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第二章《有理数的运算》单元基础诊断卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D C C A A D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是（　　）
A．都是零 B．相等
C．互为相反数 D．有一个数是零
【思路点拔】根据有理数的加法运算法则解答．
【解答】解：因为根据互为相反数的和等于零，
所以，两个有理数之和等于零，那么这两个有理数互为相反数．
故选：C．
2．（3分）下列算式中，积为负数的是（　　）
A．0×（﹣5） B．4×0.5×10
C．1.5×（﹣2） D．
【思路点拔】根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解．
【解答】解：A、0×（﹣5）＝0，该选项不符题意；
B、4×0.5×10＝20，该选项不符题意；
C、1.5×（﹣2）＝﹣3，该选项符合题意；
D、，该选项不符题意；
故选：C．
3．（3分）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　）
A．（﹣4）+（+8）＝4 B．（﹣4）+（+8）＝﹣12
C．（+4）+（﹣8）＝4 D．（+4）+（﹣8）＝﹣4
【思路点拔】根据题意，正放表示正数，斜放表示负数，列出算式，利用有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：根据题意，由图2可得：
（+4）+（﹣8）＝﹣（8﹣4）＝﹣4．
故选：D．
4．（3分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
【思路点拔】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：B．
5．（3分）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　）
A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2
C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23
【思路点拔】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：原式＝（﹣5）2＝25；
原式＝（﹣3）×4＝﹣12；
原式＝﹣9÷4；
原式＝﹣9﹣8＝﹣17，
则计算结果最小的是﹣23﹣32＝﹣17．
故选：D．
6．（3分）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在了数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拔】设覆盖区域的数为x，由数轴可知，﹣3.1＜x＜0，0＜x＜2.9求出该范围内的整数即可求解．
【解答】解：设覆盖区域的数为x，
由数轴可知，﹣3.1＜x＜0，含整数有﹣3，﹣2，﹣1，
0＜x＜2.9，含整数有1，2．
∴x的值为﹣3，﹣2，﹣1，1，2，
∴墨迹盖住的整数共有5个，
故选：C．
7．（3分）下列描述正确的是（　　）
A．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞0
B．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a﹣b＞0
C．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b﹣a＞0
D．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞b
【思路点拔】根据有理数的加法、减法法则计算判断即可．
【解答】解：A、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜0，故此选项不符合题意；
B、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a﹣b＜0，故此选项不符合题意；
C、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b﹣a＞0，故此选项符合题意；
D、如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＜b，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．（3分）某种细胞每过30分便由1个分裂成2个，经过3个小时这种细胞由1个能分裂成（　　）个．
A．64个 B．32个 C．16个 D．18个
【思路点拔】先求出3小时等于多少分钟，再求出有几个30分钟，即可得出答案．
【解答】解：3小时＝3×60分钟＝180分钟，
180÷30＝6，
则经过3个小时这种细胞由1个能分裂成26＝64个，
故选：A．
9．（3分）已知|a|＝5，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　）
A．3或7 B．﹣3或﹣7 C．﹣3 或7 D．3或﹣7
【思路点拔】直接利用绝对值的性质结合有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝2，且b＜a
∴a＝5，b＝±2，
∴a+b＝7或3，
故选：A．
10．（3分）对于1+2×3﹣4÷5，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：
①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；
②不存在任何“加括号操作”的运算结果是；
③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拔】将1+2×3﹣4÷5的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解．
【解答】解：罗列“加括号操作”如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故①②③正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若式子“□+7”的值是一个负数，则“□”里可填 　﹣8（答案不唯一）　 ．（填一个数即可）
【思路点拔】设“□”里的数为x，根据负数是小于0的数得出x+7＜0，即可求出x的取值范围，从而写出一个满足题意的数即可．
【解答】解：设“□”里的数为x，
由题意得x+7＜0，
解得x＜﹣7，
所以x可以是﹣8，
即“□”里可填﹣8（答案不唯一），
故答案为：﹣8（答案不唯一）．
12．（3分）在2024年巴黎奥运会男子10米气步枪比赛中，中国小将盛李豪以252.2环的成绩夺得金牌，并打破奥运纪录．其中数据252.2精确到 　十分　 位．
【思路点拔】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：3数据252.2中，最后一个数字2在十分位上，则精确到了十分位．
故答案为：十分．
13．（3分）如果a，b满足（a+3）2+|b﹣2|＝0，那么ab＝　9　 ．
【思路点拔】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣2|＝0，（a+3）2≥0，|b﹣2|≥0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
14．（3分）小明做计算题（﹣25）÷a时，把“÷”号看成了“+”号，得出的结果为﹣30，则正确的结果是　5　 ．
【思路点拔】根据题意可得（﹣25）+a＝﹣30，据此求出a的值，再代值计算即可得到答案．
【解答】解：根据题意可知，（﹣25）+a＝﹣30，
a＝﹣30+25，
解得：a＝﹣5，
∴（﹣25）÷a＝（﹣25）÷（﹣5）＝5．
故答案为：5．
15．（3分）如果四个互不相同的正整数a、b、c、d满足（4﹣a）（4﹣b）（4﹣c）（4﹣d）＝9，则4a+3b+3c+d的最大值为 　53　 ．
【思路点拔】根据a、b、c、d是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是：±1，±3，据此可得出求解．
【解答】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，（4﹣a）（4﹣b）（4﹣c）（4﹣d）＝9，
∴四个括号内的值分别是：±1，±3，
∴可求得这四个正整数为：3，5，7，1，
要使4a+3b+3c+d的值最大，则a＝7，b＝5，c＝3，d＝1，
∴4a+3b+3c+d
＝4×7+3×5+3×3+1
＝28+15+9+1
＝53．
故答案为：53．
16．（3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 　7　 ，这样移动2019次后该点到原点的距离为 　3028　 ．
【思路点拔】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律，写出表达式就可解决问题．
【解答】解：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动1个单位长度，即1＝3×（1﹣1）+1；
第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动4＝3×（2﹣1）+1个单位长度；
第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动7＝3×（3﹣1）+1个单位长度；
第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，
移动5次后该点对应的数为1﹣4+7﹣10+13＝7；
由规律可知第n次移动（3n﹣2）个单位长度，
n为奇数时向右移动，n为偶数时向左移动，
第2019次向右移3×2019﹣2＝6055个单位长度，（2019﹣1）÷2＝2018÷2＝1009，
即前2018次移动后该点表示的数1009×（﹣3）＝﹣3027，﹣3027+6055＝3028，
所以这样移动2019次后该点表示的数为3028，距离原点的距离为3028．
故答案为：7，3028．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【思路点拔】（1）先算乘方和绝对值，再算除法，最后算加减即可；
（2）运用乘法分配律进行简便计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+9×2﹣2
＝﹣1+18﹣2
＝15；
（2）
．
18．（8分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3．
（1）填空：a+b＝　0　 ；cd＝　1　 ；m＝　±3　 ；
（2）求的值．
【思路点拔】（1）根据互为相反的两个数相加等于0，互为倒数的两个数相乘等于1，互为相反的两个数绝对值相等即可求解；
（2）将（1）的结果代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±3．
故答案为：0；1；±3；
（2）∵a+b＝0；cd＝1；m＝±3，
∴当m＝3时，
＝1+（2×3﹣1）
＝1+（6﹣1）+0
＝1+5+0
＝6；
当m＝﹣3时，
＝1+[2×（﹣3）﹣1]
＝1+（﹣6﹣1）+0
＝1﹣7+0
＝﹣6；
由上可得，的值为6或﹣6．
19．（8分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm．
（1）在图1的数轴上，AC＝　9　 个单位长度，点B所对应的数b为　﹣4　 ；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　0.7　 cm．
（2）若Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所对应的数．
【思路点拔】（1）根据图1和图2中的数据可直接得出AC和一个单位长度对应刻度尺上的答案；求出AB在数轴上的距离，即可得出数b答案；
（2）求出AQ＝6，然后分情况求解即可．
【解答】解：（1）在图1上，AC＝2﹣（﹣7）＝9个单位长度；在图2中AC＝6.3cm；
数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的6.3÷9＝0.7cm；
由图2得：AB＝2.1cm，
∴AB在数轴上的距离为3个单位长度，
∴在数轴上点B所对应的数；b﹣7+3＝﹣4，
故答案为：9；﹣4；0.7；
（2）∵AQ＝2AB，AB＝3，
∴AQ＝6，
点A所表示数为﹣7，
∴点Q表示的数为﹣1，﹣13．
20．（8分）出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12．
（1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？
（2）若汽车耗油量为2升/10千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？
（3）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？
【思路点拔】（1）根据有理数的加法，可得答案；
（2）根据单位耗油量乘以行驶路程，可得答案；
（3）根据起步价加超过部分的价格，可得答案．
【解答】解：（1）根据有理数的加法列式计算可得：
（+8）+（﹣9）+（﹣7）+（+6）+（﹣3）+（﹣14）+（+5）+（+12）
＝8﹣9﹣7+6﹣3﹣14+5+12
＝（8+6+5+12）+（﹣9﹣7﹣3﹣14）
＝31﹣33
＝﹣2，
答：该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车在家的西方，离家有2km．
（2）|+8|+|﹣9|+|﹣7|+|+6|+|﹣3|+|﹣14|+|+5|+|+12|
＝8+9+7+6+3+14+5+12
＝64（km），
∴汽车耗油为2升/10千米，
∴64×0.2＝12.8（升），
答：这天下午出租车共耗油12.8升．
（3）10×8+（64﹣3×8）×1.2＝80+48＝128（元），
答：这天下午该出租车师傅的营业额是128元．
21．（10分）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
．
【思路点拔】利用题目提供的方法计算即可．
【解答】解：
．
22．（12分）【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（如图）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中其右下方是用八卦符号（表示第十四届国际数学教育大会的举办年份）来记数的，这个数是由四个二进制数组成的．根据如图所示的大会标识，回答下列问题：
【实践探索】
（1）八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0．图中的八卦符号从左起第一个符号表示的二进制数为011．请依次写出第二个到第四个八卦符号表示的二进制数：　111　 ，　100　 ，　101　 ；
（2）把（1）中的二进制数分别转换为十进制数，得到的这个四位数是　3745　 ，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）．
由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于　2021　 年在上海举办．
【拓展应用】
（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【思路点拔】（1）根据题意写出三个符号表示的二进制即可求解；
（2）根据题意列出算式，根据有理数的乘方进行计算即可求解；
（3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）第二个到第四个八卦符号表示的二进制数分别为：111，100，101，
故答案为：111，100，101；
（2）011转化为十进制数是0×22+1×21+1×20＝3，
111转化为十进制数是1×22+1×21+1×20＝7，
100转化为十进制数是1×22+0×21+0×20＝4，
101转化为十进制数是1×22+0×21+1×20＝5，
把（1）中的二进制数分别转换为十进制数，得到的这个四位数是3745，
3745转化为八进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，
故答案为：3745，2021．
（3）由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为1×52+3×51+2＝42，
所以，孩子已经出生了42天．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章《有理数的运算》单元基础诊断卷
（满分：100分 时间：90分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）两个有理数之和等于零，那么这两个有理数必须是（　　）
A．都是零 B．相等
C．互为相反数 D．有一个数是零
2．（3分）下列算式中，积为负数的是（　　）
A．0×（﹣5） B．4×0.5×10
C．1.5×（﹣2） D．
3．（3分）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　）
A．（﹣4）+（+8）＝4 B．（﹣4）+（+8）＝﹣12
C．（+4）+（﹣8）＝4 D．（+4）+（﹣8）＝﹣4
4．（3分）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
5．（3分）下列四个式子中，计算结果最小的是（　　）
A．（﹣3﹣2）2 B．（﹣3）×（﹣2）2
C．﹣32÷（﹣2）2 D．﹣32﹣23
6．（3分）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在了数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（3分）下列描述正确的是（　　）
A．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞0
B．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a﹣b＞0
C．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么b﹣a＞0
D．如果a＜0＜b，且|a|＞|b|，那么a+b＞b
8．（3分）某种细胞每过30分便由1个分裂成2个，经过3个小时这种细胞由1个能分裂成（　　）个．
A．64个 B．32个 C．16个 D．18个
9．（3分）已知|a|＝5，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　）
A．3或7 B．﹣3或﹣7 C．﹣3 或7 D．3或﹣7
10．（3分）对于1+2×3﹣4÷5，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：
①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；
②不存在任何“加括号操作”的运算结果是；
③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若式子“□+7”的值是一个负数，则“□”里可填 　 　 ．（填一个数即可）
12．（3分）在2024年巴黎奥运会男子10米气步枪比赛中，中国小将盛李豪以252.2环的成绩夺得金牌，并打破奥运纪录．其中数据252.2精确到 　 　 位．
13．（3分）如果a，b满足（a+3）2+|b﹣2|＝0，那么ab＝　 　 ．
14．（3分）小明做计算题（﹣25）÷a时，把“÷”号看成了“+”号，得出的结果为﹣30，则正确的结果是　 　 ．
15．（3分）如果四个互不相同的正整数a、b、c、d满足（4﹣a）（4﹣b）（4﹣c）（4﹣d）＝9，则4a+3b+3c+d的最大值为 　 　 ．
16．（3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 　 　 ，这样移动2019次后该点到原点的距离为 　 　 ．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3．
（1）填空：a+b＝　 　 ；cd＝　 　 ；m＝　 　 ；
（2）求的值．
19．（8分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm．
（1）在图1的数轴上，AC＝　 　 个单位长度，点B所对应的数b为　 　 ；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm．
（2）若Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所对应的数．
20．（8分）出租车一天下午以家为出发地在东西方向营运，向东为正方向，向西为负方向，行车里程（单位：km）依先后载客次序记录如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12．
（1）该出租车师傅将最后一名乘客送达到目的地，出租车离家有多远？
（2）若汽车耗油量为2升/10千米，这天下午接送乘客，出租车共耗油多少升？
（3）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问这天下午该出租车师傅的营业额是多少元？
21．（10分）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
示例：计算：．
解：原式
．
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
．
22．（12分）【数学文化】国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届．第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于某年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（如图）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中其右下方是用八卦符号（表示第十四届国际数学教育大会的举办年份）来记数的，这个数是由四个二进制数组成的．根据如图所示的大会标识，回答下列问题：
【实践探索】
（1）八卦中称为阳爻，称为阴爻，每卦均由三个阳爻或阴爻组成．把八卦符号看作表示二进制数时，阳爻对应数字1，阴爻对应数字0．图中的八卦符号从左起第一个符号表示的二进制数为011．请依次写出第二个到第四个八卦符号表示的二进制数：　 　 ，　 　 ，　 　 ；
（2）把（1）中的二进制数分别转换为十进制数，得到的这个四位数是　 　 ，将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数（写出计算过程）．
由此推断第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）于　 　 年在上海举办．
【拓展应用】
（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．

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