上恒成立，只需，
解得，
故实数的取值范围是
故答案为：
6．（23-24高三上·河南信阳·月考）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ．
【答案】.
【分析】令，则由题意可得，解不等式组可得结果.
【详解】令，
因为对于恒成立，
所以，即，解得，
所以实数x的取值范围为，
故答案为：.
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
【技巧通法·提分快招】
1、若存在，有解 ； 若对任意，无解 ． 2、若存在，有解 ； 若对任意，无解 ．
1．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得到，即可求解.
【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根，
所以，即，解得或，
故选：D.
2．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.
【详解】由题，，，即，即在上有解，
设，则，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，则，所以.
故选：B.
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.
故选：A
4．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 .
【答案】或
【分析】由题意得到，求出，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】，，满足不等式，
故只需，
其中，当且仅当时，等号成立，
关于的函数，
当且仅当时，等号成立，
所以，解得或，
综上，实数m的取值范围是或，
故答案为：或
5．（23-24高三上·浙江台州·月考）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】变换得到，设，则，得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.
【详解】，即，，故有解，
设，则，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故.
故答案为：.
6．（24-25高三上·浙江温州·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像，
然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】关于的不等式在上有解，
即关于的不等式在上有解，
作出两函数与的图像，如下图：

当与相切时，则，即，
由，解得：；
当过点时，得.
由图可知，，因此实数的取值范围为.
故答案为：
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数,满足，所以，
则：，
当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．
故选：B．
2．（24-25高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.
【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，故.
故选：A
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据题意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，转化为不等式，即可求解.
【详解】由两个正实数满足，得，
则，
当且仅当，即时取等号，
又由不等式有解，可得，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：B.
4．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故选：A．
5．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可.
【详解】因为、为正实数，所以，
所以由，可得，
又，当且仅当，即时取等号，
因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解.
【详解】由，，，
故，
当且仅当、，即，时，等号成立，
故，即，则的取值范围是.
故答案为：.
7．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由得，由基本不等式进而可得.
【详解】因，是正实数及，可知，
可得，得，得，
因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立，
故，故，
故，故，
故答案为：
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题
1．（24-25高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.
【详解】设，当时，，
故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，
设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，
故，得，
故选：D
2．（24-25高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析函数的单调性，利用函数单调性求参数的取值范围.
【详解】由题意可得：.
因为若，当时，，，则不能恒成立.
当时，单调递增，单调递减，要使在上恒成立，须有：
.
所以实数的取值范围为：.
故选：C
3．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分和两种情况，结合函数图象，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，则要，
解得：．
故选：B．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
又因为函数在区间上单调递增，
所以当时，.
综上可得函数的最小值为.
因为，使得成立，
所以，解得：或.
故选：C.
5．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案.
【详解】当时，记和的值域分别为集合，.
当时，，当时，，
所以函数的值域为.
因为对，，使得成立，所以.
又函数在区间上单调递增，
所以，则，解得.
故选：C.
6．（24-25高三上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可.
【详解】由函数为上的奇函数，
则，
又在上单调递增， 则在上单调递增，
则，
则，使得，，使得，
即，在有解，
则，，
令，则，
又，则，，
即，则，
故选：B.
【点睛】方法点睛：
分离参数法解含参不等式恒成立问题和有解问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下：
（1）分离参数(注意分离参数时自变量的取值范围是否影响不等号的方向)．
（2）转化：①若对恒成立，则只需；
②若对恒成立，则只需；
③若，使得有解，则只需；
④若，使得有解，则只需.
（3）求最值．
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知则在区间上恒成立，分离变量得，
则，利用辅助角公式或者导数都可求出在区间上的最大值，由此可得答案.
【详解】由题干可得，若函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，因为，所以只需，
即只需恒成立，令，
由辅助角公式可知，由，得，
因为余弦函数在上单调递减，在单调递增，
且时，，时，，
故在上的最大值为，故.
故选：B.
2．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解.
【详解】由题意可知，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为对，，所以，解得.
故选：C
3．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题.
【详解】由题意得在区间上有解，
可转化为，令，则，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此要使得在区间上有解，
只需满足，即.
故选：B.
4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解.
【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立，
设，则单调递减，
而在上恒成立，即在上恒成立，
所以.
故选：C.
5．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参.
【详解】因为函数，若存在实数，使得成立，
当时，存在，所以；
当时，不成立；
当时，存在，所以成立，
令，，
当单调递增；
当单调递减；
所以时，，，，所以；
综上得：或.
故选：D.
6．（2025·湖南长沙·三模）若函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先按照，和分三类情况分析函数是否符合，再根据时，在上恒成立，分和两情况，通过判断函数的单调性确定参数的取值范围即可.
【详解】①当时，，显然在上是增函数，
当时，，不合题意；
②当时，，符合题意；
③当且时，恒成立，
故只需时，恒成立．
若，则，故不合要求；
若，则，，显然这是一个增函数，
则，故函数在上单调递增，
则，故符合题意.
综上，可得．
故选：C．
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建，利用导数判断原函数单调性和值域，结合题意分析可知，运算求解即可.
【详解】因为，则，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
且，当趋近于时，趋近于，
可知的值域为，
由题意可知：存在，使得，
则，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求的值域为，根据导数的几何意义分析可知存在，使得，结合值域分析求解即可.
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求的最大值，即求直线斜率的最大值.
【详解】，
令，则，
当时，，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数.
由可得，
根据题意，存在2个整数解使得，
则函数与直线的图象有2个横坐标为整数的交点，直线必过点，
函数在处的导数，则切线方程为且经过点，
即此时直线与相切，此时，又因为，
分析图象可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大，
即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得.
故选：C.
9．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性求出即可求解.
【详解】因为，不等式可变形为．
设，则．
当时，，所以函数在上单调递增．
则，所以．故正实数的取值范围是．
故答案为：
10．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为对任意成立，分两种情况讨论：（1）不等式且对任意成立，结合的性质，求得；（2）方程且有相同的解，进而得到的取值范围.
【详解】由不等式，可得，
要使得不等式对任意成立，
可得分为两种情况：
（1）不等式且对任意成立，
由不等式恒成立，即，可得；
由不等式恒成立，即在恒成立，
令，可得恒成立，
所以在上单调递增，所以，则，所以；
（2）方程且有相同的解，即且的零点重合，
由，可得，将代入，可得，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先条件等式变形为，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据不等式，比较大小.
【详解】由可知，，
设，，，所以在单调递增，
因为，，所以.
故选：D
2．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将恒成立转化为，令，利用导数求出的最大值，可得，又由，求得答案.
【详解】由，对任意恒成立，
即，
令，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，，
又由切线放缩可知，，
，即，
所以的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解.
3．（24-25高三下·重庆·月考）函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【答案】D
【分析】由在上恒成立，得，消元得到，令，求导得到的最小值即得结果.
【详解】由题设在上恒成立，
此时在上都单调递增，
所以只需在上的零点相同，即，
所以，令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，所以.
故选：D.
4．（24-25高三下·云南·月考）已知函数，，，则（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】D
【分析】求导可得有两个零点，，从而可得，再由条件可得的零点也为，，代入计算，即可得到结果.
【详解】设，，
，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
的极小值为，
又因为，，所以有两个零点，，
，且，即得，（*）
若，，则的零点也为，，
且代入（*）式得：，所以.
故选：D．
5．（2024·江西吉安·模拟预测）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分离常数可得，设，根据的性质，结合函数与方程的关系即可求解.
【详解】由，得，
设，则，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
又，所以实数的取值范围是.
故选：A
6．（23-24高三下·陕西安康·月考）若，对，，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依据题意，先将原题转化为，求出的最大最小值，再将问题转化为与的有解问题，求解不等式可得结果.
【详解】由题意可知：对恒成立，且对恒成立，即，
令，则，令，解得：，因为，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，，则，
则原题等价于，使得成立，则，解得：.
故答案为：.
7．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设在上的值域为，在上的值域为，由题意可得，当时，根据二次函数的性质可得，当时，分，和三种情况，结合导数判断在内的单调性和值域，列式求解即可.
【详解】设在上的值域为，在上的值域为，
若，，使得成立，则.
1.当时，则，
可知开口向下，对称轴为，
则在上单调递增，可得，
所以在上的值域为，所以；
2.当时，则，
（1）若，则在内单调递减，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
所以，符合题意；
（2）若，则，即，不合题意；
（3）若，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且当x趋近于0或时，均趋近于，所以，
又因为，则，
注意到，即，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：若，，使得成立，则在内的值域是在内的值域的子集.
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】，
构造函数，
所以原问题等价于存在两个不等的正实数，，使得，
显然函数不是正实数集上的单调函数，
，
设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
当时，即时，单调递增，所以不符合题意；
当时，即时，显然存在，使得，
因此一定存在区间，使得在上异号，因此函数在上单调性不同，
因此一定存在两个不等的正实数，，使得成立，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是由构造函数.
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
（1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.
【详解】函数，因为，，所以，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.
故选：D.
2．（2025高三下·辽宁沈阳·月考）已知函数，．若不等式在恒成立，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】构造，可得取最大值，则，转化为，构造函数，求其最小值即可.
【详解】不等式在恒成立，则恒成立，
所以设，，
当时，，函数单调递增，不合题意；
当时，，
当单调递增；当单调递减；
所以当时，
取最大值，
所以，则，
令，，
令，得
在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为.
即的最小值是.
故选：B.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可.
【详解】当时，，合题意.
当时，即
，
为的增函数，，即，
由题意，只需,
记，
当在单调递减，在单调递增，
故，所以，
综上，的取值范围为，
故选：D
4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取特值解得，整理可得，换元令，构建，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果.
【详解】因为当时，，
则，即，
整理可得，解得，
若，则，
整理可得，
令，则，可得，
构建，则，
可知在内单调递增，
若与相切，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，整理可得，
注意到直线过定点，则，
整理可得，注意到，
可得，即，可得，
结合图象可知：，所以的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：取特指确定的必要条件，这样可以简化讨论和计算.
5．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先把已知条件转化为，再根据换元及求导得出,再结合基本不等式得出即可求参.
【详解】，，使得成立，
所以
当
令,单调递减，
所以
所以恒成立，即得恒成立，
即，
又，，当且仅当时取等号，
则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把存在及恒成立类问题转化为最值问题，结合基本不等式及函数单调性求出最值即可解题.
6．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可.
【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）；
所以
又由恒成立，故，则k的最大值为8.
故选：D．
2．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出范围.
【详解】由，且，得，
当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D
3．若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可.
【详解】由题意知，，恒成立，
设函数，
即，恒成立.
则，即，
解得，或.
故选：C.
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解.
【详解】，恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，则实数的最大值为.
故选：C
5．（23-24高三上·辽宁·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】不等式恒成立，只要即可，根据基本不等式中“1”的整体代换求出的最小值，再结合一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】由题意知，
，
当且仅当，即时取等，
又不等式恒成立，
则不等式，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：A.
6．（2024·云南昆明·一模）“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得,设，利用导数求出函数的最小值，令最小值大于零，得出的取值范围，再进行判断即可.
【详解】由曲线恒在直线上方，可得，
设，则恒成立，
因为，所以在R上单调递增，且当时，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
令，得.
所以“曲线恒在直线的上方”的充要条件是，故A错误；
对B：是的既不充分也不必要条件，故B错误；
对C：由可推出，但反之不成立，故C正确；
对D：是的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：C
7．（24-25高三上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若“，，使得成立”则，.即在上恒成立，分离参数利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】当，有.
，，使得成立，等价于，.
即在上恒成立，参变分离可得.
当，，当且仅当时取等号，所以，
故选:C.
8．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据题意有在上有解,可得，转化为求函数的的最值即可．
【详解】因为，所以，
因为在上有解，所以在上有解，
化简得．因为，
即在）上有解．
因为，设，则在上有解，
因为，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最小值为，此时，
当且仅当，即时，有最大值0.
故选:C．
9．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简计算将原不等式转化为.解法一：结合的单调性计算即可求解；解法二：参数分离并构造函数，利用导数判断函数的单调性，将不等式问题转化为函数最值问题即可求解．
【详解】解法一：因为，
所以原不等式转化为．
又与在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以该函数在时取最小值，最小值为0，
此时，即，解得，
即的取值范围是．
解法二：因为，
所以原不等式等价于．
当时，不等式不成立；
当时，不等式变形为，
记，则，
所以在单调递增，得，即，解得，
故的取值范围是．
故选：D
10若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，化为在区间上有解，再应用参变分离或二次函数性质研究不等式能成立，求参数范围.
【详解】由，则．
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
方法一：即在区间上有解，所以．
令，则，
令在上单调递增，所以，即，
所以．
方法二：当时，在恒成立，不符合；
当时，开口向上，只需或，所以．
故选：D
11．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解；
【详解】设，
由在上单调递增，可知，在上单调递增，
又奇函数，
所以由，可得，
∴，，
∴在上有解，设，，
易知时，，时，，
∴在单调递增，在单调递减，即，
∴，
故选：A
12．（23-24高三下·山东德州·月考）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.
【详解】，，
，，
设，则，则函数等价为，
由对勾函数的单调性可得，
时，单调递减，
时，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，当时，，
设函数的值域为，则函数的值域；
由，在上是减函数，
则最大值为，最小值，，
设的值域为，则，
若对于任意，总存在，使得成立，
则等价为，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键.
13．（23-24高三上·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据时不等式成立得到不等式的-个整数解为1，然后时将不等式变形为，然后根据的单调性得到不等式的两个整数解只能是2,3，最后列不等式求即可.
【详解】不等式可整理为，
当时，成立，所以其它两个整数解大于1，
当时，原不等式可整理为，
令，则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以，所以在上单调递增，
所以不等式的两个整数解只能是2,3，
所以不等式的三个整数解为1,2,3，
则，解得，
因为，，，
所以整数.
故选：B.
14．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案.
【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则，
所以，
所以对任意的，且，则，
所以，即，
设，即在上单调递减，
又时，，解得，
所以在上单调递增；
在上单调递减，所以，
故选：A．
15．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】不等式等价于，即.
令，由可知，
在上为增函数，
，，则，
令，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以结合题意可知，即实数的最小值为1.
故选：B
16．（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分析函数的正负性，进而得出，再构造函数，研究其最小值即可.
【详解】令，则，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
由，知，所以，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在当上单调递增，
所以，故的最小值为.
故选：D.
17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-e B．-1 C． D．
【答案】C
【分析】设，由，又在定义域上单调递增，则，于是．再利用导数求函数的最小值即可．
【详解】因为，
所以，而，
故，又在定义域上单调递增，则，
于是．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
故选：C.
18．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过同构，令得到，通过确定单调性，得到，问题转化成，在有解，进而可求解.
【详解】由题意可得：
，即，
令，即存在使得，
构造，，
由，可得，由，可得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，
所以，即存在，使得，
参变分离得到，
令，
易得当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
最小值为，当时，，
所以的值域为：，
所以实数的取值范围是，
故选：B
19．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围.
【详解】对于，，
所以在区间上单调递增，，
所以当时，的值域为.
对于，，
若，则，不符合题意.
若，则，所以在上单调递增，
所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，而当时
所以当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数可求解函数在区间上的值域，求解恒成立问题或存在性问题，可将问题转化为求解函数值域问题来进行研究.如果导函数含有参数，在研究函数的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
20．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可
【详解】由题意，，
令，
则，恒成立，即恒成立，即，
，
令，解得，
令，即在上单调递增；
令，即在上单调递减.
，
，，
令，，
令，即在单调递增；
令，即在单调递减；
，
，即的取值范围为.
故选：B
21．（24-25高三上·辽宁·月考）已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合复合函数的单调性求出，利用导数求出，“对任意，，使得恒成立”只需“”，解之即可.
【详解】显然，由复合函数的单调性可知在上单调递增，
在上单调递减，所以．
，
因为，设，则，
设，得，
令，得，
则当时，单调递增，且.
所以当时，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
所以当时，，即当时，．
因为要使任意，，恒成立，只需，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：C
22．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案．
【详解】由已知恒成立，
当时符合题意，
当时，，
，
综上所述，
故答案为：．
23．（24-25高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解.
【详解】命题“对任意的，都有”为假命题，
则“存在，”为真命题，
当时，满足；
当时，满足；
当时，需，解得；
综上：.
故答案为：
24．（24-25高三上·江西宜春·月考）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求.
【详解】,
不等式，即在区间上有解.
设，，
则，
令，
设，,
，则在区间上单调递增，
故，即.
故要使在区间上有解，则.
即实数的取值范围是.
故答案为：.
25．（24-25高三下·重庆·月考）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ．
【答案】
【分析】对给定不等式两边取对数，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】，不等式
令，求导得，当时，；
当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，解得，
所以a的最小值为.
故答案为：
26．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ．
【答案】
【分析】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可.
【详解】由，得，
即不等式在上能成立.
设，则，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
27．（2025·河南·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，将不等式等价变形为，构造函数利用导数求出最小值即可.
【详解】当时，，
令函数，依题意，当时，恒成立，
求导得，
令，求导得，
函数在单调递增，，，存在，使得，
当或时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
而，因此，则，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
28．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由条件判断需求在上的最大值，利用导数研究函数，根据参数分类讨论，当时，有最大值，故要解不等式，分解因式成，设，利用导数证明在上恒成立即得参数的范围.
【详解】因存在，使得，即需求函数在上的最大值.
由求导得，，
因，若，则在上恒成立，
即函数在上是增函数，故此时无最大值，且时，，符合题意；
若，由解得，则当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，
则函数在时取得最大值，即，
依题意，需使，整理得，（*）.
令，则则当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，故时，取最大值，
即在上恒成立，
由（*）可得，即，所以;
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
29．（24-25高三上·上海·月考）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导并判断函数的单调性，可画出的图象，由过定点，要使不等式有且仅有两个整数解，只需，求解即可.
【详解】由题意得，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，；当时，；
，，，
且时，，作出函数的图象，如图所示：
直线过定点，要使不等式有且仅有一个整数，
只需 解得，
故答案为:.

30．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.
【详解】因为，则定义域为，
所以的图象是取与图象位于下方的部分，
作出的图象如下所示（实线部分）：
当时，显然在上单调递减，且；
因为，使得关于的不等式成立，
所以，令，解得，
结合图象可得的解集为或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出的图象，结合图象得到的解集.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·江苏南京·月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】“当时，不等式恒成立”等价于“，恒成立”，设函数，通过导数分析其单调性得；再设并通过导数得在上单调递增，且，故得a的取值范围是.
【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于
恒成立；
因为，所以；
设函数，，则，
计算，且；
所以，
当，时，令，解得，
所以时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以；
设，则，
所以在上单调递增，且；
要使恒成立，需使恒成立，即
所以a的取值范围是.
2．（23-24高三下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】变形得到，故，二次求导得到在R上单调递增，从而得到，故，构造，求导得到其单调性，确定最值，得到答案.
【详解】，
存在实数，使得，即，
，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
，
故在R上单调递增，
所以，
故，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：C
【点睛】关键点点睛：变形得到，故，结合在R上单调递增，得到，进而将二元问题转化为单元问题进行求解.
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据与0关系分三种情况讨论，其中当时，再根据的最小值与0的关系分和两种情况讨论，当时，把在上恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值，且即可求出m的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
①当时，，
当时，，不符合题意；
②当时，取，则，不符合题意；
③当时，设，，
则，当且仅当时取等号.
（i）若，即，取，
，，不满足题意；
（ii）若，即，
若在上恒成立，则需在上恒成立，
又，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
故，解得，所以.
综上可知，.
故选：D.
4．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法一：证明出当时，，对实数的取值进行分类讨论，数形结合验证对任意的能否恒成立，由此可得出实数的取值范围；解法二：证明出当时，，然后对取特殊值，验证对任意的能否恒成立，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】解法一：若，当时，，不符合题意，舍去；
若，则，曲线是将曲线向右平移个单位长度得到的，
作出函数与的大致图象，
由上图可知，当时，不恒成立，不符合题意，舍去，
取特例，若，则，，不合题意；
若，作出函数及的大致图象，
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，所以，
从而，即，当且仅当时等号成立
如下图，当时，恒成立，则恒成立，符合题意；
若，则，作出函数与的大致图象，
如下图所示，当时，恒成立，即恒成立，符合题意．
综上；
解法二：设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，所以，
从而，即，当且仅当时等号成立
显然不符合题意，排除C；
当，时，恒成立，符合题意，排除D；
当，时，，
因为，所以，即，符合题意，排除B．
故选：A．
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案.
【详解】原不等式可化为，设，
则直线过定点，
因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方，
又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，
∵，∴．设直线与曲线相切于点，
则有，消去a整理得，解得或，
若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去；
故，则切线的斜率为，解得．
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，，
当时，解得，当直线绕着点旋转时，
要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可.
【详解】恒成立，即恒成立，
，设，
故时，，单调递减；
时，，单调递增，
故，
当时，且，
由的单调性知，在上单调递减，上单调递增，
，
此时若存在正实数，，使恒成立，
即存在正实数，使，故.
当时，故恒成立，即恒成立，
因为，故此时不存在正实数满足条件.
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式恒成立转化为正实数一直在两个函数值之间，即，然后结合两个函数的单调性求解即可.
7．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分离参数法得到，再合理构造函数，将合理拆分为两部分，利用导数得到两个部分取到最小值的条件一致，再求出整体函数的最值，得到取值范围即可.
【详解】由得，
当时，由题意知，
设函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则函数的最小值为．
当时，设函数，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数的最小值为，
此时，则，即实数的取值范围是．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是找到利用分离参数法得到，然后把拆分为两部分，判断它们取得最小值时的条件一致，得到整体的最值，最后求解所要求的参数范围即可．
8．（2025·陕西咸阳·二模）已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为 .
【答案】
【分析】将已知方程结合其两根，进行变式，求得，利用该式再将不等式变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.
【详解】因为分别是方程的两个根，
即.两式相减，则，
则不等式，可变为，
两边同时除以得，，
令，则在上恒成立.
整理可得，在上恒成立，
令，
则，
①当，即时，在上恒成立，
则在上单调递增，
又，则在上恒成立，
②当，即时，当时，，
则在上单调递减，则，不符合题意.
综上：，所以的最小值为1，
故答案为：.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优02 不等式及函数中的恒成立和有解问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题（★★★） 3
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题 （★★★） 4
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题（★★★） 5
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题（★★★★） 5
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题（★★★★★） 6
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题（★★★★★） 8
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题（★★★★★） 9
03 实战检测 分层突破验成效 10
检测Ⅰ组 重难知识巩固 10
检测Ⅱ组 创新能力提升 13
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
题型一 一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
【技巧通法·提分快招】
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立 或 2、不等式对任意实数恒成立 或 注：对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为， 则恒成立 ，即；恒成立 ，即． 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·月考）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
5．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
6．（23-24高三上·河南信阳·月考）若对于恒成立，则实数x的取值范围为 ．
题型二 一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
【技巧通法·提分快招】
1、若存在，有解 ； 若对任意，无解 ． 2、若存在，有解 ； 若对任意，无解 ．
1．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，满足不等式，则实数m的取值范围是 .
5．（23-24高三上·浙江台州·月考）已知不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高三上·浙江温州·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是 ．
题型三 基本不等式中的恒成立和有解问题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·重庆·月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
4．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知，，，且恒成立，则的取值范围是 .
7．已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 .
题型四 函数不等式的恒成立和有解问题
1．（24-25高三上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏·期中）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A． B． C． D．
题型五 导数中单变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·二模）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·湖南长沙·三模）若函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
10．（2025·湖南长沙·一模）不等式对任意成立，则实数的取值范围是 .
题型六 导数中双变量恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·重庆·月考）函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
4．（24-25高三下·云南·月考）已知函数，，，则（ ）
A． B． C．4 D．16
5．（2024·江西吉安·模拟预测）若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·陕西安康·月考）若，对，，则实数m的取值范围是 ．
7．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
8．（2024·湖北黄冈·模拟预测）若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为 .
题型七 导数中双函数恒（能）成立问题
【技巧通法·提分快招】
（1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三下·辽宁沈阳·月考）已知函数，．若不等式在恒成立，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
5．（23-24高三上·辽宁·月考）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（2024·云南昆明·一模）“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·吉林四平·期中）已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．
9．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三下·山东德州·月考）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
16．（2025·贵州黔南·模拟预测）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·安徽·模拟预测）已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A．-e B．-1 C． D．
18．（2025·辽宁大连·三模）已知，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25高三上·辽宁·月考）已知函数，，若对任意，，使得恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
22．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ．
23．（24-25高三上·上海嘉定·月考）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
24．（24-25高三上·江西宜春·月考）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 .
25．（24-25高三下·重庆·月考）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 ．
26．（2025·湖南益阳·三模）设实数，，使成立，则实数α的取值范围 ．
27．（2025·河南·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为 ．
28．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 .
29．（24-25高三上·上海·月考）已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是 ．
30．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·江苏南京·月考）已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖北武汉·期末）设函数，若存在实数，使得，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
8．（2025·陕西咸阳·二模）已知方程的两根为，（），若，不等式对任意的，恒成立，则正实数m的最小值为 .

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