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1.1 课时1 空间向量及其线性运算
【学习目标】
1.通过类比平面向量,了解空间向量的有关概念.(数学抽象)
2.通过类比平面向量,学习并掌握空间向量的线性运算:加法、减法以及数乘运算;掌握线性运算的运算律:结合律、交换律和分配律.(数学运算)
3.能根据一些条件,在简单的几何体中解决一些向量的运算问题,即掌握空间向量的应用.(数学运算、直观想象)
【自主预习】
预习教材P2~5的内容,并完成下面的思考,提出你的疑惑与发现.
1.类比平面向量,可以表示平面向量,也可以表示空间向量吗 它们模长的几何意义相同吗
2.在空间中,零向量、单位向量、相反向量、共线(平行)向量、相等向量的概念与平面向量中的定义相同吗
3.空间向量线性运算的结果,与向量起点的选择有关系吗
4.如何定义直线的方向向量及共面向量
5.已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简++,++.你能发现什么规律
6.三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. (　　)
(2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. (　　)
(3)空间向量线性运算的结果不一定是向量. (　　)
(4)任意两个空间向量都不能比较大小. (　　)
2.下列说法正确的是(　　).
A.空间向量就是空间中的一条有向线段
B.由于0的方向不确定,故0不能与任意向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
3.(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E为CC'的中点,F是AC'上靠近点A的三等分点,则下列表达式化简正确的是(　　).
A.+=
B.-+=
C.-+=
D.=
4.已知b=-5a,|a|=2,则向量b的长度为　　　　,向量b的方向与向量a的方向　　　　.
【合作探究】
探究1　空间向量的概念
已知一块正三角形钢板,它的三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示.
问题1:在物理学中,力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么
问题2:你能根据平面向量的定义,写出空间向量的定义吗
问题3:平面向量与空间向量的定义有何区别 它们的本质是否相同
1.空间向量
(1)定义:在空间中,我们把具有　 和的量叫作空间向量.
(2)长度或模:空间向量的叫作空间向量的长度或模.
(3)表示法:①几何表示法,空间向量用有向线段表示.
②字母表示法,用字母a,b,c,…表示.
若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可记作,其模记为|a|或||.
2.几类常见的空间向量
名称 定义 表示
零向量 长度为的向量 0
单位向量 模为的向量 |a|=　　　　或 ||=　　　　
相反向量 与向量a长度而方向的向量
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线或,那么这些向量叫作共线向量或向量 a∥b
规定:零向量与任意向量 0∥a
相等向量 方向且模的向量 a=b 或=
例1　(1)给出下列说法:
①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=;
②若a∥b,b∥c,则a∥c;
③若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;
④若a,b是相反向量,则|a|=|b|.
其中,正确的是　　　　.(填序号)
(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,由顶点连接而成的向量中,与向量相等的向量有　　　　　.
【方法总结】在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念的问题时,通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线,这一点说明了共线向量不具备传递性.
下列说法正确的是(　　).
A.若|a|<|b|,则aB.两个有公共终点的向量,一定是共线向量
C.空间内两平行向量相等
D.向量与的模相同
如图所示,在由平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接而成的所有向量中,与向量相等的向量有　　　　　　,与向量相反的向量有　　　　　　.(要求写出所有符合条件的向量)
探究2　空间向量的线性运算
问题1:空间中的向量如何进行线性运算 能用平面向量的线性运算法则进行计算吗
问题2:平面向量所满足的运算律(结合律、交换律和分配律)在空间中是否也满足
1.空间向量的加法、减法以及数乘运算
由图(1)知
①a+b=+=;
②a-b=-=.
由图(2)知
当λ>0时,λa=λ=;
当λ<0时,λa=λ=;
当λ=0时,λa=　　　　.
2.空间向量的线性运算满足的运算律(λ,μ∈R)
交换律:a+b=　　　　.
结合律:(a+b)+c=　　　　,λ(μa)=　　　　.
分配律:(λ+μ)a=　　　　, λ(a+b)=　　　　.
3.一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以为起点的平行六面体所表示的向量.
例2　已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',如图所示.
(1)化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量.
①++;②++.
(2)若M为AC上靠近点A的三等分点,N为A'D上靠近点D的三等分点,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
【方法总结】利用线性运算进行向量表示的技巧:(1)结合已知向量和所求向量观察图形;(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中;(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　).
①(-)-;②(+)-;③(-)-;④(-)+.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
探究3　共线向量、直线的方向向量与共面向量
问题1:对任意两个空间向量a与b,如果a=λb(λ∈R),那么a与b有什么位置关系 反过来,当a与b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R)
问题2:若某直线l上的向量与向量a平行,则与向量a平行的非零向量称为什么
问题3:什么是共面向量 任意两个向量都共面吗
1.空间两个向量共线(平行)的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使　　　　.
2.直线的方向向量
如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得=　　　　.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　.
3.与直线、平面平行的向量
如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l或　　　　,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 或　　　　,那么称向量a平行于平面α.
4.共面向量
平行于的向量,叫作共面向量.
5.三个向量共面的充要条件
如果两个向量a,b,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=　　　　.
一、三点共线
例3　对于空间的任意一点O,以下条件可以判定点P,A,B共线的是　　　　.(填序号)
①=+t(t∈R,t≠0);②5=+;③=-+.
【方法总结】对于空间三点P,A,B,可通过证明下列结论来证明三点共线.
①存在实数λ,使=λ成立;
②对空间任意一点O,有=+t(t∈R);
③对空间任意一点O,有=x+y(x+y=1).
已知向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点为(　　).
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
二、四点共面
例4　(改编)(多选题)给出下列命题,其中为假命题的是(　　).
A.空间三点P,M,N不共线,若点O满足+2+3=0,则O,P,M,N四点共面
B.若向量a,b所在的直线是异面直线,则a,b不共面
C.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面
D.若M,N,A,B四点共面,则=x+y
【方法总结】对于空间四点A,B,C,P,可通过证明下列结论来证明四点共面:
(1)存在实数x,y,使得=x+y成立;
(2)对于空间任意一点O,有=x+y+z(x+y+z=1).
(多选题)下列说法中,正确的有(　　).
A.若+2=0,则向量是直线CD的方向向量
B.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
C.若++=0,则点M与点A,B,C一定共面
D.若=3+2-6,则点M与点A,B,C一定共面
【随堂检测】
1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
点M满足2=.若=a,=b,=c,则下列向量与相等的是(　　).
A.a-b+c
B.a+b+c
C.-a+b+c
D.-a-b+c
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量与共面的是(　　).
A.,
B.,
C.,
D.,
3.如图,在四面体PABC中,E是AC的中点,=3,则=(　　).
A.-+
B.-+
C.++
D.-+
4.如图,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD,AD的中点,试化简+-,并在图中标出化简结果的向量.
参考答案
1.1　空间向量及其运算
课时1　空间向量及其线性运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.可以.相同.
2.相同.
3.无关.
4.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.平行于同一平面的向量,叫作共面向量.
5.++=+=;
++=+=.
发现:(+)+=(+)+.
6.对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.D　【解析】有向线段只是空间向量的一种表示形式,故A错误;规定0的方向是任意的,0与任意向量平行,故B错误;因为向量a,b的模相等,而向量a,b的方向不确定,所以a与b不一定共线,故C错误;因为向量的模是一个实数,所以可以比较大小,故D正确.
3.BCD　【解析】+=,A错误;在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,有=,=,故-+=++=,B正确;因为=,E为CC'的中点,所以-+=++=,C正确;因为F是AC'上靠近点A的三等分点,所以(++)==,D正确.
4.10　相反
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:力是矢量,不共面,这三个力在数学上叫空间向量.
问题2:在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.
问题3:定义的区别:平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内,一个在空间中.它们的本质相同,空间中的任意一个向量均在某一平面内.
新知生成
1.(1)大小　方向　(2)大小
2.0　1　1　1　相等　相反　-a　互相平行　重合　平行　平行　相同　相等
新知运用
例1　(1)①④　(2),,　【解析】(1)①因为与的大小和方向均相同,所以=,故①正确;②当b=0时,a∥c不一定成立,故②错误;③相等向量的起点与终点不一定相同,故③错误;④相反向量的模相等,故④正确.
(2)与向量相等的向量有,,.
巩固训练1　D　【解析】向量的模有大小,但向量不能比较大小,A错误;终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反,B错误;相等向量需满足模相等,方向相同两个条件,因此,平行向量不一定相等,C错误;D正确.
巩固训练2　,,　,,,　【解析】根据相等向量的定义知,与向量相等的向量有,,,与向量相反的向量有,,,.
探究2　情境设置
问题1:能.因为空间向量是可以自由移动的,所以对于空间中的任意两个非零向量,我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面,所以平移后的向量是在同一个平面内的,接着就可以利用平面向量的运算法则来进行线性运算.
问题2:满足.
新知生成
1.　　0
2.b+a　a+(b+c)　(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.O　对角线
新知运用
例2　【解析】(1)①++=++=+,
设P是线段CC'的中点,则++=+=,向量如图所示.
②++=+(+)=+,
设Q是线段A'C'的中点,则++=+=+=,
向量如图所示.
(2)连接AN(图略),则=+,由题知四边形ABCD是平行四边形,
故=+=a+b.因为M为AC上靠近点A的三等分点,所以=-=-(a+b).
又N为A'D上靠近点D的三等分点,所以=+=-=-=-=(c+2b),
则=+=-(a+b)+(c+2b)=(-a+b+c).
巩固训练　A　【解析】①(-)-=++=;
②(+)-=++=+=;
③(-)-=-=-=≠;
④(-)+=++=++=+≠.
故选A.
探究3　情境设置
问题1:a=λb(λ∈R),则a∥b.反过来,类似于平面向量共线的充要条件,对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
问题2:直线l的方向向量.
问题3:平行于同一个平面的向量叫作共面向量.任意两个向量都共面.
新知生成
1.a=λb
2.λa　方向向量
3.平行　重合　平行于平面α　在平面α内
4.同一个平面
5.不共线　xa+yb
新知运用
例3　①　【解析】对于①,∵=+t(t≠0),
∴-=t(t≠0),∴=t(t≠0),
∴P,A,B三点共线,故①正确;
对于②,∵5=+,∴5=,∴,共线,
∴P,O,B三点共线,点P,A,B不一定共线,故②错误;
对于③,∵=-+=--+,∴-=-2,∴=-2,若BP与OA平行,则点P,A,B不共线,故③错误.
巩固训练　A　【解析】因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,
所以与共线,即A,B,D三点共线.
例4　BD　【解析】因为+2+3=0,所以=-2-3,所以,,共面,所以O,P,M,N四点共面,A为真命题;
空间中任意两个向量都是共面的,B为假命题;
若对空间中任意一点O,有=++,由于++=1,则P,A,B,C四点共面,C为真命题;
若M,N,A,B四点共面,其中M,A,B三点共线,点N与点M,A,B不共线,则不存在实数x,y,使=x+y成立,D为假命题.
巩固训练　AC　【解析】若+2=0,则=-2,所以与共线,又CD是直线,所以≠0,所以向量是直线CD的方向向量,A正确;若b=0,a≠0,则a∥b,但不存在实数λ,使a=λb,B错误;由++=0,可得=--,由空间向量共面定理知,M,A,B,C四点一定共面,C正确;=3+2-6,因为3+2-6=-1≠1 ,所以M,A,B,C四点不共面,D错误.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】因为点M满足2=,所以M为AC的中点.连接BD(图略),因为四边形ABCD为平行四边形,所以M为BD的中点,所以==(+)=(-a+b),
所以=+=c+(-a+b)=-a+b+c.
2.C　【解析】如图,BA1∥CD1,因为,,共面,所以,,共面,其他几组与不共面.
3.B　【解析】因为=3,所以==-.
又E是AC的中点,所以==(-),
所以=++=-++(-)=-+.
故选B.
4.【解析】∵G是△BCD的重心,BE是CD边上的中线,
∴=.
又=(-)
=-=-=,
∴+-=+-=(如图所示).1.1 课时2 空间向量的数量积运算
【学习目标】
1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念,理解投影向量的概念.(数学抽象)
2.理解空间向量的数量积的运算律:交换律和分配律,并能将其与数的乘法进行比较,分析它们的联系与区别.(数学运算)
3.可以结合实际,灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.类比平面向量的数量积,你能得出空间向量数量积的哪些相关知识
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两向量的数量积是实数. (　　)
(2)对于非零向量a,b,与相等. (　　)
2.向量a在b上的投影向量是什么
3.类比平面向量向平面向量投影,你能画出空间向量a向直线l投影及向量a向平面β投影吗
4.类比平面向量数量积的运算律,空间向量的数量积运算满足哪些运算律
5.数量积运算能否判断两个非零向量的平行或者垂直关系 能否用来求角
(3)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c). (　　)
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　)
2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.(人教A版选择性必修第一册P9习题1.1T4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.若E,F分别是OA,OC的中点,则下列结论正确的是(　　).
A.·=-
B.·=
C.·=-
D.·=-
4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,且=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　　.
【合作探究】
探究1　向量的夹角与数量积的概念
如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ.
为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引进了“数量积”的概念.
问题1:θ是哪两个量的夹角
问题2:任意两个向量的数量积是向量吗 两个向量的数量积一定是非负数吗
问题3:如图所示,四面体ABCD的棱长均等于1,E是BC的中点,则下列结论正确的有哪些
(1)·<0;(2)·=·;(3)·=·.
1.定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则叫作向量a,b的夹角,记作　　　　.
通常规定:0≤　　　　　　　　≤π,且　　　　　　　　=　　　　　　　　.
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a和b,则|a||b|cos叫作a,b 的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
例1　已知四面体DABC的每条棱长都等于1,E,F分别是AB,AD的中点,则·=(　　).
A.
B.-
C.
D.-
【方法总结】求空间向量的数量积和求平面向量的数量积一样,在确定两个向量之间的夹角以及它们的模后,利用公式a·b=|a||b|cos 即可解决问题.
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则·=(　　).
A.-2
B.2
C.-1
D.1
探究2　空间向量数量积的性质与运算律
问题1: “若a·b=a·c,则b=c”这种说法正确吗
问题2:数量积的运算满足除法吗
问题3:数量积的运算满足结合律吗
1.空间向量数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;
(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
2.空间向量数量积的有关结论
(1)a·a=|a||a|cos=|a|2;
(2)a⊥b a·b=0;
(3)cos=(a≠0,b≠0).
例2　如图,已知正四面体OABC的棱长为1,求:
(1)(+)·(+);
(2)|++|.
【方法总结】空间向量数量积的应用
(1)求夹角:先求向量a与b夹角的余弦值,需求出|a|,|b|和a·b的值,再利用求夹角余弦值的公式cos=求解即可知夹角.
(2)求线段的长度:向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此,线段的长度可用向量求解.
(3)证明向量垂直:立体几何中判断有关线线垂直的问题,通常可以转化为证明向量的数量积为零.
如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若以A为顶点的三条棱长均为2,AB,AD,AA'两两的夹角为60°,求AC与BD'所成角的余弦值.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是棱BC上的动点,P是棱B1C1上的动点,AB=BC=2,AA1=1,求·的取值范围.
探究3　投影向量
我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示.
问题1:如何求在上的投影向量
问题2:平面向量数量积的投影定义在空间中还成立吗
1.如图1,在空间中,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|·cos·=·,|c|=|a|·|cos|=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,也可以将向量a向直线l投影,如图2.
2.如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
例3　如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则||=　　　,在上的投影向量是　　　　.
【方法总结】可用|a|cos=求解空间中的距离问题.
在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,且SA⊥底面ABCD,则向量在平面ABCD上的投影向量是　　　　,·=　　　　.
探究4　空间向量数量积的应用
例4　(2023年全国乙卷改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.求证:EF∥平面ADO.
【方法总结】利用向量法证明的核心是利用向量的数量积、数乘向量的运算以及向量垂直的条件等建立等量关系,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
已知正方形ABCD的边长为2,△P'AB为等边三角形(如图1所示).沿着AB折起,点P'折起到点P的位置,使得侧面PAB⊥底面ABCD,M是棱AD的中点(如图2所示).求证:PC⊥BM.
【随堂检测】
1.已知向量a,b,c和实数λ,下列命题中,是真命题的为(　　).
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
2.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为(　　).
A.
B.
C.-
D.0
3.如图,A1B1,AB分别是圆台上、下底面的两条直径,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近点B1的三等分点,则在上的投影向量是(　　).
A.
B.
C.
D.
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长是　　　　.
参考答案
课时2　空间向量的数量积运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.数量积的定义,即a·b=|a||b|cos,向量a与b的夹角以及向量垂直.
2.向量a在b上的投影向量为|a|cos·.
3.图1、图2分别是空间向量a向直线l投影及向量a向平面β投影.
图1　　　　　　　　图2
4.空间向量数量积的运算满足交换律和分配律.
5.能判断平行关系,若cos==±1,则向量a,b平行;能判断垂直关系,若a·b=0,则向量a,b垂直.能用来求角,cos=.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
3.BD　【解析】在正四面体OABC中,||=||=||=||=||=||=1,
则·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=,A错误;
因为E,F分别是OA,OC的中点,
所以·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,B正确;
·=·=||2=,C错误;
·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,D正确.
4.-2e　【解析】空间向量a在单位向量e上的投影向量为|a|cose=4cos ·e=-2e.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:θ是力F与位移s的夹角.
问题2:不是向量.两个向量的数量积是实数,不一定是非负数.
问题3:∵E是BC的中点,AB=AC,∴⊥,即·=0,∴(1)错误;
由题意知与的夹角为120°,∴·=1×1×cos 120°=-,
由题意知与的夹角为60°,∴·=1×1×cos 60°=,∴(2)错误;
∵E是BC的中点,且△BCD是正三角形,∴BC⊥ED,∴·=0,
∴·=·,∴(3)正确.
综上,只有(3)正确.
新知生成
1.∠AOB　
新知运用
例1　B　【解析】如图,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴=.
∵四面体DABC的每条棱长都等于1,∴每个面都是等边三角形,
∴·=·=-·=-·||·||·cos =-×1×1×=-.故选B.
巩固训练　C　【解析】·=·=()2·cos<,>=2cos(180°-60°)=2cos 120°=2×-=-1.故选C.
探究2　情境设置
问题1:不正确,向量不能约分.
问题2:数量积的运算不满足除法,即对于向量a,b,若a·b=k,不能得到a=或b=.例如,当非零向量a,b垂直时,a·b=0,但a=显然是没有意义的.
问题3:向量的数量积运算不满足结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
新知运用
例2　【解析】(1)(+)·(+)
=(+)·(-+-)
=(+)·(+-2)
=+·-2·+·+-2·
=12+1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1.
(2)|++|=
=
==.
巩固训练1　【解析】∵=+,=-=+-,
∴·=(+)·(+-)=·-||2+·+||2=2×2×2×cos 60°=4.
∵||2=|+|2=||2+2·+||2=22+2×2×2×cos 60°+22=12,∴||=2.
∵||2=|+-|2=||2+||2+||2+2·-2·-2·=3×22-2×2×2×cos 60°=8,∴||=2.
设AC与BD'所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|===.
巩固训练2　【解析】·=(++)·(+)
=·+·+·+·+·+·,
因为AA1⊥AB,C1P⊥AB,AA1⊥BQ,AB⊥BQ,
所以·=0,·=0,·=0,·=0,
因此·=·+·=||2-||·||.
设||=x,||=y,0≤x≤2,0≤y≤2,则·=4-xy,
因为0≤xy≤4,所以0≤4-xy≤4,
故·的取值范围为[0,4].
探究3　情境设置
问题1:根据平面向量数量积的几何意义,在上的投影向量为||cos(π-∠OAB)·=-.
问题2:根据空间向量数量积公式可知,依然成立.
新知生成
2.　　a　
新知运用
例3　　　【解析】由题图可知=++,
所以||=
=
=,
·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14,
故在上的投影向量是·=.
巩固训练　　-1　【解析】如图,∵SA⊥底面ABCD,
∴向量在平面ABCD上的投影向量是.
∵SA⊥底面ABCD,∴·=0.
∵四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,
∴·=(-)·=-·=-(+)·=-=-1.
探究4
例4　【解析】设=t,因为AB⊥BC,所以·=0.
因为BF⊥AO,所以·=0,
而=+=+t=+t=(1-t)+t,
O为BC的中点,所以=+=-+,
所以·=(t-1)+t=4(t-1)+4t=0,解得t=,即F为AC的中点.
因为E为AP的中点,所以EF∥PC,同理OD∥PC,则OD∥EF,
因为EF 平面ADO,OD 平面ADO,所以EF∥平面ADO.
巩固训练　【解析】如图,取AB的中点O,连接OC交BM于点E,连接OP.
∵△PAB为等边三角形,∴PO⊥AB,
又∵平面PAB⊥平面ABCD,PO 平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB,
∴PO⊥平面ABCD,而BM 平面ABCD,
∴PO⊥BM.
又∵=+=+,=+=-+,
∴·=·=-=0,即⊥,∴BM⊥OC.
又∵PO 平面POC,OC 平面POC,PO∩OC=O,
∴BM⊥平面POC,∵PC 平面POC,∴PC⊥BM.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】对于A,可举反例,当a⊥b时,a·b=0;
对于C,a2=b2,只能推出|a|=|b|,而不能推出a=±b;
对于D,由a·b=a·c可以通过移项推出a·(b-c)=0,但无法判断b与c的关系.
2.D　【解析】∵·=·(-)=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||-||||=0,
∴⊥,∴cos<,>=0.
3.C　【解析】如图,取C1在下底面的投影C,作CD⊥AB,垂足为D.连接CA,CO,CC1,则∠COD=,在上的投影向量是.设上底面的半径为r,则OD=r,AD=r=AB.故在上的投影向量是.
4.2　【解析】根据平行四边形法则可得=++,
所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=4+4+4+2×2×2×2×cos 120°+2×2×2×cos 60°=8,所以AC1=2.

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