资源简介

1.4 课时4 用空间向量研究空间中的距离
【学习目标】
1.理解运用向量运算求解空间距离的原理.(数学抽象)
2.能运用空间向量法解决距离问题.(逻辑推理、数学运算)
3.理解空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.空间中有哪些距离
2.如何用向量研究距离
3.如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离
4.求点到直线的距离主要有哪些方法
5.如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,类比点到直线的距离的研究过程,则点P到平面α的距离应该怎样表示
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量的长度. (　　)
(2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. (　　)
(3)若平面α∥β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. (　　)
2.已知直线l的一个方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　).
A.2
B.
C.
D.
3.若平面α的一个法向量为n=(1,2,2),点A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2(4)改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.求直线FC到平面AEC1的距离.
【合作探究】
探究1　点到直线的距离
问题1:怎样表示向量b方向上的单位向量u
问题2:如何作出向量a在向量b上的投影向量
问题3:怎样用单位向量u表示向量a在向量b上的投影向量及投影向量的长度
问题4:在预学忆思3中,若AP与直线l垂直,点P到直线l的距离还等于吗
问题5:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P的坐标以及直线l,那么点A应该如何确定
问题6:类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如图,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.
点P到直线l的距离PQ==.
例1　如图所示,几何体ABCD-EFGH为棱长等于1的正方体,若点P在正方体的内部且满
足=++,求点P到直线BC的距离.
【方法总结】求点P到直线l的距离的步骤:第一步,建系,在直线l上任取一点A (注意:选择便于计算的特殊点),求“参考向量(或)”的坐标;第二步,依据图形先求出直线l的单位方向向量u;第三步,代入公式求解.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,M,N分别是棱AB,CC1的中点,求点A1到直线MN的距离.
探究2　点到平面的距离
问题1:在立体几何图形中求解距离问题时,已知条件中一般只会给出点P以及平面α,那么点A应该如何确定 求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影向量以及垂线段
问题2:求点到平面的距离主要有哪些方法
设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离d=.
例2　(2023年天津卷节选)在三棱台ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M为线段BC的中点.求点C到平面C1MA的距离.
【方法总结】用向量法求点到平面的距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点的坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
提醒:用向量法求线面距、面面距时,一般要转化为点面距.
在长方体中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则点D到平面A1BC1的距离为(　　).
A. B.
C. D.
探究3　直线(平面)到平面的距离
问题1:如果直线l与平面α平行,那么如何求直线到平面的距离
问题2:如何求两平行平面之间的距离
1.求直线到平面的距离,先证明直线与平面平行,再转化为直线上一点到平面的距离.
2.与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似,我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为空间向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离等问题;
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
例3　如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为BB1的中点.
(1)求点D到平面AD1E的距离d;
(2)求直线BC1到平面AD1E的距离d1.
【方法总结】求直线(平面)到平面的距离,要先证明直线(平面)与平面平行,然后转化为求点到平面的距离.
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为AB,BC,BB1的中点.
(1)求证:平面A1DC1∥平面EFG.
(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离.
【随堂检测】
1.已知A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),则点A到直线BC的距离为(　　).
A.
B.
C.
D.
2.已知平面α的一个法向量为n=(1,2,1),A(1,0,-1),B(0,-1,1),且A α,B∈α,则点A到平面α的距离为(　　).
A.
B.
C.
D.1
3.已知直线AB∥平面α,平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为　　　　.
4.如图,已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,求直线B1C1到平面A1BCD1的距离.
参考答案
课时4　用空间向量研究空间中的距离
自主预习·悟新知
预学忆思
1.两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线之间的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离.
2.利用向量的模、空间两点间的距离、投影向量、勾股定理.
3.如图,设=a,则向量在直线l上的投影向
量=|a|cos∠PAQ· u=|a|·cos∠PAQ|u|u=(a·u)u.
在Rt△AQP中,由勾股定理,得PQ==.
4.(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即点到直线的距离.
(2)在三角形中用等面积法求解.
(3)向量法,即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方之差的算术平方根.
5.||=|||cos∠APQ|=.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.D　【解析】由已知得=(-1,-1,-1),因为直线l的一个方向向量为n=(1,0,2),所以点P(1,2,2)到直线l的距离为===.
3.B　【解析】∵A(3,0,2),B(5,1,3),A α,B∈α,
∴AB 为平面α的一条斜线,且=(2,1,1).
∴ 点A到平面α的距离d====2.
4.【解析】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,
所以=,=,=,=.
显然==,所以FC∥EC1.
又FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,
所以FC∥平面AEC1,因此直线FC到平面AEC1的距离等于点F到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(1,2,1),
所以点F到平面AEC1的距离为=,所以直线FC到平面AEC1的距离是.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:u=.
问题2:如图,在空间中任取一点O,作=a,=b.过点M作MM1垂直于直线ON,垂足为M1,向量
即向量a在向量b上的投影向量.
问题3:=|a|cos θ u=|a|cos θ |u|u=(a·u)u,即=(a·u )u,||=|a·u|.
问题4:若预学忆思中的AP与直线l垂直,则a·u=0,=|PA|=|PQ|.
问题5:点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,它不会随着点A的变化而变化,故点A可以是直线l上的任意一点.
问题6:如图,在其中一条直线上任取一点P,将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.
新知运用
例1　【解析】如图所示,以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),
∴=(0,1,0),=(-1,0,0),=(0,0,1),=(-1,0,0).
∵=++=-,,,
∴P,,,
∴=-,-,,
∴=,||2=-2+-2+2=,
∴点P到直线BC的距离d===.
巩固训练　【解析】如图,以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
易知A1(1,0,1),M,N,
所以=0,,-1,=,==.
取a==,u====,
则a2=,a·u=-,
所以点A1到直线MN的距离为==.
探究2　情境设置
问题1:点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P在平面α内的投影向量以及垂线段.
问题2:(1)作点到平面的垂线,点与垂足之间的距离即点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法,即点到平面的距离为参考向量与法向量的数量积的绝对值与法向量的模之比.
新知运用
例2　【解析】由题意易知,AA1,AC,AB两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图),
则A(0,0,0),A1(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2),所以=(1,1,0),=(0,1,2).
设n=(x,y,z)是平面C1MA的法向量,
则令z=1,则平面C1MA的一个法向量为n=(2,-2,1),
又=(1,-1,0),所以点C到平面C1MA的距离d==.
巩固训练　D　【解析】设AA1=h,则=-=10,
所以4h-h××4=10,解得h=3.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A1(2,0,3),B(2,2,0),C1(0,2,3),所以=(0,2,-3),=(2,0,-3).
设m=(x,y,z)是平面A1BC1的法向量,则令z=2,则x=y=3,可得平面A1BC1的一个法向量为m=(3,3,2).
又=(2,2,0),所以点D到平面A1BC1的距离为==.
探究3　情境设置
问题1:转化为点到平面的距离求解.
问题2:转化为点到平面的距离求解.
新知运用
例3　【解析】(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),
所以=(0,2,1),=(-2,0,2).
设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=2,则x=2,y=-1,
所以平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2),又=(0,0,2),
所以点D到平面AD1E的距离d===.
(2)由(1)可得平面AD1E的一个法向量为n=(2,-1,2),
又B(2,2,0),C1(0,2,2),所以=(-2,0,2),
因为=,所以BC1∥AD1.
又BC1 平面AD1E,AD1 平面AD1E,
所以BC1∥平面AD1E,
所以直线BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离.
又=(0,2,0),
所以直线BC1到平面AD1E的距离d1===.
巩固训练　【解析】(1)∵E是AB的中点,F是BC的中点,
连接AC(图略),∴EF∥AC.
∵AA1 CC1,∴四边形ACC1A1是平行四边形,
∴A1C1∥AC,∴EF∥A1C1.
又A1C1 平面A1C1D,EF 平面A1C1D,
∴EF∥平面A1C1D.
同理,连接AB1,可得EG∥AB1∥DC1,又DC1 平面A1C1D,EG 平面A1C1D,∴EG∥平面A1C1D.
∵EF∩EG=E,EF,EG 平面EFG,∴平面A1C1D∥平面EFG.
(2)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),
∴=(2,0,2),=(0,2,2),连接A1E,则=(0,1,-2).
设平面A1DC1的法向量为n=(x,y,z),
则 取x=1,可得y=1,z=-1,
则平面A1DC1的一个法向量为n=(1,1,-1),
故平面A1DC1与平面EFG间的距离为==.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】由A(2,1,0),B(1,0,1),C(3,2,3),可得=(1,1,-1),=(2,2,2),
则向量在方向上的投影向量的长度为==,
所以点A到直线BC的距离为=.
2.B　【解析】∵A(1,0,-1),B(0,-1,1),∴=(-1,-1,2).又平面α的一个法向量为n=(1,2,1),∴点A到平面α的距离为=.
3.　【解析】由于直线与平面平行,故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离,又=(1,2,0),所以点A到平面α的距离d==.
4.【解析】以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,12,0),D1(0,0,5).
设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),则=(-x,0,0),=(0,-12,5).
由n⊥,n⊥,
得
解得a=0,b=c,令c=12,则平面A1BCD1的一个法向量为n=(0,5,12).
又=(0,0,-5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为=.
因为B1C1∥平面A1BCD1,所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.1.4 课时3 空间中直线、平面的垂直
【学习目标】
1.能利用平面的法向量证明两个平面垂直.(逻辑推理、数学运算)
2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.如图,直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,当直线l1,l2垂直时,u1,u2之间有什么关系
2.类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系
3.如图,设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,当直线l垂直于平面α时,u,n之间有什么关系 你能用数学语言表示吗
4.设n1,n2分别是平面α,β的法向量,当平面α垂直于平面β时,n1,n2之间有什么关系 想一想如何用数学语言表示
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直. (　　)
(2)已知两平面α,β的一个法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则α⊥β. (　　)
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. (　　)
(4)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (　　)
2.若直线l1,l2的一个方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　).
A.平行 B.垂直
C.重合 D.相交
3.(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)(多选题)已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,下列结论正确的是(　　).
A.若l⊥α,则a+2b=9
B.若l∥α,则b-5a=3
C.若l⊥α,则a-b=9
D.若l∥α,则a+b=6
4.若平面α,β的一个法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是(　　).
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.无法确定
【合作探究】
探究1　空间中直线与直线垂直
小明利用纸盒折了一个正六棱柱,如图,根据正棱柱的定义可知AB⊥AE.
问题1:图中AE与CD,AB与CD是什么位置关系
问题2:如何用向量法证明AB与CD垂直
设直线l1的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线l2的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l1⊥l2 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0.
例1　(2021年全国甲卷节选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.证明:BF⊥DE.
【方法总结】用向量方法证明直线l1与l2垂直,分别取l1,l2的方向向量e1,e2,则e1·e2=0或cos=0.
已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别是棱BB'、对角线CA'的中点.求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.
探究2　空间中直线与平面垂直
如图,这是直角三角形绕直角边OA旋转一周形成的几何体(圆锥).
问题1:圆锥的旋转轴OA与底面所在平面上的任意一条直线是否垂直 为什么
问题2:如何用向量法证明直线与平面垂直
设直线l的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面α的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥α 　　　　 　　　　 　　　　.
例2　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
【方法总结】坐标法证明线面垂直有两种思路
(1)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量,分别计算直线的方向向量与两条相交直线的方向向量的数量积,得到数量积为0.
(2)建立空间直角坐标系,将直线的方向向量用坐标表示,求出平面的法向量,判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,那么可以选用第二种思路,否则常常选用第一种思路解决.
如图,在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中,底面ADD1A1为直角梯形,AA1⊥AD,AD∥A1D1,E,F,G分别为AD,A1E,C1D1的中点,AD=2AB=2AA1=2A1D1=2,证明:直线FG⊥平面A1BE.
探究3　空间中平面与平面垂直
铅垂线多用于建筑测量.用一条细绳一端系重物,在相对于地面静止时,这条绳所在直线就是铅垂线,又称重垂线.铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直.
问题1:为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直
问题2:用向量法如何证明两个平面垂直
若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量v=(a2,b2,c2),则α⊥β u⊥v u·v=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
例3　(2023年全国乙卷节选)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO.证明:平面ADO⊥平面BEF.
【方法总结】证明面面垂直的两种方法
(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.
如图,在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面EFG⊥平面PBC.
【随堂检测】
1.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-4),平面α的一个法向量为n=(2,3,t),若l∥α,则t=(　　).
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　).
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正确
3.已知平面α的一个法向量为(4,3,-7),若直线l⊥平面α,则直线l的方向向量可以为(　　).
A.(8,6,14)
B.(-8,-6,14)
C.4,3,
D.3,4,
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,证明:平面B1ED⊥平面B1BD.
参考答案
课时3　空间中直线、平面的垂直
自主预习·悟新知
预学忆思
1.垂直.
2.一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直.
3.平行(共线),数学语言表示为l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn.
4.垂直.数学语言表示为α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.B　【解析】因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.
3.BC　【解析】u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,若l⊥α,则u∥n,则==,所以解得a=,b=-,因此,a+2b=,a-b=9,A错误,C正确;
若l∥α,则u⊥n,即u·n=3+2(a+b)+3(a-b)=0,所以b-5a=3,B正确,D错误.
4.B　【解析】因为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),所以a·b=2×(-1)+(-1)×(-2)+0=0,所以a⊥b,
所以α与β的位置关系是垂直.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:AE∥CD,AB与CD是异面直线,且垂直.
问题2:证明直线AB,CD的方向向量的数量积为0.
新知运用
例1　【解析】(法一)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB.
∵A1B1∥AB,BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,又BB1∩BF=B,∴AB⊥平面BCC1B1,∴BA,BC,BB1两两垂直.
以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
∴B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).
由题设D(a,0,2)(0≤a≤2).∵=(0,2,1),=(1-a,1,-2),
∴·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,∴BF⊥DE.
(法二)∵BF⊥A1B1,A1B1∥AB,∴BF⊥AB,故·=0,·=0,
∴·=·(++)=·(+)+·=·+·=·--+·=-·-·+·=-·+·=-||·||·cos ∠FBC+||·||·cos ∠FBB1=-××2×+×2×=0,∴BF⊥DE.
巩固训练　【解析】设该正方体的棱长为1,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则M1,0,,B(1,0,0),C(1,1,0),A'(0,0,1),N,,,B'(1,0,1),所以=-,,0,=(1,1,-1),=(0,0,1),
故·=-,,0·(1,1,-1)=0,
·=-,,0·(0,0,1)=0,
所以MN⊥A'C,MN⊥BB'.
探究2　情境设置
问题1:垂直,因为OA垂直于底面,所以OA垂直于底面所在平面上的任意一条直线.
问题2:证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可.
新知生成
a∥u　a=ku(k∈R)　(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)
新知运用
例2　【解析】设正方体的棱长为2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),
E(2,2,1),F(1,1,2).
所以=(-1,-1,1),=(0,2,2),=(-2,2,0).
设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=1,z=-1,
所以平面B1AC的一个法向量为n=(1,1,-1),
所以=-n,
所以∥n,
故EF⊥平面B1AC.
巩固训练　【解析】由题意,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则A1(0,0,1),B(1,0,0),E(0,1,0),F,G,
所以=(-1,1,0),=(1,0,-1),=.
设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z),
则即 令x=1,则n=(1,1,1),
所以=n,即∥n,故直线FG⊥平面A1BE.
探究3　情境设置
问题1:铅垂线总是垂直于水平面,根据垂线的性质,可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直.
问题2:证明两个平面的法向量的数量积为0即可.
新知运用
例3　【解析】因为AB⊥BC,所以过点B作z轴⊥平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),O(0,,0).
在△BDA中,cos∠PBA===-,
在△PBA中,PA2=PB2+AB2-2PB·AB·cos∠PBA=6+4-2×2×=14.
设P(x,y,z),
由得
可得x=-1,y=,z=,所以P(-1,,),
则D,E,由BF⊥AO,得·=0,所以F(1,,0),=(-2,,0),=,=,=(1,,0).
设平面ADO的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则得
令x1=1,则y1=,z1=,所以n1=(1,,).
设平面BEF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则得
令x2=2,则y2=-,z2=0,所以n2=(2,-,0).
因为n1·n2=1×2+×(-)+0=0,
所以平面ADO⊥平面BEF.
巩固训练　【解析】(法一)如图,以三棱锥的顶点P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),
∴=(3,0,0),=(1,0,0),
∴=3,∴PA∥FG.
又PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.
又FG 平面EFG,∴平面EFG⊥平面PBC.
(法二)同法一,建立空间直角坐标系,
则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),
∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),
则即
令y=1,得z=-1,x=0,
即n=(0,1,-1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0,∴n⊥,
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直,
∴平面EFG⊥平面PBC.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】因为l∥α,所以m⊥n,可得m·n=2+6-4t=0,解得t=2.
2.C　【解析】∵n1与n2不是平行向量,且n1·n2≠0,∴α,β相交且不垂直.
3.B　【解析】因为直线l⊥平面α,所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行,又(-8,-6,14)=-2(4,3,-7),所以B正确.
4.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设该正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),E0,1,,故=(1,1,1),=0,1,.
设平面B1DE的法向量为n1=(x,y,z),则即令z=-2,则y=1,x=1,∴n1=(1,1,-2).
同理求得平面B1BD的一个法向量为n2=(1,-1,0),
由n1·n2=0,知n1⊥n2,
∴平面B1ED⊥平面B1BD.1.4 课时1 空间中点、直线和平面的向量表示
【学习目标】
1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象、直观想象)
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在空间中,如何用向量表示空间中的一个点
2.空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l,如何用向量表示直线l
3.如何利用向量确定空间中的一个平面
4.什么是平面的法向量 如何用集合的形式表示平面
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)零向量能作为直线的方向向量和平面的法向量. (　　)
(2)平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量. (　　)
(3)直线的方向向量是不唯一的. (　　)
(4)在空间直角坐标系中,z=(0,-2,0)是坐标平面Oxz的一个法向量. (　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P29练习T2改编)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,若AB=2AD=2AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则平面A1BD的一个法向量为(　　).
A.6a+6b-c B.a-6b-6c C.2a+3b-c D.a+6b-6c
3.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列结论正确的是(　　).
A.直线DD1的一个方向向量为(0,1,1)
B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)
C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,指出直线AP的一个以C1为起点的方向向量.
【合作探究】
探究1　空间中点的向量表示
信号塔(如图),是网络运营商所建立的一种无线信号发射装置,外形像塔,所以叫作信号塔.
问题1:如何用向量表示塔顶P的位置
问题2:在空间直角坐标系中如何确定点P的位置
点的向量表示:在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
例1　在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|.
(1)求点P的坐标;
(2)求点P的位置向量;
(3)求点B到原点的距离.
【方法总结】确定空间一点的位置向量的关键是寻找定点,在空间直角坐标系中,一般把坐标原点当作定点.
△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示,则BC边上中点的位置向量是(　　).
A.(2,1,1)
B.(2,1,0)
C.(1,2,0)
D.(1,0,2)
探究2　空间中直线的向量表示
设A是直线l上一点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上任意一点.
问题1:点P在直线l上的充要条件是什么
问题2:若取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是什么
空间直线的向量表示:如图,A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,①或=+t,②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
例2　如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1.设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,分别求直线AD,AE的一个方向向量.
【方法总结】在空间中,一个向量若为直线l的方向向量,则必须具备以下两个条件:①向量是非零向量;②向量所在的直线与直线l平行或重合.
与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量,直线l的方向向量有无数个.
(多选题)已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,0,1),B(-1,-1,2),C(0,1,2),则下列结论正确的是(　　).
A.直线AB的一个方向向量的坐标为(2,1,-1)
B.直线AC与平面Oxy的交点坐标为(2,1,0)
C.点B关于平面Oyz的对称点为B'(1,-1,2)
D.∠BAC为钝角
探究3　空间中平面的向量表示
如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,对应的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点.
问题1:点P在平面α内的充要条件是什么
问题2:平面α的法向量满足什么条件
问题3:如何选取平面的法向量
1.空间平面的向量表示:如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.
2.平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
例3　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别为A1D1,A1B1的中点,B1C1与平面CDE交于点F.求平面MCF和平面CFE的法向量.
【方法总结】求平面法向量的步骤
(1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)选向量:在平面内选取两个不共线向量,.
(3)列方程组:由列出方程组.
(4)解方程组
(5)赋非零值:取x,y,z的其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论:得到平面的一个法向量.
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱BB1的中点,在棱DD1上是否存在点P,使是平面PAC的一个法向量
【随堂检测】
1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)均在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　).
A.(2,2,6)
B.(-1,1,3)
C.(3,1,1)
D.(-3,0,1)
2.已知直线l的一个方向向量为m=(3,-2,1),且直线l经过A(a,2,-1)和B(-2,3,b)两点,则a+b=(　　).
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.若a=x,2y-1,-是平面α的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=3,,-2与平面α都平行,则向量a=(　　).
A.-,-,-
B.-,-,-
C.-,-,-
D.-,,-
4.平面α经过A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0)三点,求平面α的一个法向量u.
参考答案
1.4　空间向量的应用
课时1　空间中点、直线和平面的向量表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
2.如图1,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图2,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta,　①
或=+t.　②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
3.设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a,b,P为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb,这样,点O与向量a,b可以确定平面.
4.如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的一个法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.B　【解析】令AB=2,则AD=AA1=1,所以a·b=a·c=2cos 60°=1,b·c=cos 60°=.
设平面A1BD的一个法向量为n=xa+yb+zc,而=a-b,=a-c,
则整理得令x=1,则y=-6,z=-6,得n=a-6b-6c,
所以平面A1BD的一个法向量为a-6b-6c.
3.BC　【解析】因为DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1),所以A错误;因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1),所以B正确;因为直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0),所以平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0),所以C正确;因为点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,所以D错误.
4.【解析】如图,取BB1的中点Q,C1C的中点M,连接C1Q,BM,PM,则PM=DC=AB,PM∥DC∥AB,所以四边形APMB为平行四边形,所以AP∥BM.
又在四边形BQC1M中,BQ∥C1M,BQ=C1M,所以四边形BQC1M为平行四边形,所以BM∥C1Q,所以AP∥C1Q,
故为直线AP的一个方向向量.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:在空间中取一定点O作为基点,空间中的任意一点P就可以用向量来表示.
问题2:点P的位置用(x,y,z)来表示.
新知运用
例1　【解析】(1)依题意设P(0,0,z),则有=,解得z=3,所以点P的坐标为(0,0,3).
(2)因为坐标原点O是空间一定点,所以点P的位置向量是=(0,0,3).
(3)因为||==2,所以点B到原点的距离是2.
巩固训练　B　【解析】设BC的中点为D,由题意可知O(0,0,0),B(4,0,0),C(0,2,0),所以BC边的中点D的坐标为(2,1,0),所以BC边的中点的位置向量为=(2,1,0).
探究2　情境设置
问题1:充要条件是存在实数t,使=ta,即=t.
问题2:充要条件是存在实数t,使=+ta,即=+t.
新知运用
例2　【解析】=++=++=++=++=a+b+c,所以直线AD的一个方向向量是a+b+c.
=+=+=+=+=b+c,所以直线AE的一个方向向量是b+c.
巩固训练　AC　【解析】对于A,由=(-2,-1,1),得-=(2,1,-1),即直线AB的一个方向向量为(2,1,-1),所以A正确;
对于B,=(-1,1,1),设直线AC与平面Oxy的交点为D(x,y,0),则=(x-1,y,-1),
所以==,解得即交点为D(2,-1,0),所以B错误;
对于C,点B关于平面Oyz的对称点为B'(1,-1,2),所以C正确;
对于D,cos∠BAC===>0,故∠BAC为锐角,所以D错误.
故选AC.
探究3　情境设置
问题1:存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xa+yb.
问题2:平面α的法向量n与平面α内的任意直线都垂直,如n⊥a,n⊥b.
问题3:平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量,即只需作一条垂直于平面α的直线,选取该直线的方向向量即可.
新知运用
例3　【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则M(2,1,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2),
所以=(-2,1,-2),=(1,0,2),=(0,-2,0).
设平面MCF的法向量为m=(x1,y1,z1),
则
令z1=-1,可得平面MCF的一个法向量为m=(2,2,-1).
设平面CFE的法向量为n=(x2,y2,z2),
则
令z2=-1,可得平面CFE的一个法向量为n=(2,0,-1).
巩固训练　【解析】不存在.如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M1,1,.
假设存在点P(0,0,a)(0≤a≤1)满足条件,
则=(1,0,-a),=(-1,1,0).
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
则得
令z=1,则x=a,y=a,即n=(a,a,1).
由题意知∥n,由=-1,-1,-,得==,解得a=2.
又0≤a≤1,所以在棱DD1上不存在点P,使是平面PAC的一个法向量.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】因为A,B均在直线l上,所以=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)是直线l的一个方向向量.
2.A　【解析】因为=(-2-a,1,b+1),直线l的一个方向向量为m=(3,-2,1),且向量与向量m共线,
所以==,解得a=-,b=-,
所以a+b=-2.
3.D　【解析】由题意知即解得
所以a=-,,-.
4.【解析】由题意得=(2,1,1),=(3,-1,-1).
设平面α的法向量为u=(x,y,z),
则令z=-1,则y=1,x=0,
∴u=(0,1,-1)为平面α的一个法向量.1.4 课时2 空间中直线、平面的平行
【学习目标】
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象)
2.能用向量方法证明有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理、数学运算)
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.由直线与直线的平行关系,可以得到两直线的方向向量具有什么关系
2.如何用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的平行关系
3.观察下图,平面α与平面β平行,n1,n2分别是平面α,β的法向量,n1与n2具有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反. (　　)
(2)若向量n1,n2为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的两条不重合的直线一定平行. (　　)
(3)两条直线的方向向量平行,则两条直线平行. (　　)
(4)两个不同平面的法向量平行,则这两个平面平行. (　　)
2.若平面α,β的一个法向量分别为m=-,,-1,n=,-1,3,则(　　).
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直
D.α∥β或α与β重合
3.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面ABB1A1,平面A1B1C1D1的中心,则下列结论正确的是(　　).
A.EF∥平面ACD1
B.EF∥平面AB1C
C.EF∥平面BCC1B1
D.EF∥平面DCC1D1
4.设平面α的一个法向量为(1,3,-2),平面β的一个法向量为(-2,-6,k),若α∥β,则k=　　　　.
【合作探究】
探究1　空间直线与直线平行
如图,双杠是男子竞技体操项目之一.它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠.一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换.双杠于1896年被列为奥运会比赛项目.
问题1:如何利用向量的方法证明l1∥l2
问题2:如何证明两个向量a,b(b≠0)平行
问题3:两条直线平行,它们的方向向量平行吗
设u1,u2分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2.
若两条不重合的直线l1,l2的方向向量分别为u1=(a1,b1,c1),u2=(a2,b2,c2),则l1∥l2 u1∥u2 (a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2).
例1　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
【方法总结】(1)两直线平行 两直线的方向向量共线.
(2)两直线的方向向量共线 两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
探究2　空间直线与平面平行
如图所示,这是武汉大学的校门.
问题1:由校门上部的下边线m与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢
问题2:能用向量法证明这一问题吗
问题3:如果直线l的方向向量为u,平面α的法向量为v,且u⊥v,那么l与α平行吗
设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α u⊥n u·n=0.
例2　(2024年天津卷节选)如图,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥AB,AB∥CD,AA1=2,AB=2AD=2,DC=1,N是B1C1的中点,M是DD1的中点.求证:D1N∥平面CB1M.
【方法总结】利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即证明直线的方向向量可用平面内的一组基底表示;(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,证明线线平行,利用线面平行判定定理得证;(3)求直线的方向向量和平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在棱AC上,且AQ=3QC.请建立适当的空间直角坐标系,证明:PQ∥平面BCD.
探究3　空间平面与平面平行
吊环是男子体操项目之一,1896年被列为第一届奥运会的比赛项目.吊环项目对运动员双臂力量要求很高,所有动作均由双臂支撑完成.如图,“水平十字”是吊环的标志性动作,要求运动员在双臂支撑下,在空中将身体舒展,所形成的平面与地面平行,身体躯干与双臂要形成“十”字形,且需静止两秒以上.在比赛中,裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行,即可判断该动作是否标准.
问题1:怎样说明人体形成的平面与地面平行
问题2:如何用平面的法向量说明人体形成的平面与地面平行
设n1,n2分别是不重合的平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
例3　如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CD1B1.
【方法总结】证明两平面平行时,分别找(或求)出两个平面的法向量u,v,验证u∥v成立.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是棱CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
【随堂检测】
1.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　).
A.2,
B.,
C.-3,2D.2,2
2.已知n1=(x,1,-1)为平面α的法向量,n2=(6,y,3)(y≠0)为平面β的法向量,且α∥β,则x+y=(　　).
A.
B.1
C.-3
D.-5
3.若直线l的一个方向向量为a=(2,2,-1),平面α的一个法向量为μ=(-6,8,4),则直线l与平面α的位置关系是　　　　　.
4.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.
参考答案
课时2　空间中直线、平面的平行
自主预习·悟新知
预学忆思
1.平行.
2.设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α u⊥n u·n=0.
3.平行.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.D　【解析】∵n=-3m,∴m∥n,∴α∥β或α与β重合.
3.AC　【解析】如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设该正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,1),F(1,1,2),
则=(-2,2,0),=(-2,0,2),=(-1,0,1).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,可得n=(1,1,1).∵·n=0,∴⊥n,又EF 平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.
易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(0,1,0),则·m=0,又EF 平面BCC1B1,∴EF∥平面BCC1B1,∴A,C正确.
同理,可证B,D错误.
4.4　【解析】若α∥β,则==,解得k=4.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:证明两直线l1,l2的方向向量平行即可.
问题2:要证a∥b,只需证明a=λb(λ∈R).
问题3:平行.
新知运用
例1　【解析】以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),不妨设该正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E0,0,,C1(0,1,1),F1,1,,
∴=-1,0,,=-1,0,,=0,1,,=0,1,,
∴=,=,∴∥,∥.
又∵F AE,F EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF,
∴四边形AEC1F是平行四边形.
巩固训练　【解析】如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c).
由D1E=2EB1,得=2,则E.
由BF=2FA1,得=2,则F,
∴=,=(-a,b,c),∴=.
又EF与AC1不重合,∴EF∥AC1.
探究2　情境设置
问题1:因为柱子与地面垂直,所以柱子和地面的任意直线垂直,那么在地面内存在一条直线l与m在同一平面内,且都与柱子垂直,所以l∥m,由线面平行的判断定理可推出校门上部的下边线与地面平行.
问题2:能.证明m的方向向量与地面的法向量垂直即可.
问题3:不一定,也可能l在α内.
新知运用
例2　【解析】以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),D1(0,1,2),M(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,2),N,
所以=(1,-1,2),=(-1,0,1),=.
设平面CB1M的法向量为m=(x,y,z),
则
取x=1,得y=3,z=1,即m=(1,3,1).
因为m·=(1,3,1)·=-+0=0,所以m⊥,
又D1N 平面CB1M,所以D1N∥平面CB1M.
巩固训练　【解析】以D为坐标原点,DA所在直线为z轴,BD所在直线为y轴,
过点D作垂直于平面ABD的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BD=2a,由题意得B(0,-2a,0),A(0,0,2),M(0,0,1),P,设Q(xQ,yQ,zQ),C(x,y,0).
因为AQ=3QC,所以=,即(xQ,yQ,zQ-2)=(x,y,-2),即xQ=x,yQ=y,zQ=,所以Qx,y,,所以=.
又因为平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),
所以·n=0,所以⊥n,
又因为PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
探究3　情境设置
问题1:因为人体两臂与地面平行,躯干与地面平行,人体两臂与躯干相交,所以根据平面与平面平行的判定定理可知,人体形成的平面与地面平行.
问题2:把两根吊环分别看成是人体形成的平面的法向量与地面的法向量,两根吊环平行,则人体形成的平面与地面平行.
新知运用
例3　【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设该正方体的棱长为1,则
A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),D(0,0,0),∴=(-1,0,-1),=(0,1,-1),=(1,1,0),=(0,1,-1).
设平面A1BD的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,得x1=-1,y1=1,
∴平面A1BD的一个法向量为n1=(-1,1,1).
设平面CD1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令y2=1,得x2=-1,z2=1,
∴平面CD1B1的一个法向量为n2=(-1,1,1),
又n1=n2,即n1∥n2,而平面A1BD与平面CD1B1不重合,
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
巩固训练　【解析】如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,Q(0,1,m),
则O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
=,-,0,=-,-,.
设平面PAO的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
取x1=1,得y1=1,z1=2,则可取n1=(1,1,2).
又因为=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m).
设平面D1BQ的法向量为n2=(x2,y2,z2),则
取z2=1,得x2=m,y2=1-m,则可取n2=(m,1-m,1).
要使平面D1BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2,
因此==,解得m=,此时点Q的坐标为0,1,.
故当Q为棱CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】若a∥b,则2μ-1=0且=,解得μ=且λ=2或λ=-3.故选A.
2.D　【解析】因为α∥β,所以n1∥n2,
所以==,解得x=-2,y=-3,
所以x+y=-5.
故选D.
3.l α或l∥α　【解析】∵μ·a=-12+16-4=0,∴μ⊥a,∴l α或l∥α.
4.【解析】如图,设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c.
设平面DEF的法向量为n,则n·=0,n·=0,
∴n·(b-a)=0,n·(c-a)=0.
又n·=n·(-)=n·(2b-2a)=0,n·=n·(-)=n·(2c-2a)=0,
∴n⊥,n⊥,
∴n是平面ABC的法向量,而平面DEF与平面ABC不重合,
∴平面DEF∥平面ABC.1.4 课时5 用空间向量研究空间中的夹角问题
【学习目标】
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量夹角之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成的角.(逻辑推理、数学运算)
2.理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角.(逻辑推理、数学运算)
3.理解二面角的大小与两个平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.如何求向量a与b的夹角θ
2.当直线在平面内或与平面平行时,直线与平面所成的角为多少 直线与平面垂直时呢
3.直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则直线的方向向量与平面的法向量的夹角与直线与平面所成角的关系是什么
4.设平面α与平面β的夹角为θ,两个平面的夹角与这两个平面的法向量的夹角有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. (　　)
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (　　)
(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角. (　　)
(4)线面角和异面直线所成角的范围都是0,. (　　)
2.已知直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),则直线l与平面α夹角的余弦值为(　　).
A.
B.-
C.±
D.
3.(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2,D是AB的中点,则CD与平面OAB所成角的正弦值为　　　　.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:D1F⊥AE.
(2)求直线EF和CB1所成角的大小.
【合作探究】
探究1　两条异面直线所成的角
同学们可能经常谈论某某同学是摩羯座的,某某同学是双鱼座的.可是你知道十二星座的由来吗 我们知道,地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”.黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26',它与天球相交的大圆称为“黄道”,黄道南北两边各9°宽的环形区域称为“黄道带”.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、金牛座、双子座等等.这便是星座的由来.如图所示,这是摩羯座的星图.
将摩羯座的星图抽象成如图所示的空间四边形.
问题1:图中BC与AD是异面直线吗
问题2:若AB=AD=BC=CD=2,CD⊥AD,∠BAD=60°,如何求直线BC与AD所成角的余弦值
问题3:设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角之间的关系是怎样的 对应的余弦值表达式是什么
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ=|cos|=.
例1　如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
【方法总结】(1)用几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再利用解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,只需对相应向量进行运算即可.
(2)由于两异面直线的夹角θ的取值范围是0,,而两向量的夹角α的取值范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意.
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图,△SAB,△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面,且cos∠BOC=,则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　).
A.
B.
C.
D.
探究2　直线与平面所成的角
如图所示,设AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°.
问题1:如何求直线AC与平面BCD所成角的大小
问题2:用几何法如何求直线BD与平面ACD所成角的大小
问题3:用向量法如何求直线BD与平面ACD所成角的大小 (只写方法,不用写结果)
直线与平面所成的角
设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则sin θ=|cos|=.
例2　(2022年全国乙卷)如图,在四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.
(1)证明:平面BED⊥平面ACD.
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
【方法总结】用向量法求线面角的基本步骤:(1)分析图形关系,建立空间直角坐标系;(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n;(3)求出夹角;(4)判断直线和平面所成的角θ和的关系,求出角θ.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,则直线AD与平面ACD1所成角的余弦值为(　　).
A.
B.
C.
D.
探究3　平面与平面的夹角
卫星在近地圆轨道水平飞行时的速度叫作第一宇宙速度,即环绕速度.卫星只要获得这一水平方向的速度后,不需要再加动力就可以环绕地球飞行.这时卫星的飞行轨迹叫作卫星轨道.如图所示,这是标注卫星轨道参数的卫星轨道图.卫星轨道参数是用来描述卫星在太空中运行的位置、形状和取向的各种参数.
问题1:设卫星轨道面与赤道面分别为α,β,其法向量分别是n1,n2,平面α与平面β所成的夹角为θ,则角θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
问题2:求二面角的方法有哪些
平面与平面的夹角
(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)设平面α,β的法向量分别是n1,n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos|=.
例3　(2023年新高考全国Ⅱ卷)如图,在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.
(1)证明:BC⊥DA.
(2)若点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
【方法总结】利用向量法求两个平面夹角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2;(3)设平面间的夹角为θ,则cos θ=|cos|;(4)利用余弦值,确定平面间夹角的大小.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=2,BC=CC1=4,点D是棱AB的中点,则平面ABB1A1与平面B1CD夹角的正弦值为(　　).
A. B. C. D.
【随堂检测】
1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　).
A.
B.
C.
D.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　).
A.
B.
C.
D.
3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,A1A的中点,则异面直线EF和BD1所成角的余弦值为　　　　.
4.如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2,AB=4.
(1)证明:PQ⊥平面ABCD.
(2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.
参考答案
课时5　用空间向量研究空间中的夹角问题
自主预习·悟新知
预学忆思
1.向量a与b的夹角可利用公式cos θ=求解.
2.两种情况下,直线与平面所成的角分别为0,.
3.sin θ=|cos|=.
4.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos|==.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.A　【解析】因为直线l的一个方向向量为a=(1,1,0),平面α的一个法向量为u=(1,2,-2),所以cos===,
设直线l与平面α的夹角为θ,
则sin θ=|cos|=,
故cos θ==.
3.　【解析】因为OC,OA,OB两两垂直, 所以以O为原点,OA,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D,=.因为CO⊥底面OAB,所以是底面OAB的一个法向量,且=(0,0,-3).
设CD与平面OAB所成的角为θ,
则sin θ====,
即CD与平面OAB所成角的正弦值为.
4.【解析】(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则A(2,0,0),D1(0,0,2),E(2,2,1),F(0,1,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),
∴=(0,1,-2),=(0,2,1),∴·=1×2-2×1=0,∴D1F⊥AE.
(2)∵=(-2,-1,-1),=(2,0,2),
∴cos<,>===-,
∴直线EF和CB1所成角的大小为.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:是.
问题2:可用向量法求解,因为=++,所以·=(++)·=·+·+·=2×2×cos 120°+2×2×cos 0°+2×2×cos 90°=2,
所以cos<,>===.
所以直线BD与AD所成角的余弦值为.
问题3:当0°≤≤90°时,θ=;当90°<≤180°时,θ=180°-.余弦值表达式为cos θ=|cos|.
新知运用
例1　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),
∴=(-,1,-),=(,-1,-),
∴cos<,>===.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
巩固训练　B　【解析】在圆锥SO中,SO⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OS所在直线分别为y轴、z轴,平面ABC内垂直于OB的直线为x轴,建立空间直角坐标系.
设AB=6,则A(0,-3,0),B(0,3,0),S(0,0,3),=(0,-3,-3).
因为cos∠BOC=,所以C(-2,1,0),
所以=(-2,-2,0),
所以cos<,>===,
所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为.
探究2　情境设置
问题1:由已知得AB⊥平面BCD,所以∠ACB就是直线AC与平面BCD所成的角.
因为AB=BC,所以∠ACB=45°,所以直线AC与平面BCD所成的角是45°.
问题2:如图,取AC的中点E,连接BE,DE.根据空间中垂直的判定和性质易知,∠BDE为直线BD与平面ACD所成的角,解三角形可得直线BD与平面ACD所成的角为30°.
问题3:以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面ACD的法向量n及向量=u,然后代入公式sin θ=|cos|=(其中θ为直线 BD与平面ACD所成的角)求解.
新知运用
例2　【解析】(1)因为AD=CD,E为AC的中点,所以AC⊥DE.
在△ABD和△CBD中,因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,
所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB.
又因为E为AC的中点,所以AC⊥BE.
又因为DE,BE 平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED.
因为AC 平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
(2)连接EF,由(1)知,AC⊥平面BED,因为EF 平面BED,
所以AC⊥EF,所以S△AFC=AC·EF.
当EF⊥BD时,EF最小,即△AFC的面积最小.
因为△ABD≌△CBD,所以CB=AB=2.
又因为∠ACB=60°,所以△ABC是等边三角形.
因为E为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=.
因为AD⊥CD,所以DE=AC=1.
在△DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BE⊥DE.
以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,
则A(1,0,0),B(0,,0),D(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,,0).
设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),
则取y=,则平面ABD的一个法向量为n=(3,,3).
因为C(-1,0,0),F0,,,所以=1,,,
所以cos===.
设CF与平面ABD所成的角为θ0≤θ≤,所以sin θ=|cos|=,
所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为.
巩固训练　C　【解析】以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),=(-1,0,0),=(-1,2,0),=(-1,0,1).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则令y=1,得x=2,z=2,
∴n=(2,1,2).
∴|cos<,n>|===,
∴直线AD与平面ACD1所成角的余弦值为=.
探究3　情境设置
问题1:=θ或=180°-θ.
cos θ=|cos|.
问题2:(1)几何法.找二面角,证明,解三角形得结论.
(2)向量法.求两个平面的法向量,再利用两个法向量夹角的余弦值与二面角余弦值间的关系求解.
新知运用
例3　【解析】(1)如图,连接DE,AE,
因为DC=DB,且E为BC的中点,所以DE⊥BC.
因为∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,
所以△ADB≌△ADC(SAS).
可得AC=AB,故AE⊥BC.
因为DE∩AE=E,DE,AE 平面ADE,所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE,所以BC⊥DA.
(2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC.
不妨设DA=DB=DC=2,因为∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2.
由题意可知△DBC为等腰直角三角形,故DE=EB=EC=.
因为AE⊥BC,所以AE==.
在△ADE中,AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED.
以E为坐标原点,ED所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则D(,0,0),B(0,,0),A(0,0,),=(-,0,),=(0,-,).
设F(xF,yF,zF),因为=,所以(xF,yF,zF)=(-,0,),可得F(-,0,),
所以=(,0,0).
设平面DAB的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即取x1=1,则y1=z1=1,所以m=(1,1,1).
设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),
则即得x2=0,取y2=1,则z2=1,所以n=(0,1,1),
所以cos===.
记二面角D-AB-F的大小为θ,则sin θ===,
故二面角D-AB-F的正弦值为.
巩固训练　B　【解析】如图,以C为坐标原点建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4).
设平面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z),
∵=(2,-4,0),=(0,0,4),
∴
令x=2,则y=1,z=0,
∴n=(2,1,0).
同理得平面B1CD的一个法向量为m=(2,-1,1).
故|cos|===.
设平面ABB1A1与平面B1CD的夹角为θ,则θ∈0,,则cos θ=,
故平面ABB1A1与平面B1CD夹角的正弦值sin θ==.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),∴=(0,1,-2),=(-1,0,2),故|cos<,>|===,
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2.B　【解析】设正方体的棱长为1,依题意,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则
A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),
∴=(-1,0,1),=(-1,1,0).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
∴令x=1,可得y=1,z=1,∴n=(1,1,1).
设直线BB1与平面ACD1所成的角为θ,
∵=(0,0,1),
∴直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值sin θ=|cos<,n>|===.
3.　【解析】如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,
异面直线EF与BD1所成的角为θ,且θ∈,
则E(1,0,2),F(2,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以=(1,0,-1),=(-2,-2,2),
所以cos θ=|cos<,>|===,
所以异面直线EF与BD1所成角的余弦值为.
4.【解析】(1)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO,QO,如图1.
因为棱锥P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
又PO∩QO=O,所以P,O,Q三点在一条直线上,所以PQ⊥平面ABCD.
(2)由题设知,四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
由(1)知PQ⊥平面ABCD,故可以以直线OA,OB,OP分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图2).
由题设条件,可知A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,0,-2),B(0,2,0),
所以=(-2,0,-2),=(0,2,-2),于是cos<,>==.
故异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.

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