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重难点培优15 导数解答题题型全归纳
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 6
题型一 利用导数研究具体函数的单调性 （★★★★） 6
题型二 利用导数研究含参函数的单调性（★★★★★） 7
题型三 极值问题（★★★★★） 8
题型四 最值问题（★★★★★） 10
题型五 恒成立和有解问题（★★★★★） 11
题型六 零点问题（★★★★★） 13
题型七 极值点偏移问题（★★★★★） 14
题型八 隐零点问题（★★★★★） 16
题型九 导数与不等式证明（★★★★★） 18
题型十 导数中其他双（多）变量问题（★★★★） 20
题型十一 导数结合数列（★★★★） 21
03 实战检测 分层突破验成效 25
检测Ⅰ组 重难知识巩固 25
检测Ⅱ组 创新能力提升 30
一、恒成立、能成立问题
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
二、极值点偏移问题
①极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则
②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则
③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则
②极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察
③答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，
故，
又因为，且在上单调递减，
从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
④其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
三、指对同构
1、积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
2、商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
3、和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
四、切线放缩
1、指数函数的切线不等式
①；②．
2、对数函数的切线不等式
①；②；③．
3、三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
题型一 利用导数研究具体函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
利用导数求函数单调性，解题的思路是： 1、利用导数求函数单调区间的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 2、含参数单调性讨论：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间；
1．已知函数
(1)求的单调区间；
2．（2025·江西·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论的单调性；
3．已知函数．当时，求的单调减区间.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值点；
5．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
题型二 利用导数研究含参函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
1、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 2、一般性技巧 （1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． （2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. （3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
1．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，．
(1)若在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)讨论的单调性.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
3．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
4．已知函数，讨论的单调性.
5．（24-25高三上·广东潮州·月考）已知函数．
(1)若，求的极值点；
(2)讨论的单调性．
6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
题型三 极值问题
【技巧通法·提分快招】
1、求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
1．已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值.
2．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
3．（24-25高三上·江西·期中）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值M，求证：.
4．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围.
5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当时，求单调区间
(2)讨论极值点的个数.
6．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数.
(1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)当时，设的极大值为，求证：.
7．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，其中．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
8．（2025·重庆·三模）已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.
9．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知函数.
(1)判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由.
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围.
10．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．
题型四 最值问题
【技巧通法·提分快招】
1、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．
4．（2025·山东烟台·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，且，求的最大值．
5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数．
(1)若，当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极大值存在最小值，求实数a的取值范围.
题型五 恒成立和有解问题
【技巧通法·提分快招】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
2．（23-24高三上·河南·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，则实数的最小值.
5．已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
6．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的极值点情况；
(2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围.
9．（2025·山西晋中·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
10．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
题型六 零点问题
【技巧通法·提分快招】
利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方．
1．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
2．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数.
(1)时，求在处的切线．
(2)求函数的极值；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
4．已知函数的导函数为.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
6．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数零点的个数．
题型七 极值点偏移问题
【技巧通法·提分快招】
一、常规方法 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 二、其他方法 1、比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 2、对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3、指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
1．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
3．已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
4．已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
5．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
6．已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
题型八 隐零点问题
【技巧通法·提分快招】
1、隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2024·四川乐山·三模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
4．设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值．
(2)求在上的零点个数．
(3)证明：在上存在两个零点，且．
6．已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
题型九 导数与不等式证明
【技巧通法·提分快招】
利用导数证明或判定不等式问题 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1．（24-25高三上·北京·月考）已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
2．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
3．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：.
4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若，证明：当时，．
5．（24-25高三下·江苏常州·月考）设函数．
(1)若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
6．已知函数．
(1)判断的单调性，并说明理由；
(2)证明：．（证明时可使用下列结论：当时，成立）．
7．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
8．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
9．（2025·山西·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(3)证明：当时，都有．
题型十 导数中其他双（多）变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·月考）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
2．已知函数．
(1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若的极值点为，设，且证明：．
3．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
4．已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
6．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明：.
7．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
题型十一 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
1．（23-24高三上·安徽·月考）设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
2．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
3．（23-24高三上·上海黄浦·期中）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围
(3)数列满足，，.证明：对任意的，.
4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)探究数列的单调性并说明理由；
(3)证明；．
5．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知一系列函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)证明：；
(3)记为的最小值，，证明：.
6．已知函数．
(1)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意的正整数n，不等式都成立．
7．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数．
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)设，曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为，记，求；
(3)设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．
题型十二 导数中的新定义问题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
2．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若，求的取值范围．
3．对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
(1)若的极小值小于，求的取值范围；
(2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
4．（24-25高三上·山东临沂·月考）若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界．
(1)求函数的下界的取值范围；
(2)判断是否是下界为的函数，并说明理由；
(3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，）
5．（24-25高三下·河南·月考）若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“缘分函数”．
(1)判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由；
(2)若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围；
(3)证明：不是内的“缘分函数”．
6．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
(3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
7．（2025·广西桂林·一模）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
8．（2025·福建三明·三模）若对于函数，存在直线，使得方程有个解、、、，且，则称直线为函数的阶临界直线，若可趋近于无穷大，则称直线为函数的无限阶临界直线.
(1)判断函数，的奇偶性并直接写出它的一条阶临界直线方程；
(2)若，，判断函数是否存在阶临界直线，并说明理由；
(3)已知函数.证明：函数存在无限阶临界直线.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·广东湛江·二模）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若，讨论的单调性．
2．（2025·广东江门·一模）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
3．（2025·陕西汉中·三模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数的最小值为1，求实数的值．
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
5．已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
6．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）.
(1)若，求的极小值；
(2)当时，求的单调递增区间；
(3)当时，设的极大值为，求证：.
7．已知函数
(1)求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若是的两个极值点，且，求a的最大值．
9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围．
10．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：对恒成立．
11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围.
12．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若，证明函数有两个零点．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
14．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
15．（2025·安徽池州·二模）已知.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由；
(3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点.
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
17．设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数.
(1)若x轴是曲线的一条切线，求实数a的值；
(2)若在上恒成立，求a的最小值；
(3)证明：（且）.
19．（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
20．已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1.
21．已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.
22．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，数列的前n项和为．证明：．
23．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设函数在区间上有定义，若，，，，则称是上的凹函数．若函数在上连续，在上可导，则为凹函数的充要条件是其导函数在上单调递减．
(1)若函数是定义在上的凹函数，求实数的取值范围；
(2)已知函数是定义在上的凹函数，证明：对于任意的，，，若，则；
(3)已知函数，若对于，都有，求实数的取值范围．
24．（24-25高三上·江苏扬州·月考）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，.正项数列满足：.
（i）讨论单调性;
（ii）证明：；
（iii）证明：.
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则.
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若当时，关于的方程：有两个不同的根：且，
（i）求的范围；
（ii）当最小时，求的值．
4．（23-24高三下·湖南娄底·月考）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若，
（i）证明：函数有三个不同的极值点；
（ii）记函数三个极值点分别为，且，证明：.
5．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设方程有三个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.
①证明：；
②证明：.
6．（2025·江苏·模拟预测）已知函数.
(1)当时，设的一个极值点为．
（i）判断是否成立，并说明理由；（已知）
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：；
(2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
已知：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.中小学教育资源及组卷应用平台
重难点培优15 导数解答题题型全归纳
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01 知识重构 重难梳理固根基 1
02 题型精研 技巧通法提能力 6
题型一 利用导数研究具体函数的单调性 （★★★★） 6
题型二 利用导数研究含参函数的单调性（★★★★★） 9
题型三 极值问题（★★★★★） 14
题型四 最值问题（★★★★★） 24
题型五 恒成立和有解问题（★★★★★） 29
题型六 零点问题（★★★★★） 40
题型七 极值点偏移问题（★★★★★） 46
题型八 隐零点问题（★★★★★） 58
题型九 导数与不等式证明（★★★★★） 66
题型十 导数中其他双（多）变量问题（★★★★） 77
题型十一 导数结合数列（★★★★） 89
03 实战检测 分层突破验成效 114
检测Ⅰ组 重难知识巩固 114
检测Ⅱ组 创新能力提升 145
一、恒成立、能成立问题
1、设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
注：（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2、分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
3、其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
4、其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5、其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
二、极值点偏移问题
①极值点偏移
1、极值点偏移定义
极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性。例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，也有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移
2、极值点偏移的原理
函数自身所导致的在极值点左右两端增速不一样
3、极值点偏移的图形定义
①左右对称，无偏移，如二次函数；若，则
②左陡右缓，极值点向左偏移；若，则
③左缓右陡，极值点向右偏移；若，则
②极值点偏移的判断
根据极值点偏移的定义可知：当题干中出现等条件而求证不等式成立的时候，即可视为极值点偏移考察
③答题模板（对称构造）
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，
故，
又因为，且在上单调递减，
从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
④其他方法
1、比值代换
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．
2、对数均值不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
3、指数不等式
在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
三、指对同构
1、积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
2、商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
3、和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
四、切线放缩
1、指数函数的切线不等式
①；②．
2、对数函数的切线不等式
①；②；③．
3、三角函数的切线不等式
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
题型一 利用导数研究具体函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
利用导数求函数单调性，解题的思路是： 1、利用导数求函数单调区间的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根．把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 2、含参数单调性讨论：（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间；
1．已知函数
(1)求的单调区间；
【答案】(1)单调递减为和，单调递增为
【分析】（1）求导，讨论导数符号即可得单调区间；
【详解】（1）的定义域为，
，
1
- 0 + 0 -
极小值 极大值
所以在和上单调递减；在上单调递增；
2．（2025·江西·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)在上递减，递增
【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性；
【详解】（1）当时，求导得，
构造，求导得，
则当时，，所以在时单调递增；
则当时，，所以在时单调递减；
即，则，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
3．已知函数．当时，求的单调减区间.
【答案】和
【分析】先求得函数定义域，再根据导数求解即可.
【详解】令，得定义域为，
当时，，
则，
令，得，
所以单调减区间为和.
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值点；
【答案】(1)单调递增区间为，无减区间，无极值点
【分析】（1）求导，研究导函数的正负性即可判断其单调性；
【详解】（1）当时，，则，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点.
5．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
【答案】(1)增区间是和，减区间是；
【分析】（1）利用导数确定单调区间；
【详解】（1）时，，，
或，
当或时，，当时，，
所以增区间是和，减区间是；
6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
【答案】(1)减区间为，增区间为.
【分析】（1）对函数求导后得，令，对其求导，可判断，则得在单调递增，再结合可求得结果；
【详解】（1）若，，，
，
令，则，
所以在单调递增，
因为，
所以当时，，即；当时，，即，
所以的减区间为，增区间为.
题型二 利用导数研究含参函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
1、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 2、一般性技巧 （1）导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． （2）若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. （3）若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
1．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，．
(1)若在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据导数的几何意和切线方程列方程求解实数的值．
（2）首先求出，分类讨论利用导数的符号求出函数的单调区间；
【详解】（1）由，．
依题意， ，
解得 .
（2）的定义域为，，
当时，恒有 ，故的单调递减区间为，
②当时，令，得，
由，得；由，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程.
（2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间.
【详解】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
3．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，
（2）求导，对分类讨论，根据导函数的正负即可求解单调性.
【详解】（1）由题设，则，
所以，，故切线方程为，
整理得.
（2）由题设，且，
当时，当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，时，或时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，即在上单调递减；.
当时，时，或时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
4．已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求导得，分、、、讨论可得答案.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
①当，即时，由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，由，得或，由，得，
因此在，上单调递增，在上单调递减；
③当，即时，恒成立，因此在上单调递增；
④当，即时，由，得或，由，
得，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
5．（24-25高三上·广东潮州·月考）已知函数．
(1)若，求的极值点；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)极小值点为1，无极大值点.
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再求出导函数的变号零点即可得解.
（2）由，讨论的解的情况，进而讨论求出的单调区间.
【详解】（1）当时，函数，
求导得，
由，得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值点为1，无极大值点.
（2）由，
求导得，
令，，
当时，，恒成立，，在上单调递增；
当时，，方程的解为，
若，即，则，
当时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减；
若，即，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间；
当时，的递增区间为和，
递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
6．（2025·湖北武汉·三模）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式求出切线方程；
（2）分，，，四种情况讨论，结合导函数正负得出函数单调性.
【详解】（1），，
，，
切线方程为，即.
（2），.
①当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增.
②当时，
当时，，，
当时，，，时等号成立，
所以在上单调递增.
③当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
④当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，在上单调递增；
③当时，在上单调递增，在上单调递减；
④当时，在上单调递增，在上单调递减.
题型三 极值问题
【技巧通法·提分快招】
1、求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.
1．已知函数在点处的切线与轴垂直.
(1)求的值；
(2)求的极值.
【答案】(1)
(2)极大值，的极小值
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可知，即可求解；
（2）由(1)知，代入可求得函数的单调性，结合极大值、极小值定义即可求解.
【详解】（1）由题知，
所以.
由题意可知，解得.
（2）由(1)知，，
令，解得，
易得当时，0；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
即的极大值，的极小值.
2．（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知函数
(1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；
(2)若在处有极值，求a与b的值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数求得切线斜率，由函数解析式求得切点，根据切线方程，建立方程组，可得答案；
（2）由函数解析式求导，根据极值与导数的关系，结合函数解析式，建立方程组，可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，，
因为切线方程为，
所以，解得，
所以.
（2）函数在处有极值
且或
恒成立，此时函数无极值点，
此时1是极值点，满足题意，
所以.
3．（24-25高三上·江西·期中）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值M，求证：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）讨论参数a，应用导数研究单调区间；
（2）讨论参数a，利用导数研究函数极值即可证.
【详解】（1）由题设，
当时，恒成立，故的增区间为，无减区间；
当时，令，得，故上，上，
所以的减区间为，增区间为.
（2）由（1）知，当时，在上单增，没有极值；
当时，在上单减，在上单增，
存在极小值
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值0，
所以恒成立，即.
4．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程；
（2）求导，分类讨论求得的单调性，进而可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围.
【详解】（1）当时，则，，
所以，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）函数的定义域为，
又，
当时恒成立，
在上单调递增，无极值.
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，极大值为.
令，
解得，所以的取值范围为.
5．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
(1)当时，求单调区间
(2)讨论极值点的个数.
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.
【详解】（1）当时，定义域为，且，
令，解得或（舍去），即，
当时，；当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为，
由题意知，，
当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个；
当时，令，，可得，
易知，
故解关于的方程得，（舍去），，
即，则，
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
即极值点的个数为个.
综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.
6．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数.
(1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)当时，设的极大值为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可得出实数值；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，求出的表达式，再利用导数证明出即可.
【详解】（1）因为
则.
由导数的几何意义可得，得.
（2）当时，由可得或，
当时，即当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为，
则的极大值等于；
当时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即当时，由可得或，由可得，
此时函数的增区间为、，减区间为，
所以的极大值等于，
令，所以，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
7．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，其中．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求导，得到在上必存在变号零点，即在上必存在零点，由于，只需，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）当时，，定义域为，
所以，，，
所以的图象在处的切线方程为，
即，
化为一般式为．
（2）函数，定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在极值，
所以在上必存在变号零点，
即在上必存在零点，
由于，由二次函数性质可知只需，
解得，即的取值范围是．
8．（2025·重庆·三模）已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解及，从而可得函数在点处的切线方程；
（2）当，不满足题意，当时，单调递增，结合，，可得在区间上有唯一的零点，满足题意，进而可得结论．
【详解】（1）当时，，可得，
则，
又，
所以函数在点处的切线方程为：；
（2）由于，
则，
若，当时，则，所以，
则在区间上单调递增，没有极值点，舍去；
若，设，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上有唯一的零点，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间内有唯一的极值点，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
9．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知函数.
(1)判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由.
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可求解，
（2）将问题转化为与的图象有三个交点，求导，确定函数的单调性即可求解.
【详解】（1）∵，，
∴，
∴在上恒成立，当且仅当时，取得等号，
∴在上单调递增，故函数在上不存在极值点.
（2）∵，函数有三个极值点，
∴有三个互不相等的正实数根.
由，得，令，
则问题转化为与的图象有三个交点，而.
令，得或，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又∵当时，；当时，，且，，
∴，即实数的取值范围为.
10．（2025·广东佛山·三模）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
(2)若存在两个极值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）解法1：根据题意分离常数得与的图象有2个交点，利用导数作出的图象，数形结合求解即可；解法2：半分离可得与的图象有两个交点，根据，结合图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以，所以；
（2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点
令
令，求得
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
结合图象，方程有2个变号零点的条件是
即存在2个极值点的条件是
解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点，
所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，，即.
题型四 最值问题
【技巧通法·提分快招】
1、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
1．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果；
（2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值.
【详解】（1）当时，，求导得：，
则，，
则在处的切线方程：，即；
（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数．
(1)求函数的极值点；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数a的值．
【答案】(1)为极小值点，无极大值点
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点；
（2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当，即，此时在上单调递减，
所以，不符合题意；
综上可得.
4．（2025·山东烟台·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，且，求的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得解；
（2）由韦达定理，，，通过换元构造函数，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
令，，
①当时，，，
所以函数在上单调递减．
②当时，，，
所以函数在，上单调递减，
在上单调递增．
（2）由（1）可知当时，函数存在两个极值点，，
且满足，，
所以
，
令，所以，
，所以在单调递增，
，所以的最大值为．
5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数．
(1)若，当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极大值存在最小值，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程；
（2）分，两种情况讨论单调性，可得，时存在极大值，然后利用导数知识研究极大值对应函数可得答案.
【详解】（1）当时，函数，
求导得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为
（2）函数的定义域为，
求导得，
i当时，因为，所以，由，得，
由，得，则函数在上递减，在上递增，
函数只有极小值，不合题意；
ii当时，由，得或.
①若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意；
②若，即，由，得或.
由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，
极小值为.
令，则，
由，得，由，得，
则函数在上递减，在上递增，
故在时取得最小值，且最小值为，
即函数的极大值存在最小值，符合题意；
③若，即，由，得或，
由，得，
则函数在上递增，在上递减，
因此函数的极大值为，
极小值为.
令，则恒成立，
则在上单调递增，此时函数的极大值无最小值，不合题意；
综上，当的极大值存在最小值时，实数的取值范围是.
题型五 恒成立和有解问题
【技巧通法·提分快招】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）由已知得恒成立，令，利用导数求得的最小值即可.
【详解】（1）由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
（2） 由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
2．（23-24高三上·河南·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是．
(2)
【分析】（1）求出原函数的导函数，由，解得，可得函数解析式，由导函数大于0和小于0，分别求得原函数的单调区间．
（2）构造函数求导得到函数的单调性，即可求解最值求解.
【详解】（1）由题意知，，
由，解得，
此时，，
令，得，令，得，故是函数的极值点，
故符合要求，
进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）由恒成立可得恒成立，
令则，
令，则，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
而，且时，，
故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若不等式对恒成立，则实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程；
（2）利用同构得，构造函数，利用导数讨论其单调性后可得即，再结合导数可求最小值.
【详解】（1）时，，，
得，所以，
得在点处的切线方程为.
（2）由题意对恒成立.得，
所以，即，
构造函数，，在上恒成立，
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，则，而与1的大小不定，
但本题求实数最小值，只需考虑为负数的情况存在与否，
故此时.又因为在区间单调递减，
故在上恒成立，两边取对数得：，，
即在上恒成立，
，则，
令得，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，即，故的最小值是.
5．已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解.
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解.
（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.
【详解】（1），，
令，解得，
当时，，当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
（2），，
则，
因为在单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即，
设，，
所以在上单调递增，
所以，
所以，故的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
由（1）知在上单调递增，
所以当时，，
，，
，
当时，，单调递减，
，
，
，
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，有成立，则；
（2）若，有成立，则；
（3）若，有成立，则.
6．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性；
（2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即可得解；
（2）设，利用二次求导，可求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，
所以切线斜率，
故切线方程为.
（2）设，的定义域为，
，
设，
则，
故在单调递减，即在单调递减，
又，
故当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
因此，
所以的取值范围是.
8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的极值点情况；
(2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据函数极值点和函数导数之间的关系，分类讨论函数导数的情况，分别判断每种情况下的单调性和极值点取值情况.
（2）根据题目构造函数，可知构造函数单调递增，由此得函数导数大于零恒成立，列出不等式，求出参数范围.
【详解】（1）函数的定义域为， ，
令，则或，
因为，所以，当，即时，，
所以在单调递增，无极值点，
当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以是极大值点，是极小值点，
当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减，
所以是极大值点，是极小值点，
综上，当时，无极值点，
当时，是极大值点，是极小值点，
当时，是极大值点，是极小值点，
（2）当时，，
不妨设，则恒成立，等价于恒成立，
令，，则在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
由均值不等式（当且仅当时取等号），
所以，则，故实数的取值范围是.
9．（2025·山西晋中·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由对任意恒成立，
得对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，则有，
显然为增函数，可得，
则，所以．
由（1）可知，
所以，故的取值范围为．
10．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可.
【详解】（1）因为函数，
所以，显然，
因为函数的极小值为，
所以，解得，
此时当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故极小值为，满足要求，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由（1）知：当时，，
所以在上递增，
因为存在，使得成立，即，
所以存在，使得成立，
所以存在，使得成立，即成立，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，则实数b的取值范围是.
题型六 零点问题
【技巧通法·提分快招】
利用导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方．
1．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
2．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导可得，由题意可得，可求切点坐标，进而可求切线方程；
（2）求导得，分和两种情况讨论其单调性，进而根据题意可得，求解即可.
【详解】（1）当时，，求导可得，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数.
(1)时，求在处的切线．
(2)求函数的极值；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）应用分类讨论及导数研究函数的极值即可；
（3）根据（2）易得，进而有求参数范围.
【详解】（1）由题设，则，
所以，，则，可得；
（2）的定义域为，则，
当时，恒成立，
此时在上单调递增，无极大值和极小值，
当时，，
由得：，由得：，
此时在单调递增，在单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（3）由（2）可知，当时，在单调递增，
所以在单调递增，不可能有两个零点，
当时，的极大值为，
因为，所以是的一个零点，
若函数在区间上恰有两个零点，则，
即，可得：，
所以的取值范围为．
4．已知函数的导函数为.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程；
（2）先求出导函数，再参变分离，转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，最后数形结合计算求参；
【详解】（1）当时，，则，
所以，则，
所以的图象在点处的切线方程为，即.
（2）由题知，，
因为有三个不同的零点，
所以方程有三个不等实根，
化简可得方程有三个不等实根，
即可看成直线与曲线有三个不同的交点，
，
所以当或时，单调递减；
当时，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图1所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，分，，对函数进行讨论；
（2）由（1）可知函数的单调性，然后按，或，进行讨论判断.
【详解】（1）由题可知：函数的定义域为
，由，令，所以或，
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减.
当时，在恒成立，所以函数在单调递减；
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减
（2）由（1）可知：当时，函数在单调递增，在单调递减，
当时，；当时，，又，
若，所以，使得，，则函数有3个零点；
若，，，则函数有2个零点；
若，则，则函数有1个零点；
若，则，则函数有2个零点；
若，则，所以，使得则函数有3个零点；
综上所述：当，函数有3个零点；
当或，函数有2个零点；
当，函数有1个零点.
6．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数零点的个数．
【答案】(1)
(2)当时，函数有2个零点.
【分析】（1）求导，利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程；
（2）对求导，求出的单调性，可得，再由零点存在性定理可得在和都有一个零点，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，则，
则，则
∴曲线在点处的切线方程为：
即.
（2），
令，解得：，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值也是最小值，
，
令，，
，所以在上单调递增，则，
即，
又因为，
所以零点存在性定理可知在有且仅有一个零点，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，，
所以，
令，解得：，
因为，所以，所以，
所以当时，，
所以零点存在性定理可知在有且仅有一个零点，
综上：当时，函数有2个零点.
题型七 极值点偏移问题
【技巧通法·提分快招】
一、常规方法 1、和型（或）问题的基本步骤： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系， 得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； 2、积型问题的基本步骤： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论. 二、其他方法 1、比值代换 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 2、对数均值不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3、指数不等式 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：
1．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分别解不等式，即可；
（2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证.
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
解得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围为．
（2）不妨设，则由（）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即．
2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且，证明：，且．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性；
（2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出.
【详解】（1）的定义域为R，
由题意，得，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即是方程的两个实数根．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
因为当时，；当时，，，所以．
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则．
要证，只需证．
因为，，
所以只需证．
因为，
所以只需证．
令，，
则
在恒成立．
所以在区间上单调递减，
所以，
即当时，．
所以，
即成立．
【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数.
3．已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知；
（2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论.
【详解】（1）由题意得：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：.
（2）由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；
，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，
，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明.
4．已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知，再根据和时的情况求解函数最小值即可得答案；
（2）方法一：根据题意得，进而令得，
再令，求函数最小值即可；
方法二：由题知方程有两个不同的实数根， ，，
进而根据极值点偏移问题求解即可.
【详解】（1）解：因为，，
所以，.
当时，有，所以函数在上单调递增，所以函数不存在最小值；
所以不合题意，故.
当时，令，得.
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，解得.
所以，的值为.
（2）解：方法一：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，从而得.
令，则，
所以函数在上单调递增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得证.
方法二：
由（1）知，，.
因为为方程的两个不同的实数根，
所以，即方程有两个不同的实数根.
令，，则，.
令，得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
因为，
所以.
令，，
则.
所以在上单调递减，所以，即.
所以，所以.
又在上单调递增，所以.即，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于由，结合得到，再根据函数的性质得，进而证明结论；
5．（24-25高三上·四川成都·月考）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间；
（2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围；
（3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论.
【详解】（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
（2）（i）由，得，
设，
由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
6．已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【答案】证明见解析
【分析】法一：消参转化成无参数问题，由，是方程的两根，则是的两根，设，，则，从而，令，可得，利用导数的单调性证明可得；
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数，不妨设，可得，欲证明，即证.即证，即证：，令，构造，利用导数的单调性证明可得；
法三：直接换元构造新函数，由已知可得，设，则，故，即证，令，利用导数的单调性证明可得.
【详解】法一：消参转化成无参数问题：
，
是方程的两根，也是方程的两根，
则是的两根，
设，，则，
从而，
由，，
得，化简的，
设，令，则，
所以，则，则，
故要证，即证，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，则，
所以，即，
所以
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，
令，构造，
则，
所以在上单调递增，又，
，
，即
法三：直接换元构造新函数：
由已知，得，
设，
则，
则，
故，
要证，即证，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
，所以，
所以
题型八 隐零点问题
【技巧通法·提分快招】
1、隐零点的处理思路 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2024·四川乐山·三模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)5.
【分析】（1）先对求导，再根据导数与函数单调性的关系即可求解；
（2）问题转化为，存在，使成立，
构造函数，然后结合存在性问题与最值关系进行求解.
【详解】（1）由题意定义域为，．
当时，，在上单调递增．
当时，由，得
当时，，所以在上单调递增．
当时，，所以在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题知，
又，化简得：，
问题等价于：存在，使成立．
设，则
设，
，当时，，在上单调递增．
又，，
在上存在唯一零点．
设零点，则，即．
，；，
因此在单调递减，在单调递增，
．
，
又，的最小值为5．
2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由偶函数的性质得方程到恒成立，即可求；
（2）根据对称性有在上恒成立，利用导数及分类讨论研究左侧的单调性，判断不等式能否恒成立，即可得范围.
【详解】（1）由题设，则，
所以，即，亦即恒成立，
所以，所以，所以；
（2）由题设恒成立，而时恒成立，此时，
由对称性只需在上恒成立，
令且，则，
令，则，
当时，，此时，即在上单调递增，
所以，故在上单调递增，则，满足；
当时，由，则在上恒成立，
即在上单调递增，故在上单调递增，
而，时，，使，
故有，，此时，即在上单调递减，则有，
所以在上单调递减，故存在，不满足；
综上，.
3．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，根据直线的点斜式方程求解切线即可.
（2）求出导函数，按照、和分类讨论研究函数的单调性，根据在区间上有零点列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，
所以切线的斜率为．又，
所以切线方程为，即．
（2），则，
①当时，，
所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．
所以在区间上恒成立，即在区间上无零点．
②当时，令，
则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，即．
（ⅰ）时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，所以在区间上无零点．
（ⅱ）当时，，又，
所以存在，使得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
即当时，取得最小值，因为，所以．
因为，所以当时，，
此时，在区间上恒成立，在区间上无零点．
当时，，故存在，使得，
所以实数的取值范围是．
4．设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析；
(2)有一个零点，理由见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出的单调性作答.
（2）把代入求出，利用导数结合零点存在性定理探讨函数的零点个数作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数有且只有一个零点.
，显然函数在上单调递增，
而，则存在唯一使得，即，
当时，，即，当时，，即，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，
，
而当时，，于是在上无零点，
因为，因此在上有唯一零点，
所以函数在上有唯一零点.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
5．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值．
(2)求在上的零点个数．
(3)证明：在上存在两个零点，且．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案；
（2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案；
（3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1），定义域为．
．由题可得，，解得．
（2）由（1）可得，．
当时，，，故，在时无零点；
当时，，，故，在时无零点．
当时，，所以在上单调递增．
而，．
故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点．
当时，，，故，在时无零点；
综上：在上的零点个数为1．
（3）．令，．
令，则．
当时，，，，所以．所以在上单调递增．
，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得．
当变化时，，的变化如下表：
0
极小值
又，，．
所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点．
不妨设．则当时，；当时，．
而，．
所以．故．
6．已知函数．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导函数，再因式分解得，再分，，三种情况讨论单调性；
（2）先根据（1）求出，再将问题转化为求证恒成立，通过构造函数求其最小值即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，令，得，．
（ⅰ）若，即，
则当或时，，当时，，
则的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（ⅱ）若，即时，
则当或时，；当时，；
则的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（ⅲ）若，即时，，在上单调递增．
综上所述，当时，
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）由（1）知，当，时，
，
则要证明，
只需证明，即．
构造函数，，则，
令，则，所以在单调递增，
而，，
故存在唯一，使得，即，．
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增．
所以当时，取得极小值，也是最小值，
，
所以，
故，结论得证．
题型九 导数与不等式证明
【技巧通法·提分快招】
利用导数证明或判定不等式问题 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1．（24-25高三上·北京·月考）已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
【答案】(1)零点为0；，
(2)极小值，无极大值
(3)证明见解析
【分析】（1）令结合对数的运算可得零点，求导可得；
（2）求出，分析单调性，进而可得的单调性和极值；
（3）要证，即证：当时，，构造函数求导分析单调性可得.
【详解】（1）令，解得的零点为0；
，
（2），
在上恒成立，
为上的增函数．
又，当时，为减函数；
当时，为增函数．
当时，取极小值．
（3）要证，即证：当时，；
当时，．
令，
在上恒成立，
为上的增函数．
又，当时，，即；
当时，，即．
当时，显然成立．
．
2．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解；
（2）先构造函数，得出单调性进而得出不等式，进而构造即可证明不等式.
【详解】（1）由题意可知，，
因为，所以，
所以，
解得；
（2）设，
，
所以在上单调递增 且，
所以当时，单调递减
当时，，单调递增
所以，所以
设，所以，
在上单调递减，在上单调递增 ，
所以，所以 ，
又因为与等号成立的条件不一致，
所以．
3．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值；
（2）分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立；在时，构造函数，证明出，可得出，结合（1）中的结论可证得结论成立.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
且，
可知当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
故有极小值，无极大值.
（2）当时，有恒成立.
当时，构造函数，则，
故在上单调递增，
于是，即，于是此时，
由（1）可知，故，故.
综上所述，当时，.
4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若，证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），令，利用导数法求得其最小值即可；
（2）将问题转化为，令，利用导数法证明在上恒成立即可.
【详解】（1），
令，
则，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，即的取值范围是．
（2），
即．
令，
则，
令，则恒成立，
故在上单调递减．
又，故，
故在上恒成立，
故在上单调递减．
又，
故，结论得证．
5．（24-25高三下·江苏常州·月考）设函数．
(1)若不等式恒成立，求的取值范围；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的定义域为，故由转化为恒成立，即求，设，，设，利用导数可得时，，即，时，，，进而可得，进而可得；
（2）由题意在上单调递减，因，，虚设零点，，进而得，再根据在上单调递增，进而可得.
【详解】（1）函数的定义域为，
设函数，
则，
令，则，
故函数在上单调递减．
因为，所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．因为恒成立，所以，
所以的取值范围为.
（2）令，则在上单调递减．
又，，
所以在上有唯一零点，设为，即．
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
所以当时，．
因为函数在上单调递增，所以，所以．
6．已知函数．
(1)判断的单调性，并说明理由；
(2)证明：．（证明时可使用下列结论：当时，成立）．
【答案】(1)在内单调递增，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，然后构建函数，求导判断即可；
（2）根据（1）的可得当时，，然后可知，进一步化简即可.
【详解】（1），令，
则，即
，
所以在上单调递增，
即当时，，所以在内单调递增．
（2）由（1）得，当时，，
所以当时，．
又当时，成立，
所以当时，，
即．
所以当时，．
7．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用几何意义得，即可求解；
（2）（ⅰ）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，再分和两种情况讨论，即可求解；（ii）利用（i）中结果得，令，得到，再利用累加法，即可求解.
【详解】（1）由题知，则，
又因为曲线在点处的切线与直线平行，
故，解得．
（2）（ⅰ）由题知，函数在区间上单调递增，
故在区间上恒成立，令，则有，
又，则，
①当，即时，令，得到，解得，
当时，，所以在区间上单调递减，
又，则时，，即，
即在区间上单调递减，不符合题意；
②当，即时，在上恒成立，
故在区间上单调递增，又，故，即，
故函数在区间上单调递增，符合题意．
综上，的取值范围是．
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在区间恒成立，则．
令，则有，
所以，，，，
则，
所以，
故．
8．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，判断的单调性，进而可求的零点；
（2）运用分离参数的方法转化为求函数的最值即可；
（3）根据（2）的结论证明即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，则的零点为1．
（2）恒成立，即．
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以，即．
则实数的取值范围为
（3）由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，
取，
则，
所以，
即．
由，
即，当且仅当时等号成立，
取，
得，
所以，
即．
综上，
9．（2025·山西·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；
(3)证明：当时，都有．
【答案】(1)
(2)当时，有2个极值点；当时，有1个极值点，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可求得；
（2）将函数求导后，根据参数的范围讨论函数的单调性，推得极值情况即可；
（3）利用（2）的结论，可得，取，利用累加法，推得，再用导数证明，取，再利用累加法，推得，即可得证.
【详解】（1）当时，，，
则， ，，
所以在处的切线方程为．
（2）的定义域为，，
令，得，或，
又，所以
①当，即时，
若，则，在上递增；
若，则，在上递减，故有1个极值点；
②当，即时，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
若，则，在上单调递减，故有2个极值点．
综上，当时，有2个极值点；当时，有1个极值点．
（3）由（2）知当时，在上递减，
∴，即，
因为，所以，，
对赋值累加可得：，
所以．
再证，
设，则，故在区间上递增，
所以当时，，即．
故有，，
再对赋值累加可得：，
故，即命题得证．
题型十 导数中其他双（多）变量问题
1．（23-24高三上·广东广州·月考）设函数的两个极值点分别为，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知有两个不相等的实根，转化为两个函数有两个交点问题，根据单调性画出函数图象，由此得到的取值范围.
（2）将不等式取自然对数化简整理，构造函数，求导分析，即可求正数的取值范围
【详解】（1）由题，定义域为．
则，由题可得有两个不等实数根，，
于是有两个不同的实数根，等价于函数与图象在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又，有极大值为，当时，，所以可得函数的草图（如图所示）．

所以，要使函数与图象在有两个不同的交点，当且仅当．
即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：，是方程的两个实数根，且．
则 ．
由于，两边取自然对数得，
即，
令，则在恒成立．
所以在恒成立
令，则．
①当即时，，在递增，所以恒成立，满足题意．
②当时，在递增，在递减，所以，当时，，
因此，在不能恒成立，不满足题意．
综上所述，，即的取值范围是．
2．已知函数．
(1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；
(2)若的极值点为，设，且证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）先求得的极值点，将问题转化为证，再根据的单调性转化为证，构造差函数，利用导数研究其单调性即可.
【详解】（1）由题意知直线的斜率为，所以曲线在点处的切线斜率为-2，而，则，得，
所以在点处的切线方程为：，即．
（2），令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极值，的唯一极值点，
因为，则，
当时，恒成立，则在上单调递增，不合题意，
当时，易得的解集为的解集为，
即的单调增区间为，单调减区间为，
依题意：，解得，
不妨设，则，要证，则只要证，
即证：，即证，即证：，
令
则，即在上单调递减，有
即，则成立，因此成立，.
【点睛】思路点睛：第二问先求导得的唯一极值点，将问题化为证，再通过求导判定的单调增区间为，单调减区间为，，将问题化为证成立，此时将双变量问题转化为单变量问题，即证单调递增即可.
3．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
【答案】(1)
(2)极大值为，无极小值．
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；
（3）由（2）不妨令，，构造，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再构造，，利用导数说明，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，则，
又，
故在处的切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，又，
令，解得；令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（3）由（2）不妨令，，，
构造，，
则，令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
构造，，
，令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又等号不同时成立，
所以．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
4．已知函数.
(1)设函数，若恒成立，求的最小值；
(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）将问题转化为不等式在上恒成立，利用导数证明时，不等式成立，进而分类讨论与两种情况，从而得解；
（2）利用导数研究函数的性质可得，由题意可得，原不等式变形为，利用分析法，构造函数证明，即，结合即可证明.
【详解】（1）当、时，即恒成立，
等价于恒成立.
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，得，即，
当时，令，易得在上单调递增，
又，，
所以在，即上存在唯一零点，
所以，即，且；
当时，令，
易得关于的函数与在上单调递增，则，
当时，，即，不满足题意；
当时，易得，即恒成立；
综上：，则实数k的最小值为1；
（2）由题意知，，
，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，易得恒成立，当时，，
又函数有两个不同的实根，即与的图像有两个交点，
作出与的部分图像如图：
所以，且，
得，有.
要证，即证，
即证，即证，
由，得.
设，则，
令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即，
所以，则，
即，即证.
【点睛】
方法点睛：破解含双参不等式证明题，先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若，方程有三个不相等的实数根且，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；
（2）根据判别式符号并对的取值进行分类讨论，即可得出对应的函数单调区间；
（3）由时可求得函数单调区间，可求出的大致范围，再通过构造函数利用函数单调性即可得出证明.
【详解】（1）由题意得，定义域为，
，
可得曲线在点处的切线的斜率为0．
，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2），
易知，且．
令，则．
当，即时，在上恒成立，且等号不恒成立，
即在上恒成立，且等号不恒成立，因此在上单调递增．
当，即时，
由解得或，
，
当时，；当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，.
（3）由（2）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减．
．
令，
则在上恒成立，
在上单调递增，则当时，，
在上恒成立．
，且．
由于在上单调递减，．
令，
则在上恒成立，
在上单调递增，则当时，，
在上恒成立．
且．
在上单调递增，．
由和可得．
6．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（i）证明：；
（ii）若，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）根据极值点定义对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，即可得出极值点的个数；
（2）（i）由（1）可知且即可得出结论；
（ii）构造函数通过求导可得其单调性，再利用分析法可得证明即可，构造函数并根据其单调性结合可证明得出结论.
【详解】（1）由题知，
设函数，
当时，开口向上，，
所以，在上单调递减，无极值点；
当时，在上有两个解，，
又因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上：当时，无极值点；
当时，所以有两个极值点.
（2）（i）由（1）知：，且，
又因为，
所以.
（ii）由（i）知：，，，
所以，所以.
令，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为时，；时，.
所以.
所以，要证明：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
又因为在上单调递增，
所以只需证：.
令，所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即.
所以，要证：，只需证：，即证明：.
因为，所以，所以.
又因为，
所以，所以.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以成立.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用要证明的不等式结构，通过合理变形再利用同构思想构造函数得出其单调性即可证明得出结论.
7．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）易知0是函数的一个极值点，则函数有2个零点，利用导数讨论函数的性质可得，即.由零点的存在性定理和即可求解；
（2）由（1），设，只需证．由得，令得，则只需证，利用导数讨论函数的性质得出，即可证明.当然也可以采用对称设法来证明.
【详解】（1）由题意，得，
由，得或，所以0是函数的一个极值点．
所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和．
令，则．
当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点；
当时，由，得，由，得，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，即，所以．
又．
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．

令，则，令得，
令得，所以在上递增，在上递减，
所以，，
所以，
由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．
因为所以，
综上，的取值范围是．
（2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明．
由得，即两式相除得．
令，则．
所以，所以．
所以要证明，只要证明，
即，其中，所以．
所以只要证明．令，
所以，从而恒成立，
所以在上是减函数，所以．
所以在上是增函数，所以，即证：．
另解：由，知，所以，且为的两根．
记，则，当，，当，
故在上递增，在上递减．
不妨取，所以要证，即要证，
只要证，又，故只要证，
即要证，也即要证(#)．
令，则．
而当时，，故在上递减，
故，故在上递增，故，所以(#)成立，
故．
【点睛】破解含双参不等式证明题，先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型十一 导数结合数列
【技巧通法·提分快招】
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
1．（23-24高三上·安徽·月考）设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.
【答案】(1)在区间和上都是单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求出定义域，先证出，得到，故，求出单调性；
（2）在（1）的基础上，得到，故数列是单调递增数列，由（1）得到，得到，故.
【详解】（1）函数的定义域是，先证明，
设，
则，在上，单调递增，
在上，单调递减，，所以.
可得，得到，等号当且仅当时成立，
所以，
注意，所以恒成立.
因此在区间，上都是单调递增.
（2）由题设，，
，，
只需证明，
因为在上单调递增，显然成立.
下面证明，等价于证明，
也即证明，由（1）过程可知，当且仅当时等号成立，
，所以，故原不等式得证.
【点睛】利用导数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
2．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可.
（2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可.
（ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可.
【详解】（1）由题可知任意，
且，，即，解得，
因为，所以解得，即的取值范围为．
（2）（i）设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
得到，即，
故是上的“好函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，
令，则，
即，
故，
化简可得．
3．（23-24高三上·上海黄浦·期中）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知，.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围
(3)数列满足，，.证明：对任意的，.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数求原函数的单调区间；
（2）利用分组求和法求，代入不等式运算求解即可；
（3）利用导数可求得当时，，结合根据函数的单调性分析证明.
【详解】（1）因为，定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，则，
可得
，
，
对于不等式：，即，
整理得，
所以使得不等式：成立的正整数的取值范围.
（3）因为，的定义域为，
且恒成立，
且，所以当时，，
由（1）可知数在单调递减，在单调递增，
因为，所以，，，，
又因为，则，所以，
又因为在单调递减，所以，
即，即，
所以，则，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)探究数列的单调性并说明理由；
(3)证明；．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)数列为递减数列，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先对求导，判断导数的单调性，最后求解单调区间即可.
（2）先利用作差法得到，再构造，利用导数判断其单调性，结合函数值判断正负，再判断的正负，得到数列的单调性即可.
（3）合理构造函数，利用导数得到，再合理变形得到，再对的范围分类讨论，利用累乘法结合放缩法得到当时成立，显然得到当时成立即可.
【详解】（1）因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）数列为递减数列，理由如下：
由题意可得，则，
令函数，则，
得到在上单调递减，则，
令，则，
故，即数列为递减数列；
（3）由题意得，
令函数，
令函数，则，
当时，，当时，，
得到在上单调递减，在上单调递增，
故，则，即，
则，故在定义域上单调递增，且，
令，则，得到，
且，故，又因为，所以，
得到，故，
当时，得到．即，
当时，．故．
综上，原命题得证.
5．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知一系列函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)证明：；
(3)记为的最小值，，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，根据余弦函数的单调性求解即可；
（2）当时，易得满足题意，当时，令，可得，利用导数分析其单调性，进而得到，进而利用等比数列的求和公式求证即可.
（3）由（2）得，进而分为偶数和为奇数两种情况讨论求证即可.
【详解】（1）由
，
当时，，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，满足；
当时，令，则，
所以，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
所以.
综上所述，.
（3）由（2）知，，则，
则，即，
当为偶数时，设，，
由于，
而，
则，当且仅当时等号成立，
所以；
当为奇数时，设，，
由于，
而，
则，当且仅当时等号成立，
所以
，当且仅当时等号成立.
综上所述，.
6．已知函数．
(1)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)证明：对任意的正整数n，不等式都成立．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况分类讨论，得到函数的单调性及极值，即可求解；
（2）设左边，右边，根据题意，求得和，转化为证明，设，求得，利用导数求得函数的单调性，得到，令，得到，结合叠加法，即可得证.
【详解】（1）由函数的定义域为，可得，
当时，，则，在上单调递增，
故在上有两个零点不成立；
当时，由得或，舍去，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，取到极大值，也是最大值，即．
因为在上有两个零点，
所以，可得，
即，则实数的取值范围是．
（2）设不等式左边，右边，
要证，只需证，，，，即证恒成立，
易知，因为，
所以（*），
当时，，也满足（*）式，所以，
证明，即证，
设，则，
在上单调递增，从而在上单调递增，则，
令（为正整数），则，
所以，
分别取，
可得，，，…，
，
以上个式子相加得，得证．
【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
7．（24-25高三上·重庆·月考）已知函数．
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)设，曲线在点处的切线与轴，轴围成的三角形面积为，记，求；
(3)设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设切点，根据导数几何意义可求得切线方程，代入点即可求得的值，进而得到切线方程；
（2）根据导数几何意义可求得切线方程，并确定与轴交点坐标，进而表示出，采用分组求和的方法可求得结果；
（3）根据函数的极值点个数可知与有两个不同交点，进而得到，并确定，根据化简，得到，利用导数可求得单调性，结合可求得结果.
【详解】（1）设过点的切线与相切于点，
，，切线方程为：，
又切线过点，，解得：，
所求切线方程为：，即.
（2），，
，，
在点处的切线方程为：，
即，
令得：；令得：；
，
，
.
（3）由题意知：的定义域为，
，
令，则或，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又当时，；当时，；，
大致图象如下图所示，
在定义域内有三个极值点，
与有两个不同的交点，，
不妨设，则，
，，则，
，
设，
则，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，，
又，，在上单调递增，
，当时，恒成立，
即当时，恒成立，
实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、根据函数极值点与极值求解参数范围的问题；本题求解参数范围的关键是能够将极值点个数转化为两函数交点个数问题，从而确定参数的大致范围；结合极值满足的不等式可构造关于变量的函数，将问题转化为函数单调性与最值的求解问题.
题型十二 导数中的新定义问题
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用给定定义求解特殊点处的曲率即可.
（2）利用给定定义将目标式表示为一元函数，再不断换元，转化为三次函数最值问题，利用导数得到最值，进而求解取值范围即可.
【详解】（1）因为，所以，
，故，，
由曲率公式得.
（2）因为，所以，
，由曲率公式得，
故，
则，
令，令，函数化为，
令，则，函数化为，
对进行变形，得到，
令，函数化为，
此时，我们研究的范围即可，而，
当时，恒成立，故在上单调递增，
而，，
故，即，故.
2．（23-24高三上·贵州贵阳·开学考试）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，

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