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重难点培优14 导数中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 曲率问题（★★★★★） 2
题型二 牛顿法（★★★★） 3
题型三 凹凸函数（★★★） 5
题型四 拐点、不动点、稳定点（★★★★★） 7
题型五 二元函数（★★★） 9
题型六 切线相关新定义问题（★★★★） 10
题型七 其他导数新概念定义（★★★★★） 12
题型八 其他导数新运算定义（★★★★） 13
题型九 其他导数新性质定义（★★★★★） 14
03 实战检测 分层突破验成效 15
检测Ⅰ组 重难知识巩固 15
检测Ⅱ组 创新能力提升 22
一、新定义问题的解题思路
1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。
2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。
3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。
二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步
1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
三、导数新定义问题的方法和技巧
1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
题型一 曲率问题
1．（24-25高三下·广东东莞·月考）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 .
2．（23-24高三下·河南·月考）（多选题）定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数在处的曲率半径为1
C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2
D．若曲线在处的弯曲程度相同，则
3．（24-25高三上·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)若函数，求曲线在点处的曲率.
(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.
题型二 牛顿法
1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（ ）

A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为
C．
D．
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
(1)根据牛顿迭代法，求；
(2)求与的关系式；
(3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．
3．（24-25高三上·安徽六安·月考）从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.

(1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)；
(2)如图，设函数；
(i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释
(ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和.
题型三 凹凸函数
1．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.

关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
2．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数的凹凸性；
(2)在锐角中，求的最小值；
(3)若个正数满足，证明:.
题型四 拐点、不动点、稳定点
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
2．（24-25高三上·山东烟台·期中）（多选题）设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
3．（24-25高三上·湖南娄底·期末）（多选题）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，求函数的不动点的个数．
5．（23-24高三下·陕西西安·月考）“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
已知曲线C：.
(1)求C的拐点坐标；
(2)证明：C关于其拐点对称；
(3)设为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
6．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
(1)若既有极大值又有极小值，求m的取值范围；
(2)当时，①求的对称中心；
②计算的值.
7．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
8．（23-24高三下·重庆·月考）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点．
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数．
题型五 二元函数
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
3．（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件．
(1)求的值；
(2)当时，比较和0的大小；
(3)若为的极大值点，求的取值范围．
附：参考公式：


题型六 切线相关新定义问题
1．已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
2．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由;
(3)当时，求证：函数为“函数”.
3．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
(1)当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”.
(1)若，求其“上切线”的方程；
(2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围；
(3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”.
5．（24-25高三上·江苏苏州·月考）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
(1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
(2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
(3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.
题型七 其他导数新概念定义
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
2．意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
3．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线.
(1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程；
(2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线.
4．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”．
(1)判断是否为的“－函数”，并证明；
(2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）；
(3)若，，，，证明：是的“－函数”．
题型八 其他导数新运算定义
1．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
2．（2025·河北·模拟预测）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
(1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
(3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
3．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数）
(1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值.
题型九 其他导数新性质定义
1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.
2．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①；②；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①；②；③；
(3)且，，恒成立.
①直接写出解析式；
②求的取值范围.
3．阅读下列材料：
定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i）且；
（ii）对于任意的，有；
（iii）．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差．
(3)若函数，证明：．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
3．（23-24高三上·江西·月考）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）（多选题）琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，有
B．若，有
C．若，则
D．若，则
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）（多选题）假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A．直线与曲线双切
B．直线与曲线单切
C．直线与曲线交切
D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切
6．（24-25高三上·辽宁·期中）（多选题）设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ）
A．若有极值点，则
B．若当时，有极值，则对应的拐点为或
C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为
D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则
7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ）
A．函数在无数个点处的曲率为1
B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同
C．函数的曲率恒为1
D．若函数在与处的曲率半径相同，则
8．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
9．（24-25高三下·江苏·月考）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.
(1)求曲线在处的曲率；
(2)已知正弦曲线，
①求的曲率的平方的最大值；
②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.
11．（24-25高三上·湖北·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数，的凹凸性；
(2)在中，求证：；
(3)若个正实数满足，求证：.
12．已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
（3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
13．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，函数只有两个零点；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求.
14．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
15．（24-25高三上·福建漳州·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
16．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
17．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
18．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）在数学中， 布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础， 得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔． 具体来说就是： 对于满足定义域为 的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点． 已知 且，函数 ．
(1)若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点；
(2)设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围．
19．（24-25高三上·河南·月考）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)证明：对任意，，不等式恒成立；
(2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称：
(3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：.
20．（2025·四川南充·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令.
(1)当时，求的近似解，；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和；
(3)当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：.
21．（24-25高三上·广西·月考）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，.
(1)试探究集合和的关系，并证明你的结论.
(2)函数.
①若的“不动点”有两个，求的取值范围；
②若（），讨论集合的子集的个数.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
2．（2025·云南·模拟预测）定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”．
(1)若为“函数”，求实数的取值范围；
(2)已知函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：为“函数”．
3．（24-25高三上·山东泰安·月考）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
4．（24-25高三上·河南·期中）已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数.
(1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由；
(2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，为“切线上界”函数.
5．（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”．
(1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
(2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值；
(3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数．
6．（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优14 导数中的新定义问题
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 2
题型一 曲率问题（★★★★★） 2
题型二 牛顿法（★★★★） 7
题型三 凹凸函数（★★★） 11
题型四 拐点、不动点、稳定点（★★★★★） 15
题型五 二元函数（★★★） 26
题型六 切线相关新定义问题（★★★★） 33
题型七 其他导数新概念定义（★★★★★） 45
题型八 其他导数新运算定义（★★★★） 52
题型九 其他导数新性质定义（★★★★★） 59
03 实战检测 分层突破验成效 64
检测Ⅰ组 重难知识巩固 64
检测Ⅱ组 创新能力提升 99
一、新定义问题的解题思路
1、深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。
2、转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。
3、代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。
二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步
1、对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
2、对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
三、导数新定义问题的方法和技巧
1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
题型一 曲率问题
1．（24-25高三下·广东东莞·月考）类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为 .
【答案】
【分析】由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可.
【详解】由题意，因为在第一象限，所以，
则，记，
则，
故，，故.
故答案为：
2．（23-24高三下·河南·月考）（多选题）定义函数的曲率函数（是的导函数），函数在处的曲率半径为该点处曲率的倒数，曲率半径是函数图象在该点处曲率圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线在各点处的曲率均不为0，则曲率越大，曲率圆越小
B．函数在处的曲率半径为1
C．若圆为函数的一个曲率圆，则圆半径的最小值为2
D．若曲线在处的弯曲程度相同，则
【答案】ABD
【分析】直接根据倒数的性质即知A正确；直接根据曲率半径的定义计算函数在处的曲率，再取倒数得到曲率半径即可判断B正确；使用三元均值不等式可以证明函数的曲率圆的半径一定大于2，从而C错误；设，，然后将条件转化为关于的等式，再使用基本不等式进行处理，即可证明D正确.
【详解】对于A，若曲线在各点处的曲率均不为0，显然，由知，
由于曲线在处的曲率为，曲率圆的半径为，
所以曲率圆的半径等于曲率的倒数. 而曲率大于0，所以曲率越大，曲率圆越小，A正确；
对于B，若，直接计算知，所以，
从而函数在处的曲率为1，从而函数在处的曲率半径为1的倒数，即1，B正确；
对于C，若，直接计算知，这里.
所以处的曲率圆半径，
从而我们有，
所以圆的半径一定大于2，不可能以2为最小值，C错误；
对于D，若，在C选项的过程中已经计算得知，
现在如果曲线在处的弯曲程度相同，则，故，
所以，即.
设，，则，，，将两边展开，
得到，从而.
故，而，
故，这意味着，从而.
定义函数，则，由于，函数在上递增，
故，所以，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：在适当的时候使用均值不等式是解决本题C，D选项的关键.
3．（24-25高三上·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)若函数，求曲线在点处的曲率.
(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据公式可求曲率；
（2）求出函数的一阶导数和二阶导数后根据曲率公式可证曲率为常数；
（3）根据曲率定义结合题设条件可得，设，利用导数讨论其单调性后可求参数的范围.
【详解】（1）因为，所以，
则，故曲线在点处的曲率.
（2）证明：因为，所以.
，
则，
故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
（3）因为，
所以，
则，
则，即.
令，则，
即存在，使得不等式成立.
令，
则0在上恒成立，
则在上单调递减，
则，解得或，
故的取值范围为.
【点睛】思路点睛：函数新定义问题，应该根据新定义计算即可，而不等式的恒成立问题，可利用导数讨论其单调性后得到关于参数的不等式，从而可求参数的取值范围.
题型二 牛顿法
1．（24-25高三上·湖北·期中）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的第一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的第二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列正确的是（ ）

A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.
【详解】解：构造函数，则，
取初始近似值，，，
则，即，则A错误；
，，B错误；
根据题意，可知，
上述式子相加，得，
所以，C不正确，则D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛《解答本题的关键是理解牛顿迭代法的含义，并根据其含义去解决问题.
2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处作一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取．
(1)根据牛顿迭代法，求；
(2)求与的关系式；
(3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得在处的切线方程，计算切线与轴交点的横坐标即可求得；
（2）求出函数在处的切线方程，再求出切线与轴交点的横坐标即可得与的关系式；
（3）根据题意求出函数在处的切线方程为，即证明可得出结论.
【详解】（1），，，
当时，，，
因此切线，
当时，可得；
（2）当切点为时切线方程为：.
当时，可得：
，
即；
（3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为.
①先证：当的图象恒在切线的上方，
即当时，，即.
令，则，
易知，令，
可得，易知，
在单调递减，在单调递增，
又，，，
存在使得，
在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又，
当时，，即，即.
②下证：.
即，即.
令，
则，则在单调递减，在单调递增，
又，
显然当时，恒成立，即恒成立，
由①②可得.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用牛顿迭代法中蕴含的“以直代曲”的数学思想，求出函数在处的切线方程，分别证明在切线的两侧即可得出结论.
3．（24-25高三上·安徽六安·月考）从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.

(1)设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)；
(2)如图，设函数；
(i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释
(ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和.
【答案】(1)
(2)(i)答案见解析；(ii)
【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值；
（2）（i）设，则，由求得处的切线方程，得到即可；
(ii)再根据得，从而，再结合等比数列的求和公式求解即可；
【详解】（1）由函数，则，切线斜率，，
那么在点处的切线方程为，
所以，且，
那么在点处的切线方程为，
所以，且，
故用牛顿法求方程满足精度的近似解为；
（2）(i)设，则，
因为，所以，
则处切线为，
切线与轴相交得，即为定值，
根据牛顿法，此函数没有零点；
(ii)因为得，
所以，，
所以，
.
故所得前个三角形的面积和为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据，再结合牛顿法得到.
题型三 凹凸函数
1．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.

关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)图象是凸的，证明见解析；
(2)的凹的区间为，的凸的区间为.
(3).
【分析】（1）求以及，判断的正负可证明；
（2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间；
（3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围.
【详解】（1）的图象是凸的.
因为，，
又，所以，所以图象是凸的.
（2）因为函数，所以的定义域为，
，，
令，则，令，则，
故的凹的区间为，的凸的区间为.
（3）由题意可知，定义域为，
且等价于，
令，，，，
则，，
，当时，，当时，，
时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
则，，
若恒成立，则，解得：.
2．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数的凹凸性；
(2)在锐角中，求的最小值；
(3)若个正数满足，证明:.
【答案】(1)凹函数
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数凹凸性的定义判断的符号即可；
（2）应用（1）函数的凹凸性，结合琴生不等式可求得最小值；
（3）构造函数，判断函数的凹凸性，再应用琴生不等式即可证得.
【详解】（1）
所以，，
所以函数在上为凹函数.
（2）由1）知，函数在上为凹函数，
由琴生不等式得，，
即（当且仅当时等号成立）.
因此在锐角中，的最小值.
（3）构造函数，
因为，，
所以函数在上为凹函数.
因为正数满足，
所以
由琴生不等式得，
（当且仅当时等号成立），
所以
所以
所以
题型四 拐点、不动点、稳定点
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选题）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．， B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
【答案】AB
【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可以得到参数的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案.
【详解】由，可得，，
令，得，
因为函数图象的对称中心为，
因此，解得，，故选项A正确；
由以上过程可知，，
且当或时，；当时，.
于是在和上都是增函数，在上是减函数，
故选项D错误；
因为关于点对称，
所以的极大值与极小值之和为，故选项B正确；
因为函数极小值，
由三次函数的性质知，只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
2．（24-25高三上·山东烟台·期中）（多选题）设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A．任何一个三次函数均有“拐点”
B．函数为区间上的“上凸函数”
C．若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D．若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
【答案】ABD
【分析】对于A 选项：运用拐点概念计算即可；
对于B 选项：对求导，，借助导数研究函数在区间上单调性可判断；
对于C 选项，求导得到，再求导令，得拐点，因为“拐点”在轴右侧，得到.进而得到的递减区间判断即可；
对于D 选项：根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出,可判断.
【详解】对于A 选项：对于三次函数， ，
再求导得到.令，则，解得，
所以任何一个三次函数均有“拐点”，A 选项正确.
对于B 选项：，，
.
当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B 选项正确.
对于C 选项：，，.
令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.
令可得，所以，
的递减区间是，C 选项错误.
对于D 选项：，
，.
令，即在有解.即则有正解.
则，解得.
并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.
恒成立.恒成立，,即，
即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.
故选：ABD.
3．（24-25高三上·湖南娄底·期末）（多选题）已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；再设，对其求导，求出单调性得出m取值范围，再根据题意即可求出的范围，判断C和D即可.
【详解】因为在R上的不动点集为，
所以，
即方程在R上存在3个实数根，，，
所以
，
从而，所以A正确，B错误；
令，则，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，解得.
因为，
所以C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（或方程的根）的问题的方法
（1）直接法，对函数求导，求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质结合零点存在定理求解：
（2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题．
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，求函数的不动点的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)个
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求出函数最小值即可证明；
（2）将代入函数解析式，得方程解的个数即为函数的不动点的个数，构造函数，对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，即相应点的函数值，求出函数零点的个数，即为函数的不动点的个数．
【详解】（1）当时，有，
所以，
所以
当且仅当，，即时，等号成立.，
所以当时，，单调递增，
所以，所以得证.
（2）当时，，
根据题意可知：方程解的个数即为函数的不动点的个数，
化为，令，
所以函数大于等于的零点个数，即为函数的不动点的个数，
，令，即，解得，
单调递减 单调递增
因为，，
所以在上有唯一一个零点设为，
又，
所以在上有唯一一个零点设为，
综上所述，函数有两个不动点，.
5．（23-24高三下·陕西西安·月考）“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
已知曲线C：.
(1)求C的拐点坐标；
(2)证明：C关于其拐点对称；
(3)设为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）通过导数，计算函数在定义域上的单调性，并算出极值点即可；
（2）通过证明对称方程即可；
（3）求出拐点处的切线方程，设平行于直线的方程，并与原方程联立证明一个解即可.
【详解】（1）设，则.
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故是的极小值点，且为唯一极值点.
所以曲线：的拐点为，即.
（2）因为.
所以：关于其拐点对称.
（3）因为C在拐点处的切线方程为：.
设平行于的直线方程为，
并与C的方程联立有.
设，
则，
则在上单调递增.
因为，
故当时，与C有唯一公共点.
当时，，且，，
故存在唯一，使得，
此时与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
当时，，且，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
综上，所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
【点睛】思路点睛：该题可从以下方面入手：
（1）利用导数求函数在定义域上的单调性，并算出极值点，即为拐点；
（2）若曲线关于拐点对称，则只需证明对称方程满足即可；
（3）求出在拐点处的切线方程，设平行于切线的方程，并与原方程联立，关键通过构建函数，利用导数证明唯一解.
6．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数（称为的二阶导数），若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
(1)若既有极大值又有极小值，求m的取值范围；
(2)当时，①求的对称中心；
②计算的值.
【答案】(1)或.
(2)①；②2024
【分析】（1）根据极值点概念，借助导数计算即可；
（2）①当时，，两次求导，根据拐点概念和性质得到对称中心为.②根据对称中心，得到，再赋值计算即可.
【详解】（1），∴.
∵既有极大值又有极小值，∴有两个不相等的实数根，
∴，∴或.
（2）①当时，，
∴，.
令得，
又，∴的对称中心为.
②∵的对称中心为，∴，
∴
.
7．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
答案见解析
【分析】（1）令，求导，可得函数的单调性，进而可得函数有唯一零点，可得结论；
（2）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数.，进而可得集合的子集的个数.
【详解】（1）令，求导得，
令，可得，
当，，当，，
所以，所以有唯一零点，
所以集合中有且仅有一个元素；
（2）当时，由函数，
可得导函数，所以在上单调递增，
由反函数的知识，稳定点在原函数与反函数的交点上，
即稳定点与的不动点等价，
故只需研究的不动点即可；
令，
则，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，
当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，
且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
②当时，即时，，
当趋向无穷大时，趋近于0，此时，
存在唯一，使得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，
当趋近于0时，趋向于负无穷大，当向正无穷大时，趋向负无穷大时，
设，则在上单调递增，
且，
又在时单调递增，
故（i）当时，即，
此时，方程有一个解，即有唯一不动点，所以集合的子集有2个；
（ii）当，即，
此时，方程无解，即无不动点，所以集合的子集有1个；
（iii）当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点，所以集合的子集有4个；
综上，当时或时，集合的子集有2个；
当时，集合的子集有1个；
当时，集合的子集有4个.
【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根（或函数零点）的个数问题．注意分类讨论思想的应用．
8．（23-24高三下·重庆·月考）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点．
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数．
【答案】(1)1
(2)证明见解析；
(3)答案见解析
【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案；
（2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论；
（3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数.
【详解】（1）设，则恒成立，
故函数在R上单调递增，
又，故函数在R上有唯一零点，
即有唯一不动点1．
（2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，
则，即为函数的稳定点，充分性成立；
必要性：设为函数的稳定点，即．
假设，而在定义域内单调递增，
若，则，与矛盾；
若，则，与矛盾；
故必有，即
即，故为函数的不动点，
综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件．
（3）当时，函数在上单调递增，
由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；
令，
则，
则在上单调递减，
当时，恒成立，即在上单调递增，
当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
当时，即时，
当x趋向无穷大时，趋近于0，此时
存在唯一
使得，
此时f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故，
当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，
设，则在上单调递增，且
又
在时单调递增，
故（i）当时，即
此时，方程有一个解，即有唯一不动点；
（ii）当时，即
此时，方程无解，即无不动点；
（iii）当时，即
此时，方程有两个解，即有两个不动点；
综上，当时或时，有唯一稳定点；
当时，无稳定点；
当时，有两个稳定点．
【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力.
题型五 二元函数
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最小值.
【详解】（1）函数，对变量求导得：，
当时，.
（2）令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于x的方程：，则，解得，
视为关于y的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为.
（3）①由，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以.
②当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值4.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
2．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数.
(1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数.
(2)求值：对的偏导数.
(3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为.
（i）求证：.
（ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点.
【答案】(1)，说明见解析
(2)
(3)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据“偏导函数”的定义求解即可；
（2）求出，再将带入即可求值；
（3）（i）先求出包络线，再构造函数，利用导数研究的单调性，进而可知的最值，进而可证明；
（ii）对求导，令得到的极值点和极值，令，求出的极值点和单调性及最值，由题知的最大值与的最大值等价，进而求出的值；再利用导数研究的单调性和最值，进而可以证明与有且仅有一个公共点.
【详解】（1）；
，；
，.
，为常数.
（2），
故：.
（3）（ⅰ）令，则：.
由于在上，故：，①
由于取极值，故：，即：，②
由①②消去得：.
下试证：，
即证：.
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，故：.
（ⅱ），令：
，令：，
，令：
当时，单调递增，
当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价.
，当且仅当时，.
又，，令：或.
当时，单调递减，
当时，单调递增.
.
当且仅当时等号成立.
与有唯一公共点.
【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念；
2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.
3．（2025·四川·三模）定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件．
(1)求的值；
(2)当时，比较和0的大小；
(3)若为的极大值点，求的取值范围．
附：参考公式：


【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解；
（2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明；
（3）先求出导函数，根据导函数得出函数单调性及极值点计算求参.
【详解】（1）由题意知，，
；
（2）由已知，
当时，，
，
所以
，
当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立，
当时，，不等式也成立，
所以当时，；
（3）因为，
所以，注意到，
，注意到，
令，
则，注意到，
令，
则，
可知当时，，
则当时，为增函数，即为增函数，
若，即当时，
存在，使得当时，为增函数，即为增函数，
所以在区间上为增函数，
所以不是的极大值点，不符合题意，舍去，
若，即当时，
存在，使得当时，为减函数，即为减函数，
所以，在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增，
所以，是的极大值点，符合题意，
综上所述，的取值范围为．
题型六 切线相关新定义问题
1．已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
【答案】(1)增区间为、
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出函数的定义域，求得，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间；
（2）假设函数存在“中值相依切线”，求出函数的，结合导数的几何意义，可得出，再令，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，判断方程在上的解的情况，即可得出结论.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
，
因为，则，
由可得或，
所以，函数的增区间为、.
（2）解：假设函数存在“中值相依切线”，
设、是曲线上不同的两个点，且，
则，，
则，
因为，
则，
由可得，
即，则，
令，则，则，
故函数在上单调递增，则，
故在上无解，假设不成立，
综上，假设不成立，所以函数不存在“中值相依切线”.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键.
2．设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由;
(3)当时，求证：函数为“函数”.
【答案】(1)
(2)不是，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程；
（2）利用反证法，假设切线是函数的一条“切线”，构造函数，根据导数研究函数的图像得假设不成立，从而得证；
（3）设，求出在处的切线，构造函数，利用导数得出存在在处的切线与只有唯一公共点，从而得证.
【详解】（1），，
，
所求切线方程为，即.
（2）（1）中所求切线不是函数的一条“切线”.
理由如下：
假设切线是函数的一条“切线”，
则方程，即只有一个解.
记函数，则只有一个零点.
（方法一），
当时，单调递增;
当时，单调递减;
当时，单调递增，
的极大值为，极小值为，
又时，，
函数有两个零点，这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.
（方法二），
函数至少有两个零点，这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.
（3）证明:由（1）知，
设，
在处的切线方程为，
即，
只需方程，
即只有一个解，
令，
则，
令，则，
取，则，
单调递增，又，
函数只有一个零点，即只有一个解，
函数为“函数”
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点个数常用方法：（1）转化为相应方程根的个数：求出其根可得解；（2）根据导数求研究函数的单调性，画出函数大致图像，判断函数与x轴交点的情况；（3）转化为两个函数图像交点的个数：利用导数研究两个函数的图像，根据两个函数交点情况可得结果.
3．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数.
(1)当时
（i）判断的奇偶性，并求在的极值；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
【答案】(1)（i）偶函数，极小值为，无极大值；（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）由奇偶性的定义，结合求导确定函数单调性即可求解；（ii）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即可.
（2）利用导数几何意义得，，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下构造函数利用导数确定单调性，从而得出缩小的范围，再由不等式的性质证明结论即可.
【详解】（1）（i）当时，，
因为，故是偶函数，
由，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在的极小值为，无极大值.

（ii）由（i）得，令，则，
对满足方程的有，所以，
设是的任意正实根，则，
则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角，
因为，
所以在第二或第四象限变化时，变化如下，
（为奇数） 0 +
（为偶数） + 0
所以满足的正根都为函数的极值点，
由题可知为方程的全部正实根，
且满足，，
所以，
因为，，，
则，由，可得，
故得证.
（2）由题意得，
当时，，
设对应的切点为，，
对应的切点为，，
由于，所以，，
由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，
又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形，
则，
，
其中，得到，
又，，
即，，
当时，，，
令（），
则，，
在上单调递减，又，所以，
所以，此时，则，
故得证.
4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”.
(1)若，求其“上切线”的方程；
(2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围；
(3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解；
（2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解；
（3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证.
【详解】（1）设直线：是的“上切线”，
则有恒成立，令，
则，即，
若，则对任一确定的，都存在，
使，
若，则对任一确定的，都存在，
使，
故，令，解得，
有，即此时的切线为，又，故，
即的“上切线”的方程为；
（2）设该直线的方程为，其在上的切点为，
在上的切点为，
对，有，对，有，
则，
即，
令，，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故是函数的“下切线”；
令
，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故是函数的“上切线”；
则有，即有，
则，
整理得，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，又，
故当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
即，又时，，
即，即；
（3），
则，
令，，
设分别为的两根，则，
有，故，
则，在点处的切线为，
即，
同理可得，在点处的切线为，
，
由，则恒成立，即为其“下切线”；
同理可得，
由，则恒成立，即为其“上切线”；
综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负.
5．（24-25高三上·江苏苏州·月考）若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
(1)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
(2)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
(3)设（2）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用两曲线在处有公切线可得出方程组，求出的表达式，然后由可得，求出方程的三个解，即可得出结论；
（2）设指数函数与对数函数在处有相同的切线，利用已知条件可得出关于的方程组，通过换元法以及构造新函数可求得的值.
（3）设函数，其中且，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
【详解】（1）对函数求导可得，对函数求导可得，
所以，可得，又，所以；
代入可得，即，
此时令可得，它的另一个解为，
所以方程可化为，
解得，
因此方程的三个解为，
所以函数与恰有两个公共点分别为
（2）对指数函数求导可得，对函数求导，
设指数函数与对数函数在处有相同的切线，
由题意可得，
令，原方程组可等价为，即可得；
而，即可得，
所以，即，所以，则；
由可得，化简可得；
所以，
因为时，指数函数为单调递减函数，则，
故，即；
构造函数，
则，且不恒为0，
所以函数在上单调递增，且，
故方程的唯一解为；
因此，即实数的值为.
（3）设函数，其中且，
求导可得，
令，则，
令可得，
由可得，即函数在上单调递减，
由可得，即函数在上单调递增；
可得；
因为，所以，
由可得在内有一个零点，
在内不妨取，则，
令，其中，则，
易知，因此；
可知在上单调递增，且，因此；
所以函数在内也存在一个零点；
可得在上共有两个零点，不妨设为，且；
当或时，，当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减；
可知在处取得极大值，在处取得极小值；
以下证明，；
设函数与直线的交点为，
所以是函数的一个零点，可得，即，所以；
即是函数的一个零点，即，；
当时，函数为减函数，则函数也为减函数，且；
因为，可得，
因此，所以，且，
可得，；
又因为，且,
可得函数在内有一个零点，也是上的唯一零点，
同理取，且，
所以函数在内有一个零点，也是上的唯一零点，
综上所述，当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，由指数与对数互化的运算法则并利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
题型七 其他导数新概念定义
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
【答案】(1)
(2)在上单调递增；理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据定义可将问题转化为恒成立，即可利用二次式的性质求解；
（2）构造函数，，, 利用导数可得在上单调递增；
（3）令，结合（2）根据函数单调性证明即可.
【详解】（1）设，则，
由题意可知在上恒成立，
故在上恒成立，即在上恒成立，
故，解得；
（2），令，
则，
设，则，
则当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
故，故当且仅当时取等号，
设，
当在区间上单调递增，
当在区间上单调递减，
所以，故，
所以，即，
所以即在上单调递增；
（3）令，则，
又单调递增，所以，则在上单调递增，
又当所以时，，
所以，即，所以，
所以.
2．意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意将双曲余弦函数，双曲正弦函数的解析式代入计算即可证明；
（2）分和讨论，结合导数判断并取舍即可；
（3）利用给定定义目标式子左边合理放缩，结合裂项相消法求和即可证明.
【详解】（1）证明：①；
②.
（2）构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查数列与导数新定义结合，解题的关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可.
3．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线.
(1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程；
(2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线.
【答案】(1)偶函数，
(2)不存在，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分析函数的奇偶性，结合阶临界直线的概念可得结果；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合阶临界直线的概念可得结果；
（3）利用导数分析函数的单调性，推导出当时，，，可得，求出函数在处的切线方程，结合阶临界直线可证得结论成立.
【详解】（1）令，其中，则，
所以，函数为偶函数，
，故当时，函数取最小值，
当时，，，，
当时，，，，
所以函数在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，
如下图所示：
函数的一条阶临界直线方程为.
（2）若，，
令，，
令，，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以不存在、，使得，
综上可知函数不存在阶临界直线.
（3）当时，，
令，，
所以在上单调递减，
因为，，所以当时，，
因为，
，，
所以，
则存在，使，
当时，，，所以，
所以，
因为函数在处的切线方程为，
函数在处的切线方程，
又因为，
所以
，
所以，
所以直线与直线重合，
则、、、、为方程的解，
且，
又因为可趋近于无穷大，所以存在直线为函数的无限阶临界直线.
4．（2025·山东·二模）函数和有相同的定义域，导函数分别为，，若在定义域内均有，则称是的“－函数”．
(1)判断是否为的“－函数”，并证明；
(2)设和为定义在上的函数，已知，，是的“－函数”，证明：（为常数）；
(3)若，，，，证明：是的“－函数”．
【答案】(1)是的“－函数”，证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得和，结合“－函数”的定义，即可求解；
（2）先求得为偶函数，根据是的“－函数”，得到，证得是的“－函数”，进而得到，令，得到，即可证得；
（3）设，求得，再设，求得，得到递增且，，得到使得，求得的单调性和最小值，再设，求得，求得的单调性和最小值，得出，进而求得，得到，即可证得是的“－函数”.
【详解】（1）解：由函数，可得，
又由，可得，
因为，所以是的“－函数”.
（2）解：由为定义在上的函数，可得函数的定义域为，
因为，所以为偶函数，
又因为是的“－函数”，所以，
因为，，所以是的“－函数”，
即，用代替，可得，所以，
令，则，所以（为常数），
所以（为常数）
（3）解：由函数，，
可得，，
设，可得，
设，则，
则，所以递增，即递增，且，，
存在使得，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，即，
所以，
因为，所以，所以，即，
所以当时，是的“－函数”
题型八 其他导数新运算定义
1．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)函数在区间上具有性质；
(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
(3)的最大值为.
【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；
（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；
（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.
【详解】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.
2．（2025·河北·模拟预测）若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
(1)判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
(2)若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
(3)若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
【答案】(1)和具有性质“”，理由见解析；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合新定义，转化为证明函数在区间单调递增；
（2）根据新定义，转化为函数，在区间上单调递增，利用导数，结合参变分离，转化为最值问题，即可求解；
（3）首先根据新定义，转化为，再通过构造函数，，，转化为证明，转化为利用极值点偏移解决问题.
【详解】（1）函数和在上具有性质“”.
理由如下：
因为和在上均为偶函数，且在上单调递增，
所以只需考虑的情况，
令，则，
所以在区间上单调递增，且，所以恒成立，
则，即，
则，再根据函数是偶函数，
即，，
所以函数和在上具有性质“”.
（2），在区间单调递增，在上单调递增，
设，若函数和具有性质“”，
则，整理为
设，由以上可知，在区间上单调递增，
即，
当时，恒成立，
令，，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以；
（3）由题意可知，存在，，
，又，
则，即，
，，设，，
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
设，，不妨设，，，且，
设，
，
所以在区间上单调递减，且，即，
即，即，则，
即，则，得，即证.
3．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数）
(1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由；
(2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)；
【分析】（1）根据可积函数定义，结合反比例函数的单调性，通过常变量分离求得，由函数单调性可知不为常数；
（2）结合定义求的解析式，再由不等式分离参数，转化为恒成立问题，再构造函数利用导数求最值可得.
【详解】（1）函数，不是“可积函数”，理由如下：
当时，函数是单调递减，
所以有，符合性质①；
假设存在实数a，使得对任意，，
即，则，
所以，两边取对数得，
得，令，
设，，
则，
由，，
则，
故在单调递减，且，
因此给定一个值，对应的值不同，即值不同，
所以对于对任意，因此不存在实数a，使，
因此不符合性质②，
故函数，不是“可积函数”；
（2）当，有成立，
当时，有，
两式相除，得，显然当时，也成立，
综上，；
因为函数是“可积指标”为a的“可积函数”，
所以有，可变形为.
令，则，
设，，
则
令，其中，
则，
令，其中，
则，则在单调递减，
所以，即，故在单调递减；
所以，即，故在单调递减；
当时，，即，
且当时，，
故要使恒成立，则.
故，且“可积指标”a的最大值为.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于运算，利用整体换元法，进而简化函数运算探求函数性质.
题型九 其他导数新性质定义
1．如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可.
（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.
（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案.
【详解】（1）由，得.
由题意可得所求面积.
令，则是常数）
所以，
即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.
（2）令，可得（是常数），
所以，
要证，只需证，
令，
当时，，
所以在上单调递减，所以当时，，
所以，即.
（3）由（2）得，当时，.
因为，所以.
即.
所以.
.
.
.
累加可得
，
即，
所以.
【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案.
2．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①；②；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①；②；③；
(3)且，，恒成立.
①直接写出解析式；
②求的取值范围.
【答案】(1)①7，②2，③
(2)①1，②1，③1
(3)①，②
【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决；
（2）将选择的式子化简结合极限的定义求解；
（3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解.
【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型，
；
②对于，属于型，
；
③对于，属于型，
.
（2）①；
②；
③.
（3）①由，则，又，
，得，
.
②对，恒成立，
即，
令，则，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，
所以当和时，，当时，，
即在和上单调递减，在上单调递增，
又，，
，即的取值范围为.
3．阅读下列材料：
定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i）且；
（ii）对于任意的，有；
（iii）．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差．
(3)若函数，证明：．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据优超定义直接判断即可；
（2）根据方差定义求得，再利用二阶求导判断为下凸函数，从而证明不等式关系；
（3）二阶求导得，再证明其大于0，设，证明
【详解】（1）由于，故，即可证明不等关系.
（2）数列A的方差，
数列B的方差，
由，知，
于是只需证明，
考虑函数，由知下凸，
于是由定理知，
即证.
（3）对求导，得
，
.
下面我们证明，
设，则，
时，单调递减，时，单调递增，
于是，
设，则，
时，单调递减，时，单调递增，
于是，
根据二次函数在上单调递增，
则由，
故于起下凸，
设，由知，
于是由定理知，
而，故.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由可得，令，通过导数研究函数单调性，结合零点存在性定理判断各选项有无不动点即可.
【详解】由可得.令.
对于选项A，，则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，即有不动点1，故选项A错误；
对于选项B，，
则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又，且当时，，
∴由零点存在性定理可知：存在，使，
即有不动点，故选项B错误；
对于选项C，，则.
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又，且当时，，
∴由零点存在性定理可知：存在，使，
即有不动点，故选项C错误；
对于选项D，，则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，故函数无不动点，故选项D正确.
故选：D.
本题的解题关键在于将方程是否有解转化为函数的零点个数问题，然后利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理判断各选项有无不动点即可.
2．定义：对于二元函数，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，若存在，则称为在点处对的偏导数，记为；同理可定义函数在点处对的偏导数为，记为．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】C
【分析】根据所给定义求出偏导数，即可判断A、B，由，利用导数说明的最小值，即可判断C，求出偏导函数，再由二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
设，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，
因为，所以当时，最小值是，故D错误.
故选：C．
3．（23-24高三上·江西·月考）定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“偏导函数”的知识求得，进而利用判别式法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
同理可求得，所以，设，
则，由，
得，
，此方程有解，所以，
.
故选：B
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·一模）（多选题）琴生（Jensen，1859-1925）是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，其中流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：若函数的导函数存在导函数，记的导函数为，如果对，都有，则称在是“凸函数”，满足；如果对，都有，则称在是“凹函数”，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，有
B．若，有
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】求出并确定其正负，再由“琴生不等式”判断AB；由选项CD的信息构造函数，求出，再利用“琴生不等式”求解判断CD.
【详解】对于A，，，则在是“凸函数”，
，，A正确；
对于B，，，则在是“凹函数”，
，有，B错误；
对于C，令函数，，
函数在是“凹函数”， ，
因此，C正确；
对于D，令函数，，
在是“凸函数”， ，，
因此，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据给定的信息构造函数，再利用“琴生不等式”是求解选项CD的关键.
5．（23-24高三下·山东济南·开学考试）（多选题）假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（ ）
A．直线与曲线双切
B．直线与曲线单切
C．直线与曲线交切
D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切
【答案】AC
【分析】利用函数的图象可作出的图象，数形结合，即可判断A，C；结合单切的含义以及导数的几何意义可判断B；根据函数图象的对称性可判断D.
【详解】令，则，
令或；令；
则在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为，
且时，或，
由此可得的图象，继而可作出的图象，如图：
对于A，C，直线与曲线相切，切点为，
故直线与曲线双切，同时还与曲线相交，
故直线与曲线交切，A，C正确；
对于B，由于，则，故曲线不存在斜率为的切线，
令，解得，即曲线斜率为4的切线的切点横坐标位于内，
结合的图象知：曲线斜率为的切线的切点横坐标位于内，故作出直线与曲线相交，B错误；
对于D，由于定义域为R，满足，故为偶函数，其图象关于y轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线单切且交切，
否则若存在直线与曲线单切且交切，如图，则必存在关于y轴对称的直线与曲线单切且交切，D错误，
故选：AC
6．（24-25高三上·辽宁·期中）（多选题）设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ）
A．若有极值点，则
B．若当时，有极值，则对应的拐点为或
C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为
D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则
【答案】ACD
【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点，
所以，，即，A对；
对于B选项，当时，函数有极值，
则，解得或，
当，时，，
此时，函数在上单调递增，该函数无极值，
经检验，，合乎题意，
所以，，，令，可得，
此时，函数对应的拐点为，B错；
对于C选项，当时，函数在上无极值点，
则函数在上为单调函数，则恒成立，
则，解得，即实数的取值范围是，C对；
对于D选项，当，时，，
由有，
等式两边同除可得，
令，则、、是方程的三个根，
所以，，
即，
所以，，，，
所以，，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解.
7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（ ）
A．函数在无数个点处的曲率为1
B．函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同
C．函数的曲率恒为1
D．若函数在与处的曲率半径相同，则
【答案】ACD
【分析】根据新定义结合导函数二次求导可得A正确；根据新定义结合导函数二次求导以及偶函数的性质可得B错误；根据新定义结合导函数二次求导可得C正确；根据新定义结合导函数二次求导，再利用换元法结合基本不等式可得D正确.
【详解】对于A，已知，则，，
根据曲率函数，可得
当，时，，，此时，
所以函数在无数个点处的曲率为1，故A正确；
对于B，对于，，，
则，因为，所以为偶函数，
所以曲线在点与点处的弯曲程度相同，故B错误；
对于C，，，
则函数的曲率，故C正确；
对于D，，，
则函数的曲率半径，，
依题意，，则，即，
设，，则，
则，则，
整理得，
而，则，
所以，解得，
所以，故D正确.
故选：ACD.
8．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当时，若函数是“函数”，求.
【答案】(1)极小值0，无极大值．
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可；
（2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可；
（3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解.
【详解】（1）函数，，
当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2）由（1）可知：当时，，在单调递减；
当时，令，得，，
所以，且为增函数，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
综上，
当时，的单调递减区间为，无递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）当时，函数是“函数”，
求导得，
设曲线与直线切点，
则，故，即，
所以且，
设，，易知，且是增函数，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以是方程的根，且唯一，
所以．
9．（24-25高三下·江苏·月考）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为.
(1)求曲线在处的曲率；
(2)已知正弦曲线，
①求的曲率的平方的最大值；
②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.
【答案】(1)
(2)①1②2个，证明见解析
【分析】（1）根据曲率的定义可求得的值；
（2）①求得，令，则，故，利用导数求出函数在上的最大值，即为的最大值；
②利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.
【详解】（1）因为，所以，，
所以.
（2）①已由，，则，，
令，则，故，
设，则，
在时，在上递减，所以，最大值为.
②因为，，则.
当时，因为，
所以在上单调递减.
所以，所以在上无零点；
当时，因为单调递增，且，，在上图象不间断，
所以存在，使，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以.
设，，，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
所以，所以，在上图象不间断，
所以在上存在一个零点，所以在有个零点，
综上所述，在上的零点个数为.
10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不动点定义求解即可；
（2）根据题意问题转化为方程有两个不等的实数根，令，利用导数判断单调性极值，可得，且的值随着的值减小而增大，列式求出时的值，得解.
【详解】（1）设的不动点为，则，解得，
所以函数的不动点为.
（2）函数有两个不动点，即方程，即有两个不等的实数根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且时，，时，，
作出的大致图象如下：
所以，且的值随着的值减小而增大，
当时，有，两式相减得，
解得，即，代入，解得，
所以此时，
所以满足题意的实数的取值范围为.
11．（24-25高三上·湖北·月考）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
(1)讨论函数，的凹凸性；
(2)在中，求证：；
(3)若个正实数满足，求证：.
【答案】(1)凹函数；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（1）对再求导得，由的正负得凹凸性；
（2）利用凹凸性的性质证明；
（3）构造新函数，确定凹凸性后，利用凹凸性证明．
【详解】（1），则，，
当时，，
所以是凹函数；
（2）由（1）知，当且仅当时等号成立；
（3）设，则，在上恒成立，所以在上是凹函数，
个正实数满足，则，
所以，
即
，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新应用能力，由题意考察函数的凹凸性，只要对函数的导函数再一次求导，然后判断这个导数的正负，得了结论.第（3）小题我们必须从要证明的不等式出发取对数后，引入新函数，然后利用它们凹凸性证明不等式成立．
12．已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
（3）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）和；（2）不存在“中值相依切线”，理由见解析；（3）.
【分析】（1）求得函数的定义域，求得，解不等式，可求得函数的单调递增区间；
（2）假设函数存在“中值相依切线”，可得出，设，分析可得出，构造函数，其中，利用函数的单调性判断方程在时无解，由此可得出结论；
（3）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分析得出，变形可得，构造函数，可得出函数为上的增函数，可得出，可得，构造函数，利用导数求出函数在上的值域，由此可得出实数的最大值.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
令可得或，，则.
由，可得或.
则的单调递增区间为和；
（2）假设函数存在“中值相依切线”，，
，
由题设条件，有，即，即，
不妨设，设，可得，
构造函数，其中，则，
所以，函数在区间上为增函数，则，
即方程在上无解，因此，函数不存在“中值相依切线”；
（3）当时，，即恒成立，
时显然恒成立，只需考虑，
即恒成立，即，
令，则，，则，，
当时，，所以，函数在上为增函数，
所以，，即，则恒成立.
令，其中，则，单调递减，
则，则.
综上所述，的最大值为.
13．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：当时，函数只有两个零点；
(3)若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”.当时，若函数是“函数”，求.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可；
（2）根据条件，将的零点问题化成的零点问题，再结合条件，利用函数的单调性即可证明结果；
（3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解.
【详解】（1）易知函数定义域为，因为，则，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，由，得到，即，得到，
又易知为增函数，
所以当时，，即在区间单调递增，
当时，，即在区间单调递减，
综上得：当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）令，得到，
当时，，方程无解，即无零点，
所以有零点，则零点只能在区间上，
当时，由，得到，
设，，则零点可以转化为的零点，
因为，设，
因为，则在上单调递增，
又，时，，则，使得，
当时，，当，，
即在上递减，在上递增，
又，所以，又由于时，，
故在内存在唯一零点，
又时，，故在内存在唯一零点，
所以当时，只有两个零点，故当时，函数只有两个零点.
（3）当时，函数是“函数”，且，
设函数与直线切点，
又，则，故，
由，得到，又，
所以，
因为，所以是方程的根，
设，，易知，且是增函数，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以是方程的根，且唯一，
所以.
【点睛】关键点点晴：本题的关键是第三问的处理，先需要读懂新定义，然后根据新定义找到所满足的关系式，利用导数的工具，零点存在定理，进一步确定的取值.
14．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
【答案】(1)为的凸函数
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可；
（2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值；
（3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明．
【详解】（1）由题，，即，
所以为的凸函数．
（2）设函数，则，
，所以在为“凹函数”，
当时，，
即，
当且仅当时，等号成立，
最小值为．
（3）即证，
两边取对数，即证：，
的导数为，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以，
累加可得：，证得不等式成立．
15．（24-25高三上·福建漳州·月考）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不存在，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围.
【详解】（1）当时，（），
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数.
（2）的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得（*）
令（），，
所以在上是严格增函数，所以，
因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为；
（3）由（2）知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令（），，
设（），，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究.
16．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
【答案】(1)区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可；
（2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围；
（3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论.
【详解】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下：
由，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，不是的子集，
所以区间不是函数的“美好区间”
（2）记，
若区间是函数的一个“美好区间”，则或
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图像如下：
(i)当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②,
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
(ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
(iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，
所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
(iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时，
因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即，
构造函数，
则，
由于，所以恒成立，则在区间上单调递增，
所以，则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是
（3）对于任意区间，记，
因为对于任意，都有，
所以在区间上单调递减，故，
因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的“美好区间”必满足性质②，即，
即只需要或，
由显然不恒成立，所以存在常数使得，
如果，取，则区间满足性质②；
如果，取，则区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则的图象连续不断，下证明有零点，
由于在上单调递减，则在上是减函数，记
若，则是的零点；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
若，则，记，，
由零点存在定理，可知存在，使得；
综上，有零点，即，
因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾；
即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕.
【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题.
17．（24-25高三上·广西·月考）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
【答案】(1)
(2)①，②证明见解析
【分析】（1）根据基本函数的导数，结合定积分的定义即可计算；
（2）①构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合分类讨论积可求解；②根据可得，进而可得数列为等差数列，得，利用定积分的几何意义,证明即可．
【详解】（1）由于，故.
（2）由，
①由恒成立，得恒成立．
令，则．
当时，，此时在,上单调递增，
又，所以在,恒成立．
当时，当时，有，此时在上单调递减，在单调递增，
又，在恒成立，与矛盾．
综上所述，．
②由，可得，所以．
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，
所以，
由题意可得是由曲线，两直线，与轴所围成的曲边梯形的面积．
而表示图一阴影所示各矩形的面积和，
所以，不等式的左边成立．
表示图二阴影所示各矩形的面积和，
所以，不等式的右边成立．
故得证.
18．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）在数学中， 布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础， 得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔． 具体来说就是： 对于满足定义域为 的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点． 已知 且，函数 ．
(1)若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点；
(2)设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不动点定义证明即可；
（2）根据已知条件不动点的定义，函数有且仅有 2 个不动点，得到或，由变形，构造函数，利用导数的单调性求得最值，可得的范围.
【详解】（1）当时，，令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
即当时，；当时，恒成立，
所以函数只有唯一不动点．
（2）根据题意：（），
而，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
且，
如图所示，因为函数有且仅有2个不动点，
所以方程有且仅有2个大于的不同根，
也即函数的图象与的图象有两个不同的交点，
所以或，
而，
，
令，显然函数单调递增，
所以，
令（，且），
则，
显然当时，，函数单调递减，
而，，，
所以实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：小问（2），由而，
构造，可得，进而可得，令（，且），利用导数求得最值，可得实数的取值范围 .
19．（24-25高三上·河南·月考）阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)证明：对任意，，不等式恒成立；
(2)设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称：
(3)设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)，证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证.
（2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可.
（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得.
【详解】（1）当或时，不等式成立，令函数，
，，因此函数是上凸函数，
则对任意，，即，
所以对任意，，不等式恒成立.
（2）函数，则，，
由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反，
因此，又，解得；
，
，
所以的图象关于拐点中心对称.
（3）函数的定义域为，则，，
当时，，当时，，依题意，，，
当时，，即，
令
，，
求导得，
即函数在上单调递增，，即，
而，则，即，因此，
当时，，当且仅当时取等号，
于是函数在上单调递增，又，因此，即，
所以.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
20．（2025·四川南充·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，…，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与x轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近r，较接近r，……，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点.现令.
(1)当时，求的近似解，；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和；
(3)当时，令，若时，有两个不同实数根，.求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出在和在处的切线方程，令，即可得；
（2）由（1）可知存在递推关系，通过构造等比数列求出数列的通项，
再利用分部求和即可求出数列的前n项和；
（3）先求出，先利用题中的切线法证明右半部分，再利用放缩法证明左半部分，
将放缩为二次函数，即将放缩成，再结合韦达定理即可证得结论.
【详解】（1）由题意可得在处的切线方程为，令，得，
同理可得在处的切线方程为，令，得，
所以对于函数，，
故，；
（2）由（1）可知存在递推关系，
构造等比数列，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以数列的前项和；
（3）由题意可得，则，
令，得，当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，所以，
又当时，；当时，，且，
所以当时，有两个不同实数根，
又，所以确实有两个不同实数根，，
且，，
先证明右半部分：，
考虑在处的切线方程：
当时，，因为，所以与切线的交点的横坐标大于，
即，又，故；
再证明左半部分：，
观察不等式的结构，联想到一元二次方程的两根之差，
即构造方程来描述不等式的左边，
故尝试将放缩为二次函数，即将放缩成，
故令，
则，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以当时，，
故当时，方程有两个不同的实数根，记为，且，
，又，故，所以，
因为，所以得到，
同理可得，所以，
综上所述，.
21．（24-25高三上·广西·月考）拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，.
(1)试探究集合和的关系，并证明你的结论.
(2)函数.
①若的“不动点”有两个，求的取值范围；
②若（），讨论集

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