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1.3 课时2 空间向量运算的坐标表示
【学习目标】
1.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算)
2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学抽象、数学运算)
3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.前面我们已经学面向量的加减、数乘和数量积运算,那么我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢
2.你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算的坐标表示的猜想
3.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一样吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. (　　)
(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则==. (　　)
(3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0. (　　)
(4)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==. (　　)
2.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　).
A.a+b=(10,-5,-6)
B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10
D.|a|=6
3.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则下列计算错误的是(　　).
A.a+b=(-2,7,4)
B.4a=(-12,8,20)
C.3a-b=(-10,1,16)
D.a·b=-2
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,c),且|a+b|=.
(1)求c的值;
(2)若ka+b与2a-b互相垂直,求实数k的值.
【合作探究】
探究1　空间向量运算的坐标表示
问题1:通过前面对平面向量坐标运算的复习,类比得出空间向量数量积的坐标运算表达式.
问题2:平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空间向量的坐标运算法则如下表所示:
运算 坐标表示
加法 a+b=　　　　
减法 a-b=　　　　
数乘 λa=　　　　
数量积 a·b=　　　　
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的,因此,一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
例1　(1)已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).
(2)已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),若=(-),求点P的坐标.
【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标问题,首先把向量用坐标形式表示出来,然后建立方程(组),解方程(组)求出其坐标.
已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　).
A.-1
B.1
C.0
D.-2
已知△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5),求顶点B,C的坐标及.
探究2　空间向量的平行、垂直
问题1:如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直 这个结论对于空间向量还成立吗
问题2:设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b≠0时,a∥b的充要条件能否表示为==
空间向量的平行与垂直的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a=λb
垂直(a⊥b) a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量)
例2　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷节选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.证明:B2C2∥A2D2.
(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC.
【方法总结】利用空间向量证明面面垂直的方法
利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题,再通过空间向量的坐标运算得出结论.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD.
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定点E的位置.
探究3　夹角与距离
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点.
问题1:向量的坐标是多少 如何求P1P2
问题2:如何求∠P1OP2的余弦值
向量的模、夹角与两点间的距离公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
模 |a|==
夹角公式 cos==
两点间的 距离公式 若点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||==
例3　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.
(1)求BN的长;
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值;
(3)求证:BN⊥平面C1MN.
【方法总结】利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤
(1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出相关向量的坐标.(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算.(4)转化:转化为求夹角或距离的问题.
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)若点D在直线AC上,且⊥,求点D的坐标;
(2)求以BA,BC为邻边的平行四边形的面积.
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,以,,为单位正交基底,建立空间直角坐标系.
(1)写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标.
(2)证明:CF∥DE.
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
【随堂检测】
1.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离为(　　).
A.
B.
C.
D.
2.已知向量a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则(　　).
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
3.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则
(1)a·(b+c)=　　　　;
(2)(a+2b)·(a-2b)=　　　　.
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,PD=DC=1,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD.
(2)求DA的长.
参考答案
课时2　空间向量运算的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),λa=(λa1,λa2)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2.
2. 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
3.空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.D　【解析】由已知得a+b=(10,-5,-2),所以A错误;a-b=(-2,1,-6),所以B错误;a·b=24+6-8=22,所以C错误;|a|==6,所以D正确.
3.D　【解析】因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以a+b=(-2,7,4),A正确;
4a=(-12,8,20),B正确;
3a-b=(-9,6,15)-(1,5,-1)=(-10,1,16),C正确;
a·b=-3+10-5=2,D错误.
4.【解析】(1)a+b=(1,1,0)+(-1,0,c)=(0,1,c),
所以|a+b|==,解得c=±2.
(2)当c=2时,
ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),
因为ka+b与2a-b互相垂直,
所以3(k-1)+2k-22=0,解得k=;
当c=-2时,
ka+b=(k,k,0)+(-1,0,-2)=(k-1,k,-2),
2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2),
因为ka+b与2a-b互相垂直,
所以3(k-1)+2k-22=0,解得k=.
综上,k=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,
所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k),
利用向量数量积的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0,
得到a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
问题2:平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算、数乘运算、数量积运算,其算法是相同的,但空间向量要比平面向量多一个竖坐标,竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的.
新知生成
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3)　(λa1,λa2,λa3),λ∈R　a1b1+a2b2+a3b3
新知运用
例1　【解析】(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);
a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);
a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7;
(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14;
(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.
(2)由题意知,=(2,6,-3),=(-4,3,1).
设P(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-2).
因为=(-)=3,,-2,
所以解得
则点P的坐标为5,,0.
巩固训练1　A　【解析】因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
巩固训练2　【解析】设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),则=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z).
因为=(4,1,2),所以解得
所以点B的坐标为(6,-4,5).
因为=(3,-2,5),
所以解得
所以点C的坐标为(9,-6,10),则=(-7,1,-7).
探究2　情境设置
问题1:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R),即a1b2-a2b1=0.a⊥b的充要条件是a·b=a1b1+a2b2=0(a≠0,b≠0).
上述充要条件在空间中仍成立,设空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),当b≠0时,a∥b的充要条件是a=λb,λ∈R,可以用坐标表示为(a1,a2,a3)=λ(b1,b2,b3),
得到(λ∈R),这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.
a⊥b的充要条件是a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).
问题2:空间向量平行的充要条件不等价于==,因为b≠0的含义是b的坐标分量b1,b2,b3至少有一个不为零,而非每一个坐标分量都不为零.例如,当b与坐标平面Oxy平行时,b3=0,此时无意义.
因此只有当b与三个坐标平面均不平行,即b1,b2,b3均不为零时才能有a∥b ==.特殊地,当b=0时,b=(0,0,0),此时b与任意向量都平行.
新知运用
例2　【解析】(1)以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),
所以=(0,-2,1),=(0,-2,1),所以=,所以∥,
又B2C2,A2D2不在同一条直线上,所以B2C2∥A2D2.
(2)取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则OM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以OM⊥平面PAB.
又PA=PB,所以PO⊥AB.
以O为原点,OP,OB,OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设AP=a(a>0),AD=b(b>0),则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),
所以=(a,a,0),=(0,0,b),=(a,-a,0).
因为所以AP⊥BP,AP⊥BC.
又BP,BC 平面PBC,BP∩BC=B,
所以AP⊥平面PBC,
又AP 平面PAD,
所以平面PAD⊥平面PBC.
巩固训练　【解析】如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AC,交BD于点O,连接A1O.
设正方体的棱长为1,E(0,1,m)(0≤m≤1),则B(1,1,0),A1(1,0,1),D(0,0,0),O,,0.
(1)=(-1,1,m-1),=(-1,-1,0),
因为·=0,所以A1E⊥BD.
(2)因为△A1DB是等边三角形,O为BD的中点,所以A1O⊥BD.
又平面A1BD∩平面EBD=BD,且平面A1BD⊥平面EBD,所以A1O⊥平面EBD,所以·=0.
又=,-,1,=(-1,0,m),
所以·=-+m=0,解得m=.
故当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.
探究3　情境设置
问题1:=-=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
于是||=
=,
所以P1P2=||
=.
问题2:利用公式cos∠P1OP2==计算.
新知运用
例3　【解析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴||=
=,
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2),B1(0,1,2),C(0,0,0),
∴=(-1,1,-2),=(0,-1,-2),
∴·=-1×0+1×(-1)+(-2)×(-2)=3.
又||=,||=,
∴cos<,>==.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
(3)依题意得,C1(0,0,2),M,,2,
∴=,,0,=(1,0,-1),=(1,-1,1),
∴·=×1+×(-1)+0×1=0,
·=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0,
∴⊥,⊥,∴BN⊥C1M,BN⊥C1N.
又C1M∩C1N=C1,C1M,C1N 平面C1MN,
∴BN⊥平面C1MN.
巩固训练1　【解析】(1)由题意得=(1,-3,2),点D在直线AC上.
设=λ=λ(1,-3,2)=(λ,-3λ,2λ),λ∈R,O为坐标原点,
则-=(λ,-3λ,2λ),=+(λ,-3λ,2λ)=(λ,2-3λ,3+2λ),
=-=(λ,2-3λ,3+2λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-3λ,2λ-3),
·=(1,-3,2)·(λ+2,1-3λ,2λ-3)=λ+2-3+9λ+4λ-6=14λ-7=0,
∴λ=,=,,4,∴D,,4.
(2)∵=(2,1,-3),=(3,-2,-1),
∴||==,||==,
∴·=2×3+1×(-2)+(-3)×(-1)=7,
∴cos B=cos<,>===,∴sin B=,
则S=||||sin B=××=7,
∴以BA,BC为邻边的平行四边形的面积为7.
巩固训练2　【解析】(1)由题可知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
(2)因为E,F分别为AA1,BB1的中点,所以E(2,0,1),F(2,2,1),
所以=(2,0,1),=(2,0,1),所以=.
又DE,CF不在同一条直线上,所以DE∥CF.
(3)易知向量=(-2,2,-2),=(-2,2,0),
向量在向量上的投影向量为||·cos<,>·=·=·==(-2,2,0),
所以向量在向量上的投影向量的坐标为(-2,2,0).
随堂检测·精评价
1.C　【解析】∵AB的中点为M2,,3,
∴=2,,3,
∴|CM|=||==.
2.B　【解析】2a+b=(2x+1,4,4-y),-a+2b=(2-x,3,-2y-2),
∵(2a+b)∥(-a+2b),
∴存在非零实数λ,使得2a+b=λ(-a+2b),
∴∴
3.(1)9　(2)-38　【解析】(1)b+c=(2,0,5),
a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,0,5)=9.
(2)|a|=,|b|=,
(a+2b)·(a-2b)=|a|2-4|b|2=-38.
4.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
设DA=t(t>0),则D(0,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),A(t,0,0),B(t,1,0),M,1,0,所以=,=(t,1,-1),=(0,0,-1).
因为·=0,所以AM⊥PD,又PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD 平面PBD,
所以AM⊥平面PBD,而AM 平面PAM,
所以平面PAM⊥平面PBD.
(2)由(1)知=(t,1,-1),=,
因为PB⊥AM,所以·=t·+1×1+(-1)×0=-+1=0,所以t=,即DA=.1.3 课时1 空间直角坐标系
【学习目标】
1.了解空间直角坐标系.(直观想象)
2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理,会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间向量的坐标表示.(直观想象、数学运算)
3.学会用空间直角坐标系解决数学问题和实际问题,并体会类比和归纳的数学思想.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.观察图片,教室里的灯是看成一个点还是一个向量呢
2.我们学习了哪些表示点的方法 你能例举这些方法在生活中的应用吗
3.预习教材P16~18的所有内容,并回答下列问题:
(1)空间中点的位置要如何表示呢
(2)空间直角坐标系有什么特征
(3)什么是右手直角坐标系
(4)平面直角坐标系包含哪些要素 类比到空间直角坐标系,它们需要满足什么条件 请填写下列表格.
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
(5)利用单位正交基底的概念,我们可以对平面直角坐标系作如下理解(左边表格内容).类比到空间,你能否给出空间直角坐标系的定义呢 请填写下列表格.
平面直角坐标系 空间直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j}
以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c)的形式. (　　)
(2)空间直角坐标系中,在Oxz平面内的点的坐标一定是(a,0,c)的形式. (　　)
(3)空间直角坐标系中,点(1,,2)关于Oyz平面的对称点为(-1,,2). (　　)
(4)空间向量a=(1,1,1)为单位向量. (　　)
2.下列点在x轴上的是(　　).
A.(0.1,0.2,0.3)
B.(0,0,0.001)
C.(5,0,0)
D.(0,0.01,0)
3.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上
B.Oxy平面上
C.Oxz平面上
D.第一象限内
4.(人教A版选择性必修第一册P18例1改编)如图,在长方体OABC-O'A'B'C'中,OA=6,OC=8,OO'=6,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1)写出点B'的坐标;
(2)求的坐标.
【合作探究】
探究1　空间直角坐标系
问题1:在给定的空间直角坐标系中,空间中的任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系
问题2:平面直角坐标系是怎么画的 空间直角坐标系又如何画呢 回忆学习立体几何时用到的斜二测画法,先讨论,再找学生代表板演讲解.
1.空间直角坐标系的定义:在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫作　　　　.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,O叫作原点,都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为　　　　平面,　　　　平面,　　　　平面,它们把空间分成八个部分.
2.画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=　　　　,∠yOz=　　　　.
3.右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让指向x轴的正方向,指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
4.空间中点的坐标表示:在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的,叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫作点A的坐标,y叫作点A的坐标,z叫作点A的坐标.
例1　在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在线段BC1上,且BM=2MC1,N是线段D1M的中点,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,求点M,N的坐标.
【方法总结】由几何直观可知,确定空间中一个点的坐标,我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影,再根据空间向量基本定理,得到点的坐标.可以总结如下步骤:
(1)过空间点分别作x轴、y轴和z轴的垂线;
(2)确定空间点在坐标轴上的射影的坐标;
(3)得到空间点的坐标.
如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=5,OC=4,OD'=3,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.分别写出D',C,A',B'四点的坐标.
探究2　空间向量的坐标
问题1:空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同
问题2:在空间直角坐标系中,如何定义点A的坐标呢
问题3:对于给定的向量a,又该如何定义它的坐标呢
问题4:(x,y,z)的意义是什么
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=.有序实数组叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记为　　　　.
例2　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立恰当的坐标系,求:
(1)点B,C1,B1,M,N的坐标;
(2)向量,,的坐标.
【方法总结】求空间点、向量的坐标的一般步骤
(1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系.
(2)运算:分别找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标,综合利用向量的加减及数乘运算表示向量.
(3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标,将所求向量用已知的基底向量表示出来,确定坐标.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标.
探究3　空间中点的对称问题
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,交融于各族人民的社会生活,是各种民俗活动的重要组成部分.小明的奶奶是当地的剪纸高手,如图,这是她的剪纸作品.
问题1:这个剪纸图有什么特点
问题2:点A(1,2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是什么
问题3:空间点的对称能类比平面上点的对称吗
在空间直角坐标系中,任意一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:
对称轴或对称平面或对称中心 对称点的坐标
P(a,b,c) x轴 (a,-b,-c)
y轴 (-a,b,-c)
z轴 (-a,-b,c)
Oxy平面 (a,b,-c)
Oyz平面 (-a,b,c)
Ozx平面 (a,-b,c)
坐标原点 (-a,-b,-c)
例3　在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标;
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标;
(3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
【方法总结】求解对称点的问题时,常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
求点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy及x轴对称的点的坐标.
【随堂检测】
1.点(1,1,0)在空间直角坐标系中的(　　).
A.y轴上
B.Oxy平面上
C.Oxz平面上
D.第一象限内
2.在空间直角坐标系中,P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的位置关系是(　　).
A.关于x轴对称
B.关于Oxy平面对称
C.关于坐标原点对称
D.以上都不对
3.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取D为原点建立空间直角坐标系,O,M分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标:=　　　　　　　,=　　　　　　　.
4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,求向量的坐标.
参考答案
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
课时1　空间直角坐标系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.灯可以看成一个点.
2.用数轴Ox表示点的位置,如广播体操比赛中,同学们的站队位置;用平面直角坐标系表示点的位置,如教室里老师给同学们安排的座位.
3.(1)利用空间直角坐标系表示空间中点的位置.
(2)①三条轴两两相交且互相垂直;②有相同的单位长度.
(3)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(4)填写表格如下.
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点 坐标原点 坐标原点
坐标轴 相互垂直的两条坐标轴:x轴和y轴 三条互相垂直的坐标轴:x轴、y轴和z轴
单位长度 单位长度 单位长度
(5)填写表格如下.
平面直角坐标系 空间直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j} 在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}
以O为原点,分别以i,j的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴 以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　【解析】x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.
3.C　【解析】点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Oxz平面上.
4.【解析】设=i,=j,=k.
(1)因为OA=6,OC=8,OO'=6,所以=6i+8j+6k=(6,8,6),
所以点B'的坐标为(6,8,6).
(2)由题图知=-=+-=-6i+8j+6k=(-6,8,6).
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:是.在给定的空间直角坐标系中,空间中给定一点,其坐标与唯一的有序实数组(x,y,z)相对应;反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间中也有唯一的点与之对应.
问题2:平面直角坐标系Oxy的画法:在平面内分别画两条与单位正交基底向量i,j方向相同的x轴和y轴,它们互相垂直,相交于原点.
拓展到空间中,在x轴和y轴的基础上添加与x轴和y轴都垂直的z轴.
借鉴在立体几何中学习的斜二测画法,在画空间直角坐标系Oxyz时,让x轴与y轴所成的角为135°(或45°),即∠xOy=135°(或45°),画z轴和y轴垂直,即∠yOz=90°.
新知生成
1.i,j,k　坐标轴　Oxyz　i,j,k　Oxy　Oyz　Ozx
2.135°(或45°)　90°
3.右手拇指　食指
4.xi+yj+zk　有序实数组(x,y,z)　A(x,y,z)　横　纵　竖
新知运用
例1　【解析】如图,过点M作MM1⊥BC于点M1,连接DM1,取DM1的中点N1,连接NN1.
由BM=2MC1,知MM1=CC1=,M1C=BC=.
因为M1M∥DD1,所以M1M与z轴平行,点M1与点M的横坐标、纵坐标相同,又点M的竖坐标为,所以M,1,.
易得N1为DM1的中点,则N1,,0.
因为N1N与z轴平行,且N1N==,所以N,,.
巩固训练　【解析】因为点D'在z轴上,且OD'=3,所以点D'的坐标是(0,0,3).
同理,点C的坐标是(0,4,0).
点A的坐标是(5,0,0),所以点A'的坐标是(5,0,3).
点B的坐标是(5,4,0),所以点B'的坐标是(5,4,3).
探究2　情境设置
问题1:空间直角坐标系中,易知点A的坐标与从原点O出发的向量的坐标相同.
问题2:在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫作点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z).
问题3:因为空间向量是自由向量,所以我们在空间直角坐标系Oxyz中,可以作=a.由空间向量基本定理可知,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫作a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,简记为a=(x,y,z).
问题4:(x,y,z)具有双重含义,既可以表示点的坐标,也可以表示向量的坐标,在表述时注意区分.
新知生成
xi+yj+zk　(x,y,z)　a=(x,y,z)
新知运用
例2　【解析】∵CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,且CA=CB=1,CC1=2,∴以为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.设=i,=j,=k.
(1)∵点B在y轴上,且CB=1,
∴=0i+j+0k,∴点B的坐标是(0,1,0).
同理,点C1的坐标为(0,0,2).
∵点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为点C,B,C1,它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为0,1,2,
∴点B1的坐标是(0,1,2).
同理,点M的坐标为,,2,点N的坐标为(1,0,1).
(2)∵=-=+-=i-j+k,
∴=(1,-1,1),
而=-=-+=i-j+2k,
∴=(1,-1,2).
又∵=-,∴=(-1,1,-2).
巩固训练　【解析】(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k.
因为正方体的棱长为2,所以=2i,=2j,=2k.因为D(0,0,0),所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).又因为=+=2i+2j,所以B(2,2,0).
同理,可得A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,
所以=-=-++=-2i-j-k=(-2,-1,-1),
=-=-(++)=-2i-j-2k=(-2,-1,-2),
=+=-=2j-k=(0,2,-1).
探究3　情境设置
问题1:这个剪纸图是轴对称图形.
问题2:点A(1,2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(1,-2),(-1,2),(-1,-2).
问题3:能.
新知运用
例3　【解析】(1)因为点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为(-2,-1,-4).
(2)因为点P关于Oxy平面对称后,它的横坐标、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(-2,1,-4).
(3)设对称点为P'(x,y,z),则M为线段PP'的中点,
由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,
所以点P'的坐标为(6,-3,-12).
巩固训练　【解析】如图所示,过点A作AM⊥坐标平面Oxy交平面于点M,并延长到点C,使AM=CM,则点A与点C关于坐标平面Oxy对称,且点C的坐标为(1,2,1).
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B,使AN=NB,
则点A与点B关于x轴对称且点B的坐标为(1,-2,1).
故点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,1),点A(1,2,-1)关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1).
随堂检测·精评价
1.B　【解析】点(1,1,0)的竖坐标为0,所以该点在Oxy平面上.
2.A　【解析】P(3,4,5)与Q(3,-4,-5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标互为相反数,所以两点关于x轴对称.
3.(-2,0,1)　(1,1,2)　【解析】设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k,
∵正方体的棱长为2,∴=2i,=2j,=2k,
又O,M分别是AC,DD1的中点,∴=k,==(+)=i+j,∴=-=-2i+k=(-2,0,1),
=+=+=i+j+2k=(1,1,2).
4.【解析】以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,
则=i,=j,=k,又M,N分别为AB,PC的中点,
∴==j,
==(+)=(+-)=i+j-k,
∴=++=-j+k+i+j-k=i+k=,0,.

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