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重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★） 3
题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★） 5
题型三 二维柯西不等式三角型（★★★） 8
题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） 10
题型五 权方和不等式基本型（★★★★） 13
题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★） 15
题型七 权方和不等式三角型（★★★） 16
03 实战检测 分层突破验成效 17
检测Ⅰ组 重难知识巩固 17
检测Ⅱ组 创新能力提升 25
一、柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
题型一 二维柯西不等式直接使用
【技巧通法·提分快招】
1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思
1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，
由得，则，即，
则，得，
所以，代入得，
因为，所以
，
因为，
所以，当且仅当，即等号成立.
故选：B.
2．已知，，，则的最大值是 .
【答案】2
【分析】利用柯西不等式即可求解
【详解】由柯西不等式得
所以，当, 即时等号成立.
所以，即的最大值是2
3．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为
【答案】
【分析】根据在中根据互补，余弦和为0，由余弦定理可得，再结合柯西不等式或者利用三角换元方法求得.
【详解】
由得，即，
解法一：柯西不等式法
由柯西不等式可得，得，
当且仅当时，等号成立.
故的最大值为.
解法二：三角换元方法
，
，
最大值为.
故答案为：.
题型二 二维柯西不等式变式型
1．的最小值为 ．
【答案】/
【分析】运用Aczel不等式即可解.
【详解】
当且仅当即时取等号，
故的最小值为．
故答案为：.
2．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
【答案】/
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.
【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得，
当且仅当，即时等号成立，
则k的最小值为.
故答案为：
3．（24-25高三上·辽宁·月考）已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于 .
【答案】
【分析】由向量垂直得到，由投影得到，表达出与所成角余弦值，利用柯西不等式求出最值，得到答案.
【详解】因为，所以，
其中，故，
，
则与所成角余弦值为，
由柯西不等式得，当且仅当时，等号成立，
故，
所以与所成角余弦的最大值为.
故答案为：
【点睛】柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.
4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】，由，解得，
当时，，当，，
当，则，
此时且，
由柯西不等式可得，
当且仅当，即时取等号，此时，即，
所以函数的最大值为2.
故选：C.
5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先根据距离公式算出，然后利用柯西不等式代入求解即可.
【详解】解：由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令，则
故
故
故选：A
题型三 二维柯西不等式三角型
1．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
当时取等号，
所以，即，
解得，所以的最小值为.
故选：C．
2．的最小值为 .
【答案】/
【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值.
【详解】
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，结合柯西不等式进而可求解.
【详解】设，
易知为的重心，
又，由重心为中线三等分点可得：，
同时，
设，，
则，
则，
所以，
由余弦定理可得：，
令，求其最小值即可，
上式化简可得：，
也即当且仅当时取得等号，
所以，
故答案为：
题型四 三维（多维）柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
，当且仅当时，等号成立.
1．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可.
【详解】因为，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，
故选：A
2．已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据柯西不等式的等号成立条件，即可求出的最大值.
【详解】设，，，可得，
所以．
因为，
所以，
当且仅当，取得最大值6，
此时，
所以的最大值为．
故选：B.
3．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）若）（n为偶数），则的最小值为（ ）
A．25 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】利用柯西不等式求解.
【详解】由柯西不等式，得，
∴，
∴，
当且时，
即，且与异号时，
，
则的最小值为.
选：C.
4．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，凑出，以等号成立的条件为依据，把转化为一个变量的函数，求最值即可.
【详解】因为，所以，
由柯西不等式得，，
当最大时，有，所以，，
所以，
当，即时，上式取得最小值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查柯西不等式，关键在于用柯西不等式凑出，当反推柯西不等式时，需要结合不等式两边已有的式子，对相同未知数的系数进行分析配凑.
5．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ．
【答案】/0.4
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】令，因为，故，，
令平面向量在方向上的投影分别为，
设，则：，
从而：，故
由柯西不等式可得
化简得，当且仅当，
即时取等号，故的最小值为．
故答案为：
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．
(1)求的最小值m；
(2)证明：．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式，
（2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证.
【详解】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）.
整理得，故的最小值为4．
（2）由（1）知，即证，由可得，
即有，
由柯西不等式可知，
取等条件为，即．故，
即：得证.
题型五 权方和不等式基本型
【技巧通法·提分快招】
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
1．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，
又，即，于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为49．故选：D
2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可.
【详解】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.
3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____.
【详解】：；当，即时，等号成立.
4．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【详解】
权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：．
题型六 权方和不等式的推广型
1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可求最小值.
【详解】根据柯西不等式，有
，
等号当时取得，因此所求最小值为．
故选：D.
2．已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
3．已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当时取等号
故答案为：60
题型七 权方和不等式三角型
1．函数的最小值是 .
【答案】9
【详解】由，
当时，等号成立.
所以函数的最小值是9.
故答案为：9.
2．已知正实数、且满足，求的最小值 .
【答案】
【分析】设，，，由权方和不等式计算可得.
【详解】设，，，
由权方和不等式，可知，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．实数，，，满足，，那么的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据柯西不得式，直接计算结果.
【详解】由柯西不等式
等号成立的条件是 ，
所以的最大值是.
故选：B
【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.
2．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由得，运用柯西不等式有，进而得解.
【详解】解：实数x、y满足，
，
，
，
当且仅当时取等号，
的最小值是.
故选：A.
【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.
3．已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值.
【详解】由题意，，
当且仅当时等号成立，
当，时，
故的最大值为.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.
4．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】利用柯西不等式求出即可.
【详解】由题干中柯西不等式可得，
所以的最大值为，当且仅当时取等号.
故选：A
6．（23-24高三下·山东烟台·月考）已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以，所以的最小值为.
故选：B
7．（23-24高三上·山西晋中·月考）已知是直角三角形三边，是斜边且.且的最小值为.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，则平面与平面所成角的夹角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式结合题目条件可得，后取中点为D，连接AD，OD，则为平面与平面所成角，即可得答案.
【详解】，由柯西不等式，
，
当且仅当时取等号，故.
取中点为D，连接AD，OD.
因,两两垂直，，
则，，.
则为平面与平面所成角，则.
故选：C

8．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.5
【详解】由柯西不等式知
，
且，所以，
且当时取到等号．
故答案为：.
9．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
10．已知实数满足：，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析
补充知识：二元柯西不等式
已知两组数；，则
已知两组数；，则
所以，所以.
11．（23-24高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可.
【详解】由题意得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，则，
所以，最小值为，此时．
故答案为：.
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解.
【详解】，
，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值为.
故答案为：
13．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ．
【答案】10
【分析】利用已知条件将，化简为，然后利用柯西不等式求解最小值即可．
【详解】由,得
所以
当且仅当,即时,等号成立,
故的最小值为10.
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强.
14．已知为锐角，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用权方和不等式：求解.
【详解】
当且仅当即，时取“”.
故答案为：
15．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以.
则的范围是：.
故答案为：
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】令，则原不等式等价于，应用柯西不等式得，再两次应用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值条件.
【详解】令，即，则，
当且仅当时等号成立，
又，
当且仅当且，即时等号成立，
综上，，即，
当时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令，应用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可.
2．已知，，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴,当且仅当时等号成立，即，
∵
，当且仅当时等号成立，可取
故答案为：9
3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.
【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，
即，
由柯西不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得：.
故答案为：
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式；
（2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值；
（3）时，由，有，由柯西不等式得，进而可得.
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：
设，则，
当且仅当时等号成立.
（2）由正四面体的体积，
将正四面体放入到棱长为为正方体中，
则,
得，所以，
又由柯西不等式得
，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
（3）对，记是的一个排列，
且满足,
由条件②得：.
于是，对任意的，
都有，
由柯西不等式得
，
所以
，
从而，对任意，，恒有，
因为对任意，，，
所以，对任意，，恒有，中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 3
题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★） 3
题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★） 3
题型三 二维柯西不等式三角型（★★★） 4
题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） 4
题型五 权方和不等式基本型（★★★★） 5
题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★） 6
题型七 权方和不等式三角型（★★★） 6
03 实战检测 分层突破验成效 6
检测Ⅰ组 重难知识巩固 6
检测Ⅱ组 创新能力提升 8
一、柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
题型一 二维柯西不等式直接使用
【技巧通法·提分快招】
1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思
1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则的最大值是 .
3．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为
题型二 二维柯西不等式变式型
1．的最小值为 ．
2．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
3．（24-25高三上·辽宁·月考）已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于 .
4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A． B． C． D．2
题型三 二维柯西不等式三角型
1．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
2．的最小值为 .
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．
题型四 三维（多维）柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
，当且仅当时，等号成立.
1．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
2．已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）若）（n为偶数），则的最小值为（ ）
A．25 B．8 C． D．
4．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
5．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．
(1)求的最小值m；
(2)证明：．
题型五 权方和不等式基本型
【技巧通法·提分快招】
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
1．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39 B．52 C．49 D．36
3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____.
4．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
题型六 权方和不等式的推广型
1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
2．已知正数，，满足，则的最小值为
3．已知，求的最小值为
题型七 权方和不等式三角型
1．函数的最小值是 .
2．已知正实数、且满足，求的最小值 .
3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．实数，，，满足，，那么的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
2．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． D．
4．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
6．（23-24高三下·山东烟台·月考）已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（23-24高三上·山西晋中·月考）已知是直角三角形三边，是斜边且.且的最小值为.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，则平面与平面所成角的夹角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．已知正实数满足，则的最小值为 ．
9．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
10．已知实数满足：，则的最小值为 .
11．（23-24高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
13．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ．
14．已知为锐角，则的最小值为 .
15．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知，，则的最小值为 .
3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.

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