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重难点培优13 导数中的整数解和几类“距离”问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 整数解问题（★★★★★） 2
题型二 距离问题一：一点一曲（直）（★★★★） 3
题型三 距离问题二：一直一曲（直）（★★★★★） 4
题型四 距离问题三：两个曲线（★★★★★） 4
题型五 距离问题四：水平点间的距离（★★★） 5
题型六 距离问题五：竖直点间的距离（★★★） 6
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题（★★★） 6
题型八 距离问题七：曼哈顿距离（★★★★） 6
03 实战检测 分层突破验成效 8
检测Ⅰ组 重难知识巩固 8
检测Ⅱ组 创新能力提升 10
1、整数解问题
整数解的个数问题,主要采用分离法(完全分离,不完全分离)或分类讨论解法,结合数形结合分清存在哪个整数解,再分别是以相邻的哪几个整数为临界判断即可.通常情况下可将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式（组）求出参数的取值范围．
2、曼哈顿距离
平面内两点的直线距离公式：若，则这两点之间的直线距离为，我们也称直线距离为欧几里得距离，或简称欧氏距离。但是，在有些实际问题中，欧氏距离并不适用，比如在纽约的曼哈顿地区，街道布局横平竖直，如果我们从如图所示的点出发，沿着街道行至目的点，则我们走过的路程长度为，我们称这样的距离为两点的折线距离，也称为曼哈顿距离（或距离，出租车距离等）
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
题型一 整数解问题
1．已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河北·月考）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二 距离问题一：一点一曲（直）
1．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖北·月考）已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．3
3．设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为 .
4．（23-24高三上·辽宁锦州·期末）已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是 ．
5．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
题型三 距离问题二：一直一曲（直）
1．（24-25高三上·福建福州·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．9
4．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为 .
题型四 距离问题三：两个曲线
1．曲线上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）．
A．d的最大值为 B．d的最大值为
C．d的最小值为 D．d的最小值为
3．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 .
4．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
5．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
题型五 距离问题四：水平点间的距离
1．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，，直线与、的图像分别交于点、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，动直线与函数的图象分别交于点，函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线相交于点，则面积的最小值是 ．
4．（23-24高三下·福建泉州·月考）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为 .
5．（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率 .
题型六 距离问题五：竖直点间的距离
1．若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为 ．
2．（2024·广西来宾·一模）已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为 .
3．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
4．，的图象与直线，交于两个不同的点，，O为坐标原点，当的面积最大时， ．
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题
1．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
2．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
3．（2024·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
题型八 距离问题七：曼哈顿距离
1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，那么称为、两点间的“曼哈顿距离”．已知为常数，动点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东揭阳·二模）在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为.例如点的“曼哈顿距离”为.已知点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ，的最小值为 .
3．（23-24高三下·广东深圳·月考）在平面直角坐标系 中，定义 为 两点之间的“折线距离”已知点 ，动点 满足 ，点是曲线上任意一点，则 的取值范围是 ．
4．曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上.
(1)若，，且，求n；
(2)已知，求的取值范围；
(3)已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值.
5．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.
(1)已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值；
(2)已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．（注：函数在内单调递增，在内单调递减）
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
单调递增 单调递减
4．（2024·四川宜宾·三模）已知曲线，直线，垂直于轴的直线分别与、交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·河南·月考）已知函数的图像分别与直线交于两点，则使得取得最小值时的为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为 .
9．已知，则的最小值为 .
10．（24-25高三上·河北·期末）过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 .
11．已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是 ．
12．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
13．已知函数，其中是自然对数的底数.设直线与曲线与分别交于两点，若对任意，均有成立，则的取值范围为 .
14．（2024·安徽淮南·一模）设直线与曲线，分别交于A，B两点，则的最小值
15．（2025·宁夏·一模）已知函数的图象与直线交于A，B两点，且在处取得极值．设，若，则的面积为 ．
16．设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 .
17．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
18．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ．
19．设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为 .
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·广东潮州·期末）设函数，已知直线与函数的图象交于两点，且的最小值为（为自然对数的底），则 ．
4．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
5．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
6．设，，则的最小值为 ．
7．（24-25高三下·福建泉州·月考）曲线，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
8．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：设是坐标平面内的两点，则两点间的曼哈顿距离为．在平面直角坐标系中，下列说法中正确的为 ．（填序号）
①若，则；②若动点满足，则的轨迹长度为；③设是坐标平面内的定点，动点满足，则的轨迹是以点为顶点的正方形；④设，点在曲线上，则的最大值为．中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优13 导数中的整数解和几类“距离”问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 整数解问题（★★★★★） 2
题型二 距离问题一：一点一曲（直）（★★★★） 8
题型三 距离问题二：一直一曲（直）（★★★★★） 11
题型四 距离问题三：两个曲线（★★★★★） 13
题型五 距离问题四：水平点间的距离（★★★） 17
题型六 距离问题五：竖直点间的距离（★★★） 21
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题（★★★） 24
题型八 距离问题七：曼哈顿距离（★★★★） 26
03 实战检测 分层突破验成效 32
检测Ⅰ组 重难知识巩固 32
检测Ⅱ组 创新能力提升 47
1、整数解问题
整数解的个数问题,主要采用分离法(完全分离,不完全分离)或分类讨论解法,结合数形结合分清存在哪个整数解,再分别是以相邻的哪几个整数为临界判断即可.通常情况下可将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式（组）求出参数的取值范围．
2、曼哈顿距离
平面内两点的直线距离公式：若，则这两点之间的直线距离为，我们也称直线距离为欧几里得距离，或简称欧氏距离。但是，在有些实际问题中，欧氏距离并不适用，比如在纽约的曼哈顿地区，街道布局横平竖直，如果我们从如图所示的点出发，沿着街道行至目的点，则我们走过的路程长度为，我们称这样的距离为两点的折线距离，也称为曼哈顿距离（或距离，出租车距离等）
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
题型一 整数解问题
1．已知函数，若不等式的整数解有且仅有两个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意当等价于，设函数，利用导数求出的最小值，再结合的图象可知当仅有两个整数解，则可求得，从而可求解.
【详解】由得：，令，则，
令，则在R上恒成立，
所以在R上单调递增，由，，
所以，使得，
当时，，即，所以单调递减，
当时，，即，所以单调递增，
所以，如图所示，因为不等式的整数解有且仅有两个，

即的整数解有且仅有两个，，，，
所以有：，解得．故B正确.
故选：B．
2．（23-24高三下·河北·月考）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】探讨函数的性质，再按分类讨论，结合正整数解的个数建立不等式组求解即得.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上单调递增，
在上单调递减，，而，当时，恒成立，
不等式，
当时，或，由，得，原不等式的整数解有无数个，不符合题意，
当时，或，由，得，无正整数解，
因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解，
3个正整数解只能是，因此，即，
所以实数的取值范围是.
故选：B
3．（24-25高三上·湖南衡阳·月考）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
不等式化为：．
令，，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，，当时，，
当时，，
当时，，当，且时，，
画出及的大致图象如下，
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为．
故，即，解得.
故选：C.
4．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把不等式转化为，令，求得，令，在上单调递增，存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合，，，，的值和题设条件，得出，求解即可.
【详解】∵，等价于.
令 则，
令，在上单调递增，
又由，，
∴存在唯一的使得，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，，，，.
所以当有且仅有三个整数解时，
有，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：B
5．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案.
【详解】原不等式可化为，设，
则直线过定点，
因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方，
又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，
∵，∴．设直线与曲线相切于点，
则有，消去a整理得，解得或，
若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去；
故，则切线的斜率为，解得．
又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，，
当时，解得，当直线绕着点旋转时，
要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.
6．（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用导数法研究函数的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画出函数的大致图象，根据图象列不等式组求解即可.
【详解】设，
则不等式即有且只有两个整数解.
因为，且，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减.
当时，，当时，，当时，，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0.
因为函数在上单调递增，，，，
则，
函数的大致图象如图
由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，
所以解得.又，所以.
故选：C.
题型二 距离问题一：一点一曲（直）
1．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值．
【详解】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键．
2．（23-24高三下·湖北·月考）已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答.
【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得，
于是直线的方程为，即，亦即，
同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，
因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值.
故选：A
3．设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为 .
【答案】2
【分析】设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.
【详解】设P（），
由yx2﹣2，得，
∴，
则C在点P处的切线方程为：，
整理得：.
∴坐标原点O到l距离d
.
当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.
∴坐标原点O到l距离的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.
4．（23-24高三上·辽宁锦州·期末）已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是 ．
【答案】3
【分析】设点，得出，从而得出点到坐标原点的距离，结合导数求出最小值即可.
【详解】设点，则有，
所以，
点到坐标原点的距离，
设，，
则，
在上，，在上，，
所以在时有最小值，
所以的最小值为.
故答案为：3
5．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 .
【答案】
【分析】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，
进而利用两点距离公式即可求出的最小值
【详解】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，
因此，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题意，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得到，进而得到，即可求出m，进而求出，属于中档题
题型三 距离问题二：一直一曲（直）
1．（24-25高三上·福建福州·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设出点的坐标，利用点到直线的距离公式列式，再构造函数并利用导数求出最小值.
【详解】依题意，设点，则点到直线的距离，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以点到直线距离最小值为.
故选：C
2．已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值.
【详解】由题可知，曲线为，
则，设，
当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值，
令，，即，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
此时的距离最小值为直线与直线的距离：.
故选：B.
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线在点处的切线与直线平行，
由，得，则或，
则动点到直线的距离的最小值为.
所以点到直线的距离的最小值为，
故选：B.
4．（24-25高三上·江苏南通·月考）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，
则两条切线的斜率为，对应的两个切点为，
切线方程为和，即和，
切线过定点，切线过定点，
所以两平行线之间距离的最大值为.
故选：C
5．已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，此时曲线上的点P到直线的距离最小.
【详解】解：由题意知，曲线，，令，得（舍），所以函数在上单调递减，在上单调递增，如下图所示，为曲线与直线在坐标系中的位置.
在点P的切线与直线平行时，此时曲线上的点P到直线的距离最小.设，则，则，解得（舍去），所以.
故答案为：
题型四 距离问题三：两个曲线
1．曲线上到直线的距离为的点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设曲线上的点坐标为，根据点到直线的距离公式得出关于的方程式，根据“三个等价”从函数图象的角度得出交点个数，进而得出结论.
【详解】设曲线上的点坐标为，点到直线的距离为，
即：，化简得：，
令，求导得：
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，又，
，使；，使；
对于函数，则有：
，单调递减；，单调递增；
，单调递减；，单调递增；
又，
与直线有两个交点，
曲线上到直线的距离为的点的个数为个.
故选：C.
2．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（ ）．
A．d的最大值为 B．d的最大值为
C．d的最小值为 D．d的最小值为
【答案】D
【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求.
【详解】由直线l的方程，得．
令，，
则．
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方．
由题设且，设直线与直线平行且与相切，
则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值，
又，
因为，，求导，得．
解，得，
因为，所以．
此时，点P到直线l的距离为，
所以d的最小值为．
故选：D．
3．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 .
【答案】
【分析】依题意可得曲线表示圆心为，半径的圆，由距离公式表示出，令，利用导数说明函数的最小值，即可求出的最小值，最后由计算可得.
【详解】曲线表示圆心为，半径的圆，
则，
令，则，
令，则，
所以单调递增，又，
所以当时，即，即在上单调递减，
当时，即，即在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，即，
所以，
所以.
故答案为：
4．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先分析曲线与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为，若不存在交点，则问题转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离.
【详解】因为，所以与没有公共点，
则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍．
设为上的一点，
因，则过点的切线斜率为，
令，则，
故是递增函数，且当时，，
则存在唯一解，此时过点的切线与平行，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离，
即，
所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为．
故答案为：.
5．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可.
【详解】易证，（）. (后续提供证明)，所以，，
由不等式的性质知，当且仅当时取等号，
结合已知可得，此时，即点在直线上运动.
设与平行的直线与相切于点，令得，
故切点为，由图知其到直线的距离即为的最小值．
下证：，（）.
证明：设，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
故，即得证.
又设，则，当时，，
当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减.
故，即得证.
故答案为：.
题型五 距离问题四：水平点间的距离
1．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将两个函数作差，得到函数，再求出函数的最小值即可求出结果.
【详解】设，
则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
故选：D.
2．设函数，，直线与、的图像分别交于点、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的最小值.
【详解】解：设，，则，
由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得最小值.
故选：D.
3．已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，动直线与函数的图象分别交于点，函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线相交于点，则面积的最小值是 ．
【答案】2
【分析】先利用两个函数对称求出解析式，再利用导数求函数的切线方程，利用基本不等式可求答案.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以，所以，
，
所以直线：，即；
直线：即.
联立，得，
所以点到 的距离为，
设的面积为，则，
令，则，
，当且仅当，即时，取到等号.
故答案为：2
4．（23-24高三下·福建泉州·月考）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设，，，，写出直线方程求得点纵坐标后，求出，然后利用导数求得最小值．
【详解】由题意，，设，，，，
直线方程为，令，得，
直线方程为，令，得，
，
设，则，
得，
时，，时，，
∴在上递减，在上递增，
时，，
所以．
故答案为：．
5．（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线的左 右顶点分别为，直线与双曲线交于不同的两点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】设，则，求得，得到，令，得到，求得，得出函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，
设，则，且，所以，则，
令，则，则，
可得在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，最小，此时.
故答案为：.
【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
题型六 距离问题五：竖直点间的距离
1．若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】，其中.
【分析】设，，则，再通过导函数分析其单调性即可求解最小值．
【详解】设，，则，故，，，.
故，
设，
则在区间上为增函数，且当时，，且，
故在区间上存在使得，即，故
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故有最小值，其中
故答案为：，其中.
2．（2024·广西来宾·一模）已知函数，动直线与的图象分别交于A，B两点，曲线在点A和点B的两条切线相交于点C，当为直角三角形时，它的面积为 .
【答案】1
【分析】根据题意，可得是偶函数，则关于轴对称，C在轴上，设，不妨设点在轴右侧，利用导数的几何意义求出，根据直线与直线垂直，可求得，再求出切线的方程得点坐标，求出.
【详解】由，，
又，所以函数是偶函数.
如图，由对称性可得直线与图象的交点关于轴对称，曲线在点A和点B的两条切线的交点C在轴上，
设，不妨设点在轴右侧，则，即，得，
又，所以曲线在点处切线的斜率为，由对称性得，
，解得，即.
所以切线的方程为，令，解得，
，.
故答案为：1.

【点睛】思路点睛：先证明函数是偶函数，由对称性可得关于轴对称，C在轴上，设出，根据，求出，再求出切线的方程求得点坐标，进而求出三角形的面积.
3．（2025·浙江金华·二模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 .
【答案】/
【分析】切线平行得到，再结合切线方程得到点坐标，进而可求解.
【详解】
，
因为，
所以，又，
所以，
所以切线方程： ，
切线方程： ，
将，代入，可得：，
又，
所以，
所以点坐标为
所以，
又，
所以，
故答案为：
4．，的图象与直线，交于两个不同的点，，O为坐标原点，当的面积最大时， ．
【答案】
【分析】表示出，然后求导判断即可.
【详解】
如图所示，，，
如图：
令， 则；
令，则
所以S在单调递增，在单调递减.
当的面积取最大值时，，
即，所以．
因为，．
故答案为：
题型七 距离问题六：与反函数有关的距离问题
1．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，然后利用与互为反函数，结合反函数的性质求解即可
【详解】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以所求的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的2倍，
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，由，得，
所以切点，
所以点到直线的最小距离为，
所以的最小值为，
故答案为：
2．（2025·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ，最小值为 ．
【答案】
【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解.
【详解】由可得，，即，
所以函数，互为反函数，图象关于直线对称，
因直线互相垂直，
所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍，
因为，
令，
则，当时，，
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值3，
此时，
故答案为：
3．（2024·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
【答案】
【分析】根据“镜像距离”的定义将问题转化为求函数上的点到曲线上的点的距离的最小值，再利用对称性求得与上的点的最小值，即可得出答案.
【详解】设，，
易知函数的反函数为，
由点在曲线上可知点在函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍.
由，得，令，解得，
又点到直线的距离，
所以的“镜像距离”的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“镜像距离”的定义转化为一对反函数上的两点最小距离的问题，再利用反函数对称性求得与对称轴平行的切线方程，即可得出“镜像距离”的最小值.
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.
【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：
①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；
②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.
题型八 距离问题七：曼哈顿距离
1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，那么称为、两点间的“曼哈顿距离”．已知为常数，动点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据新定义构造分段函数，分段分析即可得到函数的最小值.
【详解】由题意得，，令，则，，
令，则，
当时，在上单调递减，故当时，取到最小值；
当，，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，故当时，取到最小值，
综上，的最小值．
故选：A．
2．（2025·广东揭阳·二模）在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为.例如点的“曼哈顿距离”为.已知点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ，的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合“曼哈顿距离”定义列出方程，然后构造函数，利用导数求得函数的最值，即可得到结果.
【详解】设函数上与直线平行的切线的切点坐标为，
则，解得，所以切点为，
即切线方程为，即，
则的最小值为直线与直线间的距离，
即；
设，则，
将看成关于的函数，则在或时，取得最小值，
当时，令，
则，令，解得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以时，，即；
当时，则，令，
则，令，解得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，；
综上所述，.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义内容，难度较大，解答本题的关键在于理解“曼哈顿距离”，然后结合导数知识解答.
3．（23-24高三下·广东深圳·月考）在平面直角坐标系 中，定义 为 两点之间的“折线距离”已知点 ，动点 满足 ，点是曲线上任意一点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定点满足的解析式，根据“折线距离”的定义结合导数求最值.
【详解】设，，
当，时，则，即，则
当，时，则，即，易知，则，
当，时，则，即，则
当，时，则，即，易知则，
综上： ，
设，易得，
则
设，，
则即在单调递增，在单调递减，则，即，
由，可得 .
故答案为：
4．曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上.
(1)若，，且，求n；
(2)已知，求的取值范围；
(3)已知点，为的中点，记的最大值为，求的最小值.
【答案】(1)或；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义即可得到；
（2）根据曼哈顿距离的定义得，再分类讨论去绝对值，然后通过导数分析在的单调性即可求解；
（3）根据曼哈顿距离的定义得，去绝对值，构造函数利用导数分析单调性即可求解.
【详解】（1）由题意，得，
从而可得，即，解得或；
（2）设，则，
①当时，，
令，则，
所以在单调递增，从而；
②当时，则，
令，则，
所以在单调递减，从而，
综上，可得的取值范围为．
（3）设，，K为MN的中点，则，，
所以，
，
令（），则，
所以在单调递增，故；
令（），则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
故；
从而，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
【点睛】根据题意曼哈顿距离的定义理解列式，再结合绝对值和导数分析函数单调性来解决.
5．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离.
(1)已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值；
(2)已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．（注：函数在内单调递增，在内单调递减）
【答案】(1)2；1
(2)5
(3)
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到的最大值；
（3）根据题意，令，然后分别构造函数，即可得到，从而得到结果.
【详解】（1），
则，即的最小值为2；
，
则，即的最小值为1.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为5.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取得最小值，
故的最小值
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新概念问题，难度较大，解答问题的关键在于理解题中曼哈顿距离的定义，然后转化为所学知识求解问题.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点，根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】令，则，
设该曲线在点处的切线为，
需求曲线到直线的距离最小，必有该切线的斜率为2，
所以，解得，则切点为，
故切线的方程为，即，
所以直线到直线的距离为，
即该曲线上的点到直线的最小距离为.
故选：C
2．与已知直线平行的直线是曲线的切线，当切线与已知直线距离最大时，切点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，借助点到直线距离判断即可.
【详解】设切点坐标为，求导得，
依题意，，即，解得或，
则切点坐标为或，切线与直线的距离即切点到该直线距离，
当切点为时，，
当切点为时，，
由，即点到直线的距离最大.
故选：D
3．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去），
单调递增 单调递减
设，，所以图象向上凹，
如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则，
即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，
，所以切点在直线的左侧，
曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
故选：A
4．（2024·四川宜宾·三模）已知曲线，直线，垂直于轴的直线分别与、交于、两点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线的方程为，其中，求出点、的坐标，可得出，利用导数求出函数的最小值，即为所求.
【详解】设直线的方程为，其中，
由可得，即点，由可得，则，
由图象可知，，令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
故选：D.
5．（23-24高三上·河南·月考）已知函数的图像分别与直线交于两点，则使得取得最小值时的为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别将函数和直线联立得到坐标，，
则，设，利用导函数求最值即可.
【详解】因为函数的图像分别与直线交于两点，所以，
由解得点坐标为，由解得点坐标为，
所以，
设，则，
令得，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即恒成立，
所以，
故选：D.
6．已知点M与点N分别在函数与图象上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，结合图象得出最小值时的条件，求出的坐标即可求解.
【详解】根据反函数的性质，函数的图象与函数的图象关于直线对称，
结合图象可知，当直线与直线垂直，且处两函数图象的切线均与直线平行时，最小.设，，因为，，
所以，，则有，所以，即点，
，所以，即点，此时，即的最小值为.
故选：C.
7．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导，求得的单调区间，作出的图象，分类讨论求得的解集，结合图象可得的取值范围为.
【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，
所以的递增区间为，递减区间为和，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，
由的递增区间为，所以，
所以要使有三个整数解，则，
所以关于的不等式有且仅有三个整数解，
则的取值范围为.
故选：A.
8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为 .
【答案】/
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，
则两条切线的斜率为，对应的两个切点为，
切线方程为和，即和，
切线过定点，切线过定点，
所以两平行线之间距离的最大值为.
故答案为：.
9．已知，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】由题意知，点在曲线上，点在直线上，由两点之间距离公式得，故可知的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后利用导数求出曲线的切点，最后利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为，
所以点在曲线上，
因为，
所以点在直线上，
所以，
所以，
如图所示，的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，
由得，，
因为与平行的切线斜率为，
解得（舍去）或，
把代入，得，
所以切点为，
切点到直线的距离为：，
所以，
所以的最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了代数和的最小值的求法，解题的关键是分析出的最小值就是曲线与直线之间最小距离的平方，然后需要利用导数求切点以及点到直线的距离公式.
10．（24-25高三上·河北·期末）过直线上一点M引抛物线的两条切线为切点，抛物线焦点为F，则F到距离的最大值为 .
【答案】
【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线和方程，然后将代入两式得到直线所过定点，再利用两点间距离公式求出结果即可；
【详解】
设，，，则，
方程：化为，
同理方程：，将代入两式：，.
故，都在直线上，
而代入化为：
此为直线方程，恒过点，焦点，即为F到距离最大值.
故答案为：.
11．已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过求导得出函数的单调性和最值，进而画出函数图象.然后对参数进行分类讨论，根据不同的取值范围求解不等式，再结合函数性质和整数解的条件确定的取值范围.
【详解】解：由，
令，解得：，令，解得：，
的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；
时，时，，
故在时，，在时，，函数的图象如下：
①时，不等式化为，无整数解，不合题意；
②时，由不等式得，无整数解；
③时，由不等式，得或，
而时，没有整数解，进而的解集整数解只有一个，
且在递增，在递减，
而，这一个正整数只能为3，
所以，即；
综上，a的取值范围是．
故答案为：.
12．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据函数关系，找出得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达式单调性,求出最小值.
【详解】易知点在函数上,
设,化简得,即
则点在以为圆心,半径为1的圆周上,
如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可.
设圆心为,可知,
设函数,求导得
易知为单调增函数,且,
所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增,
在上有最小值,最小值,
所以的最小值为.
故答案为: .
13．已知函数，其中是自然对数的底数.设直线与曲线与分别交于两点，若对任意，均有成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】把直线分别与曲线与的交点代入函数中，则由得，构造新函数，使，均有成立问题转化为即可.
【详解】，且直线与曲线与分别交于两点，
则，
，
，
当时，令，
则，
由函数和（差）的单调性知在区间上单调递增且有，
故当时，，当时，，
函数在区间单调递减，在单调递增，
当时，函数有极小值也是最小值，最小值为.
对任意，均有成立，化为.
故答案为：
【点睛】本题的关键在于从直线与两曲线的交点中解出，再构造新函数，把问题转化为求此函数的最值.
14．（2024·安徽淮南·一模）设直线与曲线，分别交于A，B两点，则的最小值
【答案】4
【分析】由题意，设，求得.令，可知，使得，即可得出的单调性，进而根据得到，代入得出最小值.
【详解】设，定义域为，
则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增.
又，，所以，使得，即.且当时，有，则，所以在上单调递减；当时，有，则，所以在上单调递增.
所以，在处有唯一极小值，也是最小值，
因为，所以，所以.
所以，的最小值为4.
故答案为：4.
15．（2025·宁夏·一模）已知函数的图象与直线交于A，B两点，且在处取得极值．设，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】令，研究的奇偶性、单调性并确定各区间的函数值符号，画出其大致图象，根据与的平移关系，结合函数图象及极值定义求三角形面积.
【详解】令，显然定义域为，
由，故为偶函数，
由，在、上单调递减，在、上单调递增，
且、上，上，
在区间内趋向时趋向正无穷，在、内趋向时趋向负无穷，
显然在处取得极小值，为，故的大致图象如下，
根据与的平移关系，若与的交点，则，极值点，
当，结合对称性易知，，又，
所以.
故答案为：
16．设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】设，则，进而，表示到的距离平方，结合导数的几何意义求出即可.
【详解】由题意知，设，
由，得，
得，即，
所以，
即，
表示点到点的距离平方，
其中在曲线上，在直线上，
的最小值为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离.
设切点，则，
解得，即切点为，所以，
则，得，
即点M到原点O的距离最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为点到点的距离平方的最小值，利用导数的几何意义求解即可.
17．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解.
【详解】由不等式，可得化为，
令且，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也为最大值，
且当时，，
画出函数的图象，如图所示，
又由直线恒过定点，
当直线位于如图所示的两条直线和之间，
其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
18．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.
【详解】解：令，则，，．
因为与关于直线对称，
所以函数与函数关于直线对称，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，
函数在点处的切线斜率为，
令得，，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为．
故答案为：.
19．设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】由题意可得表达式，对其求导并令导数为0，分类讨论可得结果.
【详解】解：设，，
由题意知折线距离，
由于点Q在双曲线上，且，
要求的最小值，结合曲线的对称性，此时，
所以，，
①当时，即，
将y代入折线距离公式，得到
对求导，
令，解得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，当时，取得最小值，最小值为3；
②当时，即，
将y代入折线距离公式，得到，
对求导，
所以当时，单调递增，
③当时，，；
综上取得最小值，最小值为
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式可求的取值范围.
【详解】由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时,，即递增，
时，，即递减，
当时，，当时，，当时，，
当时，，当，且时，，
而恒过，函数图象如下：
要使有且只有两个整数解，
则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，，
所以，即，
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. （4）考查数形结合思想的应用．
2．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】令，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线；
由关于x的不等式，
可知，当时，，即有；
当时，，即有；
作出函数图象如图：
要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个，
显然不能满足题意，故需满足，即，
解得，即的取值范围为，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.
3．（23-24高三上·广东潮州·期末）设函数，已知直线与函数的图象交于两点，且的最小值为（为自然对数的底），则 ．
【答案】
【分析】分段求出函数的值域，画出图象，可得，设，则，，分与讨论求出的最小值，列方程即可求解.
【详解】当时，；当时，.
作出的图象如图所示：
由图可得，设，
不妨设，则，
故，所以.
令，则，为单调递增函数，
当，即时，，所以在上单调递减，
所以，解得，舍去；
当，即时，单调递增，且，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
5．已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可.
【详解】易证，（）. (后续提供证明)，所以，，
由不等式的性质知，当且仅当时取等号，
结合已知可得，此时，即点在直线上运动.
设与平行的直线与相切于点，令得，
故切点为，由图知其到直线的距离即为的最小值．
下证：，（）.
证明：设，则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
故，即得证.
又设，则，当时，，
当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减.
故，即得证.
故答案为：.
6．设，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求图像上的动点与图像上的动点最小距离，利用与关于的对称性，分别求出切点，则即为所求最小值.
【详解】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离，
而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称，
所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离，
显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
对于，设切点为，有，则，故，则，故，
所以，所以题设式子的最小值为.
故答案为：.
7．（24-25高三下·福建泉州·月考）曲线，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，则原点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，写出抛物线在点处的切线方程，利用都经过点，求得直线的方程，利用点到直线的距离求出的表达式，结合二次函数的图象性质即可求得的最大值.
【详解】
如图，设，
依题意，抛物线在点处的切线斜率为，
故其方程为，整理得：，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
因这两条切线都过点，故有，即，
由此可得点都满足方程，
即直线的方程为，
于是原点到直线的距离（*），
因点在直线上，故，
代入（*），整理得：，
当时，，不符合题意；当时，，
设，则得，
故当，即时，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题关键在于如何求得直线的方程，可先利用导数写出抛物线在点处的切线方程，根据切线都经过点的条件，运用同构思想，即得直线的方程.
8．“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：设是坐标平面内的两点，则两点间的曼哈顿距离为．在平面直角坐标系中，下列说法中正确的为 ．（填序号）
①若，则；②若动点满足，则的轨迹长度为；③设是坐标平面内的定点，动点满足，则的轨迹是以点为顶点的正方形；④设，点在曲线上，则的最大值为．
【答案】①②③
【分析】根据距离新定义求判断①；设，根据已知有，应用分类讨论研究点的轨迹，数形结合求轨迹长度判断②；设，根据已知有，同②分析确定轨迹形状判断③；由题意知，分区间讨论研究右侧的单调性求最大值判断④.
【详解】对于①，，正确．
对于②，设，因为，所以．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
作点的轨迹，如图中正方形，则的轨迹长度为，正确．
对于③，设，因为，所以．
当时，，
当时，，显然两直线垂直，且交点为．
当时，，与垂直，交点为．
当，时，，与垂直，交点为，
与垂直，交点为．
因为这些交点围成的四边形的各邻边相互垂直，
所以的轨迹是以点，为顶点的正方形，正确．
对于④，由题意知，
记，
当时，，
此时单调递减，则，此时；
当时，，，
此时单调递增，则，此时．
因为，故，错误．
故答案为：①②③

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