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重难点培优03 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的高级应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★） 4
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★） 6
题型三 周期性及其应用（★★★★★） 7
题型四 对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★） 9
题型五 对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★） 10
题型六 对称性结合周期性（★★★★★） 11
题型七 类周期性（★★★★） 13
题型八 函数性质的综合应用（★★★★★） 14
题型九 导函数与原函数的对称性（★★★★） 15
03 实战检测 分层突破验成效 16
检测Ⅰ组 重难知识巩固 16
检测Ⅱ组 创新能力提升 20
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1、奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 3、已知奇函数，，则 （1） （2）
1．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·天津·期末）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
4．若函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知函数是奇函数，当时，，则 ．
6．（23-24高三上·安徽安庆·月考）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
7．（23-24高三下·江西·开学考试）已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为 ．
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
【技巧通法·提分快招】
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·河南·月考）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
4．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三 周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
周期性技巧
1．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C．4 D．2
2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A． B． C． D．4
3．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为( ).
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型四 对称性Ⅰ—轴对称
【技巧通法·提分快招】
轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
1．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·重庆·月考）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
3．（24-25高三下·河南·月考）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．定义在上的函数满足，且当时，是增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·四川成都·月考）定义在上的函数关于对称，且满足：对任意、，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·江苏·月考）若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型五 对称性Ⅱ—中心对称
【技巧通法·提分快招】
中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
1．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ）
A．9 B． C．12 D．
6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知R，，函数，则（ ）
A．当时，函数在其定义域上单调递减
B．当时，函数在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数的图像是轴对称图形
D．当时，函数的图像恒为中心对称图形
题型六 对称性结合周期性
【技巧通法·提分快招】
函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
1．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
2．已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．0
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
5．（24-25高三下·湖南·月考）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，，为偶函数，且函数的图象关于点对称，则（ ）
A．4 048 B．4 049 C．4 051 D．4 054
7．已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A．不为偶函数 B．为奇函数
C． D．
题型七 类周期性
【技巧通法·提分快招】
1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
1．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河北唐山·一模）对于，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ．
4．（2024·湖南永州·三模）已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则 .
题型八 函数性质的综合应用
1．（24-25高三下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
4．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1003
5．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（多选题）已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的值域为 D．函数有9个零点
7．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）（多选题）已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型九 导函数与原函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
导函数与原函数的对称性 为偶函数为奇函数 为奇函数为偶函数 为偶函数有对称中心 注意：此处 或 同理： 有对称轴有对称中心 关于中心对称有对称轴 注意：此处 或
1．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
2．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．
3．（24-25高三下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
4．已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
6．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．3
5．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
10．已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（ ）
A．3m B．6m C．9m D．12m
11．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（ ）
A． B．
C． D．
12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
13．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
14．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数．函数均满足，下列说法：
①；
②若数列是公比为4的等比数列．则；
③点是曲线的对称中心：
④．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（多选题）已知定义在上的偶函数满足，则下列命题成立的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．函数为偶函数 D．函数为奇函数
17．（2025·宁夏银川·三模）（多选题）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
18．（2024·海南·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选题）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
20．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
21．（2025·河南郑州·二模）（多选题）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．关于点中心对称
C．关于轴对称
D．
22．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则 ．
23．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
24．（23-24高三上·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
25．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
26．（23-24高三上·河北邯郸·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．
27．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
28．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 .
29．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
6．（24-25高三上·山西·期中）（多选题）已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A．8是一个周期 B．为偶函数
C． D．
7．（24-25高三上·广东清远·月考）（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数 B．的图象关于原点对称
C． D．的极小值为3
8．（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
9．（多选题）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．的图象关于对称 D．函数为周期函数，且周期为4中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优03 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的高级应用
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 4
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★） 4
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★） 8
题型三 周期性及其应用（★★★★★） 12
题型四 对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★） 17
题型五 对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★） 20
题型六 对称性结合周期性（★★★★★） 24
题型七 类周期性（★★★★） 28
题型八 函数性质的综合应用（★★★★★） 33
题型九 导函数与原函数的对称性（★★★★） 39
03 实战检测 分层突破验成效 44
检测Ⅰ组 重难知识巩固 44
检测Ⅱ组 创新能力提升 62
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1、奇偶函数的性质 （1）偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 对称区间的单调性相反； （2）奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 对称区间的单调性相同； 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 3、已知奇函数，，则 （1） （2）
1．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性.
【详解】根据题意，，有，即，若存在奇偶性，
则定义域对称，必然有，即，
此时，则，则为奇函数.
故选：B．
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B.
【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当时，，所以，排除B.
故选：A.
3．（23-24高三上·天津·期末）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函数的奇偶性，零点即可排除其他选项，从而可得答案.
【详解】对A，因为，与图象不符，故A错误；
对B，，，所以函数是奇函数，这与图象不符，
故B错误；
对D，当时，，，所以此时无零点，与图象不符，故D错误.
故选：C.
4．若函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质来求解的值，进而得出的值.
【详解】由题可得的定义域为.
因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以，.
所以，则，
因为对任意的，恒成立，
所以，所以.
故选：C.
5．已知函数是奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】由奇函数定义计算即可.
【详解】由函数是上的奇函数，得，
而当时，，所以有．
综上所述，
故答案为：
6．（23-24高三上·安徽安庆·月考）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.
【详解】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：6.
7．（23-24高三下·江西·开学考试）已知且，函数在的最大值为，则在的最小值为 ．
【答案】
【分析】计算，从而可得出函数的对称性，再根据函数的对称性即可得出答案.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
由，得，
令，则，
所以函数为奇函数，
因为函数在的最大值为，
所以函数在的最大值为，
所以函数在的最小值为，
所以在的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求出，得出函数的对称性是解决本题的关键.
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
【技巧通法·提分快招】
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
1．（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性即可得解.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
，
令，则，
所以函数，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三下·河南·月考）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，
所以
所以，解得.
所以的取值范围为.
故选：D.
3．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围.
【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.
因此，不等式可以转化为.
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得或.
故选：C.
4．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，，，
则函数是上的奇函数，而函数在上都单调递减，
因此在上单调递减，不等式，则，
解得，所以所求解集是.
故选：B
5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且在上单调递减.设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，所以为偶函数，
又在上单调递减，所以在上单调递增.
由题得，
又，因，则
所以，
即.
故选：D.
6．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称，
又对任意的，，都有，
即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减，
所以，
即①，显然无解；
或②，解之得.
故选：C
7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则，
则；；
当即时，，，成立；
当时，，，；
当时，，，；
当即时，，
所以的取值范围是．
故选：D．
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，求出函数的奇偶性与单调性，
再将转化为，求解不等式即可求得结果.
【详解】构造函数，,因为，
所以，
由，则，所以为奇函数.
易知，
因为（当且仅当，即时等号成立），
（当且仅当，即时等号成立），所以，所以在上单调递增.
由，得，故，
所以， 即，令，求导得,
因为，所以恒成立，且，所以解，得：，
故选:B.
题型三 周期性及其应用
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周期性技巧
1．（2024·陕西·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据题意，求得且，结合函数的周期性，即可求解.
【详解】因为且，可得，
由，可得，
所以函数的一个周期为，则.
故选：B.
2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知求得，从而得解.
【详解】因为，
所以，则周期为4，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
3．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得的值.
【详解】因为是定义域为的奇函数，且，
则，故，
所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得，
所以，，，
因此，.
故选：D.
5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为偶函数，且满足，当，，则的值为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数为偶函数，且满足，得出周期为2，根据性质计算即可.
【详解】函数为偶函数，且满足，可得，
，即有，
可得的周期为2，当，，可得：
.
故选：C.
6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由和推出，进而得周期即可求解.
【详解】由为奇函数有，
为偶函数有，
所以有，即，
所以函数的周期为，所以，
又，
故选：C.
7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据题设，分析可得函数是周期为4的周期函数，进而求出，再结合周期性质求解即可.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，且，
又，所以，
则，即，
所以函数是周期为4的周期函数，则，
因为当时，，所以，
由，则，，
则，
则.
故选：D.
8．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用恒等式可推导，得出周期性，再由偶函数可得函数的图象是关于直线对称的，再利用赋值思想即可求值.
【详解】因为的值域为，
所以可由得：，
则有，
所以函数是一个以4为周期的函数，则有，
又因为函数为偶函数，所以，
则函数的图象是关于直线对称的，即，
又因为周期性可知，所以，
又由可得：，所以，
因为的值域为，所以，即，
故选：B
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解.
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
题型四 对称性Ⅰ—轴对称
【技巧通法·提分快招】
轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称； 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
1．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.
【详解】因为对任意恒成立，
所以函数关于对称，
所以，
又因为函数在上是增函数，
所以，
所以.
故选：A
2．（24-25高三上·重庆·月考）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【分析】结合函数对称性的定义，设，可得，即可得解.
【详解】设，，显然，
故与的图象关于直线对称.
故选：B.
3．（24-25高三下·河南·月考）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称轴结合平移得出奇偶性，再结合奇函数定义计算判断即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度，
所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误；
因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度，
关于直线对称，不能得出的奇偶性，A，C选项错误；
对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确；
故选：D.
4．定义在上的函数满足，且当时，是增函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到图象的对称轴为，然后将问题转化为到对称轴距离的问题求解.
【详解】解：由，得图象的对称轴为，
又当时，是增函数，且，
，
即，解得，
故选：A．
5．（24-25高三上·四川成都·月考）定义在上的函数关于对称，且满足：对任意、，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性以及函数在上的单调性，即可得出结论.
【详解】因为定义在上的函数关于对称，则，
即，所以，函数为偶函数，
对任意、，且，都有，
不妨设，则，即函数在上为增函数，
所以，，即.
故选：B.
6．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为，
设曲线上任意一点的坐标为，则有，
该点关于直线对称点的坐标为，
因此有，代入中，
得，
故选：C
7．（24-25高三上·江苏·月考）若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】求出函数的定义域，利用对称性可得定义域关于直线对称，再利用特值求出a，并验证即得．
【详解】令，
由，得或，
故函数的定义域为，
由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，
则，此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，
故.
故选：A．
题型五 对称性Ⅱ—中心对称
【技巧通法·提分快招】
中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
1．（24-25高三上·陕西咸阳·月考）若函数是奇函数，则函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数是奇函数可知关于对称，再由函数的平移关系可得出答案.
【详解】因为函数是奇函数，所以关于对称，
函数向右平移一个单位得到函数的图象，
所以函数关于对称，
函数向上平移一个单位得到函数的图象，
所以函数的图象关于对称.
故选：B.
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出，，故A正确，BCD错误.
【详解】ABC选项，
，
故函数的图象关于中心对称，A正确，BC错误；
D选项，，故不关于中心对称，D错误.
故选：A
3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出的解析式，进而可得，由此可得的对称中心，即可得答案.
【详解】解：根据题意，函数，
，
则有，
故函数的图象的对称中心的坐标为
故选：D .
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据求导公式和求导法则可得，结合抽象函数的对称性即可求解.
【详解】由，可知函数的图象关于直线对称；
对求导，得，
则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．
5．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】根据函数和都关于点对称求解，即可得答案.
【详解】由已知得，所以关于点对称，
令，则
，
所以关于点 对称，
所以两函数图象的交点也关于点对称，
，
故选：.
6．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知R，，函数，则（ ）
A．当时，函数在其定义域上单调递减
B．当时，函数在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数的图像是轴对称图形
D．当时，函数的图像恒为中心对称图形
【答案】D
【分析】求的导数即可判断AB，计算即可判断C，计算是否为定值即可判断D.
【详解】由已知，
的定义域为，
当时，的定义域为，，函数在上单调递增，
当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故B错误；
当时，的定义域为，，函数在上单调递减，故A错误；
若
，故不存在，故C错误；
，
当，即时，为定值，则关于对称.
故选：
题型六 对称性结合周期性
【技巧通法·提分快招】
函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
1．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【答案】C
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①,
又的图象关于中心对称，所以②,
则③,
由①②③可得，,故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故选：C
2．已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据题意，得到和，推得，得到函数的周期为4，结合，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，可得，
又因为函数的图象关于点对称，可得，
所以，可得，
所以函数的周期为4，
因为当时，，所以．
故选：D.
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值.
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选：B.
4．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据为偶函数可得函数图象的对称性，故可判断BCD的正误；根据可得函数的周期，故可判断A的正误.
【详解】对于A，由，得，
则，函数的周期为4，
取，则，
为偶函数，
而最小正周期为，故A错误；
对于B， 由为偶函数，得，
故，
所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误；
对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误；
对于D，由，，得，
则，函数的图象关于点对称，D正确.
故选：D
5．（24-25高三下·湖南·月考）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目条件得到，的一个周期为4，从而.
【详解】为奇函数，故，
又为偶函数，故，
中，令代替得，
结合得，
即，又，
故，的一个周期为4，
又时，，且，
则，则，则，，
则时，，
故.
故选：B
【点睛】结论点睛：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
6．（24-25高三上·江苏·月考）已知函数的定义域为R，，为偶函数，且函数的图象关于点对称，则（ ）
A．4 048 B．4 049 C．4 051 D．4 054
【答案】B
【分析】由题可得关于，对称，据此可得的一个周期为4，即可得答案.
【详解】因为偶函数，则，则图象关于对称；
因的图象关于点对称，则，
，得图象关于对称；
则，
.
则，则的一个周期为4.
则.
又，令，可得.
则.
故选：B
【点睛】结论点睛：的定义域为R.
若为偶函数，则图象关于对称（）；
关于对称，则图象关于对称；
图象关于，对称，则的一个周期为.
7．已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A．不为偶函数 B．为奇函数
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案
【详解】因为，
所以，与联立可得，
即的图象关于直线对称，
又为奇函数，则，
所以，即，
所以，所以是周期为4的周期函数，
因为，所以也是周期为4的周期函数，
因为，，所以，
即，从而为偶函数，故A错误．
又为奇函数，则，即，
所以，
故，故C错误．
由，得，则不可能为奇函数，故B错误．
可求，
所以，故D正确．
故选D．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
题型七 类周期性
【技巧通法·提分快招】
1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
1．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.
【详解】当时，，；
因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍.
当时，，故，
则，；
当时，，故，
则，；
当时，，故，
则，.
当时，由，可得，解得或，
如下图所示：
由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.
2．（2025·河北唐山·一模）对于，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用赋值法，令可得，进而推出；令可得，进而推出，，再结合函数的性质，可得的值.
【详解】令，则.
所以；进而，
同理可得：，.
令，则，
所以，，，，.
因为，所以，即.所以
故选：C
【点睛】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论.
3．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】利用分段函数性质计算即可得空一；由题意画出函数图象，并可得函数满足，可得当时，有或，使得，即可得时，恒成立，从而可得空二.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
图象如图：
则，
当时，；
当时，或，
当时，，
所以时，恒成立，整数的最小值为．
故答案为：；.
4．（2024·湖南永州·三模）已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则 .
【答案】/
【分析】赋值求得，由可得，从而可求，进而求得当时，，从而利用求解即可.
【详解】由可得，所以，
，
，
，.
因为对于，恒有，
所以当时，，而，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得，，进而求得当时，.
题型八 函数性质的综合应用
1．（24-25高三下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得的周期为2，再利用对数运算及对数函数单调性，结合在上单调递减比较大小.
【详解】函数是上的偶函数，则，的周期为2，
，，，
，，，
又函数在上单调递减，则，
所以.
故选：A
2．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
又因为，所以函数的图象关于直线对称，
且，所以函数是以4为周期的周期函数.
因为当时，，所以函数在上单调递增.
函数的草图如下：
根据图象可知，若，则，，
解得，.
所以实数的取值范围是：，.
故选：D
3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】D
【分析】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】因为函数为奇函数，则，
所以，，可得，
因为函数为偶函数，则，
所以，，
所以，，所以是周期函数，是它的一个周期.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
所以，，B对；
对于C选项，因为，即，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，对任意的、，且，有，
不妨设，则，所以，函数在为增函数，
因为，，
因为，则，所以，，D错.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
4．已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．1003
【答案】C
【分析】根据题意，可得，即是上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而也是以4为周期的周期函数，可得解.
【详解】因为的图象关于点中心对称，所以①．
因为，所以②．
因为③，所以④．
③④得，，所以是上的偶函数，
所以①可变形为，则，
故，所以是以4为周期的周期函数．
由④可得，则也是以4为周期的周期函数．
因为，又，
所以，所以．
故选：C．
【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.
5．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：
①；②函数图象的一条对称轴为；
③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意，都有成立，
令，则，解得，
又因为是R上的偶函数，所以，
所以，所以函数的周期为6，
所以，
又由，故；故①正确；
②：由（1）知的周期为6，
又因为是R上的偶函数，所以，
而的周期为6，所以，，
所以：，
所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当，且时，都有．
所以函数在上为严格增函数，
因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数，
而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确；
④：，的周期为6，所以，
又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，
所以在和上各有一个零点，
所以函数在上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.
6．（多选题）已知函数是定义域为的奇函数；且，当时，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的值域为 D．函数有9个零点
【答案】BCD
【分析】由题设条件得即可求解判断A；先根据题意求出和一个周期内的解析式，然后作出函数的图象和直线分析即可逐项求解判断BCD.
【详解】对于A，因为是上的奇函数，，
所以，
所以，故A正确；
对于BC，因为是上的奇函数，，
所以，
所以，所以是周期为4的奇函数.
当时，，所以，
所以当时，，所以，
所以，
因为的周期为4，
所以，故的周期为4，
所以，
所以当时，当时，
当时，当时，
作出函数的图象如图所示，
所以函数的图象不存在对称轴且的值域为，故BC错误.
对于D，令，作出直线图象如图，
则由图可知函数的图象与直线图象有7个交点，
所以函数有7个零点，故D错误.
故选：BCD.
7．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）（多选题）已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出.
【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称，
故是偶函数，则，故A正确；
B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误；
CD选项，由得，
又，所以，又，
即，即，则，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函数的周期为4，
令，由，得，
再令，则，所以，
又，由，
所以
，故C，D正确.
故选：ACD.
题型九 导函数与原函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
导函数与原函数的对称性 为偶函数为奇函数 为奇函数为偶函数 为偶函数有对称中心 注意：此处 或 同理： 有对称轴有对称中心 关于中心对称有对称轴 注意：此处 或
1．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
【答案】B
【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解.
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
导函数关于对称，所以关于即对称，
故选：B
2．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，对条件求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反正法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，以数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断.
【详解】因为，所以，即，令，得，故A正确．
因为，所以当时，，所以的图象关于点对称，故B正确．
对于C，假设成立，求导得，即，
又，所以，所以与矛盾，故C错误．
对于D，因为，
所以，，又，所以，
又，所以数列的奇数项是以0为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，又，，
所以数列是以0为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，故D正确．
故选：C．
3．（24-25高三下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】首先根据为偶函数和得到的一些等式关系，再通过对已知等式求导进一步推导的性质，如周期性等，然后求出的值，最后根据的奇偶性和的周期性求出的值，进而得出结果.
【详解】解：因为为偶函数，，所以，
对两边同时求导，得，
所以有，所以函数的周期为8，
在中，令，所以，
因此，因为为偶函数，
所以有（1），
（2），
由（1），（2）可得： ，所以，
故选：D．
4．已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得函数关于对称，且关于点对称，且的周期是4，再由，得到，求得，得到导函数关于点对称，且，进而得到，求得导函数的周期是4，结合，即可得到答案.
【详解】由函数为偶函数，可得，即，
可得函数关于对称，则，
又由是奇函数，可得，
所以函数关于点对称，则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则，
由，可得，
所以，则，
即，所以，
即导函数关于点对称，且，
又由，可得，即导函数的周期是4，
则，所以．
故选：D．
5．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数，的定义域为，，且满足，，则（ ）
A． B．1 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和.
【详解】由可得：，又因为..，
所以，即的对称中心为；
由可得：，
即（常数），
令，则，所以，即的对称轴为；
所以，，故，，
所以，的周期.
因为，所以；
因为，令代入，所以；
根据对称性可知：，，，，
所以.
故选：D
6．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案.
【详解】由于，则，
两式相加得，
故，
所以，
故，即，
其中两边求导得，，
故，
故，
将替换为得，
又，
故，
将替换为得，
则，
故是的一个周期，
其中，
故，
故.
故选：D
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的图象变换求解.
【详解】因为函数是奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
又函数的图象是的图象向左平移1个单位，
向上平移2个单位得到的，
所以函数图象对称中心的是，
故选：B
2．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数，
所以函数在上为减函数，
又 ，，
所以，则，
故选：B
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判断的奇偶性和对称性，再由图象的平移和正弦函数、余弦函数的对称性，可得结论．
【详解】因为函数的定义域为，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称，
函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，
而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项；
又函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称.
而又函数的图象关于点对称，故排除A选项.
故选：C.
4．已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．3
【答案】B
【分析】先由图象变换得出的图象关于直线对称，再结合奇函数，即可得出周期为，最后利用周期将转化为.
【详解】的函数图象向左平移个单位得到的图象，
因函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，
则
因为奇函数，则，则，
则，得，
所以是周期为4的周期函数，
则．
故选：B
5．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可.
【详解】因为，所以，
即函数关于对称，
当时，单调递增，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
因为，所以，解得，
即的取值范围是，
故选：B.
6．（2025·山东菏泽·一模）已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据函数解析式判断出函数的对称性与单调性，再利用函数的对称性得到，进而利用函数单调性即可比较大小.
【详解】由题知， ，
即函数图象的对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减.
.
，.
故选：A.
7．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量时，函数值的变化趋势判断C.根据函数性质，判断B.
【详解】函数的定义域为，排除选项D；
，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当时，；
当时，，排除选项C；
综上所得，选项B符合题意．
故选：B．
8．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故选：B．
9．（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】A
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.
【详解】由为偶函数，得，即，则，
因此，即，则，
于是，函数是周期为4的周期函数，
由，得，因此，
所以．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.
10．已知函数满足.若函数与图象的交点为，，…，.则等于（ ）
A．3m B．6m C．9m D．12m
【答案】A
【分析】由判断关于点成中心对称，进而判断函数与图象的交点关于点对称，由此求出和的值，即可得答案.
【详解】由函数满足可得，
即函数关于点成中心对称，
由函数，其图象可由向上平移3个单位得到，
故关于点成中心对称，
则函数与图象的交点为，，…，必关于点对称，
不妨设，和关于对称，依此类推；
设，则，
故，
同理令，可得，
故，
故选：A
11．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断的区间单调性，讨论、、一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系.
【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数，
当，令，则在上单调递增，
又在上单调递增，故在上单调递增，
由偶函数的对称性，在上单调递减，
当，由，则，
当，由，则，
当一正一负，不妨令，则，
显然与矛盾，
综上，.
故选：D
12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
【答案】B
【分析】利用题中函数的对称性推导出，，结合函数的对称性逐项推导，可得出合适的选项.
【详解】因为函数的定义域为，，函数是奇函数，
则对任意的，，可得，
所以，函数的图象关于直线对称，则的值不确定，C错；
因为函数的图象关于直线对称，
令，所以，，
即对任意的，，即，
所以，函数为奇函数，即函数的图象关于点对称，B对；
因为，而不一定等于零，故函数不一定是偶函数，A错；
因为函数的图象关于直线对称，则，
因为函数的图象关于点对称，则，
所以，，则，
故，D错.
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
13．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
【答案】D
【分析】首先，通过已知条件，可以分析出函数的对称轴，进而得到其导函数的对称中心.再根据为偶函数，确定的具体对称中心，周期，然后利用周期性和对称中心的性质来计算即可.
【详解】∵，
∴两边求导得，
∴，可知关于点对称，
又∵为偶函数，可知关于直线对称，
则，即，
由，可得，
因此，可得，
即，可知4为的周期，
因此，当，时，，
当，时，，
∵，∴，
∴，，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性.
14．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数．函数均满足，下列说法：
①；
②若数列是公比为4的等比数列．则；
③点是曲线的对称中心：
④．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用给定条件判断①，运用给定条件结合中心对称性的定义判断③，利用给定条件结合等比数列的性质判断②，利用给定条件判断④即可.
【详解】令，得到，解得，故①正确，
令，由得，
由得，
得到，
即，故点是曲线的对称中心，即③正确，
因为，所以，
即，得到，
故，因为数列是公比为4的等比数列，
所以，故，
故，即②正确，
因为，所以，
故，则④正确.
综上，正确说法的个数为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用已知条件推理出，然后再对得到所证明的即可．
15．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解.
【详解】当时，恒成立，则，
因为定义域为的函数满足，
当时，，
当时，，
则
，
因为，此时；
当时，，
则，
因为，则，则，所以，
所以，函数在上的最小值为，
所以，，即，即，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
16．（多选题）已知定义在上的偶函数满足，则下列命题成立的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．函数为偶函数 D．函数为奇函数
【答案】BD
【分析】由及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.
【详解】因为函数为偶函数，
所以函数关于轴对称，且，又，
所以，且，
所以函数关于点中心对称，且周期为，
所以函数关于对称，A选项错误；
，B选项正确；
由向右平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，C选项错误；
由向左平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，D选项正确；
故选：BD.
17．（2025·宁夏银川·三模）（多选题）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
【答案】BCD
【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误；
对于B：因为为奇函数，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函数，正确；
对于C：由，
可得，所以是周期为3的周期函数，正确；
对于D，，
所以，
由周期性可得：
故选：BCD
18．（2024·海南·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由为奇函数得，
因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；
对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，，
从而，所以以4为周期，可得，
由中，令，得，所以C正确；
对于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正确．
故选：BCD.
19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选题）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
【答案】ACD
【分析】先根据关系式，，求出对应的对称轴和对称中心，进而得到周期，再结合时，，可画出的图像，即可解决问题.
【详解】由，可得到函数图像的对称轴为，
由，可得到函数图像的对称中心横坐标为，
所以函数的周期.
因为时，，根据对称性和周期性，可画出的图像，如图所示.
由周期性可知，，故A正确；
根据周期性可知，，故B错误；
，由图可知，，，所以，故C正确；
由图可知，函数在轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即为奇函数，故D正确；
故选：ACD.
20．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
【答案】AC
【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解.
【详解】对于A，因为为奇函数，所以，
所以函数关于点对称，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故B错，
对于C，因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，所以，
取，可得.所以，
由，得，
所以，即，
所以，所以函数是周期函数，且周期为，
又，即，
所以函数也是以周期得周期函数，故C正确；
对于D，因为，，
所以，即，
所以，则，
所以，
，无法确定该值，故D错误.
故选：AC.
21．（2025·河南郑州·二模）（多选题）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．关于点中心对称
C．关于轴对称
D．
【答案】ABD
【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确.
【详解】对于A，由可得；
对于B，由可得，即，
所以关于点中心对称，故B正确；
对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误；
对于D，由中令可得，
设，①
又，②
由①②可得，
所以，即，
所以，所以
所以，故D正确；
故选：ABD
22．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知，求得，从而得解.
【详解】∵，∴，
则函数的周期为4，
∴，
又∵，，∴，
所以.
故答案为：1
23．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 .
【答案】
【分析】由为奇函数即可求解.
【详解】因为函数为偶函数，
而是偶函数，是奇函数，
所以为奇函数，
，得；
若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数，
若，代入验证符合题意.
故答案为：
24．（23-24高三上·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出．
【详解】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
25．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.
【详解】由是定义在上的奇函数，得，
是上的偶函数，由，得，
则，由在上递增，得在上递减，
当时，，不等式成立，因此；
当时，，解得；
当时，，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
26．（23-24高三上·河北邯郸·月考）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据条件先判断出是周期为的周期函数，然后根据奇偶性和周期性将变形为，结合和已知解析式可求结果.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，，
因为，所以，
所以，
所以是周期为8的周期函数，
当时，，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
27．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
【答案】2499
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
则即，
又的图象关于直线对称，则，
所以，即，
可得，则是以4为周期的函数.
因为，
由，令，得，
所以，，，
所以
.
故答案为：2499.
【点睛】关键点睛：本题关键是根据条件判断出是以4为周期的函数.
28．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据奇函数的性质得到与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小值.
【详解】已知是奇函数，则.
因为，所以.
又因为在上单调递增，所以，即.
由可得.
则.
将展开可得：
.
因为，所以，.
根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立.
所以.
故答案为： .
29．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
【答案】4048
【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.
【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以.
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围.
【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以，
即，又也是偶函数，所以，
所以，即，
因为函数是R上的减函数，也是减函数，
所以函数是R上的减函数；
令，即，解得，
当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减，
又函数是上的偶函数，
所以由，可得，解得，
因此，实数的范围是，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性.
2．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用恒等式可推导，得出周期性，再由偶函数可得函数的图象是关于直线对称的，再利用赋值思想即可求值.
【详解】因为的值域为，
所以可由得：，
则有，
所以函数是一个以4为周期的函数，则有，
又因为函数为偶函数，所以，
则函数的图象是关于直线对称的，即，
又因为周期性可知，所以，
又由可得：，所以，
因为的值域为，所以，即，
故选：B
3．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果
【详解】因为，且时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，

由图可知，，恒有，必有，
即的取值范围是，
故选：B
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属于较难题.
4．（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知，可得，设，则函数在上单调递减，则不等式即，则，又函数为定义在上的偶函数，则得到不等式的解集.
【详解】由题意，，，则，
由，得，
即，
因为，，得，
即，
设，则函数在上单调递减，
又，则，
则不等式，即，
则，
所以，
又函数为定义在R上的偶函数，
所以当时，，
又，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由，可构造函数，可得在上单调递减，可利用单调性解出不等式.
5．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则的图象关于直线对称
B．若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数
C．若是偶函数，则的图象关于直线对称
D．若是奇函数，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由是偶函数可得，由此可判断A；对于B，由题干可知是最小正周期为1的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由是偶函数可得，由此可判断C；对于D，由是奇函数可得，因此的图象关于点对称，由此可判断D.
【详解】对于A，因为是偶函数，所以，
所以，即的图象关于直线对称，故A错误；
对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数，
设的最小正周期为，由，得，故B正确；
对于C，由，得，
又是偶函数，所以，
所以，则的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，由C项可知，，
因为是奇函数，所以，即，
则，所以，
因此的图象关于点对称，且，
所以
，故D正确．
故选：BCD．
6．（24-25高三上·山西·期中）（多选题）已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A．8是一个周期 B．为偶函数
C． D．
【答案】ABD
【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得.
【详解】由，得，
则，即函数图象关于对称；
因为为奇函数，所以，
则，即函数图象关于中心对称.
A项，由对称性可知，，
所以，即，
所以，
则是的一个周期，故A正确；
B项，由对称性与周期性可知，，
所以是偶函数，故B正确；
C项，，得，
所以，故C错误；
D项，由周期性和，得，
所以，同理，
由，得，
所以，则，
所以，
故D正确.
故选：ABD.
7．（24-25高三上·广东清远·月考）（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数 B．的图象关于原点对称
C． D．的极小值为3
【答案】AB
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于点原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D错误，
故选：AB.
8．（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
【答案】ACD
【分析】根据的图象关于y轴对称，结合求导可求得的图象关于点对称，再根据为奇函数，可得的图象关于点对称且关于直线对称，进而可得为和的一个周期，从而可判断选项A，B，C，根据的图象关于对称，从而可判断选项D．
【详解】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
对于ABC，由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，
的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
对由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
对于D，由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性和定理1，定理2来确定函数的对称性及周期性．
9．（多选题）设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．的图象关于对称 D．函数为周期函数，且周期为4
【答案】AC
【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.
【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，
令，则，所以，故A正确；
D：因为，所以，
用代替原来的得，①
又为偶函数，所以，
用代替原来的得：，②
由①②得，③
又，用代替原来的得：，④
由③④联立得：，⑤
用代替原来的得：，⑥
⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，
用代替原来的得：，⑦
因为，用代替原来的得：，⑧
因为，用代替原来的得：，⑨
由⑦⑧⑨得：，
用代替原来的得：，
所以为周期函数，且周期为，故D错误；
B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；
C：由，则，即，
又，则，即，故C正确；
故选：AC.

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